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- 2021-05-14 发布
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【备战2013高考数学专题讲座】
第7讲:数学思想方法之整体思想探讨
江苏泰州锦元数学工作室 编辑
数学思想是指人们对数学理论和内容的本质的认识,数学方法是数学思想的具体化形式,实际上两者的本质是相同的,差别只是站在不同的角度看问题。通常混称为“数学思想方法”。常见的数学思想有:建模思想、归纳思想,分类思想、化归思想、整体思想、数形结合思想等。
整体思想就是从问题的整体性质出发,突出对问题的整体结构的分析和改造,发现问题的整体结构特征,善于用“集成”的眼光,把某些式子或图形看成一个整体,把握它们之间的关联,进行有目的、有意识的整体处理。
整体思想方法在代数式的化简与求值、解方程(组)、几何解证等方面都有广泛的应用,整体代入、叠加叠乘处理、整体运算、整体设元、整体处理、几何中的补形等都是整体思想方法在解数学问题中的具体运用。
结合2012年全国各地高考的实例,我们从下面四方面探讨整体思想的应用:(1)整体运算;(2)整体代换;(3)整体设元;(4)整体变形、补形。
一、整体运算:整体运算是着眼结构的整体性,根据问题的条件进行运算(包括整体配方、求导等),达到简化解题思路,确定解题的突破口或者总体思路。
典型例题:【版权归锦元数学工作室,不得转载】
例1. (2012年全国课标卷理5分)设点在曲线上,点在曲线上,则最小值为【 】
【答案】。
【考点】反函数的性质,导数的应用。
【解析】∵函数与函数互为反函数,∴它们的图象关于对称。
∴函数上的点到直线的距离为
设函数,则,∴。∴。
∴由图象关于对称得:最小值为。故选。
例2. (2012年全国课标卷文5分)当时,,则a的取值范围是【 】
(A)(0,) (B)(,1) (C)(1,) (D)(,2)
【答案】B。
【考点】指数函数和对数函数的性质。
【解析】设,作图。
∵当时,,
∴在时, 的图象在的图象上方。
根据对数函数的性质,。∴单调递减。
∴由时,得,解得。
∴要使时,,必须。
∴a的取值范围是(,1) 。故选B。
例3. (2012年江西省文5分)已知若a=f(lg5),则【 】
A. B. C. D.
【答案】C。
【考点】二倍角的余弦,诱导公式,对数的运算性质。
【解析】应用二倍角的余弦公式进行降幂处理:。
∴,
。
∴。故选C。
例4. (2012年江西省理5分)设数列都是等差数列,若,,则
▲ 。
【答案】35。
【考点】等差中项的性质,整体代换的数学思想。
【解析】∵数列都是等差数列,∴数列也是等差数列。
∴由等差中项的性质,得,即,
解得。
例5. (2012年江苏省16分)已知各项均为正数的两个数列和满足:,,
(1)设,,求证:数列是等差数列;
(2)设,,且是等比数列,求和的值.
【答案】解:(1)∵,∴。
∴ 。∴ 。
∴数列是以1 为公差的等差数列。
(2)∵,∴。
∴。(﹡)
设等比数列的公比为,由知,下面用反证法证明
若则,∴当时,,与(﹡)矛盾。
若则,∴当时,,与(﹡)矛盾。
∴综上所述,。∴,∴。
又∵,∴是公比是的等比数列。
若,则,于是。
又由即,得。
∴中至少有两项相同,与矛盾。∴。
∴。
∴ 。
【考点】等差数列和等比数列的基本性质,基本不等式,反证法。
【解析】(1)根据题设和,求出,从而证明而得证。
(2)根据基本不等式得到,用反证法证明等比数列的公比。
从而得到的结论,再由知是公比是的等比数列。最后用反证法求出。
例6. (2012年全国大纲卷文12分)已知数列{}中, =1,前n项和.
