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- 2021-05-14 发布
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第十章 算法、统计与概率第1课时 算 法
考情分析
考点新知
① 算法初步是高中数学新课程标准中新添加的内容,高考对本章的考查主要以填空题的形式出现,单独命题以考查考生对流程图的识别能力为主,对算法语言的阅读理解能力次之,考查用自然语言叙述算法思想的可能性不大.
② 算法可结合在任何试题中进行隐性考查,因为算法思想在其他数学知识中的渗透是课标的基本要求,常见的与其他知识的结合有分段函数、方程、不等式、数列、统计等知识综合,以算法为载体,以算法的语言呈出,实质考查其他知识.
① 了解算法的含义、算法的思想.
② 理解程序框图的三种基本逻辑结构:顺序、选择、循环.
③ 理解几种基本算法语句——输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句的含义.
1. (必修3P37测试1改编)阅读程序框图,若输入的a,b,c分别为14,6,20,则输出的a,b,c分别是________.
答案:20,14,6
解析:该程序框图的作用是交换a,b,c的值,逐一进行即可.
2. (必修3P37测试3改编)某算法的伪代码如图所示,若输出y的值为3,则输入x的值为________.
Read x
If x≤0 Then
y←x+2
Else
y←log2x
End If
Print y
答案:8
解析:所给算法伪代码的意义是求函数y=的值,当输出y的值为3,若输入的x≤0,则x+2=3,解得x=1不合,舍去;若输入的x>0,则log2x=3,解得x=8.综上所述,输入x的值为8.
3. (2013·连云港期末)下图是一个算法流程图,若输入x的值为-4,则输出y的值为________.
(第3题图)
答案:2
解析:算法流程图的运行过程如下:
条件
Y
Y
Y
N
x
-4
7
4
1
2
输出
故输出的y的值为2.
4. (必修3P25习题7改编)阅读如图所示的伪代码,若使这个算法执行的是-1+3-5+7-9的计算结果,则a的初始值x=________.
S←0
a←x
For I From 1 To 9 Step 2
S←S+a×I
a←a×(-1)
End For
Print S
(第4题图)
答案:-1
解析:根据算法的循环结构知循环体第一次被执行后的结果应为0+(-1),故初始值x=-1.
(第5题图)
5. (2013·南通期末)已知实数x∈[1,9],执行如右图所示的流程图,则输出的x不小于55的概率为________.
答案:
解析:由流程图知,当输入x时,各次循环输出的结果分别是2x+1,2(2x+1)+1=4x+3,2(4x+3)+1=8x+7,此时退出循环.由解得6≤x≤9,故输出的x不小于55的概率为P==.
1. 算法
一般而言,对一类问题的机械的、统一的求解方法称为算法.
2. 流程图
流程图是由一些图框和流程线组成的,其中图框表示各种操作的类型,图框中的文字和符号表示操作的内容,流程线表示操作的先后次序.
3. 构成流程图的图形符号及其作用
(1) 起止框用“”表示,是任何流程图不可缺少的,表明算法的开始或结束;
(2) 输入、输出框用“”表示,可用在算法中任何需要输入、输出的位置,需要输入的字母、符号、数据都填在框内;
(3) 处理框用“”表示,算法中处理数据需要的算式、公式等可以分别写在不同的用以处理数据的处理框内;
(4) 当算法要求你对两个不同的结构进行判断时,需要将实现判断的条件写在判断框内,
判断框用“”表示.
4. 基本的算法结构
(1) 算法都可以由顺序结构、选择结构、循环结构这三块“积木”通过组合和嵌套表达出来.
(2) 流程图可以方便直观地表示三种基本的算法结构.
5. 伪代码
伪代码是介于自然语言和计算机语言之间的文字和符号,是表达算法的简单而实用的好方法.
6. 赋值语句
用符号“x←y”表示,将y的值赋给x,其中x是一个变量,y是一个与x同类型的变量或表达式.
7. 输入语句、输出语句
(1) 输入语句:“Read a,b”表示输入的数据依次送给a,b.
