2014年版高考数学理二模试题目上海市黄浦区 10页

上海市黄浦区2014年高考模拟（二模）‎ 数学（理）试题 ‎ (‎2014年4月10日)‎ 考生注意：‎ ‎1．每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，解答必须在答题卷上进行，写在试卷上的解答一律无效；‎ ‎2．答卷前，考生务必将姓名、准考证号等相关信息在答题卷上填写清楚；‎ ‎3．本试卷共23道试题，满分150分；考试时间120分钟．‎ 一．填空题(本大题满分56分) 本大题共有14题，考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分．‎ ‎1．函数的定义域是　　 　．‎ ‎2．函数的最小正周期　 　．‎ ‎3．已知全集，集合，．若，则实数的取值范围是 ．‎ ‎4．已知等差数列的公差为，，前项和为，则的数值是 　．‎ ‎5．函数的单调递增区间是 　　．‎ ‎6．函数的反函数是，则反函数的解析式是　 　　．‎ ‎7．方程的解 ．‎ ‎8．在中，角所对的边的长度分别为，且，‎ 则　 .‎ ‎9．已知是虚数单位，以下同)是关于的实系数一元二次方程的一个根，则实数 ， ．‎ ‎10．若用一个平面去截球体，所得截面圆的面积为，球心到该截面的距离是 ‎，则这个球的表面积是 ． ‎ ‎11．(理)已知向量，则向量在向量的方向上的投影是 　　 ．‎ ‎12．(理)直线的参数方程是是参数)，则直线的一个方向向量是 ．(答案不唯一)‎ ‎13．(理)某个不透明的袋中装有除颜色外其它特征完全相同的8个乒乓球(其中3个是白色球，5个是黄色球)，小李同学从袋中一个一个地摸乒乓球(每次摸出球后不放回)，当摸到的球是黄球时停止摸球．用随机变量表示小李同学首先摸到黄色乒乓球时的摸球次数，则随机变量的数学期望值 ．‎ ‎14．已知函数是定义域为的偶函数. 当时， 若关于的方程有且只有7个不同实数根，则 ‎(理)实数的取值范围是 　．‎ 二．选择题(本大题满分20分)　本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．‎ ‎15．已知，且，则下列结论恒成立的是 　 [答] ( )．‎ A． B．　C．　　D．‎ ‎16．已知空间直线不在平面内，则“直线上有两个点到平面的距离相等”是“”的 ‎　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　[答] ( )．‎ A．充分非必要条件 B．必要非充分条件　C．充要条件　　D．非充分非必要条件 ‎17．已知，则直线与圆：的位置关系是 ‎[答] ( )．‎ A．相交 B．相切　C．相离　　D．不能确定 ‎18．(理)给出下列命题：‎ ‎(1)已知事件是互斥事件，若，则；‎ ‎(2)已知事件是互相独立事件，若，则(表示事件的对立事件)；‎ ‎(3)的二项展开式中，共有4个有理项．‎ 则其中真命题的序号是 　　 　 [答]( 　)．‎ A．(1)、(2)． 　B．(1)、(3)． C．(2)、(3)． D．(1)、(2)、(3)．‎ 三．解答题(本大题满分74分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤．‎ ‎19．(本题满分12分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．‎ 第19题图 Ａ Ｃ Ｄ Ｂ ‎(理)已知直三棱柱中，，是棱的中点．如图所示．‎ ‎(1)求证：平面；‎ ‎(2)求二面角的大小．‎ ‎20．(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．‎ ‎　　已知复数．‎ ‎(1)求的最小值；‎ ‎(2)设，记表示复数z的虚部). 将函数的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把所得的图像向右平移个单位长度，得到函数的图像. 试求函数的解析式．‎ ‎21．(本题满分12分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．‎ ‎　某通讯公司需要在三角形地带区域内建造甲、乙两种通信信号加强中转站，甲中转站建在区域内，乙中转站建在区域内．分界线固定，且=百米，边界线始终第21题图 A B C O 过点，边界线满足．‎ 设()百米，百米.‎ ‎(1)试将表示成的函数，并求出函数的解析式；‎ ‎(2)当取何值时？整个中转站的占地面积最小，并求出其面积的最小值．‎ ‎22．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．‎ 已知数列满足()．‎ ‎(1)求的值；‎ ‎(2)求(用含的式子表示)；‎ ‎(3) (理)记数列的前项和为，求(用含的式子表示)．