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- 2021-05-14 发布
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2009 年普通高等学校招生全国统一考试
全国卷 I 理科数学(必修+选修Ⅱ)
本试卷分第。卷(选择题)和第。卷(非选择题)两部分.第。卷 1 至 2 页,第。卷 3
至 4 页.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷
考生注意:
1.答题前,考生在答题卡上务必用 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、
填写清楚 ,并贴好条形码.请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目.
2.每小题选出答案后,用 2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用
橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.
3.本卷共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符
合题目要求的.
参考公式:
如果事件 互斥,那么 球的表面积公式
如果事件 相互独立,那么 其中 表示球的半径
球的体积公式
如果事件 在一次试验中发生的概率是 ,那么
次独立重复试验中恰好发生 次的概率 其中 表示球的半径
一、选择题
(1)设集合 A={4,5,7,9},B={3,4,7,8,9},全集 U=A B,则集合 中的元
素共有(A)
(A)3 个 (B)4 个 (C)5 个 (D)6 个
解: , 故选 A。也可用摩根律:
(2)已知 =2+i,则复数 z=(B )
(A)-1+3i (B)1-3i(C)3+i(D)3-i
A B,
( ) ( ) ( )P A B P A P B+ = + 24πS R=
A B, R
( ) ( ) ( )P A B P A P B=
A P 34 π3V R=
n k R
[ ( )u A B
{3,4,5,7,8,9}A B = {4,7,9} ( ) {3,5,8}UA B C A B= ∴ =
( ) ( ) ( )U U UC A B C A C B=
1 i
Z
+
解: 故选 B。
(3) 不等式 <1 的解集为( D )
(A){x (B)
(C) (D)
解:验 x=-1 即可。
(4)设双曲线 (a>0,b>0)的渐近线与抛物线 y=x2 +1 相切,则该双曲线的离心率
等于( C )
(A) (B)2(C) (D)
解:设切点 ,则切线的斜率为 .由题意有 又
解得: .
(5) 甲组有 5 名男同学,3 名女同学;乙组有 6 名男同学、2 名女同学。若从甲、乙两组中各
选出 2 名同学,则选出的 4 人中恰有 1 名女同学的不同选法共有( D )
(A)150 种 (B)180 种 (C)300 种 (D)345 种
解: 分两类(1) 甲组中选出一名女生有 种选法;
(2) 乙组中选出一名女生有 种选法.故共有 345 种选法.选 D
(6)设 、 、 是单位向量,且 · =0,则 的最小值为 ( D )
(A) (B) (C) (D)
解: 是单位向量
故 选
D.
(7)已知三棱柱 的侧棱与底面边长都相等, 在
(1 ) (2 ) 1 3 , 1 3z i i i z i= + ⋅ + = + ∴ = −
1
1
X
X
+
−
} { }0 1 1x x x〈 〈 〉 { }0 1x x〈 〈
{ }1 0x x− 〈 〈 { }0x x〈
2 2
2 2 1x y
a b
− =
3 5 6
0 0( , )P x y 0
'
0| 2x xy x= = 0
0
0
2y xx
