全国高考理科数学试题及答案全国 13页

‎2009年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学（必修+选修Ⅱ）‎ ‎ 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分．第卷1至2页，第卷3至4页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．‎ 第Ⅰ卷 考生注意：‎ ‎ 1．答题前，考生在答题卡上务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、填写清楚 ，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．‎ ‎ 2．每小题选出答案后，用2Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．‎ ‎ 3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ 参考公式：‎ ‎ 如果事件互斥，那么 球的表面积公式 ‎ ‎ ‎ 如果事件相互独立，那么 其中表示球的半径 ‎ 球的体积公式 ‎ 如果事件在一次试验中发生的概率是，那么 ‎ ‎ 次独立重复试验中恰好发生次的概率 其中表示球的半径 一、选择题 ‎(1)设集合A=｛4，5，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝，全集U=AB，则集合中的元素共有（A）‎ ‎（A）3个 （B）4个 （C）5个 （D）6个 解：，故选A。也可用摩根律：‎ ‎（2）已知=2+i,则复数z=（B ）‎ ‎（A）-1+3i (B)1-3i (C)3+i (D)3-i 解： 故选B。‎ ‎(3) 不等式＜1的解集为（ D ）‎ ‎（A）｛x (B)‎ ‎（C） (D)‎ 解：验x=-1即可。‎ ‎(4)设双曲线（a＞0,b＞0）的渐近线与抛物线y=x2 +1相切，则该双曲线的离心率等于( C )‎ ‎（A） （B）2 （C） （D）‎ 解：设切点，则切线的斜率为.由题意有又 解得: .‎ ‎(5) 甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学。若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有( D )‎ ‎（A）150种 （B）180种 （C）300种 (D)345种 解: 分两类(1) 甲组中选出一名女生有种选法 ‎ (2) 乙组中选出一名女生有种选法.故共有345种选法.选D ‎（6）设、、是单位向量，且·＝0，则的最小值为 ( D )‎ ‎（A） （B） （C） (D)‎ 解: 是单位向量 故选D.‎ ‎（7）已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面上的射影为的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为（ D ）‎ ‎（A） （B） （C） (D) ‎ 解：设的中点为D，连结D，AD，易知即为异面直线与所成的角,由三角余弦定理，易知.故选D ‎（8）如果函数的图像关于点中心对称，那么的最小值为（A） （B） （C） (D) ‎ 解: 函数的图像关于点中心对称 由此易得.故选A ‎ (9) 已知直线y=x+1与曲线相切，则α的值为( B )‎ ‎(A)1 (B)2 (C) -1 (D)-2‎ 解:设切点，则,又 ‎.故答案选B ‎（10）已知二面角为 ，动点P、Q分别在面α、β内，P到β的距离为，Q到α的距离为，则P、Q两点之间距离的最小值为（ C ）‎ ‎(A) (B)2 (C) (D)4‎ 解:如图分别作 ‎ ‎，连 ‎，‎ 又 当且仅当，即重合时取最小值。故答案选C。‎ ‎（11）函数的定义域为R，若与都是奇函数，则( D )‎ ‎(A) 是偶函数 (B) 是奇函数 (C) (D) 是奇函数 解: 与都是奇函数，，‎ 函数关于点，及点对称，函数是周期的周期函数.，，即是奇函数。故选D ‎12.已知椭圆的右焦点为,右准线为，点，线段交于点，若,则=( A )‎ ‎(A). (B). ‎2 ‎ (C). (D). 3‎ 解:过点B作于M,并设右准线与X轴的交点为N，易知FN=1.由题意,故.又由椭圆的第二定义,得.故选A 第II卷 二、填空题： ‎ ‎13. 的展开式中，的系数与的系数之和等于 。‎ 解: ‎ ‎14. 设等差数列的前项和为，若,则= 。‎ 解: 是等差数列,由,得 ‎.‎ ‎15. 直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若, ，则此球的表面积等于 。 ‎ 解:在中,,可得,由正弦定理,可得 外接圆半径r=2,设此圆圆心为，球心为，在中，易得球半径，故此球的表面积为. ‎ ‎16. 若，则函数的最大值为 。‎ 解:令,‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。‎ ‎17（本小题满分10分）（注意：在试题卷上作答无效）‎ 在中，内角A、B、C的对边长分别为、、，已知，且 求b 分析:此题事实上比较简单,但考生反应不知从何入手.对已知条件(1),左侧是二次的右侧是一次的,学生总感觉用余弦定理不好处理,而对已知条件(2) 过多的关注两角和与差的正弦公式,甚至有的学生还想用现在已经不再考的积化和差,导致找不到突破口而失分.‎ 解法一：在中则由正弦定理及余弦定理有:化简并整理得：.又由已知.解得.‎ 解法二:‎ 由余弦定理得: ‎ ‎.‎ 又 ,。‎ 所以 …………………………………①‎ 又 ，‎ ‎，‎ 即 由正弦定理得，‎ 故 ………………………②‎ 由①，②解得。