高考数学一轮复习教学案基础知识高频考点解题训练空间向量及其运算和空间位置关系含解析 15页

空间向量及其运算和空间位置关系(理)‎ ‎[知识能否忆起]‎ 一、 空间向量及其有关概念 语言描述 共线向量(平行向量)‎ 表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合．‎ 共面向量 平行于同一平面的向量．‎ 共线向量定理 对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b⇔存在λ∈R，使a＝λb.‎ 共面向量定理 若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面⇔存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.‎ 空间向量基本定理 ‎(1)定理：如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}使得p＝x a＋y b＋z c．‎ ‎(2)推论：设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间一点P都存在唯一的三个有序实数x、y、z使＝x＋y＋z且x＋y＋z＝1.‎ 二、数量积及坐标运算 ‎1．两个向量的数量积 ‎(1)a·b＝|a||b|cos〈a，b〉；‎ ‎(2)a⊥b⇔a·b＝0(a，b为非零向量)；‎ ‎(3)|a|2＝a2，|a|＝.‎ ‎2．向量的坐标运算 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)‎ 向量和 a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)‎ 向量差 a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)‎ 数量积 a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3‎ 共线 a∥b⇒a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)‎ 垂直 a⊥b⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0‎ 夹角 公式 cos〈a，b〉＝ 三、平面的法向量 ‎(1)所谓平面的法向量，就是指所在的直线与平面垂直的向量，显然一个平面的法向量有无数多个，它们是共线向量．‎ ‎(2)在空间中，给定一个点A和一个向量a，那么以向量a为法向量且经过点A的平面是唯一的．‎ ‎[小题能否全取]‎ ‎1．(课本习题改编)已知a＝(－2，－3,1)，b＝(2,0,4)，c＝(－4，－6,2)则下列结论正确的是(　　)‎ A．a∥c，b∥c　　　　　　　　 B．a∥b，a⊥c C．a∥c，a⊥b D．以上都不对 解析：选C　∵c＝(－4，－6,2)＝‎2a，∴a∥c.又a·b＝0，故a⊥b.‎ ‎2．(2012·济宁一模)若{a，b，c}为空间的一组基底，则下列各项中，能构成基底的一组向量是(　　)‎ A．{a，a＋b，a－b} B．{b，a＋b，a－b}‎ C．{c，a＋b，a－b} D．{a＋b，a－b，a＋2b}‎ 解析：选C　若c、a＋b、a－b共面， 则c＝λ(a＋b)＋m(a－b)＝(λ＋m)a＋(λ－m)b，则a、b、c为共面向量，与{a，b，c}为空间向量的一组基底矛盾，故c，a＋b，a－b可构成空间向量的一组基底．‎ ‎3．(教材习题改编)下列命题：‎ ‎①若A、B、C、D是空间任意四点，则有＋＋＋＝0；‎ ‎②若＝x＋y，则M、P、A、B共面；‎ ‎③若p＝x a＋y b，则p与a，b共面．‎ 其中正确的个数为(　　)‎ A．0　　　　　　　　　 B．1‎ C．2 D．