高考数学江苏卷 15页

‎2008年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）‎ 数 学 本试卷共4页，包含填空题（第1题～第14题）、解答题（第15题～第20题）两部分。本试卷满分160分，考试时间为120分钟。‎ 一、填空题：本大题共1小题，每小题5分，共70分．‎ ‎1．若函数最小正周期为，则　　　　.‎ ‎2．若将一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具），先后抛掷两次，则出现向上的点数之和为4的概率是　　　　．‎ ‎3．若将复数表示为是虚数单位）的形式，则　　　　．‎ ‎4．若集合，则中有　　　　个元素 ‎5．已知向量和的夹角为，，则　　　　．‎ ‎6．在平面直角坐标系中，设是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向中随机投一点，则所投点在中的概率是　　　‎ 开始 S¬0‎ 输入Gi，Fi i¬1‎ S¬ S＋Gi·Fi i≥5‎ i¬ i＋1‎ N Y 输出S 结束 ‎7．某地区为了解岁的老人的日平均睡眠时间（单位：），随机选择了50位老人进行调查，下表是这50位老人睡眠时间的频率分布表：‎ 序号 分组 （睡眠时间）‎ 组中值（）‎ 频数 （人数）‎ 频率（）‎ ‎1‎ ‎6‎ ‎2‎ ‎10‎ ‎3‎ ‎20‎ ‎4‎ ‎10‎ ‎5‎ ‎4‎ 在上述统计数据的分析中一部分计算见算法流程图，则输出的S的值为 ‎ ‎8．设直线是曲线的一条切线，则实数的值是 ‎ A B C x y P O F E ‎9．如图，在平面直角坐标系中，设三角形的顶点分别为，点在线段AO上的一点（异于端点），这里均为非零实数，设直线分别与边交于点，某同学已正确求得直线的方程为 ‎，请你完成直线的方程： ( )。‎ ‎1‎ ‎2　3‎ ‎4　5　6‎ ‎7　8　9　10‎ ‎11　12　13　14　15‎ ‎………………‎ ‎10．将全体正整数排成一个三角形数阵：‎ 按照以上排列的规律，第行（）从左向右的第3个数为 ‎ ‎11．设为正实数，满足，则的最小值是 ‎ ‎12．在平面直角坐标系中，椭圆的焦距为‎2c，以O为圆心，为半径作圆，若过作圆的两条切线相互垂直，则椭圆的离心率为 ‎ ‎13．满足条件的三角形的面积的最大值 ‎ ‎14．设函数，若对于任意的都有成立，则实数的值为 ‎ B A x y O 二、解答题：本大题共6小题，共90分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎15．如图，在平面直角坐标系中，以轴为始边作两个锐角，它们的终边分别交单位圆于两点．已知两点的横坐标分别是，．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求的值．‎ A B C D E F ‎16．如图，在四面体中，，点分别是的中点．求证：‎ ‎（1）直线面；‎ ‎（2）平面面．‎ B C D A O P ‎17．如图，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的两个顶点A，B及CD的中点P处．AB＝‎20km，BC＝‎10km．为了处理这三家工厂的污水，现要在该矩形区域上（含边界）且与A，B等距的一点O处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道AO，BO，PO．记铺设管道的总长度为ykm．