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  • 2021-05-14 发布

立体几何之与球有关的高考试题

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立体几何分类复习 一、球的相关知识 考试核心:方法主要是“补体”和“找球心”‎ ‎1.长方体、正方体的外接球其体对角线长为该球的直径. ‎ ‎2.正方体的内切球其棱长为球的直径. ‎ ‎3.正三棱锥的外接球中要注意正三棱锥的顶点、球心及底面正三角形中心共线. ‎ ‎4.正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1. ‎ ‎5.性质的应用,构造直角三角形建立三者之间的关系。‎ ‎1.(2015高考新课标2,理9)已知A,B是球O的球面上两点,∠AOB=90,C为该球面上的动点,若三棱锥O-ABC体积的最大值为36,则球O的表面积为( ) ‎ A.36π B.64π C.144π D.256π 参考答案 ‎2. ‎ ‎3. ‎ ‎4. ‎ 类型一:有公共底边的等腰三角形,借助余弦定理求球心角。(两题互换条件形成不同的题)‎ ‎1.如图球O的半径为2,圆是一小圆,,A、B是圆上两点,若A,B两点间的球面距离为,则= . ‎ ‎2.如图球O的半径为2,圆是一小圆,,A、B是圆上两点,若=,则A,B两点间的球面距离为 (2009年文科)‎ 类型二:球内接多面体,利用圆内接多边形的性质求出小圆半径,通常用到余弦定理求余弦值,通过余弦值再利用正弦定理得到小圆半径,从而解决问题。‎ ‎3. 直三棱柱的各顶点都在同一球面上,若, ,则此球的表面积等于 。‎ ‎4.正三棱柱内接于半径为的球,若两点的球面距离为,则正三棱柱的体积为  . ‎ ‎5.12.已知球的直径SC=4,A,B是该球球面上的两点,AB=,,则棱锥S—ABC的体积为 ‎ ‎ A. B. C. D.1‎ ‎6.(11)已知是球表面上的点,,,,,则球表面积等于 ‎ ‎(A)4 (B)3 (C)2 (D)‎ 类型三:通过线线角、线面角、面面角之间的平面的转化,构造勾股定理处理问题。‎ ‎7.15.设是球的半径,是的中点,过且与成45°角的平面截球的表面得到圆。若圆的面积等于,则球的表面积等于 .(2009年文科)‎ ‎8.已知平面α截一球面得圆M,过圆心M且与α成二面角的平面β截该球面得圆N.若该球面的半径为4,圆M的面积为4,则圆N的面积为 ‎ ‎ (A)7 (B)9 (C)11 (D)13‎ ‎9.(5)如果把地球看成一个球体,则地球上的北纬纬线长和赤道长的比值为 ‎ ‎(A)0.8 (B)0.75 (C)0.5 (D)0.25‎ 类型四:球内接多面体的相关元素之间的联系。‎ ‎10.圆柱形容器内部盛有高度为8 cm的水,若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后,水恰好淹没最上面的球(如图所示),则球的半径是 cm.(2010年理科)‎ ‎11.16.长方体的顶点均在同一个球面上,,,则,两点间的球面距离为 .‎ ‎12.体积为的一个正方体,其全面积与球的表面积相等,则球的体积等于 . ‎ ‎13.已知两个圆锥有公共底面,且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上.若圆锥底面面积是这个球面面积的,则这两个圆锥中,体积较小者的高与体积较大者的高的比值为_______. ‎ ‎14.如图,半径为R的球O中有一内接圆柱.当圆柱的侧面积最大是,求的表面积与改圆柱的侧面积之差是 . ‎ 类型五:平面几何性质在球中的综合应用。‎ ‎15.已知球的半径为4,圆与圆为该球的两个小圆,为圆与圆的公共弦,.若,则两圆圆心的距离 .‎ 类型六:性质的简单应用。‎ ‎16.已知为球的半径,过的中点且垂直于的平面截球面得到圆,若圆的面积为,则球的表面积等于______ _______.‎ ‎17.(15)已知矩形的顶点都在半径为4的球的球面上,且,则棱锥的体积为 。‎ ‎18.(9)高为的四棱锥S-ABCD的底面是边长为1的正方形,点S、A、B、C、D均在半径为1的同一球面上,则底面ABCD的中心与顶点S之间的距离为 (2011年理科)‎ ‎(A) (B) (C)1 (D) ‎ 参考答案:3、欲求球的表面积,归根结底求球半径,与相关的是重要性质。‎ ‎∵AA1=2, ∴。‎ 现将问题转化到⊙O2的半径之上。‎ 因为△ABC是⊙O2的内接三角形,又知AB=AC=2,∠BAC=120°,三角形可解。‎ 由余弦定理有,‎ 由正弦定理有 ‎∴ ∴。‎ ‎4、8 5、C 6 A 7问题的解决根本——求球半径。‎ ‎ 与相关的重要性质中,可求(∵ ∴)‎ ‎ 问题转化到求上 充分运用题目中未用的条件,,∠OMC=45°,∴‎ 于是求得,∴‎ ‎8 D 9、 C 10、 4 11、 12、 13、1/3 14、‎ ‎15、析:由OM=ON知,⊙M与⊙No为等圆,根据球中的重要性质∴‎ 又MH⊥AB得H为AB中点,∴BH=AH=2 ∴‎ ‎∵∠OMH=∠ONH=90°∴∠MON=π-∠MHN 由余弦定理有MN2=OM2+ON2-2OM·ON·cos∠MON ‎ MN2=MH2+NH2-2MH·NH·cos(π-∠MON)‎ 解得cos∠MON=,即∠MON=‎ ‎∴三角形OMN为等边三角形, ∴MN=3.‎ ‎16、16π 17、24 18、C 二、二面角的求法:‎ ‎1、如图,在四棱锥P-ABCD中,AB//CD,且.‎ ‎(1)证明:平面PAB⊥平面PAD;‎ ‎(2)若PA=PD=AB=DC,,求二面角A-PB-C的余弦值.‎ ‎2、如图,在平行六面体中,⊥平面,且,,.‎ ‎(1)求异面直线与所成角的余弦值;‎ ‎(2)求二面角的正弦值。‎ ‎ ‎ ‎1、(1)由已知,得,‎ 由于,故, 从而平面 又平面,所以平面平面 ‎(2)在平面内作,垂足为 由(1)可知,平面,故,‎ 可得平面 以为坐标原点,的方向为轴正方向,为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系 由(1)及已知可得 所以 设是平面的法向量,则 即 可取 设是平面的法向量,则 即 可取 则 所以二面角的余弦值为 ‎2、22.解:在平面内,过点作,交 于点 因为平面,‎ 所以 如图,以为正交基底,‎ 建立空间直角坐标系 因为,‎ 则 ‎(1)‎ 则 因此异面直线与所成角的余弦值为 ‎(2)平面的一个法向量为 设为平面的一个法向量,‎ 又 则即 不妨取,则,‎ 所以为平面的一个法向量,‎ 从而 设二面角的大小为,则 因为,所以 因此二面角的正弦值为 ‎1.函数在单调递减,且为奇函数.若,则满足的的取值范围是 A. B. C. D.‎ ‎1、D