3‎ 解析：选D　可判断①②③正确．‎ ‎4．在四面体O－ABC中，＝a，＝b，＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则＝________(用a，b，c表示)．‎ 解析：如图，＝＋ ‎＝＋＋ ‎＝a＋b＋c.‎ 答案：a＋b＋c ‎5．已知ABCD－A1B‎1C1D1为正方体，①(＋＋)2＝32；②·(－)＝0；③向量与向量的夹角是60°；④正方体ABCD－A1B‎1C1D1的体积为|··|.其中正确命题的序号是________．‎ 解析：设正方体的棱长为1，①中(＋＋)2＝32＝3，故①正确；②中－＝，由于AB1⊥A‎1C，故②正确；③中A1B与AD1两异面直线所成角为60°，但与的夹角为120°，故③不正确；④中|··|＝0.故④也不正确．‎ 答案：①②‎ ‎1.用空间向量解决立体几何中的平行或共线问题一般用向量共线定理；求两点间距离或某一线段的长度，一般用向量的模来解决；解决垂直问题一般可转化为向量的数量积为零；求异面直线所成的角，一般可以转化为两向量的夹角，但要注意两种角的范围不同，最后应进行转化．‎ ‎2．直线的方向向量与平面的法向量的确定：‎ ‎(1)直线的方向向量：l是空间一直线，A，B是直线l上任意两点，则称为直线l的方向向量，与平行的任意非零向量也是直线l的方向向量．‎ ‎(2)平面的法向量可利用方程组求出：设a，b是平面α内两不共线向量，n为平面α的法向量，则求法向量的方程组为 空间向量的线性运算 典题导入 ‎[例1]　如图，在平行六面体ABCD－A1B‎1C1D1中G为△A1BD的重心，设＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示，.‎ ‎[自主解答]　 ＝＋＋＝＋＋‎ ‎＝a＋b＋c.‎ ‎＝＋‎ ‎＝＋(＋)‎ ‎＝＋(－)＋(－)‎ ‎＝＋＋ ‎＝a＋b＋c.‎ 本例条件不变，设A‎1C1与B1D1交点为M，试用a，b，c表示.‎ 解：如图，‎ ‎＝＋‎ ‎＝－(＋)＋(＋)‎ ‎＝－a－b＋(－)＋(－)‎ ‎＝－a－b＋b－c＋a－c ‎＝－a－b－c 由题悟法 用已知向量表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键，要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，灵活运用三角形法则及四边形法则．‎ 以题试法 ‎1.如图所示，已知空间四边形OABC，其对角线为OB、AC，M、N分别为OA、BC的中点，点G在线段MN上，且＝2，若＝x＋y＋z，则x，y，z的值分别为________．‎ 解析：∵＝＋＝＋ ‎＝＋(－)‎ ‎＝＋－ ‎＝＋×(＋)－× ‎＝＋＋ ‎∴x，y，z的值分别为，，.‎ 答案：，， 共线、共面向量定理的应用 典题导入 ‎[例2]　如右图，已知平行六面体ABCD－A′B′C′D′，E、F、G、H分别是棱A′D′、D′C′、C′C和AB的中点，求证E、F、G、H四点共面．‎ ‎[自主解答]　取＝a，＝b，＝c，则＝＋＋＝＋2＋ ‎＝b－a＋‎2a＋(＋＋)＝b＋a＋(b－a－c－a)‎ ‎＝b－c，∴与b、c共面．即E、F、G、H四点共面．‎ 由题悟法 应用共线向量定理、共面向量定理证明点共线、点共面的方法比较：‎ 三点(P，A，B)共线 空间四点(M，P，A，B)共面 ‎＝λ且同过点P ‎＝x＋y 对空间任一点O，＝→＋t 对空间任一点O，＝＋x＋y ‎ 对空间任一点O，＝x＋(1－x) ‎ 对空间任一点O，＝x＋y＋(1－x－y) ‎ 以题试法 ‎2.已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，用向量方法，求证：‎ ‎(1)E、F、G、H四点共面；‎ ‎(2)BD∥平面EFGH.‎ 证明：(1)连接BG，则＝＋‎ ‎＝＋(＋)‎ ‎＝＋＋＝＋，‎ 由共面向量定理知：‎ E、F、G、H四点共面．