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  • 2021-05-14 发布

人民教育出版版高考数学选修4125与圆有关的比例线段基础训练

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2013-2014 学年高中数学人教 A 版选修 4-1 知能达标演练:2-5 与圆 有关的比例线段 一、选择题 1.如图所示,PC 切⊙O 于 A,PO 的延长线交⊙O 于 B,BC 切⊙O 于 B,若 AC∶CP=1∶2,则 PO∶OB 等于 ( ). A.2∶1 B.1∶1 C.1∶2 D.1∶4 解析 连接 OA,则 OA⊥PC, ∴△PAO∽△PBC, ∴PO PC =OA BC ,即PO OA =PC BC , 又∵OA=OB,AC∶CP=1∶2,设 AC=x,则 CP=2x, ∴CA=x=BC,∴PO OA =2x x =2,∴PO∶OB=2∶1. 答案 A 2.如图所示,PA、PB 是⊙O 的两条切线,A、B 为切点,连接 OP 交 AB 于 C,连接 OA、OB,则图中等腰三角形、直角三角 形的个数分别为 ( ). A.1,2 B.2,2 C.2,6 D.1,6 解析 ∵PA、PB 为⊙O 切线,∴OA⊥AP,OB⊥PB, PA=PB,OP 平分∠APB,∴OP⊥AB. ∴直角三角形有 6 个,等腰三角形有 2 个. 即直角三角形有:△OAP,△OBP,△OCA,△OCB,△ACP,△CBP;等腰三角形有:△OAB, △ABP. 答案 C 3.设圆内两条相交弦,其中一弦长为 8 cm,且被交点平分,另一条弦被交点分成 1∶4 两 部分,则这条弦长是 ( ). A.2 cm B.8 cm C.10 cm D.12 cm 解析 由相交弦推论即可得. 设另一条弦被分成 x cm, 4x cm.则 8 2 2=x·4x,所以 x=2 cm. 所以弦长为 10 cm. 答案 C 4.如图所示,在⊙O 中,弦 AB 与半径 OC 相交于点 M,且 OM=MC,AM =1.5,BM=4,则 OC 等于 ( ). A.2 6 B. 6 C.2 3 D.2 2 解析 延长 CO 交⊙O 于 D,则 DM=3CM,CM·MD=MA·MB,所以 1.5×4=3CM 2,CM= 2,OC=2 2. 答案 D 二、填空题 5.如图所示,已知⊙O 的两条弦 AB、CD 相交于 AB 的中点 E,且 AB=4,DE=CE+3,则 CD 的长为________. 解析 由相交弦定理知 EA·EB=EC·ED. (*) 又∵E 为 AB 中点,AB=4,DE=CE+3, ∴(*)式可化为 22=EC(CE+3)=CE2+3CE, ∴CE=-4(舍去)或 CE=1. ∴CD=DE+CE=2CE+3=2+3=5. 答案 5 6.如图所示,PA、PB 是⊙O 的两条切线,A、B 为切点,直线 OP 交⊙O 于点 D、E,交 AB 于点 C,图中互相垂直的线段有________ ⊥________.(只要求写出一对线段) 解析 如题图所示,由于 PA、PB 均为⊙O 切线,∴PA⊥OA, PB⊥OB.又由切线长定理知 PA=PB,OP 为∠APB 的角平分线,∴AB⊥OP,故应填 PA⊥OA 或 PB⊥OB 或 AB⊥OP. 答案 AB OP 7.如图所示,AB 为⊙O 的直径,CB 切⊙O 于 B,CD 切⊙O 于 D, 交 BA 的延长线于 E,若 EA=1,ED=2,则 BC 的长为________. 解析 ∵CE 为⊙O 切线,D 为切点, ∴ED2=EA·EB. 又∵EA=1,ED=2,∴EB=4, 又∵CB、CD 均为⊙O 切线,∴CD=CB. 在 Rt△EBC 中,设 BC=x,则 EC=x+2. 由勾股定理:EB2+BC2=EC2 得 42+x2=(x+2)2,得 x=3,∴BC=3. 答案 3 8.(2012·湖南高考)如图所示,过点 P 的直线与⊙O 相交于 A,B 两点.若 PA=1,AB=2,PO=3,则⊙O 的半径等于________. 解析 设半径为 R,由相交弦定理得(PO-R)(PO+R)=PA·PB, (3-R)·(3+R)=1×3,9-R2=3,R2=6,R= 6. 答案 6 三、解答题 9.如图所示,四边形 ABCD 的边 AB、BC、CD、DA 和⊙O 分别相 切于点 L、M、N、P. 求证:AB+CD=AD+BC 证明 因为 AB、BC、CD、DA 都与⊙O 相切,L、M、N、P 为 切点,所以 AL=AP,LB=MB,DN=DP,NC=MC. 所以 AB+CD=AL+LB+DN+NC=AP+MB+DP+MC=AD+BC.即 AB+CD=AD+BC. 10.如图,已知在⊙O 中,P 是弦 AB 的中点,过点 P 作半径 OA 的垂线,垂足是点 E.分别交 ⊙O 于 C、D 两点. 求证:PC·PD=AE·AO. 证明 连接 OP,∵P 为 AB 的中点, ∴OP⊥AB,AP=PB. ∵PE⊥OA, ∴AP2=AE·AO. ∵PD·PC=PA·PB=AP2, ∴PD·PC=AE·AO. 11.(拓展深化)如图所示,AB 是⊙O 的直径,弦 CD⊥AB 于点 P, CD=10 cm,AP∶PB=1∶5,求⊙O 的半径. 解 法一 连接 OC,设 AP=k cm,PB=5k (k>0) cm,因为 AB 为⊙O 直径,所以半径 OC=1 2 AB=1 2 (AP+PB)=1 2 (k+5k)=3k,且 OP=OA-PA=3k-k=2k. 因为 AB 垂直 CD 于 P, 所以 CP=1 2 CD=5 cm. 在 Rt△COP 中, 由勾股定理, 得 OC2=PC2+PO2, 所以(3k)2=52+(2k)2, 即 5k2=25,所以 k= 5. 所以半径 OC=3k=3 5 (cm). 法二 设 AP=k,PB=5k, 由相交弦定理: CP·PD=AP·PB, 即 CD 2 2=k·5k. ∴k= 5, ∴AB 2 =AP+PB 2 =3 5, 即⊙O 的半径为 3 5 cm.