= 2
0 0 1y x= +
2 2
0 1, 2, 1 ( ) 5b bx ea a
= ∴ = = + =
1 1 2
5 3 6 225C C C⋅ ⋅ =
2 1 1
5 6 2 120C C C⋅ ⋅ =
a b c a b ( ) ( )a c b c− • −
2− 2 2− 1− 1 2−
, ,a b c
( ) ( ) 2
( )a c b c a b a b c c∴ − • − = − + +
| | | 1 2 cos , 1 21 | a b c a b c+ = − <= − + >≥ −
1 1 1ABC A B C− 1A
B
C
B
C
A1 1
1
A
D
底面 上的射影为 的中点,则异面直线 与 所成的角的余弦值为( D )
(A) (B) (C) (D)
解:设 的中点为 D,连结 D,AD,易知 即为异面直线 与 所成的角,
由三角余弦定理,易知 .故选 D
(8)如果函数 的图像关于点 中心对称,那么 的最小值为
(A)(A) (B) (C) (D)
解: 函数 的图像关于点 中心对称
由此易得 .故选 A
(9) 已知直线 y=x+1 与曲线 相切,则α的值为( B )
(A)1 (B)2 (C) -1 (D)-2
解:设切点 ,则 ,又
.故答案选 B
(10)已知二面角α-l-β为 ,动点 P、Q 分别在面α、β内,P 到β的距离为 ,Q 到α
的距离为 ,则 P、Q 两点之间距离的最小值为( C )
(A) (B)2 (C) (D)4
解:如图分别作
,连
,
又
当且仅当 ,即 重合时取最小值。故答案选 C。
ABC BC AB 1CC
3
4
5
4
7
4
3
4
BC 1A 1A ABθ = ∠ AB 1CC
1
1
3coc s 4os cos AD ADA AD DAB A A AB
θ = ∠ ∠⋅ = ⋅ =
( )cos 2y x φ=3 + 4
3
π
,0 | |ϕ
6
π
4
π
3
π
2
π
( )cos 2y x φ=3 + 4
3
π
,0
42 3 2k
π πφ π∴ ⋅ + = + 13 ( )6k k Z
πφ π∴ = − ∈ min| | 6
πφ =
y ln( )x a= +
0 0( , )P x y 0 0 0 0ln1, ( )y x ay x= + = +
0
'
0
1| 1x xy x a= = =+
0 0 01 0, 1 2x a y x a∴ + = ∴ = = − ∴ =
60 3
2 3
2 3
, , ,QA A AC l C PB Bα β⊥ ⊥ ⊥于 于 于
PD l D⊥ 于 , 60 ,CQ BD ACQ PBD∠ = ∠ = °则
2 3, 3AQ BP= = 2AC PD∴ = =
2 2 212 2 3PQ AQ AP AP= + = + ≥
0AP = A P点 与点
Q
A
P
B C
D
(11)函数 的定义域为 R,若 与 都是奇函数,则( D )
(A) 是偶函数 (B) 是奇函数 (C) (D) 是奇函数
解: 与 都是奇函数, ,
函数 关于点 ,及点 对称,函数 是周期 的周期函
数. , ,即 是奇函数。故选 D
12.已知椭圆 的右焦点为 ,右准线为 ,点 ,线段 交 于点 ,若
,则 =
(A). (B). 2 (C). (D). 3
解:过点 B 作 于 M,并设右准线 与 X 轴的交点为 N,易知 FN=1.由题意 ,故
.又由椭圆的第二定义,得 .故选 A
第 II 卷
二、填空题:
13. 的展开式中, 的系数与 的系数之和等于 。
解:
14. 设等差数列 的前 项和为 ,若 ,则 = 。
解: 是等差数列,由 ,得
.
15. 直 三 棱 柱 的 各 顶 点 都 在 同 一 球 面 上 , 若 ,
,则此球的表面积等于 。
解:在 中 , ,可得 ,由正弦定理,可得 外接
圆半径 r=2,设此圆圆心为 ,球心为 ,在 中,易得球半径 ,故此
球的表面积为 .
