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- 2021-05-14 发布
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2013年普通高等学校统一考试试题(江苏卷)
一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分。请把答案填写在答题卡相印位置上。
1.函数的最小正周期为.
【答案】π
【解析】T=||=||=π.
2.设(为虚数单位),则复数的模为.
【答案】5
【解析】z=3-4i,i2=-1,| z |==5.
3.双曲线的两条渐近线的方程为.
【答案】
【解析】令:,得.
4.集合共有个子集.
【答案】8
【解析】23=8.
5.右图是一个算法的流程图,则输出的的值是.
【答案】3
【解析】n=1,a=2,a=4,n=2;a=10,n=3;a=28,n=4.
6.抽样统计甲、乙两位设计运动员的5此训练成绩(单位:环),结果如下:
运动员
第一次
第二次
第三次
第四次
第五次
甲
87
91
90
89
93
乙
89
90
91
88
92
则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为.
【答案】2
【解析】易得乙较为稳定,乙的平均值为:.
方差为:.
7.现在某类病毒记作,其中正整数,(,)可以任意选取,则
都取到奇数的概率为.
【答案】
【解析】m取到奇数的有1,3,5,7共4种情况;n取到奇数的有1,3,5,7,9共5种情况,则都取到奇数的概率为.
8.如图,在三棱柱中,分别是的中点,设三棱锥的体积为,三棱柱的体积为,则.
【答案】1:24
【解析】三棱锥与三棱锥的相似比为1:2,故体积之比为1:8.
又因三棱锥与三棱柱的体积之比为1:3.所以,三棱锥与三棱柱的体积之比为1:24.
9.抛物线在处的切线与两坐标轴围成三角形区域为(包含三角形内部和边界) .若点是区域内的任意一点,则的取值范围是.
【答案】[—2,]
【解析】抛物线在处的切线易得为y=2x—1,令z=,y=—x+.
画出可行域如下,易得过点(0,—1)时,zmin=—2,过点(,0)时,zmax=.
y
x
O
y=2x—1
y=—x
10.设分别是的边上的点,,,
若(为实数),则的值为.
【答案】
【解析】
所以,,,.
11.已知是定义在上的奇函数。当时,,则不等式 的解集用区间表示为.
【答案】(﹣5,0)∪(5,﹢∞)
【解析】做出 ()的图像,如下图所示。由于是定义在上的奇函数,利用奇函数图像关于原点对称做出x<0的图像。不等式,表示函数y=的图像在y=x的上方,观察图像易得:解集为(﹣5,0)∪(5,﹢∞)。
x
y
y=x
y=x2—4 x
P(5,5)
Q(﹣5, ﹣5)
12.在平面直角坐标系中,椭圆的标准方程为,右焦点为
,右准线为,短轴的一个端点为,设原点到直线的距离为,到的距离为,若,则椭圆的离心率为.
y
x
l
B
F
O
c
b
a
【答案】
【解析】如图,l:x=,=-c=,由等面积得:=。若,则=,整理得:,两边同除以:,得:
,解之得:=,所以,离心率为:.
13.在平面直角坐标系中,设定点,是函数()图象上一动点,
若点之间的最短距离为,则满足条件的实数的所有值为.
【答案】1或
【解析】
14.在正项等比数列中,,,则满足的
最大正整数的值为.
【答案】12
【解析】设正项等比数列首项为a1,公比为q,则:,得:a1=,q=2,an=26-n.记,.,则,化简得:,当时,.当n=12时,,当n=13时,,故nmax=12.
二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分14分)
已知,.
(1)若,求证:;
(2)设,若,求的值.
解:(1)a-b=(cosα-cosβ,sinα-sinβ),
|a-b|2=(cosα-cosβ)2+(sinα-sinβ)2=2-2(cosα·cosβ+sinα·sinβ)=2,
所以,cosα·cosβ+sinα·sinβ=0,
所以,.
(2),①2+②2得:cos(α-β)=-.
所以,α-β=,α=+β,
带入②得:sin(+β)+sinβ=cosβ+sinβ=sin(+β)=1,
所以,+β=.
所以,α=,β=.
16.(本小题满分14分)
如图,在三棱锥中,平面平面,,,过作,垂足为,点分别是棱的中点.求证:
(1)平面平面;
(2).
证:(1)因为SA=AB且AF⊥SB,
所以F为SB的中点.
又E,G分别为SA,SC的中点,
所以,EF∥AB,EG∥AC.
