2017高考全国2卷理科数学试题及答案 5页

2017 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一 个选项是符合题目要求的 1.   i i 1 3 （ ） A、 i21 B、 i21 C、 i2 D、 i2 2、设集合 }04|{},4,2,1{ 2  mxxxBA ，若 }1{BA ，则 B （ ） A、 }3,1{  B、 }0,1{ C、 }3,1{ D、 }5,1{ 3、我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共 灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座７层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的 下一层灯数是上一层灯数的 2 倍，则塔的顶层共有灯 （ ） A、1 盏 B、3 盏 C、5 盏 D、9 盏 4、如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由 一平面将一圆柱截取一部分所得，则该几何体的体积为 （ ） A、90 B、63 C、42 D、36 5、设 yx, 满足约束条件       03 0332 0332 y yx yx ，则 yxz  2 的最小值为 （ ） A、 15 B、 9 C、1 D、9 6、安排 3 名志愿者完成 4 项工作，每人至少完成 1 项，每项工作由 1 人完成，则不同的安 排方式共有 （ ） A、12 种 B、18 种 C、24 种 D、36 种 7、甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩。老师说：你们四人中有 2 位优秀，2 位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩。 看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则 （ ） A、乙可以知道四人的成绩 B、丁可以知道四人的成绩 C、乙、丁可以知道对方的成绩 D、乙、丁可以知道自己的成绩 8、执行右面的程序框图，如果输入的 1a ，则输出的 S （ ） A、2 B、3 C、4 D、5 9、若双曲线 C： )0,0(12 2 2 2  bab y a x 的一条渐近线被圆 4)2( 22  yx 所截得的弦 长为 2，则 C 的离心率为 （ ） A、2 B、 3 C、 2 D、 3 32 10、已知直三棱柱 111 CBAABC  中， 120ABC ， 2AB ， 11  CCBC ，则异面直 线 1AB 和 1BC 所成角的余弦值为 （ ） A、 2 3 B、 5 15 C、 5 10 D、 3 3 11、若 2x 是函数 12 )1()(  xeaxxxf 的极值点，则 )(xf 的极小值为 （ ） A、 1 B、 32  e C、 35 e D、1 12、已知 ABC 是边长为 2 的等边三角形，P 为平面 ABC 内一点，则 )( PCPBPA  的最 小值是 （ ） A、 2 B、 2 3 C、 3 4 D、 1 二、填空题： 13、一批产品的二等品率为 0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取 100 次，X 表示抽到的二等品件数，则 DX = . 14、函数 ])2,0[(4 3cos3sin)( 2  xxxxf 的最大值是 . 15、等差数列 }{ na 的前 n 项和为 nS ， 10,3 43  Sa ，则   n k kS1 1 . 16、已知 F 是抛物线 xyC 8: 2  的焦点， M 是 C 上一点， FM 的延长线交 y 轴于点 N ， 若 M 为 FN 的中点，则 FN . 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17-21 题为必考题，每个试题 考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分 17、（12 分） ABC 的内角 CBA ,, 的对边分别为 cba ,, ，已知 2sin8)sin( 2 BCA  ， （1）求 Bcos ； （2）若 6 ca ， ABC 面积为 2，求b . 18、（12 分）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽 取了 100 各网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg），其频率分布直方图如下： 旧养殖法 新养殖法 （1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记 A 表示事件“旧养殖法的箱产量低于 50kg，新 养殖法的箱产量不低于 50kg”，估计 A 的概率； （2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有 99%的把握认为箱产量与养殖方法有关： 箱产量<50kg 箱产量≥50kg 旧养殖法 新养殖法 （3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到 0.01）. 附： )( 2 kKP  0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 ))()()(( )( 2 2 dbcadcba bcadnK   19、（12 分）如图，四棱锥 ABCDP  中，侧面 PAD 为等边三角形且垂直于底面 ABCD ， ADBCAB 2 1 ，  90ABCBAD ， E 是 PD 中点； （1）证明：直线CE ||平面 PAB ； （2）点 M 在棱 PC 上，且直线 BM 与底面 ABCD 所成角为 45 ，求二面角 DABM  的 余弦值； 20、（12 分）设O 为坐标原点，动点 M 在椭圆 12: 2 2  yxC 上，过 M 作 x 轴的垂线，垂 足为 N ，点 P 满足 NMNP 2 ； （1）求点 P 的轨迹方程； （2）设点Q 在直线 3x 上，且 1 PQOP .证明：过点 P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的 左焦点 F . 21、（12 分）已知函数 xxaxaxxf ln)( 2  ，且 0)( xf . （1）求 a ； （2）证明： )(xf 存在唯一的极大值点 0x ，且 2 0 2 2)(   xfe . （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第 一题计分。 22、[选修 4-4：坐标系与参数方程]（10 分）在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 1C 的极坐标方程为 4cos  . （1） M 为曲线 1C 上的动点，点 P 在线段 OM 上，且满足 16 OPOM ，求点 P 的轨 迹 2C 的直角坐标方程； （2）设点 A 的极坐标为 )3,2(  ，点 B 在曲线 2C 上，求 OAB 面积的最大值. 23、[选修 4-5：不等式选讲]（10 分）已知 0,0  ba ， 233  ba ，证明： （1） 4))(( 55  baba ； （2） 2 ba .