- 327.00 KB
- 2021-05-14 发布
- 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
- 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
- 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
- 网站客服QQ:403074932
2012年湖南省高考数学试卷(文科)
参考答案与试题解析
一、选择题(共9小题,每小题5分,满分45分)
1.(5分)(2012•湖南)设集合M={﹣1,0,1},N={x|x2=x},则M∩N=( )
A.
{﹣1,0,1}
B.
{0,1}
C.
{1}
D.
{0}
考点:
交集及其运算.菁优网版权所有
专题:
计算题.
分析:
集合M与集合N的公共元素,构成集合M∩N,由此利用集合M={﹣1,0,1},N={x|x2=x}={0,1},能求出M∩N.
解答:
解:∵集合M={﹣1,0,1},N={x|x2=x}={0,1},
∴M∩N={0,1},
故选B.
点评:
本题考查集合的交集及其运算,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答.
2.(5分)(2012•湖南)复数z=i(i+1)(i为虚数单位)的共轭复数是( )
A.
﹣1﹣i
B.
﹣1+i
C.
1﹣i
D.
1+i
考点:
复数的基本概念.菁优网版权所有
专题:
计算题.
分析:
由z=i(i+1)=i2+i=﹣1+i,能求出复数z=i(i+1)(i为虚数单位)的共轭复数.
解答:
解:∵z=i(i+1)=i2+i=﹣1+i,
∴复数z=i(i+1)(i为虚数单位)的共轭复数是﹣1﹣i.
故选A.
点评:
本题考查复数的基本概念,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答.
3.(5分)(2012•湖南)命题“若α=,则tanα=1”的逆否命题是( )
A.
若α≠,则tanα≠1
B.
若α=,则tanα≠1
C.
若tanα≠1,则α≠
D.
若tanα≠1,则α=
考点:
四种命题间的逆否关系.菁优网版权所有
专题:
简易逻辑.
分析:
原命题为:若a,则b.逆否命题为:若非b,则非a.
解答:
解:命题:“若α=,则tanα=1”的逆否命题为:若tanα≠1,则α≠.
故选C.
点评:
考查四种命题的相互转化,掌握四种命题的基本格式,本题是一个基础题.
4.(5分)(2012•湖南)某几何体的正视图和侧视图均如图所示,则该几何体的俯视图不可能是( )
A.
B.
C.
D.
考点:
简单空间图形的三视图.菁优网版权所有
专题:
作图题.
分析:
由图可知,此几何体为组合体,对照选项分别判断组合体的结构,能吻合的排除,不吻合的为正确选项
解答:
解:依题意,此几何体为组合体,若上下两个几何体均为圆柱,则俯视图为A
若上边的几何体为正四棱柱,下边几何体为圆柱,则俯视图为B;
若俯视图为C,则正视图中应有虚线,故该几何体的俯视图不可能是C
若上边的几何体为底面为等腰直角三角形的直三棱柱,下面的几何体为正四棱柱时,俯视图为D;
故选C
点评:
本题主要考查了简单几何体的构成和简单几何体的三视图,由组合体的三视图,判断组合体的构成的方法,空间想象能力,属基础题
5.(5分)(2012•湖南)设某大学的女生体重y(单位:kg)与身高x(单位:cm)具有线性相关关系,根据一组样本数据(xi,yi)(i=1,2,…,n),用最小二乘法建立的回归方程为=0.85x﹣85.71,则下列结论中不正确的是( )
A.
y与x具有正的线性相关关系
B.
回归直线过样本点的中心(,)
C.
若该大学某女生身高增加1cm,则其体重约增加0.85kg
D.
若该大学某女生身高为170cm,则可断定其体重必为58.79kg
考点:
回归分析的初步应用.菁优网版权所有
专题:
阅读型.
分析:
根据回归方程为=0.85x﹣85.71,0.85>0,可知A,B,C均正确,对于D回归方程只能进行预测,但不可断定.
解答:
解:对于A,0.85>0,所以y与x具有正的线性相关关系,故正确;
对于B,回归直线过样本点的中心(,),故正确;
对于C,∵回归方程为=0.85x﹣85.71,∴该大学某女生身高增加1cm,则其体重约增加0.85kg,故正确;
对于D,x=170cm时,=0.85×170﹣85.71=58.79,但这是预测值,不可断定其体重为58.79kg,故不正确
故选D.