( )f x ( 1)f x + ( 1)f x −
( )f x ( )f x ( ) ( 2)f x f x= + ( 3)f x +
( 1)f x + ( 1)f x − ( 1) ( 1), ( 1) ( 1)f x f x f x f x∴ − + = − + − − = − −
∴ ( )f x (1,0) ( 1,0)− ( )f x 2[1 ( 1)] 4T = − − =
( 1 4) ( 1 4)f x f x∴ − − + = − − + ( 3) ( 3)f x f x− + = − + ( 3)f x +
2
2: 12
xC y+ = F l A l∈ AF C B
3FA FB= | |AF
2 3
BM l⊥ l 3FA FB=
2| | 3BM = 2 2 2| | 2 3 3BF = ⋅ = | | 2AF∴ =
( )10x y− 7 3x y 3 7x y
3 7 3
10 10 10( ) 2 240C C C− + − = − = −
{ }na n nS 9 72S = 2 4 9a a a+ +
{ }na 9 72S = 59 9 ,S a∴ = 5 8a =
∴ 2 4 9 2 9 4 5 6 4 5( ) ( ) 3 24a a a a a a a a a a+ + = + + = + + = =
1 1 1ABC A B C− 1 2AB AC AA= = =
120BAC∠ = °
ABC∆ 2AB AC= = 120BAC∠ = ° 2 3BC = ABC∆
O′ O RT OBO′∆ 5R =
24 20Rπ π=
16. 若 ,则函数 的最大值为 。
解:令 ,
三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
17(本小题满分 10 分)(注意:在试题卷上作答无效)
在 中 , 内 角 A 、 B 、 C 的 对 边 长 分 别 为 、 、 , 已 知 , 且
求 b
分析:此题事实上比较简单,但考生反应不知从何入手.对已知条件(1) 左侧
是 二 次 的 右 侧 是 一 次 的 , 学 生 总 感 觉 用 余 弦 定 理 不 好 处 理 , 而 对 已 知 条 件 (2)
过多的关注两角和与差的正弦公式,甚至有的学生还想用现在已
经不再考的积化和差,导致找不到突破口而失分.
解 法 一 : 在 中 则 由 正 弦 定 理 及 余 弦 定 理 有 :
化 简 并 整 理 得 : . 又 由 已 知
.解得 .
解法二:由余弦定理得: .又 , 。
所以 …………………………………①
又 ,
,即
由正弦定理得 ,故 ………………………②
由①,②解得 。
评析:从 08 年高考考纲中就明确提出要加强对正余弦定理的考查.在备考中应注意总结、提高
自己对问题的分析和解决能力及对知识的灵活运用能力.另外提醒:两纲中明确不再考
的知识和方法了解就行,不必强化训练。
4 2x
π π< < 3tan 2 tany x x=
tan ,x t= 14 2x t
π π< < ∴ >
4 4
3
2 2
2
4 2 2
2tan 2 2 2 2tan 2 tan 81 1 1 1 1 11 tan 1 ( )2 4 4
x ty x x x t
t t t
∴ = = = = = ≤ = −− − − − − −
ABC∆ a b c 2 2 2a c b− =
sin cos 3cos sin ,A C A C=
2 2 2a c b− =
sin cos 3cos sin ,A C A C=
ABC∆ sin cos 3cos sin ,A C A C=
2 2 2 2 2 2
3 ,2 2
a b c b c aa cab bc
+ − + −=
2 2 22( )a c b− =
2 2 2a c b− = 24b b∴ = 4 0(b b= =或 舍)
2 2 2 2 cosa c b bc A− = − 2 2 2a c b− = 0b ≠
2 cos 2b c A= +
sin cos 3cos sinA C A C= sin cos cos sin 4cos sinA C A C A C∴ + =
sin( ) 4cos sinA C A C+ = sin 4cos sinB A C=
sin sinbB Cc
= 4 cosb c A=
4b =
18.(本小题满分 12 分)(注意:在试题卷上作答无效)
如图,四棱锥 中,底面 为矩形, 底面 ,
,点 M 在侧棱 上, =60°
(I)证明:M 在侧棱 的中点
(II)求二面角 的大小。
(I)解法一:作 ∥ 交 于 N,作 交 于 E,
连 ME、NB,则 面 , ,
设 ,则 ,
在 中, 。
在 中由
解得 ,从而 M 为侧棱 的中点 M.
解法二:过 作 的平行线.
解法三:利用向量处理. 详细可见 09 年高考参考答案.
(II)分析一:利用三垂线定理求解。在新教材中弱化了三
垂线定理。这两年高考中求二面角也基本上不用三垂线定理的
方法求作二面角。
过 作 ∥ 交 于 ,作 交 于 ,
作 交 于 , 则 ∥ , 面 ,
面 面 , 面 即为所求二面
角的补角.
分析二:利用二面角的定义。在等边三角形 中过点 作 交 于点
,则点 为 AM 的中点,取 SA 的中点 G,连 GF,易证 ,则 即为所求二
面角.