‎ ‎(2)因为＝－‎ ‎＝－＝(－)＝，‎ 又因为E、H、B、D四点不共线，所以EH∥BD.‎ 又EH⊂平面EFGH，BD⊄平面EFGH，‎ 所以BD∥平面EFGH.‎ 利用空间向量证明平行或垂直 典题导入 ‎[例3]　(2012·湖南模拟)已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，边长为‎2a，AD＝DE＝2AB，F为CD的中点．‎ ‎(1)求证：AF∥平面BCE；‎ ‎(2)求证：平面BCE⊥平面CDE.‎ ‎[自主解答]　依题意，以AC所在的直线为x轴，AB所在的直线为z轴，过点A且垂直于AC的直线为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，则A(0,0,0)，C(‎2a,0,0)，B(0,0，a)，D(a，a,0)，E(a，a,‎2a)．‎ ‎∵F为CD的中点，∴F.‎ ‎(1)易知，＝，＝(a，a，a)，＝(‎2a,0，－a)，‎ ‎∵＝(＋)，AF⊄平面BCE，‎ ‎∴AF∥平面BCE.‎ ‎(2)∵＝，＝(－a，a,0)，＝(0,0，－‎2a)，‎ ‎∴·＝0，·＝0，‎ ‎∴⊥，⊥，即AF⊥CD，AF⊥ED.‎ 又CD∩ED＝D，∴AF⊥平面CDE.‎ 又AF∥平面BCE，∴平面BCE⊥平面CDE.‎ 由题悟法 利用直线的方向向量与平面的法向量，可以判定直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行和垂直．‎ ‎(1)设直线l1的方向向量v1＝(a1，b1，c1)，l2的方向向量v2＝(a2，b2，c2)．‎ 则l1∥l2⇔v1∥v2⇔(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)(k∈R)．‎ l1⊥l2⇔v1⊥v2⇔a‎1a2＋b1b2＋c‎1c2＝0.‎ ‎(2)设直线l的方向向量为v＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量为n＝(a2，b2，c2)，则l∥α⇔v⊥n⇔a‎1a2＋b1b2＋c‎1c2＝0.‎ l⊥α⇔v∥n⇔(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)．‎ ‎(3)设平面α的法向量n1＝(a1，b1，c1)，β的法向量为n2＝(a2，b2，c2)，则α∥β⇔n1∥n2，α⊥β⇔n1⊥n2.‎ 以题试法 ‎3．(2012·汕头模拟)‎ 如图所示的长方体ABCD－A1B‎1C1D1中，底面ABCD是边长为2的正方形，O为AC与BD的交点，BB1＝，M是线段B1D1的中点．‎ ‎(1)求证：BM∥平面D‎1AC；‎ ‎(2)求证：D1O⊥平面AB‎1C.‎ 证明：(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则点O(1,1,0)、D1(0,0，)，‎ ‎∴＝(－1，－1，)，‎ 又点B(2,2,0)，M(1,1，)，‎ ‎∴＝(－1，－1，)，‎ ‎∴＝，‎ 又∵OD1与BM不共线，‎ ‎∴OD1∥BM.‎ 又OD1⊂平面D‎1AC，BM⊄平面D‎1AC，‎ ‎∴BM∥平面D‎1AC.‎ ‎(2)连接OB1.∵·＝(－1，－1，)·(1,1，)＝0，·＝(－1，－1， ‎)·(－2,2,0)＝0，‎ ‎∴⊥，⊥，‎ 即OD1⊥OB1，OD1⊥AC，‎ 又OB1∩AC＝O，∴D1O⊥平面AB‎1C.‎ ‎1．(2013·大同月考)若直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，能使l∥α的是(　　)‎ A．a＝(1,0,0)，n＝(－2,0,0)‎ B．a＝(1,3,5)，n＝(1,0,1)‎ C．a＝(0,2,1)，n＝(－1,0，－1)‎ D．