创新设计高考数学41平面向量的概念及其线性运算题组训练理含优选题解析新人教A版 6页

第1讲　平面向量的概念及其线性运算 基础巩固题组 ‎(建议用时：40分钟)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 一、选择题 ‎1．若O，E，F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是 (　　)．‎ A.＝＋ B.＝－ C.＝－＋ D.＝－－ 解析　由图可知＝－.‎ 答案　B ‎2. (2014·汕头二模)如图，在正六边形ABCDEF中，＋＋等于(　　)．‎ A．0 B. C. D. 解析　因为ABCDEF是正六边形，故＋＋＝＋＋＝＋＝.‎ 答案　D ‎3．对于非零向量a，b，“a＋b＝‎0”‎是“a∥b”的 (　　)．‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析　若a＋b＝0，则a＝－b，所以a∥b.若a∥b，则a＝λb，a＋b＝0不一定成立，故前者是后者的充分不必要条件．‎ 答案　A ‎4．(2014·开封模拟)下列命题中，正确的是 (　　)．‎ A．若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b B．若a·b＝0，则a＝0或b＝0‎ C．若ka＝0，则k＝0或a＝0‎ D．若a，b都是非零向量，则|a＋b|＞|a－b|‎ 解析　对于A，显然不能得知a＝b或a＝－b，因此选项A不正确；对于B，易知不正确；对于C，易知正确；对于D，注意到(a＋b)2－(a－b)2＝‎4a·b，显然a·b与零的大小关系不确定，因此选项D不正确．综上所述，选C.‎ 答案　C ‎5．(2014·兰州质检)若点M是△ABC所在平面内的一点，且满足5＝＋3，则△ABM与△ABC的面积比为 (　　)．‎ A. B. ‎ C. D. 解析　设AB的中点为D，由5＝＋3，得3－3＝2－2，即3＝2.如图所示，故C，M，D三点共线，且＝，也就是△ABM与△ABC对于边AB的两高之比为3∶5，则△ABM与△ABC的面积比为，选C.‎ 答案　C 二、填空题 ‎6．(2014·湖州月考)给出下列命题：‎ ‎①向量的长度与向量的长度相等；‎ ‎②向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反；‎ ‎③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；‎ ‎④两个有公共终点的向量，一定是共线向量；‎ ‎⑤向量与向量是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上．‎ 其中不正确命题的序号是________．‎ 解析　①中，∵向量与为相反向量，‎ ‎∴它们的长度相等，此命题正确．‎ ‎②中若a或b为零向量，则满足a与b平行，但a与b的方向不一定相同或相反，∴此命题错误．‎ ‎③由相等向量的定义知，若两向量为相等向量，且起点相同，则其终点也必定相同，∴该命题正确．‎ ‎④由共线向量知，若两个向量仅有相同的终点，则不一定共线，∴该命题错误．‎ ‎⑤∵共线向量是方向相同或相反的向量，∴若与是共线向量，则A，B，C，D四点不一定在一条直线上，∴该命题错误．‎ 答案　②④⑤‎ ‎7．在▱ABCD中，＝a，＝b，＝3，M为BC的中点，则＝________(用a，b表示)．‎ 解析　由＝3，得4＝3 ＝3(a＋b)，＝a＋b，所以＝－＝(a＋b)－＝－a＋b.‎ 答案　－a＋b ‎8．(2014·泰安模拟)设a，b是两个不共线向量，＝‎2a＋pb，＝a＋b，＝a－2b，若A，B，D三点共线，则实数p的值为________．‎ 解析　∵＝＋＝‎2a－b，又A，B，D三点共线，‎ ‎∴存在实数λ，使＝λ.即∴p＝－1.‎ 答案　－1‎ 三、解答题 ‎9．在△ABC中，D，E分别为BC，AC边上的中点，G为BE上一点，且GB＝2GE，设＝a，＝b，试用a，b表示，.‎ 解　＝(＋)＝a＋b；‎ ＝＋＝＋＝＋(＋)‎ ‎＝＋(－)＝＋＝a＋b.‎ ‎10．若a，b是两个不共线的非零向量，a与b起点相同，则当t为何值时，a，tb，(a＋b)三向量的终点在同一条直线上？‎ 解　设＝a，＝tb，＝(a＋b)，‎ ‎∴＝－＝－a＋b，＝－＝tb－a.‎ 要使A，B，C三点共线，只需＝λ.‎ 即－a＋b＝λ(tb－a)＝λtb－λa.‎ 又∵a与b为不共线的非零向量，‎ ‎∴有⇒ ‎∴当t＝时，三向量终点在同一直线上．‎ 能力提升题组 ‎(建议用时：25分钟)‎ 一、选择题 ‎1．(2013·济南一模)已知A，B，C 是平面上不共线的三点，O是△ABC的重心，动点P满足＝ ，则点P一定为三角形ABC的(　　)．‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A．AB边中线的中点 B．AB边中线的三等分点(非重心)‎ C．重心 D．AB边的中点 解析　设AB的中点为M，则＋＝，∴＝(＋2)＝＋，即3＝＋2，也就是＝2，∴P，M，C三点共线，且P是CM上靠近C点的一个三等分点．‎ 答案　B ‎2．在△ABC中，点O在线段BC的延长线上，且与点C不重合，若＝x ＋(1－x)，则实数x的取值范围是(　　)．‎ A．(－∞，0) B．(0，＋∞)‎ C．(－1,0) D．(0,1)‎ 解析　设＝λ (λ＞1)，则＝＋＝＋λ ＝(1－λ)＋λ ，又＝x ＋(1－x)，所以x ＋(1－x)＝(1－λ)＋λ .所以λ＝1－x＞‎ ‎1，得x＜0.‎ 答案　A 二、填空题 ‎3．若点O是△ABC所在平面内的一点，且满足|－|＝|＋－2|，则△ABC的形状为________．‎ 解析　＋－2＝－＋－＝＋，‎ －＝＝－，∴|＋|＝|－|.‎ 故A，B，C为矩形的三个顶点，△ABC为直角三角形．‎ 答案　直角三角形 三、解答题 ‎4. 在△ABC中，E，F分别为AC，AB的中点，BE与CF相交于G点，设＝a，＝b，试用a，b表示.‎ 解　＝＋＝＋λ ‎＝＋(＋)＝＋(－)‎ ‎＝(1－λ)＋＝(1－λ)a＋b.‎ 又＝＋＝＋m ＝＋(＋)‎ ‎＝(1－m)＋＝a＋(1－m)b，‎ ‎∴解得λ＝m＝，∴＝a＋b.‎