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- 2021-05-14 发布
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1.(安徽9).过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点,点是原点,若;则的面积为___________.
2.(安徽20).如图,分别是椭圆
的左,右焦点,过点作轴的垂线交椭圆的
上半部分于点,过点作直线的垂线
交直线于点;
(I)若点的坐标为;求椭圆的方程;
(II)证明:直线与椭圆只有一个交点。
3.(北京12).在直角坐标系xOy中,直线l过抛物线=4x的焦点F.且与该撇物线相交于A、B两点.其中点A在x轴上方。若直线l的倾斜角为60º.则△OAF的面积为 ___________________ .
4.(北京19).已知曲线.
(1)若曲线是焦点在轴上的椭圆,求的取值范围;
(2)设,曲线与轴的交点为,(点位于点的上方),直线与曲线交于不同的两点,,直线与直线交于点,求证:,,三点共线.
5.(福建8).双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合,则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于________________.
6.(福建19).如图,椭圆
的左焦点为,右焦点为,离心率。过
的直线交椭圆于两点,且的周长为8。
(Ⅰ)求椭圆的方程。
(Ⅱ)设动直线与椭圆有且只有一个公共点,且与直线相交于点。试探究:在坐标平面内是否存在定点,使得以为直径的圆恒过点?若存在,求出点的坐标;若不存在,说明理由。
7.(广东20).在平面直角坐标系中,已知椭圆的离心率,且椭圆上的点到的距离的最大值为;
(1)求椭圆的方程;
(2)在椭圆上,是否存在点使得直线与圆相交于不同的两点,且的面积最大?若存在,求出点的坐标及相对应的的面积;若不存在,请说明理由。
A1 A2
y
B2
B1
A
O
B
C
D
F1 F2 x
8.(湖北14).如图,双曲线的两顶点为,,
虚轴两端点为,,两焦点为,. 若以为直径的
圆内切于菱形,切点分别为.
则(Ⅰ)双曲线的离心率 ;
(Ⅱ)菱形的面积与矩形的
面积的比值 .
9.(湖北21).设是单位圆上的任意一点,是过点与轴垂直的直线,是直线与 轴的交点,点在直线上,且满足. 当点在圆上运动时,记点M的轨迹为曲线.
(Ⅰ)求曲线的方程,判断曲线为何种圆锥曲线,并求其焦点坐标;
(Ⅱ)过原点且斜率为的直线交曲线于,两点,其中在第一象限,它在轴上的射影为点,直线交曲线于另一点. 是否存在,使得对任意的,都有?若存在,求的值;若不存在,请说明理由.
10.(湖南5). 已知双曲线C :-=1的焦距为10 ,点P (2,1)在C 的渐近线上,则C的方程为______________________
11.(湖南21).在直角坐标系xOy中,曲线C1的点均在C2:(x-5)2+y2=9外,且对C1上任意一点M,M到直线x=﹣2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值.
(Ⅰ)求曲线C1的方程;
(Ⅱ)设P(x0,y0)(y0≠±3)为圆C2外一点,过P作圆C2的两条切线,分别与曲线C1相交于点A,B和C,D.证明:当P在直线x=﹣4上运动时,四点A,B,C,D的纵坐标之积为定值.
12.(江苏8).在平面直角坐标系中,若双曲线的离心率为,则的值为 _____ .
13.(江苏19).如图,在平面直角坐标系中,椭圆的左、右焦点分别为,.已知和都在椭圆上,其中为椭圆的离心率.
(1)求椭圆的方程;
(2)设是椭圆上位于轴上方的两点,且直线与直线平行,与交于点P.
(I)若,求直线的斜率;
(ii)求证:是定值.
14(江西 13).椭圆(a>b>0)的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F1,F2。若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为_______________.
15(江西20).已知三点O(0,0),A(-2,1),B(2,1),曲线C上任意一点M(x,y)满足.