又AB∩AC=A,AB面SBC,AC面ABC,
所以,平面平面.
(2)因为平面SAB⊥平面SBC,平面SAB∩平面SBC=BC,
AF平面ASB,AF⊥SB.
所以,AF⊥平面SBC.
又BC平面SBC,
所以,AF⊥BC.
又AB⊥BC,AF∩AB=A,
所以,BC⊥平面SAB.
又SA平面SAB,
所以,.
17.x
y
A
l
O
(本小题满分14分)
如图,在平面直角坐标系中,点,直线.
设圆的半径为,圆心在上.
(1)若圆心也在直线上,过点作圆的切线,
求切线的方程;
(2)若圆上存在点,使,求圆心的横坐
标的取值范围.
解:(1)联立:,得圆心为:C(3,2).
设切线为:,
d=,得:.
故所求切线为:.
(2)设点M(x,y),由,知:,
化简得:,
即:点M的轨迹为以(0,1)为圆心,2为半径的圆,可记为圆D.
又因为点在圆上,故圆C圆D的关系为相交或相切.
故:1≤|CD|≤3,其中.
解之得:0≤a≤.
18.(本小题满分16分)
如图,游客从某旅游景区的景点处下山至处有两种路径。一种是从沿直线步行
到,另一种是先从沿索道乘缆车到,然后从沿直线步行到.现有甲、乙两
位游客从处下山,甲沿匀速步行,速度为.在甲出发后,乙从
乘缆车到,在处停留后,再从匀速步行到.假设缆车匀速直线运动的
速度为,山路长为,经测量,,.
(1)求索道的长;
(2)问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短?
(3)为使两位游客在处互相等待的时间不超过分钟,
C
B
A
D
M
N
乙步行的速度应控制在什么范围内?
解:(1)如图作BD⊥CA于点D,
设BD=20k,则DC=25k,AD=48k,
AB=52k,由AC=63k=1260m,
知:AB=52k=1040m.
(2)设乙出发x分钟后到达点M,
此时甲到达N点,如图所示.
则:AM=130x,AN=50(x+2),
由余弦定理得:MN2=AM2+AN2-2 AM·ANcosA=7400 x2-14000 x+10000,
其中0≤x≤8,当x=(min)时,MN最小,此时乙在缆车上与甲的距离最短.
(3)由(1)知:BC=500m,甲到C用时:=(min).
若甲等乙3分钟,则乙到C用时:+3= (min),在BC上用时: (min) .
此时乙的速度最小,且为:500÷=m/min.
若乙等甲3分钟,则乙到C用时:-3= (min),在BC上用时: (min) .
此时乙的速度最大,且为:500÷=m/min.
故乙步行的速度应控制在[,]范围内.
19.(本小题满分16分)
设是首项为,公差为的等差数列,是其前项和.记,
,其中为实数.
(1)若,且成等比数列,证明:();
(2)若是等差数列,证明:.
证:(1)若,则,,.
当成等比数列,,
即:,得:,又,故.
由此:,,.
故:().
(2),
. (※)
若是等差数列,则型.
观察(※)式后一项,分子幂低于分母幂,
故有:,即,而≠0,
故.
经检验,当时是等差数列.
20.(本小题满分16分)
设函数,,其中为实数.
(1)若在上是单调减函数,且在上有最小值,求的取值范围;
(2)若在上是单调增函数,试求的零点个数,并证明你的结论.
解:(1)≤0在上恒成立,则≥,.
故:≥1.
,
若1≤≤e,则≥0在上恒成立,
此时,在上是单调增函数,无最小值,不合;
若>e,则在上是单调减函数,在上是单调增函数,,满足.
故的取值范围为:>e.
(2)≥0在上恒成立,则≤ex,
故:≤.
.
(ⅰ)若0<≤,令>0得增区间为(0,);
令<0得减区间为(,﹢∞).
当x→0时,f(x)→﹣∞;当x→﹢∞时,f(x)→﹣∞;
当x=时,f()=﹣lna-1≥0,当且仅当=时取等号.
故:当=时,f(x)有1个零点;当0<<时,f(x)有2个零点.
(ⅱ)若a=0,则f(x)=﹣lnx,易得f(x)有1个零点.
(ⅲ)若a<0,则在上恒成立,
即:在上是单调增函数,
当x→0时,f(x)→﹣∞;当x→﹢∞时,f(x)→﹢∞.
此时,f(x)有1个零点.
综上所述:当=或a<0时,f(x)有1个零点;当0<<时,f(x)有2个零点.
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