‎ ‎23．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．‎ ‎(理)已知点是平面直角坐标系上的一个动点，点到直线的距离等于点到点的距离的2倍．记动点的轨迹为曲线.‎ ‎(1)求曲线的方程；‎ ‎(2)斜率为的直线与曲线交于两个不同点，若直线不过点，设直线的斜率分别为，求的数值；‎ ‎(3)试问：是否存在一个定圆，与以动点为圆心，以为半径的圆相内切？若存在，求出这个定圆的方程；若不存在，说明理由．‎ 参考答案 一、填空题 ‎1．； 8．；‎ ‎2．； 　　　　　　 　 9． ；‎ ‎3． ； 10． ；‎ ‎4．； 11．(理)；‎ ‎5．； 12．(理)；‎ ‎6．； 13．(理) ；‎ ‎7．　； 14．(理)．‎ 二、选择题：　15．C　　　16．B　　　17．B　　　18．D 三、解答题 第19题图 Ａ O(Ｃ)‎ Ｄ Ｂ ‎19．本题满分12分．‎ ‎(理)证明(1)按如图所示建立空间直角坐标系．由题知，可得点、、‎ ‎、、、．　　　　　 ‎ 于是，．　‎ 可算得．　　　　　　　 ‎ 因此，． ‎ 又，‎ 所以，． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ‎ ‎(2)设是平面的法向量． ‎ ‎∴ ‎ 又， ‎ ‎∴　取，可得即平面的一个法向量是．　‎ 由(1)知，是平面的一个法向量，‎ 记与的夹角为，则， ．　　　　　　　 　　　 ‎ 结合三棱柱可知，二面角是锐角， ‎ ‎　∴所求二面角的大小是． 　　　　　　　 ‎ ‎20．本题满分14分 解(1)∵，‎ ‎ ∴ ‎ ‎ . ‎ ‎ ∴当，即时， ‎ ‎ . ‎ ‎ (2)∵，‎ ‎∴. ‎ ‎ ∴. ‎ ‎ ‎ 将函数 的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)后，得到的图像所对应的函数是. 　 ‎ 把函数的图像向右平移个单位长度，得到的图像对应的函数是．‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎ ∴. 　‎ ‎21．本题满分12分．‎ 解(1)结合图形可知，．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ‎ ‎ 于是，，　　　　　　　　　　‎ ‎　　解得．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎　(2)由(1)知，，‎ 因此，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ‎ ‎ 　　　　　　　　　　　　　　 　‎ ‎ (当且仅当，即时，等号成立)．　　　　 　　‎ 答：当米时，整个中转站的占地面积最小，最小面积是平方米. 12分 ‎22．本题满分18分．‎ 解(1) ()， ‎ ‎ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎(2)由题知，有．　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎．‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ‎ ‎∴．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎(理)(3) ∵， ‎ ‎∴． ‎ ‎　　∴．‎ ‎　　又，‎ 当为偶数时，‎ ‎　　　　　　　　　‎ ‎　　　　　　　　　　．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 当为奇数时，‎ ‎　　　　　　　　　‎ ‎　　　　　　　　　　．　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 综上，有　　　　　　　　　　 　 　‎ ‎23．本题满分18分．‎ ‎(理)解(1)由题知，有. ‎ ‎　　化简，得曲线的方程：． ‎ ‎ (2)∵直线的斜率为，且不过点，‎ ‎　 ∴可设直线：． ‎ 联立方程组得． ‎ ‎　 又交点为，‎ ‎∴． ‎ ‎　 ∴ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎(3)答：一定存在满足题意的定圆.‎ 理由：∵动圆与定圆相内切， ‎ ‎ ∴两圆的圆心之间距离与其中一个圆的半径之和或差必为定值. ‎ ‎ 又恰好是曲线(椭圆)的右焦点，且是曲线上的动点，‎ 记曲线的左焦点为，联想椭圆轨迹定义，有， ‎ ‎ ∴若定圆的圆心与点重合，定圆的半径为4时，则定圆满足题意. ‎ ‎ ∴定圆的方程为：. ‎