(1) 求曲线C的方程;
(2)动点Q(x0,y0)(-2<x0<2)在曲线C上,曲线C在点Q处的切线为l向:是否存在定点P(0,t)(t<0),使得l与PA,PB都不相交,交点分别为D,E,且△QAB与△PDE的面积之比是常数?若存在,求t的值。若不存在,说明理由。
17(辽宁20). 如图,椭圆,动圆.点分别为的左、右顶点,与相交于四点
(1)求直线与直线交点的轨迹方程;
(2)设动圆与相交于四点,其中,.若矩形与矩形的面积相等,证明:为定值
18(全国卷大纲版3).椭圆的中心在原点,焦距为4,一条准线为,则该椭圆的方程为___________________.
19(全国卷大纲版8).已知为双曲线的左右焦点,点在上,,则____________.
20(全国卷大纲版21).已知抛物线与圆 有一个公共点,且在处两曲线的切线为同一直线。(1)求;
(2)设、是异于且与及都相切的两条直线,、的交点为,求到的距离。
21(山东10).已知椭圆的离心率为.双曲线的渐近线与椭圆有四个交点,以这四个交点为顶点的四边形的面积为16,则椭圆的方程为_________________.
21(山东21).在平面直角坐标系中,是抛物线的焦点,是抛物线上位于第一象限内的任意一点,过三点的圆的圆心为,点到抛物线的准线的距离为.
(Ⅰ)求抛物线的方程;
(Ⅱ)是否存在点,使得直线与抛物线相切于点若存在,求出点的坐标;若不存在,说明理由;
(Ⅲ)若点的横坐标为,直线与抛物线有两个不同的交点,与圆有两个不同的交点,求当时,的最小值.
22(陕西13). 右图是抛物线形拱桥,当水面在时,拱顶离水面2米,水面宽4米,水位下降1米后,水面宽 米.
23(陕西19). 已知椭圆,椭圆以的长轴为短轴,且与有相同的离心率.(1)求椭圆的方程;
(1) 设O为坐标原点,点A,B分别在椭圆和上,,
求直线的方程.
24(上海22).在平面直角坐标系中,已知双曲线.
(1)过的左顶点引的一条渐近线的平行线,求该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积;
(2)设斜率为1的直线l交于P、Q两点,若l与圆相切,求证:OP⊥OQ;
(3)设椭圆. 若M、N分别是、上的动点,且OM⊥ON,
求证:O到直线MN的距离是定值.
25(四川8).已知抛物线关于轴对称,它的顶点在坐标原点,并且经过点
。若点到该抛物线焦点的距离为,则____________.
26(四川15).椭圆的左焦点为,直线与椭圆相交于点、,当的周长最大时,的面积是___________.
27(四川21).如图,动点到两定点、构成,且,设动点的轨迹为。
(Ⅰ)求轨迹的方程;
(Ⅱ)设直线与轴交于点,与轨迹相交于点,且,求的取值范围。
28(天津12).己知抛物线的参数方程为(为参数),其中,焦点为,准线为,过抛物线上一点作的垂线,垂足为,若,点的横坐标是3,则 _____ .
29(天津19)设椭圆的左、右顶点分别为,点P在椭圆上且异于两点,为坐标原点.
(Ⅰ)若直线与的斜率之积为,求椭圆的离心率;
(Ⅱ)若,证明:直线的斜率满足.
30(新课4).设是椭圆的左、右焦点,为直线上一点,是底角为的等腰三角形,则的离心率为____________.
31(新课标8).等轴双曲线的中心在原点,焦点在轴上,与抛物线
的准线交于两点,;则的实轴长为___________.
32(新课标20).设抛物线的焦点为,准线为,,已知以为圆心,为半径的圆交于两点;
(1)若,的面积为;求的值及圆的方程;
(2)若三点在同一直线上,直线与平行,且与只有一个公共点,求坐标原点到距离的比值。
33(浙江8).如图,F1,F2分别是双曲线C:(a,b>0)的左右焦点,B是虚轴的端点,直线F1B与C的两条渐近线分别交于P,Q两点,线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M.若|MF2|=|F1F2|,则C的离心率是___________.
34(浙江21).如图,椭圆C:(a>b>0)的
离心率为,其左焦点到点P(2,1)的距离为.
不过原点O的直线l与C相交于A,B两点,
且线段AB被直线OP平分.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ) 求ABP的面积取最大时直线l的方程.
