江苏高考数学含答案 12页

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  • 2021-05-14 发布

江苏高考数学含答案

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‎2013年普通高等学校统一考试试题(江苏卷)‎ 一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分。请把答案填写在答题卡相印位置上。‎ ‎1.函数的最小正周期为.‎ ‎【答案】π ‎【解析】T=||=||=π.‎ ‎2.设(为虚数单位),则复数的模为.‎ ‎【答案】5‎ ‎【解析】z=3-4i,i2=-1,| z |==5.‎ ‎3.双曲线的两条渐近线的方程为.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】令:,得.‎ ‎4.集合共有个子集.‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】23=8.‎ ‎5.右图是一个算法的流程图,则输出的的值是.‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】n=1,a=2,a=4,n=2;a=10,n=3;a=28,n=4.‎ ‎6.抽样统计甲、乙两位设计运动员的5此训练成绩(单位:环),结果如下:‎ 运动员 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 甲 ‎87‎ ‎91‎ ‎90‎ ‎89‎ ‎93‎ 乙 ‎89‎ ‎90‎ ‎91‎ ‎88‎ ‎92‎ 则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】易得乙较为稳定,乙的平均值为:.‎ 方差为:.‎ ‎7.现在某类病毒记作,其中正整数,(,)可以任意选取,则 都取到奇数的概率为.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】m取到奇数的有1,3,5,7共4种情况;n取到奇数的有1,3,5,7,9共5种情况,则都取到奇数的概率为.‎ ‎8.如图,在三棱柱中,分别是的中点,设三棱锥的体积为,三棱柱的体积为,则.‎ ‎【答案】1:24‎ ‎【解析】三棱锥与三棱锥的相似比为1:2,故体积之比为1:8.‎ 又因三棱锥与三棱柱的体积之比为1:3.所以,三棱锥与三棱柱的体积之比为1:24.‎ ‎9.抛物线在处的切线与两坐标轴围成三角形区域为(包含三角形内部和边界) .若点是区域内的任意一点,则的取值范围是.‎ ‎【答案】[—2,]‎ ‎【解析】抛物线在处的切线易得为y=2x—1,令z=,y=—x+.‎ 画出可行域如下,易得过点(0,—1)时,zmin=—2,过点(,0)时,zmax=.‎ y x O y=2x—1‎ y=—x ‎10.设分别是的边上的点,,,‎ 若(为实数),则的值为.‎ ‎【答案】 ‎【解析】‎ 所以,,,.‎ ‎11.已知是定义在上的奇函数。当时,,则不等式 的解集用区间表示为.‎ ‎【答案】(﹣5,0)∪(5,﹢∞)‎ ‎【解析】做出 ()的图像,如下图所示。由于是定义在上的奇函数,利用奇函数图像关于原点对称做出x<0的图像。不等式,表示函数y=的图像在y=x的上方,观察图像易得:解集为(﹣5,0)∪(5,﹢∞)。‎ x y y=x y=x2—4 x P(5,5)‎ Q(﹣5, ﹣5)‎ ‎12.在平面直角坐标系中,椭圆的标准方程为,右焦点为 ‎,右准线为,短轴的一个端点为,设原点到直线的距离为,到的距离为,若,则椭圆的离心率为.‎ y x l B F O c b a ‎【答案】‎ ‎【解析】如图,l:x=,=-c=,由等面积得:=。若,则=,整理得:,两边同除以:,得:‎ ‎,解之得:=,所以,离心率为:.‎ ‎13.在平面直角坐标系中,设定点,是函数()图象上一动点,‎ 若点之间的最短距离为,则满足条件的实数的所有值为.‎ ‎【答案】1或 ‎【解析】‎ ‎14.在正项等比数列中,,,则满足的 最大正整数的值为.‎ ‎【答案】12‎ ‎【解析】设正项等比数列首项为a1,公比为q,则:,得:a1=,q=2,an=26-n.记,.,则,化简得:,当时,.当n=12时,,当n=13时,,故nmax=12.‎ 二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎15.(本小题满分14分)‎ 已知,.‎ ‎(1)若,求证:;‎ ‎(2)设,若,求的值.‎ 解:(1)a-b=(cosα-cosβ,sinα-sinβ),‎ ‎|a-b|2=(cosα-cosβ)2+(sinα-sinβ)2=2-2(cosα·cosβ+sinα·sinβ)=2,‎ 所以,cosα·cosβ+sinα·sinβ=0,‎ 所以,.‎ ‎(2),①2+②2得:cos(α-β)=-.