(1)求,
(2)求{}的通项公式。
【答案】解:(1)由 =1,得,解得。
同理,解得。
(2)∵,∴。
∴,即。
∴。
∴,即。
由 =1,得。
∴{}的通项公式为。
【考点】数列。
【解析】(1)由已知条件,可直接求出。
(2)由求出,两式相减,求出。从而各项相乘即可求得{}的通项公式。
例7. (2012年天津市文13分)已知{}是等差数列,其前项和为,{}是等比数列,且=,,.
(Ⅰ)求数列{}与{}的通项公式;
(Ⅱ)记,,证明。
【答案】解:(1)设等差数列的公差为,等比数列的公比为,
由=,得。
由条件,得方程组
,解得。
∴。
(Ⅱ)证明:由(1)得, ①;
∴ ②;
由②-①得,
∴。
【考点】等差数列与等比数列的综合;等差数列和等比数列的通项公式。
【分析】(Ⅰ)直接设出首项和公差,根据条件求出首项和公差,即可求出通项。
(Ⅱ)写出的表达式,借助于错位相减求和。
还可用数学归纳法证明其成立。
例8. (2012年浙江省文14分)已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=,n∈N﹡,数列{bn}满足an=4log2bn+3,n∈N﹡.
(1)求an,bn;
(2)求数列{an·bn}的前n项和Tn.
【答案】解:(1)由Sn=,得
当n=1时,;
当n2时,,n∈N﹡。
由an=4log2bn+3,得,n∈N﹡。
(2)由(1)知,n∈N﹡,
∴,
。
∴。
∴,n∈N﹡。
【考点】等比数列、等差数列的概念、通项公式以及求和公式,对数的定义。
【解析】(1)由Sn=,作即可求得an;代入an=4log2bn+3,化为指数形式即可求得bn。
(2)由an,bn求出数列{an·bn}的通项,得到,从而作即可求得T。
例9. (2012年全国大纲卷理5分)已知为第二象限角,,则【 】
A. B. C. D.
【答案】A。
【考点】两角和差的公式以及二倍角公式的运用。
【解析】首先利用平方法得到二倍角的正弦值,然后然后利用二倍角的余弦公式,将所求的转化为单角的正弦值和余弦值的问题:
∵,∴两边平方,得,即。
∵为第二象限角,∴因此。
∴。
∴。故选A。
例10. (2012年辽宁省理5分)已知,(0,π),则=【 】
(A) 1 (B) (C) (D) 1
【答案】A。
【考点】三角函数中的和差公式、倍角公式、三角函数的性质。
【解析】∵,∴。∴。
又∵,∴。∴,即。
∴。故选A。
另析:,
。
例11. (2012年北京市理13分)已知函数。
(1)求的定义域及最小正周期;
(2)求的单调递增区间。
【答案】解:(1)由解得,
∴的定义域为。
又∵
∴的最小正周期为。
(2)∵,
∴根据正弦函数的增减性,得或,。
解得或,。
∴的单调递增区间为。
【考点】三角函数的定义域、最小正周期和单调增减性。
【解析】(1)根据分式分母不为0的条件,结合正弦函数的零点得出的定义域。将变形,即可由求最小正周期的公式求得。
(2)根据正弦函数的增减性,结合的定义域,求出的单调递增区间。
二、整体代换:整体代换是根据问题的条件,选择一个或几个元素(代数式、数列等),将它们看成一个整体,进行等量代换,达到减少计算量的目的。
典型例题:【版权归锦元数学工作室,不得转载】
例1. (2012年福建省理5分)函数在[a,b]上有定义,若对任意x1,x2∈[a,b],有,则称在[a,b]上具有性质P.设在[1,3]上具有性质P,现给出如下命题:
①在[1,3]上的图象是连续不断的;
②在[1,]上具有性质P;
③若在x=2处取得最大值1,则=1,x∈[1,3];
④对任意x1,x2,x3,x4∈[1,3],有.