35(重庆14).过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点,若则= .
36(重庆20). 如图,设椭圆的中心为原点O,长轴在x轴上,上顶点为A,左右焦点分别为,线段的中点分别为,且△ 是面积为4的直角三角形。
(Ⅰ)求该椭圆的离心率和标准方程;
(Ⅱ)过做直线交椭圆于P,Q两点,使,求直线的方程
1. (安徽9) 【解析】设及;则点到准线的距离为得: 又的面积为
2. (安徽20)【解析】(I)点代入得:
①
又 ② ③
由①②③得: 既椭圆的方程为
(II)设;则
得:
过点与椭圆相切的直线斜率
得:直线与椭圆只有一个交点。
3.(北京12).【解析】由可求得焦点坐标F(1,0),因为倾斜角为,所以直线的斜率为,利用点斜式,直线方程为
,将直线和曲线联立,因此.
【答案】
4.(北京19).解:(1)原曲线方程可化简得:
由题意可得:,解得:
(2)由已知直线代入椭圆方程化简得:,
,解得:
由韦达定理得:①,,②
设,,
方程为:,则,
,,
欲证三点共线,只需证,共线
即成立,化简得:
将①②代入易知等式成立,则三点共线得证。
5.(福建8).考点:双曲线的定义。难度:中。
分析:本题考查的知识点为双曲线的定义,焦点,渐近线,抛物线的定义。
解答:抛物线的焦点为。 双曲线中,。
双曲线渐近线方程为。
所以焦点到渐近线的距离。
6.(福建19).考点:三角恒等变换。难度:难。
解答:(Ⅰ)设
则
的周长为
椭圆的方程为
(Ⅱ)由对称性可知设与
直线
(*)
(*)对恒成立, 得
7.(广东20).【解析】(1)设 由,
所以
设是椭圆上任意一点,则,所以
当时,当时,有最大值,可得,所以
当时, 不合题意
故椭圆的方程为:
(2)中,,
当且仅当时,有最大值,
时,点到直线的距离为
又,此时点
8.(湖北14).考点分析:本题考察双曲线中离心率及实轴虚轴的相关定义,以及一般平面几何图形的面积计算.难易度:★★
解析:(Ⅰ)由于以为直径的圆内切于菱形,因此点到直线的距离为,又由于虚轴两端点为,,因此的长为,那么在中,由三角形的面积公式知,,又由双曲线中存在关系联立可得出,根据解出
(Ⅱ)设,很显然知道,因此.在中求得故;
菱形的面积,再根据第一问中求得的值可以解出.
9.(湖北21). 解:(Ⅰ)如图1,设,,则由
,
可得,,所以,. ①
因为点在单位圆上运动,所以. ②
将①式代入②式即得所求曲线的方程为.
因为,所以
当时,曲线是焦点在轴上的椭圆,
两焦点坐标分别为,;
当时,曲线是焦点在轴上的椭圆,
两焦点坐标分别为,.
(Ⅱ)解法1:如图2、3,,设,,则,,
直线的方程为,将其代入椭圆的方程并整理可得
.
依题意可知此方程的两根为,,于是由韦达定理可得
,即.
因为点H在直线QN上,所以.
于是,.
而等价于,
即,又,得,
故存在,使得在其对应的椭圆上,对任意的,都有.
图2
图3
图1
O D x
y
A
M
第21题解答图
解法2:如图2、3,,设,,则,,
因为,两点在椭圆上,所以 两式相减可得
. ③
依题意,由点在第一象限可知,点也在第一象限,且,不重合,
故. 于是由③式可得
. ④
又,,三点共线,所以,即.
于是由④式可得.
而等价于,即,又,得,
故存在,使得在其对应的椭圆上,对任意的,都有.
10.(湖南5).【答案】-=1.
【解析】设双曲线C :-=1的半焦距为,则.
又C 的渐近线为,点P (2,1)在C 的渐近线上,,即.
又,,C的方程为-=1.
【点评】本题考查双曲线的方程、双曲线的渐近线方程等基础知识,考查了数形结合的思想和基本运算能力,是近年来常考题型.
