四川高考数学模拟试题理科 15页

‎2015四川高考数学模拟试题（理科）‎ 考试时间：120分 满分：150分 注意事项：‎ ‎1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 ‎2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题 满分 50分）‎ 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）‎ ‎1．已知集合则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．设是虚数单位，复数是纯虚数，则实数 A. B.2 C. D. ‎ ‎3．“”是“”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎4．执行右面的程序框图，若输出结果为，则可输入的实数值的个数为（ ）‎ 开始 输出y 输入x 否 是 结束 A． B． C． D．‎ ‎5．函数的部分图象如图所示,则的单调增区间为（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎6．的展开式的常数项是 A． 3 B． 2 C．-2 D． -3‎ ‎7．设不等式组表示的平面区域为 ，若指数函数的图像上存在区域 上的点，则a的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎8．已知直线ax+by+c﹣1=0（b、c＞0）经过圆x2+y2﹣2y﹣5=0的圆心，则的最小值是（ ）‎ A. 2 B. 4 C. 8 D. 9‎ ‎9．如图，动点在正方体的对角线上，过点作垂直于平面的直线，与正方体表面相交于．设，，则函数的图象大致是 （ ）‎ A B C D M N P A1‎ B1‎ C1‎ D1‎ y x A．‎ O y x B．‎ O y x C．‎ O y x D．‎ O ‎10．已知函数的定义域为，当时，，且对任意的，等式成立，若数列满足，且则的值为( )‎ A．4015 B． 4016 C． 4017 D．4018‎ 第II卷（非选择题 满分 100分）‎ 二、填空题（共5小题，每题5分，请将答案填写在答题卷中的横线上）‎ ‎11．已知向量a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，c＝(－1,2)，若(a＋b)∥c，则m＝________.‎ ‎12．若函数，则= _________．‎ ‎13．为举办校园文化节,某班推荐2名男生3名女生参加文艺技能培训，培训项目及人数分 别为:乐器1人,舞蹈2人,演唱2人,每人只参加一个项目，并且舞蹈和演唱项目必须 有女生参加,则不同的推荐方案的种数为_______.(用数字作答）‎ ‎14．设是定义在R上且周期为2的函数，在区间，上， 其中，若 ，则_______．‎ ‎15．设抛物线的焦点为,已知为抛物线上的两个动点，且满足,过弦的中点作抛物线准线的垂线,垂足为,则的最大值为 ．‎ 三、解答题（本大题共6小题，共 75分。解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤。）‎ ‎16．（本小题满分12分） ‎ 在中，角的对边分别为，向量，向量，且；‎ ‎（Ⅰ）求角的大小；‎ ‎（Ⅱ）设中点为，且；求的最大值及此时的面积。‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ 设各项均为正数的数列的前项和为，满足且恰好是等比数列的前三项．‎ ‎（Ⅰ）求数列、的通项公式； ‎ ‎（Ⅱ）记数列的前项和为，若对任意的，恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 如图为某校语言类专业N名毕业生的综合测评成绩（百分制）分布直方图，已知80~90分数段的学员数为21人 ‎（I）求该专业毕业总人数N和90~95分数段内的人数；‎ ‎（II）现欲将90~95分数段内的名毕业生分配往甲、乙、丙三所学校，若向学校甲分配两名毕业生，且其中至少有一名男生的概率为，求名毕业生中男女各几人（男女人数均至少两人）？‎ ‎（III）在（II）的结论下，设随机变量表示n名毕业生中分配往乙学校的三名学生中男生的人数，求的分布列和数学期望.‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 如图，四棱锥中，是正三角形，四边形是矩形，且平面平面，，．‎ ‎(Ⅰ)若点是的中点，求证：平面；‎ ‎（II）试问点在线段上什么位置时，二面角的余弦值为.‎ ‎20．（本题满分13分）‎ 已知圆的公共点的轨迹为曲线,且曲线与轴的正半轴相交于点．若曲线上相异两点、满足直线,的斜率之积为．‎ ‎（Ⅰ）求的方程；‎ ‎（Ⅱ）证明直线恒过定点，并求定点的坐标；‎ ‎（Ⅲ）求的面积的最大值．