分析三:利用空间向量求。在两个半平面内分别与交线 AM 垂直的两个向量的夹角即可。
另外:利用射影面积或利用等体积法求点到面的距离等等,这些方法也能奏效。
总之在目前,立体几何中的两种主要的处理方法:传统方法与向量的方法仍处于各自半
壁江山的状况。命题人在这里一定会照顾双方的利益。
19.(本小题满分 12 分)(注意:在试题卷上作答无效)
S ABCD− ABCD SD ⊥ ABCD 2AD =
2DC SD= = SC ABM∠
SC
S AM B− −
MN SD CD NE AB⊥ AB
MN ⊥ ABCD ME AB⊥ 2NE AD= =
MN x= NC EB x= =
RT MEB∆ 60MBE∠ = ° 3ME x∴ =
RT MNE∆ 2 2 2ME NE MN= + 2 23 2x x∴ = +
1x = 1
2MN SD= ∴ SC
M CD
M MJ CD SD J SH AJ⊥ AJ H
HK AM⊥ AM K JM CD JM ⊥ SAD
SAD ⊥ MBA SH ⊥ AMB ∴ SKH∠
ABM B BF AM⊥ AM
F F GF AM⊥ GFB∠
N
E
F
G k
HJ
甲、乙二人进行一次围棋比赛,约定先胜 3 局者获得这次比赛的胜利,比赛结束,假
设在一局中,甲获胜的概率为 0.6,乙获胜的概率为 0.4,各局比赛结果相互独立,已知前 2
局中,甲、乙各胜 1 局。
(I)求甲获得这次比赛胜利的概率;
(II)设 表示从第 3 局开始到比赛结束所进行的局数,求 得分布列及数学期望。
分析:本题较常规,比 08 年的概率统计题要容易。
需提醒的是:认真审题是前提,部分考生由于考虑了前两局的概率而导致失分,这是很
可惜的,主要原因在于没读懂题。
另外,还要注意表述,这也是考生较薄弱的环节。
20.(本小题满分 12 分)(注意:在试题卷上作答无效)
在数列 中,
(I)设 ,求数列 的通项公式
(II)求数列 的前 项和
分析:(I)由已知有
利用累差迭加即可求出数列 的通项公式: ( )
(II)由(I)知 ,
=
而 ,又 是一个典型的错位相减法模型,
易得 =
评析:09 年高考理科数学全国(一)试题将数列题前置,考查构造新数列和利用错位相减法求前
n 项和,一改往年的将数列结合不等式放缩法问题作为押轴题的命题模式。具有让考生和一线
教师重视教材和基础知识、基本方法基本技能,重视两纲的导向作用。也可看出命题人在有意
识降低难度和求变的良苦用心。
21(本小题满分 12 分)(注意:在试题卷上作答无效)
ξ ξ
{ }na 1 1
1 11, (1 ) 2n n n
na a an+
+= = + +
n
n
ab n
= { }nb
{ }na n nS
1 1
1 2
n n
n
a a
n n
+ = ++ 1
1
2n n nb b+∴ − =
{ }nb 1
12 2n nb −= − *n N∈
12 2n n
na n −= −
∴ nS 1
1
(2 )2
n
k
k
kk −
=
−∑ 1
1 1
(2 ) 2
n n
k
k k
kk −
= =
= −∑ ∑
1
(2 ) ( 1)
n
k
k n n
=
= +∑ 1
1 2
n
k
k
k
−
=
∑
1 1
1
242 2
n
k n
k
k n
− −
=
+= −∑ ∴ nS ( 1)n n + 1
2 42n
n
−
++ −
如图,已知抛物线 与圆 相交于 、 、 、 四
个点。
(I)求 得取值范围;
(II)当四边形 的面积最大时,求对角线 、 的交点 坐标
分析:(I)这一问学生易下手。将抛物线 与圆 的方程
联立,消去 ,整理得 .............(*)
抛物线 与圆 相交于 、 、 、 四个点的
充要条件是:方程(*)有两个不相等的正根即可.易得 .考生利用数形结合
及函数和方程的思想来处理也可以.
