高考数学二项式定理专题复习专题训练 6页

二项式定理 ‎1.二项式定理：.‎ ‎2.二项式定理的说明：‎ ‎（1）的二项展开式是严格按照a的降次幂（指数从逐项减到）、b的升次幂（数从逐项减到）排列的，其顺序不能更改，且各项关于a、b的指数之和等于。所以与的二项展开式是不同的。‎ ‎（3）二项式项数共有项，是关于与的齐次多项式。‎ ‎（4）二项式系数：展开式中各项的系数为，.‎ ‎（5）二项式通项：展开式中的第项记作，，共有项。‎ ‎（6）正确区分二项式系数与项的系数：二项式系数依次是 项的系数是与的系数（包括二项式系数）。‎ 如：的 第2项的二次项系数为，而第2项的系数为.‎ ‎（7）常见二项式：‎ 令；‎ 令.‎ ‎3.二项式系数的性质：‎ ‎（1）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等：‎ 即.‎ ‎（2）二项式系数和：令，则二项式系数的和为：‎ ‎，变形有：.‎ ‎（3）；‎ ‎（4）求奇数项的系数和与偶数项的系数和：‎ 已知，则 奇数项的系数和：=_______________________________；‎ 偶数项的系数和：=_______________________________；‎ ‎（5）二项式系数的最大项：如果二项式的指数是偶数时，则中间项为第项的二项式系数取得最大值；如果二项式的指数是奇数时，则中间项有两项，分别为第项和第项，对应的二项式系数，同时取得最大值。‎ ‎，，.‎ ‎（6）系数的最大、最小项的求法：求展开式中最大、最小项，一般采用待定系数 法。设展开式中各项系数分别为，设第项系数最大，应有：‎ 且；如果设第项系数最小，应有，从而解出的范围。‎ ‎4.怎么求展开式中含的系数，其中且？‎ 解：把视为二项式，先找出含有的项，另一方面在中含有的项为，故在中含的项为：‎ ‎，其系数为.‎ ‎5.近似计算的处理方法：‎ 当的绝对值很小（趋近于0）且不大时，常用近似公式，因为这时展开式的后面部分很小，可以忽略不计。类似地，有.但使用这两个公式时应注意的条件，以及对计算精确度的要求。若精确度要求较高，则可以使用更精确的公式：.‎ 二项式定理常考题型 题型一：二项式定理的逆用 题型二：求二项展开式的特定项 ‎（1）求单个二项式指定幂的系数 ‎（2）求多个二项式乘积的展开式指定幂的系数 ‎（3）利用通项公式求常数项 ‎（4）求有理项 ‎（5）求中间项 题型三：求二项式系数或展开式系数最大或最小项 ‎（1）一般的系数最大或最小问题 ‎（2）特殊的系数最大或最小问题 ‎（3）系数绝对值最大的项 ‎（4）二项式系数最大的项 题型四：赋值法求值 题型五：整除性 题型六：证明不等式 题型七：利用二项式定理求近似值 例1.已知C＋2C＋22C＋…＋2nC＝729，则C＋C＋C的值等于_________ ‎ 例2.二项式（x+32）n（n∈N*）展开式中只有一项的系数为有理数，则n可能取值为（ ）A.6       B.7       C.8       D.9‎ 例3.若展开式前三项的二项式系数和等于，求的展开式中系数最大的项。‎ 例4.已知等式x4=（x+1）4+b1（x+1）3+b2（x+1）2+b3（x+1）+b4，则b1，b2，b3，b4的值分别为______________‎ 例5.若n是正整数，则除以9的余数是________‎ 例6.证明：（1） ‎ ‎（2）当且>1，求证：‎ 例7.（2002全国）据2002年3月5日九届人大五次会议《政府工作报告》：“2001年国内生产总值达到95933亿元，比上年增长7.3%”，如果“十·五”期间（2001年—2005年）每年的国内生产总值都按此年增长率增长，那么到“十·五”末我国国内年生产总值约为（ ）‎ A.115000亿元 B.120000亿元 C.127000亿元 D.135000亿元 变式训练：‎ ‎1.设二项式的展开式的各项系数的和为，所有二项式系数的和为，若 ‎，则等于______________‎ ‎2.在（1+x）3+（1+x）4+…+（1+x）2007的展开式中，x3的系数等于_____________ ‎ ‎3.把1+(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)n展开成关于x的多项式，其各项系数和为an，则等于______________‎ ‎4.（2016浦东新区一模）二项式的展开式前三项系数成等差数列，则_____‎ ‎5.已知(x＋1)10＝a1＋a2x＋a3x2＋…＋a11x10.若数列a1，a2，a3，…，ak(1≤k≤11，k∈Z)是一个单调递增数列，则k的最大值是________‎ ‎6.若5.在n的展开式中，所有奇数项的系数之和为1 024，则中间项系数是______‎ ‎7.在(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)的展开式中，含x4的项的系数是________‎ ‎8.n展开式中只有第6项的二项式系数最大，则n等于________‎ ‎9.已知，若的展开式中各项系数的和为1458，则该展开式中项的系 数为___________‎ ‎10.(2011上海十三校二模)在二项式(＋)n的展开式中，各项系数之和为A，各项二项式系数之和为B，且A＋B＝72，则n＝________‎ ‎11.（2015闸北区二模）若二项式展开式中只有第四项的系数最大，则这个展开式中任取一项为有理项的概率是____________‎ ‎12.（2010辽宁）的展开式中的常数项为_________‎ ‎13.（2000北京）求的展开式中有理项共有________项。‎ ‎14.（2015全国）的展开式中，的系数为__________ ‎ ‎ ‎ ‎15.（2x-1）（x+y）5的展开式中，x3y3的系数为_______________ 16.(1＋ax＋by)n展开式中不含x的项的系数绝对值的和为243，不含y的项的系数绝对值的和为32，则a，b，n的值可能为（ ）‎ A.a＝2，b＝－1，n＝5 B.a＝－2，b＝－1，n＝6‎ C.a＝－1，b＝2，n＝6 D.a＝1，b＝2，n＝5‎ ‎17.已知，‎ 则的值是__________‎ ‎18.多项式x10＝a0＋a1(x－1)＋a2·(x－1)2＋…＋a10(x－1)10，则a8的值为_________ ‎ ‎19.若多项式，则的值为（ ）‎ ‎ A.509 B.510 C.511 D.1022‎ ‎20.设，‎ 则________ ‎21.已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，求：‎ ‎（1）a1＋a2＋…＋a7；‎ ‎（2）a1＋a3＋a5＋a7；‎ ‎（3）a0＋a2＋a4＋a6；‎ ‎（4）|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|.‎ ‎21._____________‎ ‎22.(2012湖北)设a∈Z，且0≤a<13，若512012＋a能被13整除，则a＝_______‎ ‎23.数除以88的余数是_________ ‎24.求的近似值（精确到小数后第三位）。‎