其中真命题的序号是【 】
A.①② B.①③ C.②④ D.③④
【答案】D。
【考点】抽象函数及其应用,函数的连续性。
【解析】对于命题①,设,显然它在[1,3]上具有性质P,但函数在处是不连续的,命题错误;
对于命题②,设,显然它在[1,3]上具有性质P,但在[1,]上不具有性质P,命题错误;
对于命题③,∵在x=2处取得最大值1,
∴在[1,3]上,,即。
∴。∴=1,x∈[1,3]。命题正确;
对于命题④,对任意x1,x2,x3,x4∈[1,3],有
命题正确。
故选D。
例2. (2012年安徽省理13分)设
(I)求在上的最小值;
(II)设曲线在点的切线方程为;求的值。
【答案】解:(I)设,则。
∴。
①当时,。∴在上是增函数。
∴当时,的最小值为。
②当时,
∴当且仅当时,的最小值为。
(II)∵,∴。
由题意得:,即,解得。
【考点】复合函数的应用,导数的应用,函数的增减性,基本不等式的应用。
【解析】(I)根据导数的的性质分和求解。
(II)根据切线的几何意义列方程组求解。
例3. (2012年江苏省16分)若函数在处取得极大值或极小值,则称为函数的极值点。【版权归锦元数学工作室,不得转载】
已知是实数,1和是函数的两个极值点.
(1)求和的值;
(2)设函数的导函数,求的极值点;
(3)设,其中,求函数的零点个数.
【答案】解:(1)由,得。
∵1和是函数的两个极值点,
∴ ,,解得。
(2)∵ 由(1)得, ,
∴,解得。
∵当时,;当时,,
∴是的极值点。
∵当或时,,∴ 不是的极值点。
∴的极值点是-2。
(3)令,则。
先讨论关于 的方程 根的情况:
当时,由(2 )可知,的两个不同的根为I 和一2 ,注意到是奇函数,∴的两个不同的根为一和2。
当时,∵, ,
∴一2 , -1,1 ,2 都不是的根。
由(1)知。
① 当时, ,于是是单调增函数,从而。
此时在无实根。
② 当时.,于是是单调增函数。
又∵,,的图象不间断,
∴ 在(1 , 2 )内有唯一实根。
同理,在(一2 ,一I )内有唯一实根。
③ 当时,,于是是单调减两数。
又∵, ,的图象不间断,
∴在(一1,1 )内有唯一实根。
因此,当时,有两个不同的根满足;当 时
有三个不同的根,满足。
现考虑函数的零点:
( i )当时,有两个根,满足。
而有三个不同的根,有两个不同的根,故有5 个零点。
( 11 )当时,有三个不同的根,满足。
而有三个不同的根,故有9 个零点。
综上所述,当时,函数有5 个零点;当时,函数有9 个零点。
【考点】函数的概念和性质,导数的应用。
【解析】(1)求出的导数,根据1和是函数的两个极值点代入列方程组求解即可。
(2)由(1)得,,求出,令,求解讨论即可。
(3)比较复杂,先分和讨论关于 的方程 根的情况;再考虑函数的零点。
例4. (2012年全国课标卷文5分)设函数的最大值为M,最小值为m,则M+m= ▲
【答案】2。
【考点】奇函数的性质。
【解析】∵, ∴设。
∵,
∴函数是奇函数,关于坐标原点对称,它的最大值与最小值之和为0。
∴。
例5. (2012年上海市文4分)方程的解是 ▲
【答案】。
【考点】解指数方程。
【解析】根据方程,化简得。
令,则原方程可化为,解得 或。
∴。∴原方程的解为。
例6. (2012年全国课标卷文5分)数列满足,则的前60项和为【 】
(A)3690 (B)3660 (C)1845 (D)1830
【答案】D。
【考点】分类归纳(数字的变化类),数列。
【解析】求出的通项:由得,
当时,;当时,;当时,;
当时,;当时,;当时,;
当时,;当时,;······
当时,;当时,;当时,;
当时,()。
∵,
∴的四项之和为()。
设()。
则的前项和等于的前15项和,而是首项为10,公差为16的等差数列,
∴的前项和=的前15项和=。故选D。
例7. (2012年四川省文5分)设函数,是公差不为0的等差数列,,则【 】
