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- 2021-05-14 发布
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课时作业(三十七)A [第37讲 基本不等式]
[时间:35分钟 分值:80分]
1.[2011·合肥质检] 若M=(a∈R,a≠0),则M的取值范围为( )
A.(-∞,-4]∪[4,+∞) B.(-∞,-4]
C.[4,+∞) D.[-4,4]
2.已知ab≠0,a,b∈R,则下列式子总能成立的是( )
A.+≥2 B.+≥-2
C.+≤-2 D.≥2
3.[2011·重庆卷] 若函数f(x)=x+(x>2)在x=a处取最小值,则a=( )
A.1+ B.1+ C.3 D.4
4.对一切正数m,不等式n<+2m恒成立,则常数n的取值范围为( )
A.(-∞,0) B.(-∞,4)
C.(4,+∞) D.[4,+∞)
5.[2011·陕西卷] 设00,b>0,A为a,b的等差中项,正数G为a,b的等比中项,则ab与AG的大小关系是( )
A.ab=AG B.ab≥AG
C.ab≤AG D.不能确定
7.某商场中秋前30天月饼销售总量f(t)与时间t(0b>1,P=,Q=(lga+lgb),R=lg,则P,Q,R的大小关系为________.
10.[2011·吉林质检] 已知2a+3b=6,且a>0,b>0,则+的最小值是________.
11.下列函数中,y的最小值为4的是________(写出所有符合条件的序号).
①y=x+(x>0);②y=;③y=ex+4e-x;④y=sinx+.
12.(13分)若x,y∈R,且满足(x2+y2+2)(x2+y2-1)-18≤0.
(1)求x2+y2的取值范围;
(2)求证:xy≤2.
13.(1)(6分)[2011·惠州模拟] 若x、y、z均为正实数,则的最大值是( )
A. B. C.2 D.2
(2)(6分)设x,y,z为正实数,满足x-2y+3z=0,则的最小值是________.
课时作业(三十七)A
【基础热身】
1.A [解析] M=(a∈R,a≠0),当a>0时,M≥4,当a<0时,M≤-4.
2.D [解析] 选项A、B、C中不能保证、都为正或都为负.
3.C [解析] ∵x>2,
∴f(x)=x+=(x-2)++2≥2+2=4,
当且仅当x-2=,即x=3时取等号.
4.B [解析] 由题意知,n小于函数f(m)=+2m在(0,+∞)上的最小值,f(m)min=4.
【能力提升】
5.B [解析] 因为0b>1,所以lga>0,lgb>0,由基本不等式知(lga+lgb)>,所以P
,所以lg>lg=(lga+lgb),所以R>Q,所以P0,b>0,∴+=1, ∴+==1++≥1+1=2,当=时,即3b=2a时“=”成立. 11.①③ [解析] ①y=x+≥2=4,等号成立的条件是x=2; ②y==2 =2≥4,但等号不成立; ③y=ex+4e-x=ex+≥4,等号成立的条件是x=ln2; ④当sinx>0时,y=sinx+≥4,但等号不成立; 当sinx<0时,y=sinx+<-4. 12.[解答] (1)由(x2+y2)2+(x2+y2)-20≤0, 得(x2+y2+5)(x2+y2-4)≤0, 因为x2+y2+5>0,所以有0≤x2+y2≤4, 故x2+y2的取值范围为[0,4]. (2)证明:由(1)知x2+y2≤4,由基本不等式得xy≤≤=2,所以xy≤2. 【难点突破】 13.(1)A (2)3 [解析] (1)∵x,y,z∈(0,+∞),∴x2+y2+z2=x2+y2+y2+z2≥2+2=(xy+yz),当且仅当x=z=y时取等号,令u=,则≤=,∴当且仅当x=z=y时,u取得最大值. (2)由x-2y+3z=0,得y=, 代入得=≥=3, 当且仅当x=3z时取“=”.