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  • 2021-05-14 发布

高考数学平面向量复数理科形成性测试卷

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高考数学《平面向量、复数》(理科)形成性测试卷 ‎ ‎ 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)‎ ‎(1)已知平面向量a=(x,1),b=(-x,x2),则向量a+b(  )‎ A.平行于x轴 B.平行于第一、三象限的角平分线 C.平行于y轴 D.平行于第二、四象限的角平分线 ‎(2)设,则“”是“复数为纯虚数”的( )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎(3)设向量a=(3,),b为单位向量,且a∥b,则b=(  )‎ A.(,-)或(-,) B.(,)‎ C.(-,-) D.(,)或(-,-)‎ ‎(4)若O为三角形ABC所在平面内一点,且满足,则有( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎(5)已知A、B是以原点O为圆心的单位圆上两点,且||=1,则·等于(  )‎ A.    B.- C.    D.- ‎(6)若a=(x,1),b=(2,3x),则的取值范围为(  )‎ A.(-∞,2) B.[0,] C.[-,] D.[2,+∞)‎ ‎(7)在复平面内,复数6+5i,-2+3i对应的点分别为A,B.若C为线段AB的中点,则点C对应的复数是(  )‎ A.4+8i B.8+2i C.2+4i D.4+i ‎(8)已知向量a=(2cosα,2sinα),b=(3cosβ,3sinβ),a与b的夹角为60°,则直线xcosα-ysinα+=0与圆(x-cosβ)2+(y+sinβ)2=的位置关系是(  )‎ A.相离 B.相切 C.相交 D.随α,β的值而定 ‎(9)已知向量满足,且对一切实数x,恒成立,则的夹角的大小为(  )‎ A. B. C. D. ‎ ‎(10)已知三点A(2,3),B(-1,-1),C(6,k),其中k为常数.若||=||,则与的夹角的余弦值为(  )‎ A.-   B.0或 C.   D.0或- ‎(11)若O为平面内任一点且(+-2)·(-)=0,则△ABC是(  )‎ A.直角三角形或等腰三角形 B.等腰直角三角形 C.等腰三角形但不一定是直角三角形 D.直角三角形但不一定是等腰三角形 ‎(12)平面向量也叫二维向量,二维向量的坐标表示及其运算可以推广到n(n≥3)维向量,n维向量可用(x1,x2,x3,x4,…,xn)表示.设a=(a1,a2,a3,a4,…,an),b=(b1,b2,b3,b4,…,bn),规定向量a与b夹角θ的余弦为cosθ=.已知n维向量a,b,当a=(1,1,1,1,…,1),b=(-1,-1,1,1,1,…,1)时,cosθ等于(  )‎ A. B. C. D. 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在题中横线上)‎ ‎(13)若复数z1=a-i,z2=1+i(i为虚数单位),且z1·z2为纯虚数,则实数a的值为________.‎ ‎(14)若平面向量a,b满足|a+b|=1,a+b平行于x轴,b=(2,-1),则a=________.‎ ‎(15)已知坐标平面内两点M(-3,0),N(3,0)和一动点P,满足,则的最小值为 ‎ ‎(16)已知点A(1,-1),B(3,0),C(2,-1);若平面区域D由所有满足的点P组成,则D的面积为 ‎ 三、解答题(本大题共6个小题,共计70分,写出必要的文字说明、计算步骤,只写最后结果不得分)‎ ‎(17)(本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy中,已知点A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1).‎ ‎(I)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长;‎ ‎(II)设实数t满足(-t)·=0,求t的值.‎ ‎(18)(本小题满分12分) 已知, ‎ ‎(I)求; ‎ ‎(II)求向量在向量方向上的投影.‎ ‎(19)(本小题满分12分) 已知向量 ‎ ‎(I)若为直角三角形,求值;‎ ‎(II)若为等腰直角三角形,求值.‎ ‎(20)(本小题满分12分)已知向量a=(,),b=(2,cos2x).‎ ‎(I)若x∈(0,],试判断a与b能否平行?‎ ‎(II)若x∈(0,],求函数f(x)=a·b的最小值.‎ ‎(21)(本小题满分12分)若a,b是两个不共线的非零向量,t∈R.‎ ‎(I)若a,b起点相同,t为何值时,a,tb,(a+b)三向量的终点在一直线上?‎ ‎(II)若|a|=|b|且a与b夹角为60°,t为何值时,|a-tb|的值最小?‎ ‎(22)(本小题满分12分)在△ABC中,A、B、C的对边分别是a、b、c,且满足(2a-c)cosB=bcosC.‎ ‎(I)求B的大小.‎ ‎(II)设m=(sinA,cos2A),n=(4k,1)(k>1),且m·n的最大值是5,求k的值.