点评:
本题考查线性回归方程,考查学生对线性回归方程的理解,属于中档题.
6.(5分)(2012•湖南)已知双曲线C:的焦距为10,点P(2,1)在C的渐近线上,则C的方程为( )
A.
B.
C.
D.
考点:
双曲线的标准方程.菁优网版权所有
专题:
计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程.
分析:
利用双曲线C:的焦距为10,点P(2,1)在C的渐近线上,建立方程组,求出a,b的值,即可求得双曲线的方程.
解答:
解:∵双曲线C:的焦距为10,点P(2,1)在C的渐近线上,
∴a2+b2=25,=1,
∴b=,a=2
∴双曲线的方程为.
故选:A.
点评:
本题考查双曲线的标准方程,考查双曲线的几何性质,考查学生的计算能力,属于基础题.
7.(5分)(2012•湖南)设 a>b>1,C<0,给出下列三个结论:
①>;
②ac<bc;
③logb(a﹣c)>loga(b﹣c).
其中所有的正确结论的序号( )
A.
①
B.
①②
C.
②③
D.
①②③
考点:
不等式比较大小.菁优网版权所有
专题:
计算题.
分析:
利用作差比较法可判定①的真假,利用幂函数y=xc的性质可判定②的真假,利用对数函数的性质可知③的真假.
解答:
解:①﹣=,∵a>b>1,c<0∴﹣=>0,故>正确;
②考查幂函数y=xc,∵c<0∴y=xc在(0,+∞)上是减函数,而a>b>0,则ac<bc正确;
③当a>b>1时,有logb(a﹣c)>logb(b﹣c)>loga(b﹣c);正确.
故选D.
点评:
本题主要考查了不等式比较大小,以及幂函数与对数函数的性质,属于基础题.
8.(5分)(2012•湖南)在△ABC中,AC=,BC=2,B=60°则BC边上的高等于( )
A.
B.
C.
D.
考点:
解三角形.菁优网版权所有
专题:
计算题;压轴题.
分析:
在△ABC中,由余弦定理可得,AC2=AB2+BC2﹣2AB•BCcosB可求AB=3,作AD⊥BC,则在Rt△ABD中,AD=AB×sinB
解答:
解:在△ABC中,由余弦定理可得,AC2=AB2+BC2﹣2AB•BCcosB
把已知AC=,BC=2 B=60°代入可得,7=AB2+4﹣4AB×
整理可得,AB2﹣2AB﹣3=0
∴AB=3
作AD⊥BC垂足为D
Rt△ABD中,AD=AB×sin60°=,
即BC边上的高为
故选B
点评:
本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用,解答本题的关键是求出AB,属于基础试题
9.(5分)(2012•湖南)设定义在R上的函数f(x)是最小正周期2π的偶函数,f′(x)是函数f(x)的导函数,当x∈[0,π]时,0<f(x)<1;当x∈(0,π),且x≠时,(x﹣)f′(x)>0,则函数y=f(x)﹣sinx在[﹣2π,2π]上的零点个数为( )
A.
2
B.
4
C.
5
D.
8
考点:
函数的单调性与导数的关系;根的存在性及根的个数判断.菁优网版权所有
专题:
综合题;压轴题.
分析:
根据x∈(0,π),且x≠时,(x﹣)f′(x)>0,确定函数的单调性,利用函数的图形,即可得到结论.
解答:
解:∵x∈(0,π),且x≠时,(x﹣)f′(x)>0,
∴x∈(0,),函数单调减,x∈(,π),函数单调增,
∵x∈[0,π]时,0<f(x)<1,
在R上的函数f(x)是最小正周期为2π的偶函数,在同一坐标系中作出y=sinx和y=f(x)草图象如下,
由图知y=f(x)﹣sinx在[﹣2π,2π]上的零点个数为4个.
故选:B.
点评:
本题考查函数的单调性,考查函数的零点,考查函数的周期性与奇偶性,属于基础题.
二、填空题(共7小题,满分30分)(10-11为选做题,两题任选一题,12-16为必做题)
10.(5分)(2012•湖南)在极坐标系中,曲线C1:ρ(cosθ+sinθ)=1与曲线C2:ρ=a(a>0)的一个交点在极轴上,则a= .
考点:
简单曲线的极坐标方程.菁优网版权所有
专题:
计算题.
