人民教育出版版高考数学选修4125与圆有关的比例线段基础训练 4页

2013-2014 学年高中数学人教 A 版选修 4-1 知能达标演练：2-5 与圆 有关的比例线段 一、选择题 1．如图所示，PC 切⊙O 于 A，PO 的延长线交⊙O 于 B，BC 切⊙O 于 B，若 AC∶CP＝1∶2，则 PO∶OB 等于 ( )． A．2∶1 B．1∶1 C．1∶2 D．1∶4 解析 连接 OA，则 OA⊥PC， ∴△PAO∽△PBC， ∴PO PC ＝OA BC ，即PO OA ＝PC BC ， 又∵OA＝OB，AC∶CP＝1∶2，设 AC＝x，则 CP＝2x， ∴CA＝x＝BC，∴PO OA ＝2x x ＝2，∴PO∶OB＝2∶1. 答案 A 2．如图所示，PA、PB 是⊙O 的两条切线，A、B 为切点，连接 OP 交 AB 于 C，连接 OA、OB，则图中等腰三角形、直角三角 形的个数分别为 ( )． A．1,2 B．2,2 C．2,6 D．1,6 解析 ∵PA、PB 为⊙O 切线，∴OA⊥AP，OB⊥PB， PA＝PB，OP 平分∠APB，∴OP⊥AB. ∴直角三角形有 6 个，等腰三角形有 2 个． 即直角三角形有：△OAP，△OBP，△OCA，△OCB，△ACP，△CBP；等腰三角形有：△OAB， △ABP. 答案 C 3．设圆内两条相交弦，其中一弦长为 8 cm，且被交点平分，另一条弦被交点分成 1∶4 两 部分，则这条弦长是 ( )． A．2 cm B．8 cm C．10 cm D．12 cm 解析 由相交弦推论即可得． 设另一条弦被分成 x cm， 4x cm.则 8 2 2＝x·4x，所以 x＝2 cm. 所以弦长为 10 cm. 答案 C 4．如图所示，在⊙O 中，弦 AB 与半径 OC 相交于点 M，且 OM＝MC，AM ＝1.5，BM＝4，则 OC 等于 ( )． A．2 6 B. 6 C．2 3 D．2 2 解析 延长 CO 交⊙O 于 D，则 DM＝3CM，CM·MD＝MA·MB，所以 1.5×4＝3CM 2，CM＝ 2，OC＝2 2. 答案 D 二、填空题 5．如图所示，已知⊙O 的两条弦 AB、CD 相交于 AB 的中点 E，且 AB＝4，DE＝CE＋3，则 CD 的长为________． 解析 由相交弦定理知 EA·EB＝EC·ED. (*) 又∵E 为 AB 中点，AB＝4，DE＝CE＋3， ∴(*)式可化为 22＝EC(CE＋3)＝CE2＋3CE， ∴CE＝－4(舍去)或 CE＝1. ∴CD＝DE＋CE＝2CE＋3＝2＋3＝5. 答案 5 6．如图所示，PA、PB 是⊙O 的两条切线，A、B 为切点，直线 OP 交⊙O 于点 D、E，交 AB 于点 C，图中互相垂直的线段有________ ⊥________.(只要求写出一对线段) 解析 如题图所示，由于 PA、PB 均为⊙O 切线，∴PA⊥OA， PB⊥OB.又由切线长定理知 PA＝PB，OP 为∠APB 的角平分线，∴AB⊥OP，故应填 PA⊥OA 或 PB⊥OB 或 AB⊥OP. 答案 AB OP 7．如图所示，AB 为⊙O 的直径，CB 切⊙O 于 B，CD 切⊙O 于 D， 交 BA 的延长线于 E，若 EA＝1，ED＝2，则 BC 的长为________． 解析 ∵CE 为⊙O 切线，D 为切点， ∴ED2＝EA·EB. 又∵EA＝1，ED＝2，∴EB＝4， 又∵CB、CD 均为⊙O 切线，∴CD＝CB. 在 Rt△EBC 中，设 BC＝x，则 EC＝x＋2. 由勾股定理：EB2＋BC2＝EC2 得 42＋x2＝(x＋2)2，得 x＝3，∴BC＝3. 答案 3 8．(2012·湖南高考)如图所示，过点 P 的直线与⊙O 相交于 A，B 两点．若 PA＝1，AB＝2，PO＝3，则⊙O 的半径等于________． 解析 设半径为 R，由相交弦定理得(PO－R)(PO＋R)＝PA·PB， (3－R)·(3＋R)＝1×3,9－R2＝3，R2＝6，R＝ 6. 答案 6 三、解答题 9．如图所示，四边形 ABCD 的边 AB、BC、CD、DA 和⊙O 分别相 切于点 L、M、N、P. 求证：AB＋CD＝AD＋BC 证明 因为 AB、BC、CD、DA 都与⊙O 相切，L、M、N、P 为 切点，所以 AL＝AP，LB＝MB，DN＝DP，NC＝MC. 所以 AB＋CD＝AL＋LB＋DN＋NC＝AP＋MB＋DP＋MC＝AD＋BC.即 AB＋CD＝AD＋BC. 10．如图，已知在⊙O 中，P 是弦 AB 的中点，过点 P 作半径 OA 的垂线，垂足是点 E.分别交 ⊙O 于 C、D 两点. 求证：PC·PD＝AE·AO. 证明 连接 OP，∵P 为 AB 的中点， ∴OP⊥AB，AP＝PB. ∵PE⊥OA， ∴AP2＝AE·AO. ∵PD·PC＝PA·PB＝AP2， ∴PD·PC＝AE·AO. 11．(拓展深化)如图所示，AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 于点 P， CD＝10 cm，AP∶PB＝1∶5，求⊙O 的半径． 解 法一 连接 OC，设 AP＝k cm，PB＝5k (k>0) cm，因为 AB 为⊙O 直径，所以半径 OC＝1 2 AB＝1 2 (AP＋PB)＝1 2 (k＋5k)＝3k，且 OP＝OA－PA＝3k－k＝2k. 因为 AB 垂直 CD 于 P， 所以 CP＝1 2 CD＝5 cm. 在 Rt△COP 中， 由勾股定理， 得 OC2＝PC2＋PO2， 所以(3k)2＝52＋(2k)2， 即 5k2＝25，所以 k＝ 5． 所以半径 OC＝3k＝3 5 (cm)． 法二 设 AP＝k，PB＝5k， 由相交弦定理： CP·PD＝AP·PB， 即 CD 2 2＝k·5k. ∴k＝ 5， ∴AB 2 ＝AP＋PB 2 ＝3 5， 即⊙O 的半径为 3 5 cm.