11.(湖南21).【解析】(Ⅰ)解法1 :设M的坐标为,由已知得
,
易知圆上的点位于直线的右侧.于是,所以
.化简得曲线的方程为.
解法2 :由题设知,曲线上任意一点M到圆心的距离等于它到直线的距离,因此,曲线是以为焦点,直线为准线的抛物线,故其方程为.
(Ⅱ)当点P在直线上运动时,P的坐标为,又,则过P且与圆
相切得直线的斜率存在且不为0,每条切线都与抛物线有两个交点,切线方程为.于是
整理得
①
设过P所作的两条切线的斜率分别为,则是方程①的两个实根,故
②
由得 ③
设四点A,B,C,D的纵坐标分别为,则是方程③的两个实根,所以
④
同理可得
⑤
于是由②,④,⑤三式得
.
所以,当P在直线上运动时,四点A,B,C,D的纵坐标之积为定值6400.
【点评】本题考查曲线与方程、直线与曲线的位置关系,考查运算能力,考查数形结合思想、函数与方程思想等数学思想方法.第一问用直接法或定义法求出曲线的方程;第二问设出切线方程,把直线与曲线方程联立,由一元二次方程根与系数的关系得到四点纵坐标之积为定值,体现“设而不求”思想.
12.(江苏8). 【答案】2。
【考点】双曲线的性质。
【解析】由得。
∴,即,解得。
13.(江苏19).【考点】椭圆的性质,直线方程,两点间的距离公式。
【解析】(1)根据椭圆的性质和已知和都在椭圆上列式求解。
(2)根据已知条件,用待定系数法求解。
【答案】解:(1)由题设知,,由点在椭圆上,得
,∴。
由点在椭圆上,得
∴椭圆的方程为。
(2)由(1)得,,又∵∥
∴设、的方程分别为,。
∴。
∴。①
同理,。②
(i)由①②得,。解得=2。
∵注意到,∴。
∴直线的斜率为。
(ii)证明:∵∥,∴,即。
∴。
由点在椭圆上知,,∴。
同理。。
∴
由①②得,,,
∴。
∴是定值。
14(江西 13)【答案】【解析】本题着重考查等比中项的性质,以及椭圆的离心率等几何性质,同时考查了函数与方程,转化与化归思想.
利用椭圆及等比数列的性质解题.由椭圆的性质可知:,,.又已知,,成等比数列,故,即,则.故.即椭圆的离心率为.
【点评】求双曲线的离心率一般是通过已知条件建立有关的方程,然后化为有关的齐次式方程,进而转化为只含有离心率的方程,从而求解方程即可. 体现考纲中要求掌握椭圆的基本性质.来年需要注意椭圆的长轴,短轴长及其标准方程的求解等.
15(江西20). 解:(1)依题意可得,
,
由已知得,化简得曲线C的方程:
(2)假设存在点P(0,t)(t<0)满足条件,则直线PA的方程是,直线PB的方程是,曲线C在点Q处的切线l的方程为它与y轴的交点为,由于,因此
①当时, ,存在,使得,即l与直线PA平行,故当时不符合题意
②当时,,所以l 与直线PA,PB
一定相交,分别联立方程组,
解得D,E的横坐标分别是
则,又,
有,又
于是
对任意,要使△QAB与△PDE的面积之比是常数,只需t满足,
解得t=-1,此时△QAB与△PDE的面积之比为2,故存在t=-1,使△QAB与△PDE的面积之比是常数2。
16(辽宁15)
【命题意图】本题主要考查抛物线的切线与两直线的交点,是中档题.
【解析】,所以以点为切点的切线方程为,以点为切点的切线方程为,联立两方程的
17(辽宁20). 【命题意图】本题主要考查圆的方程、椭圆方程、轨迹求法、解析几何中的定值问题,考查转化与化归能力、运算求解能力,是难题.