A、0 B、7 C、14 D、21
【答案】D。
【考点】高次函数的性质,等差数列性质。
【解析】∵是公差不为0的等差数列,记公差为。
∴。
则
。
∵,∴。
设,
则。
∴。故选D。
例8. (2012年山东省理13分)在平面直角坐标系xOy中,F是抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点,M是抛物线C上位于第一象限内的任意一点,过M,F,O三点的圆的圆心为Q,点Q到抛物线C的准线的距离为。
(Ⅰ)求抛物线C的方程;
(Ⅱ)是否存在点M,使得直线MQ与抛物线C相切于点M?若存在,求出点M的坐标;若不存在,说明理由;
(Ⅲ)若点M的横坐标为,直线l:y=kx+与抛物线C有两个不同的交点A,B,l与圆Q
有两个不同的交点D,E,求当时,的最小值。
【答案】解:(Ⅰ)F抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点F,设M,。
由题意可知,
则点Q到抛物线C的准线的距离为,解得。
∴抛物线C的方程为。
(Ⅱ)假设存在点M,使得直线MQ与抛物线C相切于点M,
而,,,
∴,即。
由可得,,则,
即,解得,点M的坐标为。
(Ⅲ)∵点M的横坐标为,∴点M,。
由可得。
设,则。
∴。
∵圆,圆心到直线l 的距离。
∴。
∴。
∵,∴令。
∴。
设,则。
当时,,
即当时,。
∴当时,。
【考点】抛物线和圆的性质,切线斜率的应用和意义,韦达定理的应用,导数的应用。函数的单调性质。
【解析】(Ⅰ)由已知条件,根据抛物线和圆的性质列式求解。
(Ⅱ)假设存在点M,使得直线MQ与抛物线C相切于点M,则由条件列式,并由切线斜率的应用和意义求出点M的坐标。
(Ⅲ)应用韦达定理、勾股定理,用表示出和,根据函数的单调性质可求解。
三、整体设元:整体设元是用新的参数去代替已知式或已知式中的某一部分,达到化繁为简、化难为易的目的。
典型例题:【版权归锦元数学工作室,不得转载】
例1. (2012年山东省理5分)设函数,若的图像与图像有且仅有两个不同的公共点A(x1,y1),B(x2,y2),则下列判断正确的是【 】
A. 当a<0时,x1+x2<0,y1+y2>0 B. 当a<0时,x1+x2>0, y1+y2<0
C. 当a>0时,x1+x2<0,y1+y2<0 D. 当a>0时,x1+x2>0, y1+y2>0
【答案】B。
【考点】导数的应用。
【解析】令,则。
设,。
令,则
要使的图像与图像有且仅有两个不同的公共点必须:
,整理得。
取值讨论:可取来研究。
当时,,解得,此时,此时;
当时,,解得,此时,此时。故选B。
例2. (2012年全国大纲卷理12分)设函数。
(1)讨论的单调性;
(2)设,求的取值范围。
【答案】解:。
(1)∵,∴。
当时,,在上为单调递增函数;
当时,,在上为单调递减函数;
当时,由得,
由得或;
由得。
∴当时在和上为为单调递增函数;在上为单调递减函数。
(2)由恒成立可得。
令,则。
当时,,当时,。
又,所以,即
故当时,有,
①当时,,,所以。
②当时,。
综上可知故所求的取值范围为。
【考点】导数在研究函数中的运用,三角函数的有界性,。
【解析】(1)利用三角函数的有界性,求解单调区间。
(2)运用构造函数的思想,证明不等式。关键是找到合适的函数,运用导数证明最值大于或者小于零的问题得到解决。
例3. (2012年全国课标卷理12分)已知函数满足满足;
(1)求的解析式及单调区间;
(2)若,求的最大值。
【答案】解:(1)∵,∴。
令得,。∴。
∴,得。
∴的解析式为。
设,则。
∴在上单调递增。
又∵时,,单调递增;
时,,单调递减。
∴的单调区间为:单调递增区间为,单调递减区间为。
(2)∵,∴。
令得。
①当时,,∴在上单调递增。
但时,与矛盾。
②当时,由得;由得。
∴当时,
∴。
令;则。
由得;由得。
∴当时,
∴当时,的最大值为。