‎ ‎（1）按下列要求建立函数关系式：‎ ‎（i）设（rad），将表示成的函数；‎ ‎（ii）设（km），将表示成的函数； （2）请你选用（1）中的一个函数关系确定污水处理厂的位置，使铺设的污水管道的总长度最短。‎ ‎18．在平面直角坐标系中，记二次函数（）与两坐标轴有 三个交点．经过三个交点的圆记为．‎ ‎（1）求实数b的取值范围；‎ ‎（2）求圆的方程；‎ ‎（3）问圆是否经过定点（其坐标与的无关）？请证明你的结论．‎ ‎19．（1）设是各项均不为零的（）项等差数列，且公差，若将此数列删去某一项后得到的数列（按原来的顺序）是等比数列．‎ ‎（i）当时，求的数值；‎ ‎（ii）求的所有可能值．‎ ‎（2）求证：对于给定的正整数()，存在一个各项及公差均不为零的等差数列 ‎，其中任意三项（按原来的顺序）都不能组成等比数列．‎ ‎20．已知函数，（为常数）．函数定义为：对每个给定的实数，‎ ‎（1）求对所有实数成立的充分必要条件（用表示）；‎ ‎（2）设是两个实数，满足，且．若，求证：函数在区间上的单调增区间的长度之和为（闭区间的长度定义为）‎ ‎2008年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）‎ 数学附加题 ‎21：从A，B，C，D四个中选做2个，每题10分，共20分 B C E D A A．选修4—1　几何证明选讲 如图，设△ABC的外接圆的切线AE与BC的延长线 交于点E，∠BAC的平分线与BC交于点D．‎ 求证：．‎ B．选修4—2　矩阵与变换 在平面直角坐标系中，设椭圆在矩阵对应的变换作用下得到曲线F，求F的方程．‎ C．选修4—4　参数方程与极坐标 在平面直角坐标系中，点是椭圆上的一个动点，求的最大值．‎ D．选修4—5　不等式证明选讲 设a，b，c为正实数，求证：．‎ ‎22．【必做题】记动点P是棱长为1的正方体的对角线上一点，记．当为钝角时，求的取值范围．‎ ‎23．【必做题】．请先阅读：‎ 在等式（）的两边求导，得：，‎ 由求导法则，得，化简得等式：．‎ ‎（1）利用上题的想法（或其他方法），结合等式 （，正整数），证明：．‎ ‎（2）对于正整数，求证：‎ ‎（i）； （ii）； （iii）．‎ 参考答案 一、填空题：本大题共1小题，每小题5分，共70分．‎ ‎1．【解析】本小题考查三角函数的周期公式.‎ ‎【答案】10‎ ‎2．【解析】本小题考查古典概型．基本事件共6×6 个，点数和为4 的有(1,3)、(2,2)、(3,1)共3 个，故 ‎【答案】‎ ‎3．【解析】本小题考查复数的除法运算．∵ ，∴＝0，＝1，因此 ‎【答案】1‎ ‎4．【解析】本小题考查集合的运算和解一元二次不等式．由得,‎ ‎，因此，共有6个元素．‎ ‎【答案】6‎ ‎5．【解析】本小题考查向量的线性运算．‎ ‎=，7‎ ‎【答案】7‎ 开始 S¬0‎ 输入Gi，Fi i¬1‎ S¬ S＋Gi·Fi i≥5‎ i¬ i＋1‎ N Y 输出S 结束 ‎6．【解析】本小题考查古典概型．如图：区域D 表示边长为4 的正方形的内部（含边界），区域E 表示单位圆及其内部，因此．‎ ‎【答案】‎ ‎7．【解析】由流程图 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎【答案】6.42‎ ‎8．【解析】本小题考查导数的几何意义、切线的求法． ，令得，故切点（2，ln2），代入直线方程，得，所以b＝ln2－1．‎ ‎【答案】ln2－1‎ ‎9．A B C x y P O F E 【解析】本小题考查直线方程的求法．画草图，由对称性可猜想填．