【解析】设,又知,则
直线的方程为 ①
直线的方程为 ②
由①②得 ③
由点在椭圆上,故可得,从而有,代入③得
……6分
(2)证明:设,由矩形与矩形的面积相等,得
,因为点均在椭圆上,所以
由,知,所以。从而,因而为定值…
18(全国卷大纲版3) 答案
【命题意图】本试题主要考查了椭圆的方程以及性质的运用。通过准线方程确定焦点位置,然后借助于焦距和准线求解参数,从而得到椭圆的方程。
【解析】因为,由一条准线方程为可得该椭圆的焦点在轴上县,所以。故答案为
19(全国卷大纲版8).答案
【命题意图】本试题主要考查了双曲线的定义的运用和性质的运用,以及余弦定理的运用。首先运用定义得到两个焦半径的值,然后结合三角形中的余弦定理求解即可。
【解析】解:由题意可知,,设,则,故,,利用余弦定理可得。
20(全国卷大纲版21).【命题意图】本试题考查了抛物线与圆的方程,以及两个曲线的公共点处的切线的运用,并在此基础上求解点到直线的距离。
解:(1)设,对求导得,故直线的斜率,当时,不合题意,所心
圆心为,的斜率
由知,即,解得,故
所以
(2)设为上一点,则在该点处的切线方程为即
若该直线与圆相切,则圆心到该切线的距离为,即,化简可得
求解可得
抛物线在点处的切线分别为,其方程分别为
① ② ③
②-③得,将代入②得,故
所以到直线的距离为。
【点评】该试题出题的角度不同于平常,因为涉及的是两个二次曲线的交点问题,并且要研究两曲线在公共点出的切线,把解析几何和导数的工具性结合起来,是该试题的创新处。另外对于在第二问中更是难度加大了,出现了另外的两条公共的切线,这样的问题对于我们以后的学习也是一个需要练习的方向。
21(山东10)答案:
双曲线的渐近线的方程为,设直线
与椭圆在第一象限的交点坐标为,且由已知,代入椭圆方程有,又,解得,方程为。
解析:双曲线x²-y²=1的渐近线方程为,代入可得,则,又由可得,则,于是。椭圆方程为。
21(山东21)解:(Ⅰ)依题线段为圆的弦,由垂径定理知圆心的纵坐标,又到抛物线准线的距离为,所以.
所以为所求.
(Ⅱ)假设存在点,,又,,设,.变形为因为直线为抛物线的切线,故,解得,即,.
又取中点,,由垂径定理知,
所以,,,所以存在,.
(Ⅲ)依题,,圆心,,圆的半径,
圆心到直线的距离为,
所以,.
又联立,
设,,,,则有,.
所以,.
于是,
记,
,所以在,上单增,
所以当,取得最小值,
所以当时,取得最小值.
22(陕西13). 【答案】
【解析】建立如图所示的直角坐标系,使拱桥的顶点O的坐标为(0,0),
设l与抛物线的交点为A、B,根据题意知A(-2,-2),B(2,-2)
设抛物线的解析式为,则有,∴
∴抛物线的解析式为
水位下降1米,则y=-3,此时有或
∴此时水面宽为米。
23(陕西19). 【解析】(Ⅰ)由已知可设椭圆的方程为,
其离心率为,故,则,故椭圆的方程为
(Ⅱ)解法一 两点的坐标分别为,
由及(Ⅰ)知,三点共线且点不在轴上,
因此可设直线的方程为.
将代入中,得,所以,
将代入中,得,所以,
又由,得,即,
解得 ,故直线的方程为或
解法二 两点的坐标分别为,
由及(Ⅰ)知,三点共线且点不在轴上,
因此可设直线的方程为.
将代入中,得,所以,
又由,得,,
将代入中,得,即,
解得 ,故直线的方程为或
24(上海22).[解](1)双曲线,左顶点,渐近线方程:. 过点A与渐近线平行的直线方程为,即. 解方程组,得.
所以所求三角形的面积1为.
(2)设直线PQ的方程是.因直线与已知圆相切,
故,即. 由,得.
设P(x1, y1)、Q(x2, y2),则.
又2,所以
,故OP⊥OQ.
(3)当直线ON垂直于x轴时,
|ON|=1,|OM|=,则O到直线MN的距离为.
当直线ON不垂直于x轴时,
设直线ON的方程为(显然),则直线OM的方程为.
由,得,所以.同理.
设O到直线MN的距离为d,因为,
所以,即d=.