(2) 输出语句:“Print x”表示输出运算结果x.
8. 条件语句
条件语句的一般形式是
If A Then
B
Else
C
End If
其中A表示判断的条件,B表示满足条件时执行的操作内容,C表示不满足条件时执行的操作内容,End If表示条件语句结束.
9. 循环语句
循环语句一般有三种:“While循环”“Do循环”“For循环”.
(1) 当型循环一般采用“While循环”描述循环结构.
格式:
先判断条件是否成立,当条件成立时,执行循环体,遇到End While语句时,就返回继续判断条件,若仍成立,则重复上述过程,若不成立,则退出循环.
当型语句的特点是先判断,后执行.
(2) 直到型循环可采用“Do循环”描述循环结构.
格式:
先执行循环体部分,然后再判断所给条件是否成立.如果条件不成立,那么再次执行循环体部分,如此反复,直到所给条件成立时退出循环.
直到型语句的特点是先执行,后判断.
(3) 当循环的次数已经确定,可用“For”语句表示.
格式:
For I from 初值to 终值 step 步长
循环体
End for
功能:根据For语句中所给定的初值、终值和步长,来确定循环次数,反复执行循环体内各语句.
通过For语句进入循环,将初值赋给变量I,当循环变量的值不超过终值时,则顺序执行循环体内的各个语句,遇到End For,将循环变量增加一个步长的值,再与终值比较,如果仍不超过终值范围,则再次执行循环体.这样重复执行,直到循环变量的值超过终值,则跳出循环.
注:① 只有当循环次数明确时,才能使用本语句;② Step可以省略,此时默认步长为1;③ 步长可以为正、负,但不能是0,否则会陷入“死循环”.步长为正时,要求终值大于初值,如果终值小于初值,循环将不能执行.步长为负时,要求终值必须小于初值.
[备课札记]
题型1 流程图的算法功能
例1 (2013·江苏)下图是一个算法的流程图,则输出的n的值是________.
答案:3
解析:根据流程图得,当n=1时,a取初值2,进入循环体,a=3×2+2=8,n=1+1=2;由a<20进行第二次循环,a=3×8+2=26,n=2+1=3;此时a<20不成立,退出循环,从而最终输出n=3.
(2013·扬州调研)如图所示的流程图,若输出的结果是15,则判断框中的横线上可以填入的最大整数为________.
答案:49
解析:算法流程图在循环体中运行过程如下:
条件
Y
Y
Y
Y
Y
Y
Y
N
s
0+1=1
1+3=4
4+5=9
9+7=16
16+9=25
25+11=36
36+13=49
输出
i
1+2=3
3+2=5
5+2=7
7+2=9
9+2=11
11+2=13
13+2=15
15
判断框中的横线上可以填入的最大整数为49.
题型2 算法伪代码的算法功能
例2 (2013·南通一模)根据如图所示的伪代码,最后输出的S的值为________.
S→0
For I From 1 to 28 Step 3
S←S+I
End For
Print S
答案:145
解析:由算法伪代码知,此算法为计算首项为1,公差为3的等差数列的前10项的和,所以S=1+4+…+28==145.
(2013苏州调研)如下一段伪代码中,Int(x)表示不超过x的最大整数,若输入m=6,n=4,则最终输出的结果n为________.
Read m,n
While ≠Int
c←m-n×Int
m←n
n←c
End While
Print n
答案:2
解析:输入m=6,n=4时,==,而Int=Int=1,显然≠Int,进行循环体,执行c=m-n×Int=6-4×1=2,并将m←4,n←2;从而==2,Int=Int=2,判断条件=Int,退出循环,故输出n=2.
题型3 算法与相关知识的交汇
例3 如图是讨论三角函数某个性质的程序框图,若输入ai=sinπ(i∈N*),则输出的i的值是________.
答案:22
解析:根据流程图所示的算法,可知:该程序的作用是计算:S=a1+a2+…+an=sin+sin+…+sin,并判断满足条件S≤0的最小整数i-1的值.