a＝(1，－1,3)，n＝(0,3,1)‎ 解析：选D　若l∥α，则a·n＝0.而A中a·n＝－2，‎ B中a·n＝1＋5＝6，C中a·n＝－1，‎ 只有D选项中a·n＝－3＋3＝0.‎ ‎2．已知a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(7,5，λ)，若a，b，c三向量共面，则实数λ等于(　　)‎ A.　　　　　　　　　　 B. C. D. 解析：选D　由题意得c＝t a＋μ b＝(2t－μ，－t＋4μ，3t－2μ)，‎ ‎∴∴ ‎3.如图所示，在平行六面体ABCD－A1B‎1C1D1中，M为A‎1C1与B1D1的交点．若＝a，＝b，＝c，则下列向量中与相等的向量是(　　)‎ A．－a＋b＋c　　　　　　 B.a＋b＋c C．－a－b＋c D.a－b＋c 解析：选A　＝＋＝＋(－)‎ ‎＝c＋(b－a)＝－a＋b＋c.‎ ‎4.(2013·晋中调研)如图所示，已知空间四边形OABC，OB＝OC，且∠AOB＝∠AOC＝，则cos〈，〉的值为(　　)‎ A．0 B. C. D. 解析：选A　设＝a，＝b，＝c，‎ 由已知条件〈a，b〉＝〈a，c〉＝，且|b|＝|c|，‎ ‎·＝a·(c－b)＝a·c－a·b ‎＝|a||c|－|a||b|＝0，∴cos〈，〉＝0.‎ ‎5．(2012·舟山月考)平行六面体ABCD－A1B‎1C1D1中，向量、、两两的夹角均为60°，且||＝1，||＝2，||＝3，则||等于(　　)‎ A．5 B．6‎ C．4 D．8‎ 解析：选A　设＝a，＝b，＝c，则＝a＋b＋c，‎ ‎2＝a2＋b2＋c2＋‎2a·c＋2b·c＋‎2c·a＝25，‎ 因此||＝5.‎ ‎6．在正方体ABCD－A1B‎1C1D1中，P为正方形A1B‎1C1D1四边上的动点，O为底面正方形ABCD的中心，M，N分别为AB，BC的中点，点Q为平面ABCD内一点，线段D1Q与OP互相平分，则满足＝λ的实数λ的值有(　　)‎ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 解析：选C　建立如图所示的坐标系，设正方体的棱长为2，‎ 则P(x，y,2)，O(1,1,0)，‎ ‎∴OP的中点坐标为 ，‎ 又知D1(0,0,2)，∴Q(x＋1，y＋1,0)，‎ 而Q在MN上，∴xQ＋yQ＝3，‎ ‎∴x＋y＝1，即点P坐标满足x＋y＝1.‎ ‎∴有2个符合题意的点P，即对应有2个λ.‎ ‎7．在下列条件中，使M与A、B、C一定共面的是________．‎ ‎①＝2－－；②＝＋＋；③＋＋＝0；④＋＋＋＝0.‎ 解析：∵＋＋＝0，∴＝－－，则、、为共面向量，即M、A、B、C四点共面．‎ 答案：③‎ ‎8.如图，正方体ABCD－A1B‎1C1D1的棱长为1，E、F分别是棱BC、DD1上的点，如果B1E⊥平面ABF，则CE与DF的和的值为________．‎ 解析：以D‎1A1、D‎1C1、D1D分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设CE＝x，DF＝y，‎ 则易知E(x,1,1)，B1(1,1,0)，∴＝(x－1,0,1)，‎ 又F(0,0,1－y)，B(1,1,1)，∴＝(1,1，y)，‎ 由于AB⊥B1E，故若B1E⊥平面ABF，‎ 只需―→·＝(1,1，y)·(x－1,0,1)＝0⇒x＋y＝1.‎ 答案：1‎ ‎9.如图所示，PD垂直于正方形ABCD所在平面，AB＝2，E为PB的中点，cos〈，〉＝，若以DA、DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则点E的坐标为________．‎ 解析：设PD＝a，则A(2,0,0)，B(2,2,0)，‎ P(0,0，a)，E.‎ ‎∴＝(0,0，a)，＝.‎ 由cos〈，〉＝，‎ ‎∴＝a ·，∴a＝2.‎ ‎∴E的坐标为(1,1,1)．