分析:
根据ρcosθ=x,ρsinθ=y,ρ2=x2+y2将极坐标方程化成普通方程,利用交点在极轴上进行建立等式关系,从而求出a的值.
解答:
解:∵曲线C1的极坐标方程为:ρ(cosθ+sinθ)=1,
∴曲线C1的普通方程是x+y﹣1=0,
∵曲线C2的极坐标方程为ρ=a(a>0)
∴曲线C2的普通方程是x2+y2=a2
∵曲线C1:ρ(cosθ+sinθ)=1与曲线C2:ρ=a(a>0)的一个交点在极轴上
∴令y=0则x=,点(,0)在圆x2+y2=a2上
解得a=
故答案为:
点评:
本题主要考查了简单曲线的极坐标方程与普通方程的转化,同时考查了计算能力和分析问题的能力,属于基础题.
11.(2012•湖南)某制药企业为了对某种药用液体进行生物测定,需要优选培养温度,实验范围定为29℃~63℃.精确度要求±1℃.用分数法进行优选时,能保证找到最佳培养温度需要最少实验次数为 7 .
考点:
优选法的概念.菁优网版权所有
专题:
计算题.
分析:
由题知试验范围为[29,63],可得区间长度为34,将其等分34段,共有33个分点,由分数法的最优性定理可得结论.
解答:
解:由已知试验范围为[29,63],可得区间长度为34,将其等分34段,共有33个分点
由分数法的最优性定理可知F8=33,即通过7次试验可从这33个分点中找出最佳点.
故答案为:7.
点评:
本题考查的是分数法的简单应用.一般地,用分数法安排试点时,可以分两种情况考虑:(1)可能的试点总数正好是某一个(Fn﹣1).(2)所有可能的试点总数大于某一(Fn﹣1),而小于(Fn+1﹣1).用分数法安排试验,一旦确定第一个试点,后续的试点可以用“加两头,减中间”的方法来确定.
12.(5分)(2012•湖南)不等式x2﹣5x+6≤0的解集为 {x|2≤x≤3} .
考点:
一元二次不等式的解法.菁优网版权所有
专题:
计算题.
分析:
把不等式的左边分解因式后,根据两数相乘的取符号法则:同号得正,异号得负,转化为两个一元一次不等式组,求出不等式组的解集即可得到原不等式的解集.
解答:
解:不等式x2﹣5x+6≤0,
因式分解得:(x﹣2)(x﹣3)≤0,
可化为:或,
解得:2≤x≤3,
则原不等式的解集为{x|2≤x≤3}.
故答案为:{x|2≤x≤3}.
点评:
本题主要考查了一元二次不等式的解法,考查了转化的数学思想,同时考查了计算能力,属于基础题之列.
13.(5分)(2012•湖南)如图是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图,则该运动员在这五场比赛中得分的方差为 6.8 .
(注:方差+…+,其中为x1,x2,…,xn的平均数)
考点:
茎叶图;极差、方差与标准差.菁优网版权所有
专题:
计算题.
分析:
根据茎叶图所给的数据,做出这组数据的平均数,把所给的数据和平均数代入求方差的个数,求出五个数据与平均数的差的平方的平均数就是这组数据的方差.
解答:
解:∵根据茎叶图可知这组数据的平均数是=11
∴这组数据的方差是[(8﹣11)2+(9﹣11)2+(10﹣11)2+(13﹣11)2+(15﹣11)2]
=[9+4+1+4+16]
=6.8
故答案为:6.8.
点评:
本题考查一组数据的方差,考查读茎叶图,这是经常出现的一种组合,对于一组数据通常要求这组数据的平均数,方差,标准差,本题是一个基础题.
14.(5分)(2012•湖南)如果执行如图所示的程序框图,输入x=4.5,则输出的数i= 4 .
考点:
循环结构.菁优网版权所有
专题:
计算题.
分析:
计算循环中x,与i的值,当x<1时满足判断框的条件,退出循环,输出结果即可.
解答:
解:循环前x=3.5,不满足判断框条件,
第1次循环,i=2,x=2.5,
第2次判断后循环,i=3,x=1.5,
第3次判断并循环i=4,x=0.5,满足判断框的条件退出循环,输出i=4.
故答案为:4.
点评:
本题考查循环结构的应用,注意循环的结果的计算,考查计算能力.
