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  • 2021-05-14 发布

湖南省高考数学试卷文科答案与解析

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‎2012年湖南省高考数学试卷(文科)‎ 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、选择题(共9小题,每小题5分,满分45分)‎ ‎1.(5分)(2012•湖南)设集合M={﹣1,0,1},N={x|x2=x},则M∩N=(  )‎ ‎ ‎ A.‎ ‎{﹣1,0,1}‎ B.‎ ‎{0,1}‎ C.‎ ‎{1}‎ D.‎ ‎{0}‎ 考点:‎ 交集及其运算.菁优网版权所有 专题:‎ 计算题.‎ 分析:‎ 集合M与集合N的公共元素,构成集合M∩N,由此利用集合M={﹣1,0,1},N={x|x2=x}={0,1},能求出M∩N.‎ 解答:‎ 解:∵集合M={﹣1,0,1},N={x|x2=x}={0,1},‎ ‎∴M∩N={0,1},‎ 故选B.‎ 点评:‎ 本题考查集合的交集及其运算,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答.‎ ‎ ‎ ‎2.(5分)(2012•湖南)复数z=i(i+1)(i为虚数单位)的共轭复数是(  )‎ ‎ ‎ A.‎ ‎﹣1﹣i B.‎ ‎﹣1+i C.‎ ‎1﹣i D.‎ ‎1+i 考点:‎ 复数的基本概念.菁优网版权所有 专题:‎ 计算题.‎ 分析:‎ 由z=i(i+1)=i2+i=﹣1+i,能求出复数z=i(i+1)(i为虚数单位)的共轭复数.‎ 解答:‎ 解:∵z=i(i+1)=i2+i=﹣1+i,‎ ‎∴复数z=i(i+1)(i为虚数单位)的共轭复数是﹣1﹣i.‎ 故选A.‎ 点评:‎ 本题考查复数的基本概念,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答.‎ ‎ ‎ ‎3.(5分)(2012•湖南)命题“若α=,则tanα=1”的逆否命题是(  )‎ ‎ ‎ A.‎ 若α≠,则tanα≠1‎ B.‎ 若α=,则tanα≠1‎ ‎ ‎ C.‎ 若tanα≠1,则α≠‎ D.‎ 若tanα≠1,则α=‎ 考点:‎ 四种命题间的逆否关系.菁优网版权所有 专题:‎ 简易逻辑.‎ 分析:‎ 原命题为:若a,则b.逆否命题为:若非b,则非a.‎ 解答:‎ 解:命题:“若α=,则tanα=1”的逆否命题为:若tanα≠1,则α≠.‎ 故选C.‎ 点评:‎ 考查四种命题的相互转化,掌握四种命题的基本格式,本题是一个基础题.‎ ‎ ‎ ‎4.(5分)(2012•湖南)某几何体的正视图和侧视图均如图所示,则该几何体的俯视图不可能是(  )‎ ‎ ‎ A.‎ B.‎ C.‎ D.‎ 考点:‎ 简单空间图形的三视图.菁优网版权所有 专题:‎ 作图题.‎ 分析:‎ 由图可知,此几何体为组合体,对照选项分别判断组合体的结构,能吻合的排除,不吻合的为正确选项 解答:‎ 解:依题意,此几何体为组合体,若上下两个几何体均为圆柱,则俯视图为A 若上边的几何体为正四棱柱,下边几何体为圆柱,则俯视图为B;‎ 若俯视图为C,则正视图中应有虚线,故该几何体的俯视图不可能是C 若上边的几何体为底面为等腰直角三角形的直三棱柱,下面的几何体为正四棱柱时,俯视图为D;‎ 故选C 点评:‎ 本题主要考查了简单几何体的构成和简单几何体的三视图,由组合体的三视图,判断组合体的构成的方法,空间想象能力,属基础题 ‎ ‎ ‎5.(5分)(2012•湖南)设某大学的女生体重y(单位:kg)与身高x(单位:cm)具有线性相关关系,根据一组样本数据(xi,yi)(i=1,2,…,n),用最小二乘法建立的回归方程为=0.85x﹣85.71,则下列结论中不正确的是(  )‎ ‎ ‎ A.‎ y与x具有正的线性相关关系 ‎ ‎ B.‎ 回归直线过样本点的中心(,)‎ ‎ ‎ C.‎ 若该大学某女生身高增加1cm,则其体重约增加0.85kg ‎ ‎ D.‎ 若该大学某女生身高为170cm,则可断定其体重必为58.79kg 考点:‎ 回归分析的初步应用.菁优网版权所有 专题:‎ 阅读型.‎ 分析:‎ 根据回归方程为=0.85x﹣85.71,0.85>0,可知A,B,C均正确,对于D回归方程只能进行预测,但不可断定.