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- 2021-05-14 发布
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2006年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)理数学
如果时间A、B互斥,那么
如果时间A、B相互独立,那么
如果事件A在一次试验中发生的概率是P,那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率
球的表面积公式,其中R表示球的半径
球的体积公式,其中R表示球的半径
第Ⅰ卷(选择题 共60分)每小题5分,
(1)复数等于( )A. B. C. D.
解:故选A
(2)设集合,,则等于( )A. B. C. D.
解:,,所以,故选B。
(3)若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合,则的值为( )
A. B. C. D.
解:椭圆的右焦点为(2,0),所以抛物线的焦点为(2,0),则(4)设,已知命题;命题,则是成立的( )
A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
解:命题是命题等号成立的条件,故选B。
(5)函数 的反函数是( )
A. B. C. D.
解:有关分段函数的反函数的求法,选C。
(6)将函数的图象按向量平移,平
移后的图象如图所示,则平移后的图象所对应函数的解析式是( )
A. B.C. D.
解:将函数的图象按向量平移,平移后的图象所对应的解析式为,由图象知,,所以,因此选C。
(7)若曲线的一条切线与直线垂直,则的方程为( )
A. B. C. D.
解:与直线垂直的直线为,即在某一点的导数为4,而,所以在(1,1)处导数为4,此点的切线为,故选A
(8)设,对于函数,下列结论正确的是( )
A.有最大值而无最小值 B.有最小值而无最大值
C.有最大值且有最小值 D.既无最大值又无最小值
解:令,则函数的值域为函数的值域,又,所以是一个减函减,故选B。
(9)表面积为 的正八面体的各个顶点都在同一个球面上,则此球的体积为
A. B. C. D.解:此正八面体是每个面的边长均为的正三角形,所以由知,,则此球的直径为,故选A。
(10)如果实数满足条件 ,那么的最大值为( )
A.B. C.D.解:当直线过点(0,-1)时,最大,故选B。
11)如果的三个内角的余弦值分别等于的三个内角的正弦值,则( )
A.和都是锐角三角形 B.和都是钝角三角形
C.是钝角三角形,是锐角三角形
D.是锐角三角形,是钝角三角形
解:的三个内角的余弦值均大于0,则是锐角三角形,若是锐角三角形,由,得,那么,,所以是钝角三角形。故选D。
(12)在正方体上任选3个顶点连成三角形,则所得的三角形是直角非等腰三角形的概率为( )A. B. C. D.
解:在正方体上任选3个顶点连成三角形可得个三角形,要得直角非等腰三角形,则每个顶点上可得三个(即正方体的一边与过此点的一条面对角线),共有24个,得,所以选C。
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分,
(13)设常数,展开式中的系数为,则_____。
解:,由,所以,所以为1。
(14)在中,,M为BC的中点,则_______。(用表示)解:,,所以。
(15)函数对于任意实数满足条件,若则__________。解:由得,所以,则。
16)多面体上,位于同一条棱两端的顶点称为相邻的,如图,正方体的一个顶点A在平面内,其余顶点在的同侧,正方体上与顶点A相邻的三个顶点到的距离分别为1,2和4,P是正方体的其余四个顶点中的一个,则P到平面的距离可能是:
①3;②4; ③5;④6; ⑤7以上结论正确的为______________。
解:如图,B、D、A1到平面的距离分别为1、2、4,则D、A1的中点到平面的距离为3,所以D1到平面的距离为6;B、A1的中点到平面的距离为,所以B1到平面的距离为5;则D、B的中点到平面的距离为,所以C到平面的距离为3;C、A1的中点到平面的距离为,所以C1到平面的距离为7;而P为C、C1、B1、D1中的一点,所以选①③④⑤。
三、解答题:17)(本大题满分12分)已知
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
第16题图
A1
(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)求的值。
解:(Ⅰ)由得,即,又,所以为所求。
(Ⅱ)=
===。
(18)(12分)在添加剂的搭配使用中,为了找到最佳的搭配方案,需要对各种不同的搭配方式作比较。在试制某种牙膏新品种时,需要选用两种不同的添加剂。现有芳香度分别为0,1,2,3,4,5的六种添加剂可供选用。根据试验设计原理,通常首先要随机选取两种不同的添加剂进行搭配试验。用表示所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和。
(Ⅰ)写出的分布列;(以列表的形式给出结论,不必写计算过程)
(Ⅱ)求的数学期望。(要求写出计算过程或说明道理)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
P
解:(Ⅰ)
(Ⅱ)(19)19(12分)如图,P是边长为1的正六边形ABCDEF所在平面外一点,,P在平面ABC内的射影为BF的中点O。(Ⅰ)证明⊥;(Ⅱ)求面与面所成二面角的大小。
解:(Ⅰ)在正六边形ABCDEF中,为等腰三角形,
∵P在平面ABC内的射影为O,∴PO⊥平面ABF,∴AO为PA在平面ABF内的射影;∵O为BF中点,∴AO⊥BF,∴PA⊥BF。
(Ⅱ)∵PO⊥平面ABF,∴平面PBF⊥平面ABC;而O为BF中点,ABCDEF是正六边形 ,∴A、O、D共线,且直线AD⊥BF,则AD⊥平面PBF;又∵正六边形ABCDEF的边长为1,∴,,。
过O在平面POB内作OH⊥PB于H,连AH、DH,则AH⊥PB,DH⊥PB,所以为所求二面角平面角。
在中,OH=,=。
A
B
C
D
E
F
O
P
第19题图
H
在中,;而
(Ⅱ)以O为坐标原点,建立空间直角坐标系,P(0,0,1),A(0,,0),B(,0,0),D(0,2,0),∴,,
设平面PAB的法向量为,则,,得,;设平面PDB的法向量为,则,,得,;
(20)(本大题满分12分)已知函数在R上有定义,对任何实数和任何实数,都有(Ⅰ)证明;(Ⅱ)证明 其中和均为常数;(Ⅲ)当(Ⅱ)中的时,设,讨论在内的单调性并求极值。
证明(Ⅰ)令,则,∵,∴。
(Ⅱ)①令,∵,∴,则。
假设时,,则,而,∴,即成立。
②令,∵,∴,
假设时,,则,而,∴,即成立。∴成立。
(Ⅲ)当时,,
令,得;当时,,∴是单调递减函数;
当时,,∴是单调递增函数;
所以当时,函数在内取得极小值,极小值为
(21)(本大题满分12分)数列的前项和为,已知
(Ⅰ)写出与的递推关系式,并求关于的表达式;(Ⅱ)设,求数列的前项和。
解:由得:,即,所以,对成立。
由,,…,相加得:,又,所以,当时,也成立。
(Ⅱ)由,得。而,,
O
F
x
y
P
M
第22题图
H
(22)(14分)如图,F为双曲线C:的右焦点。P为双曲线C右支上一点,且位于轴上方,M为左准线上一点,为坐标原点。已知四边形为平行四边形,。(Ⅰ)写出双曲线C的离心率与的关系式;(Ⅱ)当时,经过焦点F且平行于OP的直线交双曲线于A、B点,若,求此时的双曲线方程。
解:∵四边形是,∴,作双曲线的右准线交PM于H,则,又,。
(Ⅱ)当时,,,,双曲线为四边形是菱形,所以直线OP的斜率为,则直线AB的方程为,代入到双曲线方程得:,又,由得:,解得,则,所以为所求。