15.(5分)(2012•湖南)如图,在平行四边形ABCD中,AP⊥BD,垂足为P,且AP=3,则= 18 .
考点:
平面向量数量积的运算.菁优网版权所有
专题:
计算题;压轴题.
分析:
设AC与BD交于O,则AC=2AO,在RtAPO中,由三角函数可得AO与AP的关系,代入向量的数量积=||||cos∠PAO可求
解答:
解:设AC与BD交于点O,则AC=2AO
∵AP⊥BD,AP=3,
在Rt△APO中,AOcos∠OAP=AP=3
∴||cos∠OAP=2||×cos∠OAP=2||=6,
由向量的数量积的定义可知,=||||cos∠PAO=3×6=18
故答案为:18
点评:
本题主要考查了向量的数量积 的定义的应用,解题的关键在于发现规律:AC×cos∠OAP=2×AOcos∠OAP=2AP.
16.(5分)(2012•湖南)对于n∈N*,将n表示为n=+…+,当i=k时,ai=1,当0≤i≤k﹣1时,ai为0或1.定义bn如下:在n的上述表示中,当a0,a1,a2,…,ak中等于1的个数为奇数时,bn=1;否则bn=0.
(1)b2+b4+b6+b8= 3 ;
(2)记cm为数列{bn}中第m个为0的项与第m+1个为0的项之间的项数,则cm的最大值是 2 .
考点:
数列的应用;数列的函数特性.菁优网版权所有
专题:
压轴题;新定义.
分析:
(1)由题设定义可知,2=1×2,4=1×22,6=1×22+1×2,8=1×23,从而b2=1,b4=1,b6=0,b8=1,故可求b2+b4+b6+b8的值;
(2)设{bn}中第m个为0的项为bi,即bi=0,构造二进制数(i)10=(akak﹣1…a1a0)2,则akak﹣1…a1a0中1的个数为偶数,再进行分类讨论:当a2a1a0=000时,cm=2;当a2a1a0=001时,cm=0;当a2a1a0=010时,cm=1;当a2a1a0=011时,cm=0;当a2a1a0=100时,cm=2;当a2a1a0=101时,cm=0;当a0=0,前面有奇数个1时,cm=1; 当a0=0,前面有偶数个1时,cm=2;当末位有奇数个1时,cm=1;当末位有偶数个1时,cm=0,由此可得cm的最大值.
解答:
解:(1)由题设定义可知,2=1×2,4=1×22,6=1×22+1×2,8=1×23,∴b2=1,b4=1,b6=0,b8=1
∴b2+b4+b6+b8=3
(2)设{bn}中第m个为0的项为bi,即bi=0,构造二进制数(i)10=(akak﹣1…a1a0)2,则akak﹣1…a1a0中1的个数为偶数,当a2a1a0=000时,bi+1=1,bi+2=1,bi+3=0,cm=2;
当a2a1a0=001时,bi+1=0,cm=0;当a2a1a0=010时,bi+1=1,bi+2=0,cm=1;当a2a1a0=011时,bi+1=0,cm=0;当a2a1a0=100时,bi+1=1,bi+2=1,bi+3=0,cm=2;当a2a1a0=101时,bi+1=0,cm=0;当a0=0,前面有奇数个1时,bi+1=1,bi+2=0,cm=1; 当a0=0,前面有偶数个1时,bi+1=1,bi+2=1,bi+3=0,cm=2;当末位有奇数个1时,bi+1=1,bi+2=0,cm=1;当末位有偶数个1时,bi+1=1,bi+2=0,cm=0;故cm的最大值为2.
点评:
对于新定义型问题,正确理解新定义传递的信息是解题的突破口.
三、解答题(共6小题,满分75分)
17.(12分)(2012•湖南)某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息,安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据,如下表所示.
一次购物量
1至4件
5至8件
9至12件
13至16件
17件以上
顾客数(人)
x
30
25
y
10
结算时间(分钟/人
1
1.5
2
2.5
3
已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55%.
(Ⅰ)确定x,y的值,并估计顾客一次购物的结算时间的平均值;
(Ⅱ)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率.(将频率视为概率)
考点:
概率的应用;众数、中位数、平均数.菁优网版权所有
专题:
应用题;概率与统计.