综上,O到直线MN的距离是定值.
【点评】本题主要考查双曲线的概念、标准方程、几何性质及其直线与双曲线的关系、椭圆的标准方程和圆的有关性质.特别要注意直线与双曲线的关系问题,在双曲线当中,最特殊的为等轴双曲线,它的离心率为,它的渐近线为,并且相互垂直,这些性质的运用可以大大节省解题时间,本题属于中档题 .
25(四川8). [答案]
[解析]设抛物线方程为y2=2px(p>0),则焦点坐标为(),准线方程为x=,
[点评]本题旨在考查抛物线的定义: |MF|=d,(M为抛物线上任意一点,F为抛物线的焦点,d为点M到准线的距离).
26(四川15). [答案]
[解析]根据椭圆定义知:4a=12, 得a=3 , 又
[点评]本题考查对椭圆概念的掌握程度.突出展现高考前的复习要回归课本的新课标理念.
27(四川21).[解析](1)设M的坐标为(x,y),显然有x>0,.
当∠MBA=90°时,点M的坐标为(2,, ±3)
当∠MBA≠90°时;x≠2.由∠MBA=2∠MAB,
有tan∠MBA=,即
化简得:3x2-y2-3=0,而又经过(2,,±3)
综上可知,轨迹C的方程为3x2-y2-3=0(x>1)
(II)由方程消去y,可得。(*)
由题意,方程(*)有两根且均在(1,+)内,设
所以
解得,m>1,且m2
设Q、R的坐标分别为,由有
所以
由m>1,且m2,有
所以的取值范围是
[点评]本小题主要考察直线、双曲线、轨迹方程的求法等基础知识,考察思维能力、运算能力,考察函数、分类与整合等思想,并考察思维的严谨性。
28(天津12)答案:2
【命题意图】本试题主要考查了参数方程及其参数的几何意义,抛物线的定义及其几何性质.
【解析】∵可得抛物线的标准方程为,∴焦点,∵点的横坐标是3,则,所以点, 由抛物线得几何性质得,∵,∴,解得.
29(天津19)【参考答案】
(1)取,;则
(2)设;则线段的中点
30(新课标4)【解析】
是底角为的等腰三角形
31(新课标8)【解析】
设交的准线于
得:
32(新课标20)【解析】(1)由对称性知:是等腰直角,斜边
点到准线的距离
圆的方程为
(2)由对称性设,则
点关于点对称得:
得:,直线
切点
直线
坐标原点到距离的比值为。
33(浙江8)【答案】
【解析】如图:|OB|=b,|O F1|=c.∴kPQ=,kMN=﹣.
直线PQ为:y=(x+c),两条渐近线为:y=x.由,得:
Q(,);由,得:P(,).∴直线MN为:y-=﹣(x-),
令y=0得:xM=.又∵|MF2|=|F1F2|=2c,∴3c=xM=,解之得:,即e=.
34(浙江21).【解析】(Ⅰ)由题:; (1)
左焦点(﹣c,0)到点P(2,1)的距离为:. (2)
由(1) (2)可解得:.
∴所求椭圆C的方程为:.
(Ⅱ)易得直线OP的方程:y=x,设A(xA,yA),B(xB,yB),R(x0,y0).其中y0=x0.
∵A,B在椭圆上,
∴.
设直线AB的方程为l:y=﹣(m≠0),
代入椭圆:.
显然.
∴<m<且m≠0.
由上又有:=m,=.
∴|AB|=||==.
∵点P(2,1)到直线l的距离为:.
∴SABP=d|AB|=|m-4|=,此时直线l的方程.
35(重庆14)【解析】
设
36(重庆20)
解:设所求椭圆的标准方程为,右焦点为。
因是直角三角形,又,故为直角,因此,得。
结合得,故,所以离心率。
在中,,故
由题设条件,得,从而。
因此所求椭圆的标准方程为:
(2)由(1)知,由题意知直线的倾斜角不为0,故可设直线的方程为:,代入椭圆方程得,
设,则是上面方程的两根,因此
,
又,所以
由,得,即,解得,
所以满足条件的直线有两条,其方程分别为:和