(II)考纲中明确提出不考查求两个圆锥曲线的交点的坐标。因此利用设而不求、整体代入的
方法处理本小题是一个较好的切入点.
设四个交点的坐标分别为 、 、 、 。
则由(I)根据韦达定理有 ,
则
令 ,则 下面求 的最大值。
方法一:利用三次均值求解。三次均值目前在两纲中虽不要求,但在处理一些最值问题有时
很方便。它的主要手段是配凑系数或常数,但要注意取等号的条件,这和二次均值类似。
当且仅当 ,即 时取最大值。经检验此时 满足题意。
方法二:利用求导处理,这是命题人的意图。具体解法略。
下面来处理点 的坐标。设点 的坐标为:
2:E y x= 2 2 2:( 4) ( 0)M x y r r− + = > A B C D
r
ABCD AC BD P
2:E y x= 2 2 2:( 4) ( 0)M x y r r− + = >
2y 2 27 16 0x x r− + − =
2:E y x= 2 2 2:( 4) ( 0)M x y r r− + = > A B C D
15( ,4)2r ∈
1 1( , )A x x 1 1( , )B x x− 2 2( , )C x x− 2 2( , )D x x
2
1 2 1 27, 16x x x x r+ = = − 15( ,4)2r ∈
2 1 1 2 2 1 1 2
1 2 | | ( ) | | ( )2S x x x x x x x x= ⋅ ⋅ − + = − +
2 2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2[( ) 4 ]( 2 ) (7 2 16 )(4 15)S x x x x x x x x r r∴ = + − + + = + − −
216 r t− = 2 2(7 2 ) (7 2 )S t t= + − 2S
2 2 1(7 2 ) (7 2 ) (7 2 )(7 2 )(14 4 )2S t t t t t= + − = + + −
3 31 7 2 7 2 14 4 1 28( ) ( )2 3 2 3
t t t+ + + + −≤ = ⋅
7 2 14 4t t+ = − 7
6t = 15( ,4)2r ∈
P P ( ,0)pP x
由 三点共线,则 得 。
以下略。
22. 本小题满分 12 分。(注意:在试题卷上作答无效)
设 函 数 在 两 个 极 值 点 , 且
(I)求 满足的约束条件,并在下面的坐标平面内,画
出满足这些条件的点 的区域;
(II)证明:
分析(I)这一问主要考查了二次函数根
的分布及线性规划作可行域的能力。
大 部 分 考 生 有 思 路 并 能 够 得 分 。
由 题 意 知 方 程
有两个根
则有
故有
右图中阴影部分
即是满足这些条件的
点 的区域。
(II)这一问考生不易得分,有一定的区分度。主要原因是含字母较多,不易找到突破口。此
题主要利用消元的手段,消去目标 中的 ,(如果消 会较繁琐)
再利用 的范围,并借助(I)中的约束条件得 进而求解,有较强的技巧性。
解: 由题意有 ............①
又 .....................②
A P C、 、 1 2 1
1 2 1 p
x x x
x x x x
+ =− − 1 2
7
6px x x t= = =
( ) 3 23 3f x x bx cx= + + 1 2x x、
1 2[ 1 0], [1,2].x x∈ − ∈,
b c、
( ),b c
( )2
110 2f x− ≤ ≤ −
( ) 23 6 3f x x bx c′ = + +
( ) 0f x′ = 1 2x x、
1 [ 1 0],x ∈ −且 , 2 [1,2].x ∈ ( )1 0f ′ − ≥ ,
( )0 0f ′ ≤ , ( ) ( )1 0 2 0f f′ ′≤ ≥,
( ),b c
( ) 3 2
2 2 2 23 3f x x bx cx= + + b c
2x [ 2,0]c∈ −
( ) 2
2 2 23 6 3 0f x x bx c′ = + + =
( ) 3 2
2 2 2 23 3f x x bx cx= + +
c
b
消去 可得 .
又 ,且
b ( ) 3
2 2 2
1 3
2 2
cf x x x= − +
2 [1,2]x ∈ [ 2,0]c∈ − 2
110 ( ) 2f x∴− ≤ ≤ −