分析:
(Ⅰ)由已知得25+y+10=55,x+30=45,故可确定,y的值,进而可求顾客一次购物的结算时间的平均值;
(Ⅱ)记A:一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟;A1:该顾客一次购物的结算时间为1分钟;A2:该顾客一次购物的结算时间为1.5分钟;A3:该顾客一次购物的结算时间为2分钟;将频率视为概率求出相应的概率,利用互斥事件的概率公式即可得到结论.
解答:
解:(Ⅰ)由已知得25+y+10=55,x+30=45,所以x=15,y=20;
顾客一次购物的结算时间的平均值为=1.9(分钟);
(Ⅱ)记A:一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟;A1:该顾客一次购物的结算时间为1分钟;
A2:该顾客一次购物的结算时间为1.5分钟;A3:该顾客一次购物的结算时间为2分钟;
将频率视为概率可得P(A1);P(A2)=;P(A3)=
∴P(A)=P(A1)+P(A2)+P(A3)=0.15+0.3+0.25=0.7
∴一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为0.7.
点评:
本题考查学生的阅读能力,考查概率的计算,考查互斥事件,将事件分拆成互斥事件的和是解题的关键,属于中档题.
18.(12分)(2012•湖南)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R,ω>0,0<φ<)的部分图象如图所示.
(Ⅰ)求函数f(x)的解析式;
(Ⅱ)求函数g(x)=f(x﹣)﹣f(x+)的单调递增区间.
考点:
由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式;三角函数中的恒等变换应用;复合三角函数的单调性.菁优网版权所有
专题:
计算题.
分析:
(I)先利用函数图象求此函数的周期,从而计算得ω的值,再将点(,0)和(0,1)代入解析式,分别解得φ和A的值,最后写出函数解析式即可;
(II)先利用三角变换公式将函数g(x)的解析式化为y=Asin(ωx+φ)型函数,再将内层函数看做整体,置于外层函数即正弦函数的单调增区间上,即可解得函数g(x)的单调增区间
解答:
解:(I)由图象可知,周期T=2(﹣)=π,∴ω==2
∵点(,0)在函数图象上,∴Asin(2×+φ)=0
∴sin(+φ)=0,∴+φ=π+kπ,即φ=kπ+,k∈z
∵0<φ<
∴φ=
∵点(0,1)在函数图象上,∴Asin=1,A=2
∴函数f(x)的解析式为f(x)=2sin(2x+)
(II)g(x)=2sin[2(x﹣)+]﹣2sin[2(x+)+]=2sin2x﹣2sin(2x+)
=2sin2x﹣2(sin2x+cos2x)=sin2x﹣cos2x
=2sin(2x﹣)
由﹣+2kπ≤2x﹣≤+2kπ,k∈z
得kπ﹣≤x≤kπ+
∴函数g(x)=f(x﹣)﹣f(x+)的单调递增区间为[kπ﹣,kπ+]k∈z
点评:
本题主要考查了y=Asin(ωx+φ)型函数的图象和性质,根据图象求函数的解析式,利用函数解析式求复合三角函数单调区间的方法,属基础题
19.(12分)(2012•湖南)如图,在四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是等腰梯形,AD∥BC,AC⊥BD.
(Ⅰ)证明:BD⊥PC;
(Ⅱ)若AD=4,BC=2,直线PD与平面PAC所成的角为30°,求四棱锥P﹣ABCD的体积.
考点:
直线与平面垂直的性质;直线与平面所成的角.菁优网版权所有
专题:
计算题;证明题.
分析:
(1)由PA⊥平面ABCD,AC⊥BD可证得BD⊥平面PAC,从而证得BD⊥PC;
(2)设AC∩BD=O,连接PO,由BD⊥平面PAC可得∠DPO是直线PD和平面PAC所成的角,于是∠DPO=30°,从而有PD=2OD,于是可证得△AOD,△BOC均为等腰直角三角形,从而可求得梯形ABCD的高,继而可求SABCD,VP﹣ABCD.
解答:
解:(Ⅰ)∵PA⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,
∴PA⊥BD;
又AC⊥BD,PA,AC是平面PAC内的两条相交直线,
∴BD⊥平面PAC,而PC⊂平面PAC,∴BD⊥PC;
(Ⅱ)设AC∩BD=O,连接PO,由(Ⅰ)知BD⊥平面PAC,
∴∠DPO是直线PD和平面PAC所成的角,
∴∠DPO=30°,
由BD⊥平面PAC,PO⊂平面PAC知,BD⊥PO.在Rt△POD中,由∠DPO=30°得PD=2OD.