‎ ‎《平面向量、复数》(理科)形成性测试卷参考答案 厦门海沧实验中学数学组 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)‎ ‎(1)答案 C 解析 a+b=(x-x,1+x2)=(0,1+x2),易知a+b平行于y轴 ‎(2)答案 A 解析 为纯虚数,且,解之得,故选A ‎(3)答案 D 解析 设b=(x,y),由a∥b可得3y-x=0,又x2+y2=1,得b=(,)或b=(-,-),故选D.‎ ‎(4)答案 A 解析 如右图 故选A ‎(5)答案 B 解析 ·=1×1×cos120°=-.‎ ‎(6)答案 C 解析 由已知:===,‎ ‎∵|2x+|=|2x|+≥2, ∴-≤≤ ‎(7)答案 C 解析 由题意知A(6,5),B(-2,3),AB中点C(x,y),则x==2,y==4,‎ ‎∴点C对应的复数为2+4i,故选C.‎ ‎(8)答案 A 解析 ∵=60°,∴cos60°====cos(α-β),‎ ‎∴cos(α-β)= ‎∴圆心(cosβ,-sinβ)到直线xcosα-ysinα+=0的距离为:‎ d==cos(α-β)+ ‎=1>,∴直线与圆相离 ‎(9)答案 C 解析 由题意得:⇔‎ ‎ ⇔‎ ‎∴⇒ ∴‎ ‎,即a与b的夹角为.‎ ‎(10)答案 D 解析 由||=||解得k=0或6,当k=0时,与的夹角为,其余弦值为0;当k=6时,与的夹角余弦值为- ‎(11)答案 C 解析 由(+-2)(-)=0得(+)·(-)=0,‎ ‎∴-=0,即||=||,‎ ‎∴AB=AC.‎ ‎(12)答案 D 解析 ibi=(n-2)-2=n-4.‎ =n,=n.∴cosθ==.‎ 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在题中横线上)‎ ‎(13)答案 : -1‎ 解析 因为z1·z2=(a-i)(1+i)=a+1+(a-1)i为纯虚数,所以a=-1.‎ ‎(14)答案 :(-1,1)或(-3,1)‎ 解析 设a=(x,y),∵b=(2,-1),则a+b=(x+2,y-1),∵a+b平行于x轴,∴y-1=0,y=1,故a+b=(x+2,0),‎ 又∵|a+b|=1,∴|x+2|=1,∴x=-1或x=-3,∴a=(-1,1)或a=(-3,1).‎ ‎(15)答案 3‎ 解析 设P(x,y),则 ,由已知可得 ,化简得 ,‎ 所以,‎ 则当x=0时,‎ ‎(16)答案 3‎ 解析 设P(x,y),则,‎ 所以解得 所以,即 在平面直角坐标系中作出区域D,可求得面积为3.‎ 三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎(17)解析 (I)由题设知=(3,5),=(-1,1),则+=(2,6),-=(4,4).-----------2分 所以|+|=2,|-|=4.--------------4分 ‎(II)故所求的两条对角线长分别为4,2.‎ 由题设知=(-2,-1),-t=(3+2t,5+t).----------6分 由(-t)·=0,得(3+2t,5+t)·(-2,-1)=0,---------8分 从而5t=-11,所以t=-.----------10分 ‎(18)解析 (I)由,得,‎ ‎∴,得 ∴‎ ‎(II)‎ 向量在向量方向上的投影为 ‎ ‎(19)解析 (I)(1)由已知得 ‎ ①若,则,,;‎ ②若,则,得无解;‎ ③若,则,‎ ‎∴.‎ 综上所述,当时,△ABC是以A为直角顶点的直角三角形;当时, ‎ 是以C为直角顶点的直角三角形.‎ ‎(II)①当时,,;‎ ②当时,,,‎ 得,,;‎ ③当时,,,‎ 得,,;‎ 综上所述,当时,△ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形.‎ ‎(20)解析 (I)若a与b平行,则有·cos2x=·2,因为x∈(0,],sinx≠0,所以得cos2x=-2,这与|cos2x|≤1相矛盾,故a与b不能平行.-----------6分 ‎(II)由于f(x)=a·b=-===2sinx+,---8分 又因为x∈(0,],所以sinx∈(0,],于是2sinx+≥2=2,当2sinx=,即sinx=时取等号.----------11分 故函数f(x)的最小值等于2.--------12分 ‎(21)解析(I)设a-tb=m[a-(a+b)],m∈R,---------2分 化简得(m-1)a=(-t)b,-------------------3分 ‎∵a与b不共线,∴⇒-------------5分 ‎∴t=时,a,tb,(a+b)的终点在一直线上.--------------6分 ‎(II)|a-tb|2=(a-tb)2=|a|2+t2|b|2-2t|a||b|cos60°=(1+t2-t)|a|2.‎ ‎∴当t=时,|a-tb|有最小值|a|.---------12分 ‎(22)解析 (I)∵(2a-c)cosB=bcosC,∴(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC,‎ 即2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB=sin(B+C).-----------3分 ‎∵A+B+C=π,∴2sinAcosB=sinA.-------------------4分 ‎∵01,∴t=1时,m·n取最大值.‎ 依题意得(m·n)max=-2+4k+1=5,∴k=.----------------12分