结合三角函数的正弦线可得:
S=sin+sin+…+sin>0,S=sin+sin+…+sin=0,故满足条件的i值为22,故答案为22.
(2013·合肥模拟改)如图所示,算法流程图输出的n为________.
答案:13
解析:由框图可知,该程序为求数列an=的前n项和大于零的n的最小值,由an的形式可知:S12=0,a13>0,S13>0,所以输出的n值为13.
1. (2013·盐城二模)如图,该程序运行后输出的结果为________.
(第1题图)
答案:16
解析:由流程图知,在循环体中执行运算:第一循环:b=2,a=2;第二循环:b=22=4,a=3;第三循环:b=24=16,a=4;不满足条件a<4,退出循环,故输出b=16.
2. 如图,Ni表示第i个学生的学号,Gi表示第i个学生的成绩,已知学号在1~10的学生的成绩依次为401、392、385、359、372、327、354、361、345、337,则打印出的第5组数据是________.
(第2题图)
答案:8,361
解析:本题流程图表示的算法功能是筛选成绩大于等于360分的学生,打印出他们的学号和成绩,所以打印出的第5组数据是8,361.
3. (2013·北京(改))执行如图所示的程序框图,输出的S=________.
(第3题图)
答案:
解析:执行第一次循环时S==,i=1;第二次循环S==,i=2,此时退出循环.故输出S=.
4. 如图是一个算法流程图,则输出的k=________.
(第4题图)
答案:5
解析:根据流程图所示的顺序,程序的运行过程中变量值变化如下表:
是否继续循环
k
k2-5k+4
循环前
0
0
第一圈
是
1
0
第二圈
是
2
-2
第三圈
是
3
-2
第四圈
是
4
0
第五圈
是
5
4
第六圈
否
输出
5
∴ 最终输出结果k=5.
1. (2013·苏锡常一模) 根据下图所示的伪代码,输出的结果T为________.
T←1
I←3
While I<20
T←T+Ⅰ
I←I+2
End While
Print T
答案:100
解析:图中伪代码表示的算法是T=1+3+5+…+19==100,所以输出T=100.
2. 定义一种新运算“”:S=ab,其运算原理为如图的程序框图所示,则式子54-36=________.
答案:1
解析:由框图可知S=从而可得54-36=5×(4+1)-(3+1)×6=1.
3. (2013·西亭期中)如下给出的是一个与定义在R上f(x)=x3+sinx相关的算法语言,一个公差不为零的等差数列{an},使得该程序能正常运行且输出的结果恰好为0,请写出一个符合条件的数列{an}的通项公式_______.
n←1 S←0
While i≤10
x←an
S←S+f(x)
n←n+1
End Whlie
Print S
答案:an=n-5.5等 (答案不唯一)
解析:易见f(x)是奇函数,而由题意,要使f(a1)+f(a2)+…+f(a10)=0,可考虑f(ai)+f(a11-i)=0(i=1,2,3,4,5),由于{an}是等差数列,因而又可考虑ai+a11-i=0(i=1,2,3,4,5),如an=2n-11,an=n-5.5等(答案不唯一).
4. 货物运输价格P(元)与运输距离s(km)有关,按下列公式定价(P为每吨货物每千米的运价)
P=现输入s和货物的吨数ω,画出计算总运费的流程图.
解:流程图如图所示:
1. 求解伪代码问题的基本思路
关键是理解基本算法语言.在一个赋值语句中,只能给一个变量赋值,同一个变量的多次赋值的结果以算法顺序的最后一次为准.对于条件语句要注意准确判断和语句格式的完整性理解.对于循环语句,要注意是“N”循环,还是“Y”循环,弄清何时退出循环.
2. 注意算法与其他知识的综合交汇,特别是用流程图来设计数列的求和是高考的常考题型.数列的求和计算问题是典型的算法问题,要求能看懂流程图和伪代码,能把流程图或伪代码转化为数列问题,体现了化归的思想方法.