∵四边形ABCD是等腰梯形,AC⊥BD,
∴△AOD,△BOC均为等腰直角三角形,从而梯形ABCD的高为AD+BC=×(4+2)=3,
于是SABCD=×(4+2)×3=9.
在等腰三角形AOD中,OD=AD=2,
∴PD=2OD=4,PA==4,
∴VP﹣ABCD=SABCD×PA=×9×4=12.
点评:
本题考查直线与平面垂直判定定理与性质性质定理,考查直线与平面所成的角的应用与锥体体积,突出对分析、推理与计算能力的考查与应用,属于中档题.
20.(13分)(2012•湖南)某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.该企业第一年年初有资金2000万元,将其投入生产,到当年年底资金增长了50%.预计以后每年年增长率与第一年的相同.公司要求企业从第一年开始,每年年底上缴资金d万元,并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元.
(Ⅰ)用d表示a1,a2,并写出an+1与an的关系式;
(Ⅱ)若公司希望经过m(m≥3)年使企业的剩余资金为4000万元,试确定企业每年上缴资金d的值(用m表示).
考点:
数列的应用;根据实际问题选择函数类型.菁优网版权所有
专题:
计算题;综合题.
分析:
(Ⅰ)由题意可求得a1=2000(1+50%)﹣d,a2=a1(1+50%)﹣d=,…从而归纳出an+1=an﹣d.
(Ⅱ)由(Ⅰ)得an=an﹣1﹣d=(an﹣2﹣d)﹣d=…=a1﹣d[1+++…+],利用等比数列的求和公式可求得an=(3000﹣3d)+2d,再结合题意am=4000,
即可确定企业每年上缴资金d的值.
解答:
解:(Ⅰ)由题意得:a1=2000(1+50%)﹣d=3000﹣d,
a2=a1(1+50%)﹣d=a1﹣d=4500﹣d,
…
an+1=an(1+50%)﹣d=an﹣d.
(Ⅱ)由(Ⅰ)得an=an﹣1﹣d
=(an﹣2﹣d)﹣d
=an﹣2﹣d﹣d
=…
=a1﹣d[1+++…+]
整理得:an=(3000﹣d)﹣2d[﹣1]
=(3000﹣3d)+2d.
由题意,am=4000,即(3000﹣3d)+2d=4000.
解得d==,
故该企业每年上缴资金d的值为时,经过m(m≥3)年企业的剩余资金为4000万元.
点评:
本题考查数列的应用,着重考查归纳思想的运用,求得an+1=an﹣d是关键,递推关系的综合应用是难点,突出转化与运算能力的考查,属于难题.
21.(13分)(2012•湖南)在直角坐标系xOy中,已知中心在原点,离心率为的椭圆E的一个焦点为圆C:x2+y2﹣4x+2=0的圆心.
(Ⅰ)求椭圆E的方程;
(Ⅱ)设P是椭圆E上一点,过P作两条斜率之积为的直线l1,l2.当直线l1,l2都与圆C相切时,求P的坐标.
考点:
直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程;椭圆的简单性质.菁优网版权所有
专题:
综合题;压轴题.
分析:
(Ⅰ)确定x2+y2﹣4x+2=0的圆心C(2,0),设椭圆E的方程为:,其焦距为2c,则c=2,利用离心率为,即可求得椭圆E的方程;
(Ⅱ)设P(x0,y0),l1,l2的斜率分别为k1,k2,则k1k2=,由l1与圆C:x2+y2﹣4x+2=0相切,可得,同理可得,从而k1,k2是方程的两个实根,进而,利用,即可求得点P的坐标.
解答:
解:(Ⅰ)由x2+y2﹣4x+2=0得(x﹣2)2+y2=2,∴圆心C(2,0)
设椭圆E的方程为:,其焦距为2c,则c=2,
∵,∴a=4,
∴b2=a2﹣c2=12
∴椭圆E的方程为:
(Ⅱ)设P(x0,y0),l1,l2的斜率分别为k1,k2,则l1:y﹣y0=k1(x﹣x0)
l2:y﹣y0=k2(x﹣x0),且k1k2=
由l1与圆C:x2+y2﹣4x+2=0相切得
∴
同理可得
从而k1,k2是方程的两个实根
所以①,且
∵,
∴,
∴x0=﹣2或
由x0=﹣2得y0=±3;由得满足①
故点P的坐标为(﹣2,3)或(﹣2,﹣3),或()或()
点评:
本题考查椭圆的标准方程,考查直线与圆相切,解题的关键是确定k1,k2是方程的两个实根,属于中档题.