事实上，由截距式可得直线AB：，直线CP： ，两式相减得，显然直线AB与CP 的交点F 满足此方程，又原点O 也满足此方程，故为所求直线OF 的方程．‎ ‎【答案】‎ ‎10．【解析】本小题考查归纳推理和等差数列求和公式．前n－1 行共有正整数1＋2＋…＋（n－1）个，即个，因此第n 行第3 个数是全体正整数中第＋3个，即为．‎ ‎【答案】‎ ‎11．【解析】本小题考查二元基本不等式的运用．由得，代入得 ‎，当且仅当＝3 时取“＝”．‎ ‎【答案】3‎ ‎12．【解析】设切线PA、PB 互相垂直，又半径OA 垂直于PA，所以△OAP 是等腰直角三角形，故，解得．‎ ‎【答案】‎ ‎13．【解析】本小题考查三角形面积公式、余弦定理以及函数思想．设BC＝，则AC＝ ，‎ 根据面积公式得=，根据余弦定理得 ‎，代入上式得 ‎=‎ 由三角形三边关系有解得，‎ 故当时取得最大值 ‎【答案】‎ ‎14．【解析】本小题考查函数单调性的综合运用．若x＝0，则不论取何值，≥0显然成立；当x＞0 即时，≥0可化为，‎ 设，则， 所以 在区间上单调递增，在区间上单调递减，因此，从而≥4；‎ 当x＜0 即时，≥0可化为，‎ ‎ 在区间上单调递增，因此，从而≤4，综上＝4‎ ‎【答案】4‎ B A x y O 二、解答题：本大题共6小题，共90分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎15．【试题解析】先由已知条件得，第（1）问求的值，运用正切的和角公式；第（2）问求的值，先求出的值，再根据范围确定角的值。‎ ‎【标准答案】‎ ‎（1）由已知条件即三角函数的定义可知，‎ 因故，从而 同理可得 ，因此.‎ 所以=;‎ ‎（2）,‎ 从而由 得 .‎ ‎16． 【试题解析】第1问根据线面平行关系的判定定理 ，在面内找一条直线和直线EF平行即可，第2问，需在其中一个平面内找一条直线和另一个面垂直，由线面垂直推出面面垂直。‎ A B C D E F ‎【标准答案】‎ 证明：（1）∵E,F分别是的中点．‎ ‎∴EF是△ABD的中位线，∴EF∥AD，‎ ‎∵EF∥面ACD，AD面ACD，∴直线EF∥面ACD；‎ ‎（2）∵AD⊥BD，EF∥AD，∴EF⊥BD，‎ ‎∵CB=CD，F是ＢＤ的中点，∴CF⊥BD 又EF∩CF=F, ∴BD⊥面EFC，‎ ‎∵BD面BCD，∴面面 ‎17．【解析】本小题主要考查函数最值的应用．‎ ‎（Ⅰ）①由条件知PQ 垂直平分AB，若∠BAO=(rad) ，则, 故 ‎，又OP＝，‎ B C D A O P 所以， ‎ 所求函数关系式为 ‎②若OP=(km) ，则OQ＝10－，所以OA =OB=‎ 所求函数关系式为 ‎（Ⅱ）选择函数模型①，‎ 令0 得sin ，因为，所以=，‎ 当时， ，是的减函数；当时， ，是的增函数，所以当=时，。这时点P 位于线段AB 的中垂线上，在矩形区域内且距离AB 边km处。‎ ‎18．解：本小题主要考查二次函数图象与性质、圆的方程的求法．‎ ‎（Ⅰ）令＝0，得抛物线与轴交点是（0，b）；‎ 令，由题意b≠0 且Δ＞0，解得b＜1 且b≠0．‎ ‎（Ⅱ）设所求圆的一般方程为 令＝0 得这与＝0 是同一个方程，故D＝2，F＝．‎ 令＝0 得＝0，此方程有一个根为b，代入得出E＝―b―1．‎ 所以圆C 的方程为.‎ ‎（Ⅲ）圆C 必过定点，证明如下：‎ 假设圆C过定点 ，将该点的坐标代入圆C的方程，‎ 并变形为 （*）‎ 为使（*）式对所有满足的都成立，必须有，结合（*）式得 ‎，解得 经检验知，点均在圆C上，因此圆C 过定点。‎ ‎19．解：（1）①当n=4时, 中不可能删去首项或末项，否则等差数列中连续三项成等比数列，则推出d=0。