【考点】函数和导函数的性质。
【解析】(1)由求出和即可得到的解析式,根据导数的性质求出单调区间。
(2)由和,表示出,根据导函数的性质求解。
例4. (2012年北京市理13分)已知函数
(1)若曲线与曲线在它们的交点(1,c)处具有公共切线,求a、b的值;
(2)当时,求函数的单调区间,并求其在区间(-∞,-1)上的最大值。
【答案】解:(1)∵(1,c)为公共切点,∴。
∴,即①。
又∵,∴。
又∵曲线与曲线在它们的交点(1,c)处具有公共切线,
∴②。
解①②,得。
(2)∵,∴设。
则。令,解得。
∵,∴。
又∵在各区间的情况如下:
+
0
-
0
+
∴在单调递增,在单调递减,在上单调递增。
①若,即时,最大值为;
②若,即时,最大值为。
③若时,即时,最大值为。
综上所述:当时,最大值为;当时,最大值为1。
【考点】函数的单调区间和最大值,切线的斜率,导数的应用。
【解析】(1)由曲线与曲线有公共点(1,c)可得;由曲线与曲线在它们的交点(1,c)处具有公共切线可得两切线的斜率相等,即。联立两式即可求出a、b的值。
(2)由 得到只含一个参数的方程,求导可得的单调区间;根据 ,和三种情况讨论的最大值。
例5. (2012年天津市理14分)已知函数的最小值为,其中.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)若对任意的,有成立,求实数的最小值;
(Ⅲ)证明.
【答案】解:(Ⅰ)函数的定义域为,求导函数可得.
令,得。
当变化时,和的变化情况如下表:
-
0
+
↘
极小值
↗
∴在处取得极小值。
∴由题意,得。∴。
(Ⅱ)当≤0时,取,有,故≤0不合题意。
当>0时,令,即。
求导函数可得。
令,得。
①当时, ≤0,在(0,+∞)上恒成立,因此在(0,+∞)上单调递减,从而对任意的),总有,即对任意的,有成立。
∴符合题意。
②当时,>0,对于(0, ),>0,因此在
(0, )上单调递增,因此取(0, )时,,即有不成立。
∴不合题意。
综上,实数的最小值为。【版权归锦元数学工作室,不得转载】
(Ⅲ)证明:当=1时,不等式左边=2-ln3<2=右边,所以不等式成立。
当≥2时,
。
在(2)中,取,得,
∴。
∴
。
综上,。
【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用,利用导数求闭区间上函数的最值。
【分析】(Ⅰ)确定函数的定义域,求导函数,确定函数的单调性,求得函数的最小值,利用函数的最小值为,即可求得的值。
(Ⅱ)当≤0时,取,有,故≤0不合题意。当>0时,令,求导函数,令导函数等于0,分类讨论:①当 时,≤0,在(0,+∞)上单调递减,从而对任意的),总有。②当时,>0,对于(0, ),>0,因此在(0, )上单调递增。由此可确定的最小值。
(Ⅲ)当=1时,不等式左边=2-ln3<2=右边,所以不等式成立。当≥2时,由
,在(Ⅱ)中,取得,从而可得,由此可证结论。
例6. (2012年山东省理13分)已知函数 = (k为常数,e=2.71828……是自然对数的底数),曲线y= )在点(1,f(1))处的切线与x轴平行。
(Ⅰ)求k的值;
(Ⅱ)求的单调区间;
(Ⅲ)设g(x)=(x2+x) ,其中为f(x)的导函数,证明:对任意x>0,。
【答案】解:(Ⅰ)由 = 可得,
∵曲线y= f(x)在点(1,f(1))处的切线与x轴平行,
∴,即,解得。
(Ⅱ),令可得,即。
令,
由指数函数和对数函数的单调性知,在时,从单调减小;从单调增加。∴和只相交于一点,即只有一解。
由(Ⅰ)知,,∴。
当时,;当时,。(取点代入)
∴在区间内为增函数;在内为减函数。
(Ⅲ)∵,
可以证明,对任意x>0,有(通过函数的增减性和极值证明),
∴。
设。则。
令,解得。
当时,;当时,。
∴在取得最大值。
∴,即。
∴对任意x>0,。
【考点】曲线的切线,两直线平行的性质,幂函数、指数函数和对数函数的性质和极值。