‎ 评析:从08年高考考纲中就明确提出要加强对正余弦定理的考查.在备考中应注意总结、提高自己对问题的分析和解决能力及对知识的灵活运用能力.另外提醒：两纲中明确不再考的知识和方法了解就行，不必强化训练。www.ks5u.com ‎ 18．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）‎ 如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，,，点M在侧棱上，=60°‎ ‎（I）证明：M在侧棱的中点 ‎（II）求二面角的大小。‎ 解法一：‎ ‎（I）‎ 作∥交于点E，则∥，平面SAD 连接AE，则四边形ABME为直角梯形 作，垂足为F，则AFME为矩形 设，则，‎ 由 解得 即，从而 所以为侧棱的中点 ‎（Ⅱ），又,所以为等边三角形，‎ 又由（Ⅰ）知M为SC中点 ‎，故 取AM中点G，连结BG，取SA中点H，连结GH，则,由此知为二面角的平面角 连接，在中，‎ 所以 二面角的大小为 解法二:‎ 以D为坐标原点，射线DA为x轴正半轴，建立如图所示的直角坐标系D-xyz 设，则 ‎（Ⅰ）设,则 又 故 即 解得，即 所以M为侧棱SC的中点 ‎（II）‎ 由，得AM的中点 又 所以 因此等于二面角的平面角 所以二面角的大小为 总之在目前，立体几何中的两种主要的处理方法：传统方法与向量的方法仍处于各自半壁江山的状况。命题人在这里一定会照顾双方的利益。‎ ‎19．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）‎ ‎ 甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束，假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立，已知前2局中，甲、乙各胜1局。‎ ‎ （I）求甲获得这次比赛胜利的概率；‎ ‎ （II）设表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，求得分布列及数学期望。‎ 分析：本题较常规，比08年的概率统计题要容易。‎ 需提醒的是：认真审题是前提，部分考生由于考虑了前两局的概率而导致失分，这是很可惜的，主要原因在于没读懂题。‎ 另外，还要注意表述，这也是考生较薄弱的环节。‎ 解：记表示事件：第i局甲获胜，i=3,4,5‎ 表示事件：第j局乙获胜，j=3,4‎ ‎（Ⅰ）记B表示事件：甲获得这次比赛的胜利 因前两局中，甲、乙各胜一局，故甲获得这次比赛的胜利当且仅当在后面的比赛中，甲先胜2局，从而 由于各局比赛结果相互独立，故 ‎ =‎ ‎ =0.6×0.6+0.4×0.6×0.6+0.6×0.4×0.6‎ ‎ =0.648‎ ‎（II）的可能取值为2，3‎ 由于各局比赛结果相互独立，所以 ‎=‎ ‎=‎ ‎=0.6×0.6+0.4×0.4‎ ‎=0.52‎ ‎=‎1.0.52‎=0.48‎ 的分布列为 ‎2‎ ‎3‎ P ‎0.52‎ ‎0.48‎ ‎=2×0.52+3×0.48‎ ‎=2.48‎ ‎20．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）‎ 在数列中，‎ ‎ （I）设，求数列的通项公式 ‎ （II）求数列的前项和 解：（I）由已知得，且 即 ‎ 从而 ‎ ‎……‎ 于是 ‎ ‎ =‎ 又 ‎ 故所求的通项公式 ‎（II）由（I）知,‎ ‎=‎ 而,又是一个典型的错位相减法模型，‎ 易得 =‎ 评析：09年高考理科数学全国(一)试题将数列题前置,考查构造新数列和利用错位相减法求前n项和，一改往年的将数列结合不等式放缩法问题作为押轴题的命题模式。具有让考生和一线教师重视教材和基础知识、基本方法基本技能,重视两纲的导向作用。也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心。‎ ‎21（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）‎ ‎ 如图，已知抛物线与圆相交于、、、四个点。‎ ‎ （I）求得取值范围；‎ ‎ （II）当四边形的面积最大时，求对角线、的交点坐标 分析：（I）这一问学生易下手。‎ 将抛物线与圆的方程联立，消去，整理得 ‎．．．．．．．．．．．．．（＊）‎ 抛物线与圆相交于、、、四个点的充要条件是：方程（＊）有两个不相等的正根即可.‎ 由此得 解得 ‎ 又 ‎ 所以 ‎ 考生利用数形结合及函数和方程的思想来处理也可以．‎ ‎（II）考纲中明确提出不考查求两个圆锥曲线的交点的坐标。因此利用设而不求、整体代入的方法处理本小题是一个较好的切入点。‎ ‎ 设与的四个交点的坐标分别为：‎ ‎、、、。‎ 则直线的方程分别为 解得点P的坐标为 设，由及（I）知 由于四边形为等腰梯形，因而其面积 则 将代入上式，并令，得 求导数 令，解得（舍去）‎ 当时，；时，；时，‎ 故当且仅当时，有最大值，即四边形的面积最大，故所求的点P的坐标为 ‎22. 本小题满分12分。（注意：在试题卷上作答无效）‎ 设函数在两个极值点，且 ‎（I）求满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点的区域；‎ ‎(II)证明：‎ 解 ‎（I）‎ 依题意知，方程有两个根，等价于 由此得b、c满足的约束条件为 满足这些条件的点的区域为图中阴影部分，‎ ‎(II)这一问考生不易得分，有一定的区分度。主要原因是含字母较多，不易找到突破口。此题主要利用消元的手段，消去目标中的，（如果消会较繁琐）再利用的范围，并借助（I）中的约束条件得进而求解，有较强的技巧性。‎ 解：由题设知，故 于是 由于，而由（Ⅰ）知，故 又由（Ⅰ）知 所以 ‎ www.ks5u.com