‎ ‎21．（本题满分14分）‎ 己知，其中常数．‎ ‎（Ⅰ）当时，求函数的极值；‎ ‎（Ⅱ）若函数有两个零点，求证： ‎ 参考答案 ‎1．D【解析】由得，‎ ‎2．A【解析】由于复数是纯虚数，，得 ‎3．B．【解析】∵，∴“”是“”的必要不充分条件．‎ ‎4．C【解析】根据题意，当时，令，得；当时，令，得，故输入的实数值的个数为3．‎ ‎5．C ‎【解析】‎ 由题知A=2，由五点法作图知，，解得=2，，所以=，令，解得，所以的单调增区间为，故选C．‎ ‎6．A【解析】展开式中，的系数，常数项，故展开式的常数项是 ‎7．B【解析】作出可行域如图所示绿色区域．‎ ‎ 时， 时， ，的图像上不存在区域上的点．当 ‎ 时，当过点（1，3）时，a取到最大值3，所以 ‎8．D【解析】将圆化成标准方程可得圆心为C（0，1），代入题中的直线方程算出b+c=1，从而化简得=+5，再根据基本不等式加以计算，可得当b=且c=时，的最小值为9．‎ ‎9．B【解析】如图在平面的射影是 ，所以 ，动点 从 运动到 ， 从 增大到 ，又减小到 ，成对称变换，当 从 增大到时， ， ，在 ， ，即 ，所以 ‎ ‎10．C【解析】令得所以或若则对任意都有与题设相矛盾，故=又令,则,所以 任取,且,，所以函数在上是单调减函数.‎ 所以由得，‎ 所以数列是一个首项为1公差为2的等差数列,‎ ‎11．－1【解析】由题知a＋b＝(1，m－1)，c＝(－1,2)，由(a＋b)∥c，得1×2－(m－1)×(－1)＝m＋1＝0，所以m＝－1.X K B 1.C O M ‎12．2‎ ‎【解析】由函数的解析式可知，∴‎ ‎．‎ ‎13．24【解析】依题意可分为两类：1类是乐器项目女生参加，则方法有种；2类是乐器项目男生参加，方法有种，所以共有+=24种.‎ ‎14．‎ ‎【解析】∵是定义在上且周期为2的函数，∴，即①．‎ 又∵，，‎ ‎∴②．联立①②，解得，，∴．‎ ‎15．【解析】过作准线的垂线,垂足为,由图可知,,根据抛物线的定义可知,所以．在中,根据余弦定理可知,所以．‎ 根据基本不等式的性质,所以上式可化为,即,所以．‎ ‎16．【解析】(Ⅰ）因为，故有，‎ 由正弦定理可得，即.‎ 由余弦定理可知 因为，所以.‎ ‎ （Ⅱ）设，则在中，由可知，‎ 由正弦定理及有； ‎ 所以，‎ 所以，‎ 从而.‎ 由可知，‎ 所以当，即时，的最大值为；‎ 此时，所以.‎ ‎17．【解析】‎ ‎（Ⅰ）当时，，‎ ‎ 2分 当时，数列是公差为的等差数列．构成等比数列，‎ ‎，，解得 3分 由条件可知， 4分 是首项公差为的等差数列．‎ 所以数列的通项公式是； 5分 数列的通项公式是 6分 ‎（Ⅱ），‎ ‎ 对恒成立，‎ ‎ 对恒成立， 8分，‎ 令，9分 当时，，当时，，10分 所以，． 12分 ‎18． 【解析】 (Ⅰ) 分数段的毕业生的频率为,‎ 此分数段的学员总数为人所以毕业生的总人数为 2分 分数段内的人数频率为 所以分数段内的人数 4分 ‎(Ⅱ) 分数段内共名毕业生,设其中男生名,女生为名 设分配往甲校的两名毕业生中至少有一名男毕业生为事件,则 则 解得或(舍去)即名毕业生中有男生人,女生人 8分 ‎(Ⅲ) 表示名毕业生中分配往甲学校的两名学生中男生的人数,‎ 所以的取值可以为 当时,‎ 当时,‎ 当时,‎ 所以的分布列为 所以随机变量数学期望为 12分 ‎19．【解析】（Ⅰ）证明：连接，设，连接，‎ 由三角形的中位线定理可得：，‎ ‎∵平面，平面，∴平面．‎ ‎（II）建立如图空间直角坐标系，‎ 在中，斜边,得，所以，.‎ 设，得.‎ 设平面的一个法向量，由得，‎ 取，得.‎ 而平面的法向量，所以由题意，即，‎ 解得（舍去）或，所以，当点在线段的中点时，二面角的余弦值为.‎ ‎20．【解析】‎ ‎（Ⅰ）设⊙，⊙的公共点为,由已知得，，故 ‎, 因此曲线是长轴长焦距的椭圆，且，所以曲线的方程为 ‎（Ⅱ）由曲线的方程得，上顶点由题意知，‎ ‎，若直线AB的斜率不存在，则直线AB的方程为，故，且，因此 ‎，与已知不符，因此直线AB的斜率存在，设直线 ‎，代入椭圆E的方程得：…．①因为直线AB与曲线E有公共点A，B，所以方程①有两个非零不等实根，所以，，‎ 又，由 ‎，得 即 所以化简得：，故或，结合知，即直线AB恒过定点．‎ ‎（Ⅲ）由且得：或，又 ‎，当且仅当，即时，的面积最大，最大值为 ‎21．【解析】函数的定义域为， ‎ ‎（1）当时，，， ‎ 而在上单调递增，又，‎ 当时，，则在上单调递减；‎ 当时，，则在上单调递增，所以有极小值，没有极大值． ‎ ‎（2）先证明：当恒成立时，有 成立．‎ 若，则显然成立；‎ 若，由得，令，则，‎ 令，由得在上单调递增，‎ 又因为，所以在上为负，在上为正，因此在上递减，在上递增，所以，从而．‎ 因而函数若有两个零点，则，所以，‎ 由得，则 ‎，‎ 所以在上单调递增，所以，‎ 所以在上单调递增，所以 ‎，则，所以，‎ 由得，则 ‎，所以，综上得． ‎