【解析】(Ⅰ)由曲线y= f(x)在点(1,f(1))处的切线与x轴平行,可令y= f(x)在点(1,f(1))处的导数值为0,即可求得k的值。
(Ⅱ)求出函数的导数,讨论它的正负,即可得的单调区间。
(Ⅲ)对,用缩小法构造函数,求出它的最大值即可得到证明。
例7. (2012年广东省理14分)设a<1,集合,
(1)求集合D(用区间表示)
(2)求函数在D内的极值点。
【答案】解:(1)设,
方程的判别式
①当时,,恒成立,
∴。
∴,即集合D=。
②当时,,方程的两根为
,。
∴
∴,
即集合D=。
③当时,,方程的两根为
,。
∴
。
∴,
即集合D=。
(2)令得
的可能极值点为。
①当时,由(1)知,所以随的变化情况如下表:
0
0
↗
极大值
↘
极小值
↗
∴在D内有两个极值点为:极大值点为,极小值点为。
②当时,
由(1)知=。
∵, ∴,
∴随的变化情况如下表:
0
↗
极大值
↘
↗
∴在D内仅有一个极值点:极大值点为,没有极小值点。
③当时,
由(1)知。
∵,∴。
∴
。
∴。
∴在D内没有极值点。
【考点】分类思想的应用,集合的计算, 解不等式,导数的应用。
【解析】(1)根据根的判别式应用分类思想分、、讨论即可,计算比较繁。【版权归锦元数学工作室,不得转载】
(2)求出,得到的可能极值点为。仍然分、、讨论。
例8. (2012年全国课标卷文5分)设函数
(Ⅰ)求的单调区间
(Ⅱ)若a=1,k为整数,且当x>0时,,求k的最大值
【答案】解:(I) f(x)的的定义域为,。
若,则,∴在上单调递增。
若,则当时,;当时,,∴在上单调递减,在上单调递增。
(Ⅱ)∵a=1,∴。
∴当x>0时,,它等价于。
令,则。
由(I)知,函数在上单调递增。
∵,,∴在上存在唯一的零点。
∴在上存在唯一的零点,设此零点为,则。
当时,;当时,。
∴在上的最小值为。
又∵,即,∴。
因此,即整数k的最大值为2。
【考点】函数的单调性质,导数的应用。
【解析】(I)分和讨论的单调区间即可。
(Ⅱ)由于当x>0时,等价于,令,
求出导数,根据函数的零点情况求出整数k的最大值。
例9.(2012年全国课标卷理5分) 已知函数;则的图像大致为【 】
【答案】。
【考点】导数的应用。
【解析】设,则。
∵时,;时,,
∴。
∴或均有。因此排除。故选。
五、整体变形、补形:整体变形是将问题中某些局部运算作整体变形处理,使之呈现规律性结构形式,达到简化问题或减少运算量的目的。整体补形是根据题设条件将原题中的图形补足为某种特殊的图形,建立题设条件与特殊的图形之间的关系,突出问题本质,找到较简洁的解题方法。
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例1. (2012年辽宁省理5分)已知正三棱锥ABC,点P,A,B,C都在半径为的求面上,若PA,
PB,PC两两互相垂直,则球心到截面ABC的距离为 ▲ 。
【答案】。
【考点】组合体的线线,线面,面面位置关系,转化思想的应用。
【解析】∵在正三棱锥ABC中,PA,PB,PC两两互相垂直,
∴可以把该正三棱锥看作为一个正方体的一部分,(如图所示),此正方体内接于球,正方体的体对角线为球的直径EP,球心为正方体对角线的中点O,且EP⊥平面ABC,EP与平面ABC上的高相交于点F。
∴球O到截面ABC的距离OF为球的半径OP减去正三棱锥
ABC在面ABC上的高FP。
∵球的半径为,设正方体的棱长为,则由勾股定理得。
解得正方体的棱长=2,每个面的对角线长。
∴截面ABC的高为, 。
∴在Rt△BFP中,由勾股定理得,正三棱锥ABC在面ABC上的高。
∴所以球心到截面ABC的距离为。
例2.(2012年福建省文12分) 如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=1,AA1=2,M为棱DD1上的一点.