22.(13分)(2012•湖南)已知函数f(x)=ex﹣ax,其中a>0.
(1)若对一切x∈R,f(x)≥1恒成立,求a的取值集合;
(2)在函数f(x)的图象上取定点A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))(x1<x2),记直线AB的斜率为K,证明:存在x0∈(x1,x2),使f′(x0)=K恒成立.
考点:
导数在最大值、最小值问题中的应用;利用导数研究函数的单调性.菁优网版权所有
专题:
计算题;压轴题.
分析:
(1)根据题意,对f(x)求导可得f′(x)=0,令f′(x)=0,解可得x=lna,分x<lna与x>lna两种情况讨论可得f(x)取最小值为f(lna)=a﹣alna,令g(t)=t﹣tlnt,对其求导可得g′(t)=﹣lnt,分析可得当t=1时,g(t)取得最大值1,因此当且仅当a=1时,a﹣alna≥1成立,即可得答案;
(2)根据题意,由直线的斜率公式可得k=﹣a,令φ(x)=f′(x)﹣k=ex﹣,可以求出φ(x1)与φ(x2)的值,令F(t)=et﹣t﹣1,求导可得F′(t)=et﹣1,
分t>0与t<0讨论可得F(t)的最小值为F(0)=0,则当t≠0时,F(t)>F(0)=0,即et﹣t﹣1>0,进而讨论可得φ(x1)<0、φ(x2)>0,结合函数的连续性分析可得答案.
解答:
解:(1)f′(x)=ex﹣a,
令f′(x)=0,解可得x=lna;
当x<lna,f′(x)<0,f(x)单调递减,当x>lna,f′(x)>0,f(x)单调递增,
故当x=lna时,f(x)取最小值,f(lna)=a﹣alna,
对一切x∈R,f(x)≥1恒成立,当且仅当a﹣alna≥1,①
令g(t)=t﹣tlnt,则g′(t)=﹣lnt,
当0<t<1时,g′(t)>0,g(t)单调递增,当t>1时,g′(t)<0,g(t)单调递减,
故当t=1时,g(t)取得最大值,且g(1)=1,
因此当且仅当a=1时,①式成立,
综上所述,a的取值的集合为{1}.
(2)根据题意,k==﹣a,
令φ(x)=f′(x)﹣k=ex﹣,
则φ(x1)=﹣[﹣(x2﹣x1)﹣1],
φ(x2)=[﹣(x1﹣x2)﹣1],
令F(t)=et﹣t﹣1,则F′(t)=et﹣1,
当t<0时,F′(t)<0,F(t)单调递减;当t>0时,F′(t)>0,F(t)单调递增,
则F(t)的最小值为F(0)=0,
故当t≠0时,F(t)>F(0)=0,即et﹣t﹣1>0,
从而﹣(x2﹣x1)﹣1>0,且>0,则φ(x1)<0,
﹣(x1﹣x2)﹣1>0,>0,则φ(x2)>0,
因为函数y=φ(x)在区间[x1,x2]上的图象是连续不断的一条曲线,所以存在x0∈(x1,x2),使φ(x0)=0,
即f′(x0)=K成立.
点评:
本题考查导数的应用,涉及最大值、最小值的求法以及恒成立问题,是综合题;关键是理解导数的符号与单调性的关系,并能正确求出函数的导数.
相关文档
- 高考地理母题19562012汇编考点35不2021-05-142页
- 全国统一高考英语试卷新课标ⅰ含答2021-05-1442页
- 高考生物 细胞的生命历程 细胞的2021-05-1417页
- 高考英语阅读理解二轮突破练习252021-05-149页
- 高定价高考数学试题汇编——立体几2021-05-147页
- 广东省高考冲刺强化训练试卷十二文2021-05-1411页
- 物理高考试题考点分类解析考点电场2021-05-149页
- 上海嘉定区高考一模试卷数学文2021-05-1411页
- 2017年全国各地高考生物试题分类汇2021-05-1462页
- 2019高考物理金版教程二轮专题练习2021-05-1413页