‎ ‎ 若删去，则，即化简得，得 若删去，则，即化简得，得 综上，得或。‎ ‎②当n=5时, 中同样不可能删去，否则出现连续三项。‎ 若删去，则，即化简得，因为，所以不能删去；‎ 当n≥6时，不存在这样的等差数列。事实上，在数列中，由于不能删去首项或末项，若删去，则必有，这与矛盾；同样若删去也有，这与矛盾；若删去中任意一个，则必有，这与矛盾。(或者说：当n≥6时，无论删去哪一项，剩余的项中必有连续的三项)‎ 综上所述，。‎ ‎（2）假设对于某个正整数n，存在一个公差为d的n项等差数列，其中（）为任意三项成等比数列，则，即，化简得 （*）‎ 由知，与同时为0或同时不为0‎ 当与同时为0时，有与题设矛盾。‎ 故与同时不为0，所以由（*）得 因为，且x、y、z为整数，所以上式右边为有理数，从而为有理数。‎ 于是，对于任意的正整数，只要为无理数，相应的数列就是满足题意要求的数列。‎ 例如n项数列1，，，……，满足要求。‎ ‎20．解：（1）由的定义可知，（对所有实数）等价于 ‎（对所有实数）这又等价于，即 对所有实数均成立. （*）‎ ‎ 由于的最大值为，‎ ‎ 故（*）等价于，即，这就是所求的充分必要条件 ‎（2）分两种情形讨论 ‎ （i）当时，由（1）知（对所有实数）‎ O y x ‎(a,f(a))‎ ‎(b,f(b))‎ 图1‎ 则由及易知， ‎ 再由的单调性可知，‎ 函数在区间上的单调增区间的长度 为（参见示意图1）‎ ‎（ii）时，不妨设，则，于是 ‎ 当时，有，从而；‎ 当时，有 从而 ；‎ 当时，，及，由方程 O y x ‎(a,f(a))‎ ‎(b,f(b))‎ ‎(x0,y0)‎ ‎(p2,2)‎ ‎(p1,1)‎ 图2‎ ‎ 解得图象交点的横坐标为 ‎ ⑴‎ 显然，‎ 这表明在与之间。由⑴易知 ‎ ‎ 综上可知，在区间上， （参见示意图2）‎ 故由函数及的单调性可知，在区间上的单调增区间的长度之和为，由于，即，得 ‎ ⑵‎ 故由⑴、⑵得 ‎ 综合（i）（ii）可知，在区间上的单调增区间的长度和为。‎ ‎2008年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）‎ 数学附加题参考答案 ‎21：从A，B，C，D四个中选做2个，每题10分，共20分 A．证明：如图，因为 是圆的切线，‎ B C E D A ‎ 所以，,‎ ‎ 又因为是的平分线，‎ ‎ 所以 ‎ ‎ 从而 ‎ ‎ 因为 ,‎ ‎ ‎ ‎ 所以 ,故.‎ ‎ 因为 是圆的切线，所以由切割线定理知,‎ ‎ ,‎ ‎ 而,所以 B．解：设是椭圆上任意一点，点在矩阵对应的变换下变为点 ‎ 则有 ‎ ‎，即，所以 ‎ 又因为点在椭圆上，故，从而 ‎ 所以，曲线的方程是 ‎ C．解： 因椭圆的参数方程为 ‎ 故可设动点的坐标为，其中.‎ ‎ 因此 ‎ 所以，当时，取最大值2‎ D．证明：因为为正实数，由平均不等式可得 ‎ 即 ‎ ‎ 所以，‎ ‎ 而 ‎ 所以 ‎ ‎22．解：由题设可知，以、、为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，则有,,,‎ ‎ 由，得，所以 ‎ ‎ 显然不是平角，所以为钝角等价于 ‎ ，则等价于 即 ，得 因此，的取值范围是 ‎23．证明：（1）在等式两边对求导得 ‎ 移项得 （*）‎ ‎（2）（i）在（*）式中，令，整理得 ‎ ‎ 所以 ‎ ‎（ii）由（1）知 两边对求导，得 在上式中，令 ‎ ‎ 即 ，‎ 亦即 （1） ‎ 又由（i）知 （2）‎ 由（1）+（2）得 ‎（iii）将等式两边在上对积分 ‎ 由微积分基本定理，得 ‎ 所以 ‎