‎ 所以,α-β=,α=+β,‎ 带入②得:sin(+β)+sinβ=cosβ+sinβ=sin(+β)=1,‎ 所以,+β=.‎ 所以,α=,β=.‎ ‎16.(本小题满分14分)‎ 如图,在三棱锥中,平面平面,,,过作,垂足为,点分别是棱的中点.求证:‎ ‎(1)平面平面;‎ ‎(2).‎ 证:(1)因为SA=AB且AF⊥SB,‎ 所以F为SB的中点.‎ 又E,G分别为SA,SC的中点,‎ 所以,EF∥AB,EG∥AC.‎ 又AB∩AC=A,AB面SBC,AC面ABC,‎ 所以,平面平面.‎ ‎(2)因为平面SAB⊥平面SBC,平面SAB∩平面SBC=BC,‎ AF平面ASB,AF⊥SB.‎ 所以,AF⊥平面SBC.‎ 又BC平面SBC,‎ 所以,AF⊥BC.‎ 又AB⊥BC,AF∩AB=A,‎ 所以,BC⊥平面SAB.‎ 又SA平面SAB,‎ 所以,.‎ ‎17.x y A l O (本小题满分14分)‎ 如图,在平面直角坐标系中,点,直线.‎ 设圆的半径为,圆心在上.‎ ‎(1)若圆心也在直线上,过点作圆的切线,‎ ‎ 求切线的方程;‎ ‎(2)若圆上存在点,使,求圆心的横坐 ‎ 标的取值范围.‎ 解:(1)联立:,得圆心为:C(3,2).‎ 设切线为:,‎ d=,得:.‎ 故所求切线为:.‎ ‎(2)设点M(x,y),由,知:,‎ 化简得:,‎ 即:点M的轨迹为以(0,1)为圆心,2为半径的圆,可记为圆D.‎ 又因为点在圆上,故圆C圆D的关系为相交或相切.‎ 故:1≤|CD|≤3,其中.‎ 解之得:0≤a≤.‎ ‎18.(本小题满分16分)‎ 如图,游客从某旅游景区的景点处下山至处有两种路径。一种是从沿直线步行 到,另一种是先从沿索道乘缆车到,然后从沿直线步行到.现有甲、乙两 位游客从处下山,甲沿匀速步行,速度为.在甲出发后,乙从 乘缆车到,在处停留后,再从匀速步行到.假设缆车匀速直线运动的 速度为,山路长为,经测量,,.‎ ‎(1)求索道的长;‎ ‎(2)问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短?‎ ‎(3)为使两位游客在处互相等待的时间不超过分钟,‎ C B A D M N ‎ 乙步行的速度应控制在什么范围内?‎ 解:(1)如图作BD⊥CA于点D,‎ 设BD=20k,则DC=25k,AD=48k,‎ AB=52k,由AC=63k=1260m,‎ 知:AB=52k=1040m.‎ ‎(2)设乙出发x分钟后到达点M,‎ 此时甲到达N点,如图所示.‎ 则:AM=130x,AN=50(x+2),‎ 由余弦定理得:MN2=AM2+AN2-2 AM·ANcosA=7400 x2-14000 x+10000,‎ 其中0≤x≤8,当x=(min)时,MN最小,此时乙在缆车上与甲的距离最短.‎ ‎(3)由(1)知:BC=500m,甲到C用时:=(min).‎ 若甲等乙3分钟,则乙到C用时:+3= (min),在BC上用时: (min) .‎ 此时乙的速度最小,且为:500÷=m/min.‎ 若乙等甲3分钟,则乙到C用时:-3= (min),在BC上用时: (min) .‎ 此时乙的速度最大,且为:500÷=m/min.‎ 故乙步行的速度应控制在[,]范围内.‎ ‎19.(本小题满分16分)‎ 设是首项为,公差为的等差数列,是其前项和.记,‎ ‎,其中为实数.‎ ‎(1)若,且成等比数列,证明:();‎ ‎(2)若是等差数列,证明:.‎ 证:(1)若,则,,.‎ 当成等比数列,,‎ 即:,得:,又,故.‎ 由此:,,.‎ 故:().‎ ‎(2),‎ ‎. (※)‎ 若是等差数列,则型.‎ 观察(※)式后一项,分子幂低于分母幂,‎ 故有:,即,而≠0,‎ 故.‎ 经检验,当时是等差数列.‎ ‎20.(本小题满分16分)‎ 设函数,,其中为实数.‎ ‎(1)若在上是单调减函数,且在上有最小值,求的取值范围;‎ ‎(2)若在上是单调增函数,试求的零点个数,并证明你的结论.‎ 解:(1)≤0在上恒成立,则≥,.‎ 故:≥1.‎ ‎,‎ 若1≤≤e,则≥0在上恒成立,‎ 此时,在上是单调增函数,无最小值,不合;‎ 若>e,则在上是单调减函数,在上是单调增函数,,满足.‎ 故的取值范围为:>e.‎ ‎(2)≥0在上恒成立,则≤ex,‎ 故:≤.‎ ‎.‎ ‎(ⅰ)若0<≤,令>0得增区间为(0,);‎ 令<0得减区间为(,﹢∞).‎ 当x→0时,f(x)→﹣∞;当x→﹢∞时,f(x)→﹣∞;‎ 当x=时,f()=﹣lna-1≥0,当且仅当=时取等号.‎ 故:当=时,f(x)有1个零点;当0<<时,f(x)有2个零点.‎ ‎(ⅱ)若a=0,则f(x)=﹣lnx,易得f(x)有1个零点.‎ ‎(ⅲ)若a<0,则在上恒成立,‎ 即:在上是单调增函数,‎ 当x→0时,f(x)→﹣∞;当x→﹢∞时,f(x)→﹢∞.‎ 此时,f(x)有1个零点.‎ 综上所述:当=或a<0时,f(x)有1个零点;当0<<时,f(x)有2个零点.‎ www.ks5u.com