(I)求三棱锥A-MCC1的体积;
(II)当A1M+MC取得最小值时,求证:B1M⊥平面MAC.
【答案】解:(I)由长方体ABCD-A1B1C1D1知,AD⊥平面CDD1C1,
∴点A到平面CDD1C1的距离等于AD=1。
又∵==×2×1=1,
∴ 。
(II)将侧面CDD1C1绕DD1逆时针转90°展开,与侧面ADD1A1共面(如图),
当A1,M,C共线时,A1M+MC取得最小值。
由AD=CD=1,AA1=2,得M为DD1中点.
连接C1M,
在△C1MC中,MC1=,MC=,CC1=2,
∴CC=MC+MC2,得∠CMC1=90°,即CM⊥MC1。
又由长方体ABCD-A1B1C1D1知,B1C1⊥平面CDD1C1,
∴B1C1⊥CM。
又B1C1∩C1M=C1,∴CM⊥平面B1C1M,得CM⊥B1M。
同理可证,B1M⊥AM。
又AM∩MC=M,∴B1M⊥平面MAC。
【考点】棱锥的体积,直线与直线、直线与平面的位置关系。
【解析】(I)由题意可知,A到平面CDD1C1的距离等于AD=1,易求=1,从而可求。
(II)侧面CDD1C1绕DD1逆时针转90°展开,与侧面ADD1A1共面,当A1,M,C共线时,A1M+MC取得最小值.易证CM⊥平面B1C1M,从而CM⊥B1M,同理可证,B1M⊥AM,问题得到解决。
例3. (2012年安徽省理12分)平面图形如图4所示,其中是矩形,,,。现将该平面图形分别沿和折叠,使与所在平面都与平面垂直,再分别连接,得到如图2所示的空间图形,对此空间图形解答下列问题。
(Ⅰ)证明:;
(Ⅱ)求的长;
(Ⅲ)求二面角的余弦值。
【答案】解:(I)取的中点为点,连接
∵,∴。
∵面面,∴面。
同理:面 。
∴。∴共面。
又∵,
∴面。∴。
(Ⅱ)延长到,使 ,连接。
∵,∴。
∴。
∵,面面,
∴面。∴面。
∴在中,。
(Ⅲ)∵,∴是二面角的平面角。
∴在中,。
在中,
∴二面角的余弦值为。
【考点】空间中直线与直线之间的位置关系,直线与平面所成的角,余弦定理。
【解析】(I)要证,即要面,从而通过证明面和面,得到共面。由,得到面。从而是证。
(Ⅱ)构造,在中,应用勾股定理即可求得的长。
(Ⅲ)要求二面角的余弦值,先要找出二面角的平面角。由 知,是二面角的平面角。在中,应用勾股定理求得的长,在中,应用余弦定理即可求得的余弦值,即二面角的余弦值。