‎ 答案：(1,1,1)‎ ‎10.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．证明：‎ ‎(1)AE⊥CD；‎ ‎(2)PD⊥平面ABE.‎ 证明：AB、AD、AP两两垂直，‎ 建立如图所示的空间直角坐标系，设PA＝AB＝BC＝1，则P(0,0,1)．‎ ‎(1)∵∠ABC＝60°，‎ ‎∴△ABC为正三角形．‎ ‎∴C，E.‎ 设D(0，y,0)，由AC⊥CD，得·＝0，‎ 即y＝，则D，‎ ‎∴＝.又＝，‎ ‎∴·＝－×＋×＝0，‎ ‎∴⊥，即AE⊥CD.‎ ‎(2)法一：∵P(0,0,1)，∴＝.‎ 又·＝×＋×(－1)＝0，‎ ‎∴⊥，即PD⊥AE.‎ ‎∵＝(1,0,0)，∴·＝0.‎ ‎∴PD⊥AB，又AB∩AE＝A，∴PD⊥平面AEB.‎ 法二：＝(1,0,0)，＝，‎ 设平面ABE的一个法向量为n＝(x，y，z)，‎ 则 令y＝2，则z＝－，∴n＝(0,2，－)．‎ ‎∵＝，显然＝n.‎ ‎∵∥n，∴⊥平面ABE，即PD⊥平面ABE.‎ ‎11．已知矩形ABCD中，AB＝6，BC＝6，E为AD的中点(图甲)．沿BE将△ABE折起，使二面角A－BE－C为直二面角(图乙)，且F为AC的中点．‎ ‎(1)求证：FD∥平面ABE；‎ ‎(2)求证：AC⊥BE.‎ 证明：(1)如图1，设M为BC的中点，连接DM、MF.∵F为AC的中点，M为BC的中点，∴MF∥AB.‎ 又∵BM綊DE，∴四边形BMDE为平行四边形，∴MD∥BE.‎ ‎∵MF∩MD＝M，AB∩BE＝B，‎ ‎∴平面DFM∥平面ABE.‎ 又∵PD⊂平面DFM，FD⊄平面ABE，‎ ‎∴FD∥平面ABE.‎ ‎(2)在矩形ABCD(如图2)中，连接AC，交BE于G.‎ ‎·＝(＋)·(＋)‎ ‎＝－2＋·＝－36＋36＝0.‎ ‎∴AC⊥BE.‎ ‎∴在图3中，AG⊥BE，CG⊥BE.‎ 又∵AG∩GC＝G，‎ ‎∴BE⊥平面AGC.‎ 又∵AC⊂平面AGC，∴AC⊥BE.‎ ‎12．(2012·长春模拟)如图，在底面为直角梯形的四棱锥P－ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，PD⊥平面ABCD，AD＝1，AB＝，BC＝4.‎ ‎(1)求证：BD⊥PC；‎ ‎(2)设点E在棱PC上，＝λ，若DE∥平面PAB，求λ的值．‎ 解：(1)证明：如图，在平面ABCD内过点D作直线DF∥AB，交BC于点F，以D为坐标原点，DA、DF、DP所在的直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系D－xyz，则A(1,0,0)，B(1，，0)，D(0,0,0)，C(－3，，0)．‎ ‎(1)设PD＝a，则P(0,0，a)，＝(－1，－，0)，＝(－3，，－a)，‎ ‎∵·＝3－3＝0，∴BD⊥PC.‎ ‎(2)由题意知，＝(0，，0)，＝(0,0，a)，＝(1,0，－a)，＝(－3，，－a)，‎ ‎∵＝λ，∴＝(－3λ，λ，－aλ)，‎ ‎＝＋＝(0,0，a)＋(－3λ，λ，－aλ)‎ ‎＝(－3λ，λ，a－aλ)．‎ 设n＝(x，y，z)为平面PAB的法向量，则 即 令z＝1，得x＝a，∴n＝(a,0,1)，‎ ‎∵DE∥平面PAB，∴·n＝0，‎ ‎∴－‎3aλ＋a－aλ＝0，即a(1－4λ)＝0，‎ ‎∵a≠0，∴λ＝.‎ ‎1．已知＝(1,5，－2)，＝(3,1，z)，若⊥，＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则实数x，y，z分别为(　　)‎ A.，－，4 B.，－，4‎ C.，－2,4 D．4，，－15‎ 解析：选B　∵⊥，∴·＝0，‎ 即3＋5－2z＝0，得z＝4.‎ 又BP⊥平面ABC，∴BP⊥AB，BP⊥BC，＝(3,1,4)，则解得 ‎2．设空间四点O，A，B，P满足＝＋t，其中0