‎ 解答:‎ 解:对于A,0.85>0,所以y与x具有正的线性相关关系,故正确;‎ 对于B,回归直线过样本点的中心(,),故正确;‎ 对于C,∵回归方程为=0.85x﹣85.71,∴该大学某女生身高增加1cm,则其体重约增加0.85kg,故正确;‎ 对于D,x=170cm时,=0.85×170﹣85.71=58.79,但这是预测值,不可断定其体重为58.79kg,故不正确 故选D.‎ 点评:‎ 本题考查线性回归方程,考查学生对线性回归方程的理解,属于中档题.‎ ‎ ‎ ‎6.(5分)(2012•湖南)已知双曲线C:的焦距为10,点P(2,1)在C的渐近线上,则C的方程为(  )‎ ‎ ‎ A.‎ B.‎ ‎ ‎ C.‎ D.‎ 考点:‎ 双曲线的标准方程.菁优网版权所有 专题:‎ 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程.‎ 分析:‎ 利用双曲线C:的焦距为10,点P(2,1)在C的渐近线上,建立方程组,求出a,b的值,即可求得双曲线的方程.‎ 解答:‎ 解:∵双曲线C:的焦距为10,点P(2,1)在C的渐近线上,‎ ‎∴a2+b2=25,=1,‎ ‎∴b=,a=2‎ ‎∴双曲线的方程为.‎ 故选:A.‎ 点评:‎ 本题考查双曲线的标准方程,考查双曲线的几何性质,考查学生的计算能力,属于基础题.‎ ‎ ‎ ‎7.(5分)(2012•湖南)设 a>b>1,C<0,给出下列三个结论:‎ ‎①>;‎ ‎②ac<bc; ‎ ‎③logb(a﹣c)>loga(b﹣c).‎ 其中所有的正确结论的序号(  )‎ ‎ ‎ A.‎ ‎①‎ B.‎ ‎①②‎ C.‎ ‎②③‎ D.‎ ‎①②③‎ 考点:‎ 不等式比较大小.菁优网版权所有 专题:‎ 计算题.‎ 分析:‎ 利用作差比较法可判定①的真假,利用幂函数y=xc的性质可判定②的真假,利用对数函数的性质可知③的真假.‎ 解答:‎ 解:①﹣=,∵a>b>1,c<0∴﹣=>0,故>正确;‎ ‎②考查幂函数y=xc,∵c<0∴y=xc在(0,+∞)上是减函数,而a>b>0,则ac<bc正确;‎ ‎③当a>b>1时,有logb(a﹣c)>logb(b﹣c)>loga(b﹣c);正确.‎ 故选D.‎ 点评:‎ 本题主要考查了不等式比较大小,以及幂函数与对数函数的性质,属于基础题.‎ ‎ ‎ ‎8.(5分)(2012•湖南)在△ABC中,AC=,BC=2,B=60°则BC边上的高等于(  )‎ ‎ ‎ A.‎ B.‎ C.‎ D.‎ 考点:‎ 解三角形.菁优网版权所有 专题:‎ 计算题;压轴题.‎ 分析:‎ 在△ABC中,由余弦定理可得,AC2=AB2+BC2﹣2AB•BCcosB可求AB=3,作AD⊥BC,则在Rt△ABD中,AD=AB×sinB 解答:‎ 解:在△ABC中,由余弦定理可得,AC2=AB2+BC2﹣2AB•BCcosB 把已知AC=,BC=2 B=60°代入可得,7=AB2+4﹣4AB×‎ 整理可得,AB2﹣2AB﹣3=0‎ ‎∴AB=3‎ 作AD⊥BC垂足为D Rt△ABD中,AD=AB×sin60°=,‎ 即BC边上的高为 故选B 点评:‎ 本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用,解答本题的关键是求出AB,属于基础试题 ‎ ‎ ‎9.(5分)(2012•湖南)设定义在R上的函数f(x)是最小正周期2π的偶函数,f′(x)是函数f(x)的导函数,当x∈[0,π]时,0<f(x)<1;当x∈(0,π),且x≠时,(x﹣)f′(x)>0,则函数y=f(x)﹣sinx在[﹣2π,2π]上的零点个数为(  )‎ ‎ ‎ A.‎ ‎2‎ B.‎ ‎4‎ C.‎ ‎5‎ D.‎ ‎8‎ 考点:‎ 函数的单调性与导数的关系;根的存在性及根的个数判断.菁优网版权所有 专题:‎ 综合题;压轴题.‎ 分析:‎ 根据x∈(0,π),且x≠时,(x﹣)f′(x)>0,确定函数的单调性,利用函数的图形,即可得到结论.‎ 解答:‎ 解:∵x∈(0,π),且x≠时,(x﹣)f′(x)>0,‎ ‎∴x∈(0,),函数单调减,x∈(,π),函数单调增,‎ ‎∵x∈[0,π]时,0<f(x)<1,‎ 在R上的函数f(x)是最小正周期为2π的偶函数,在同一坐标系中作出y=sinx和y=f(x)草图象如下,‎ 由图知y=f(x)﹣sinx在[﹣2π,2π]上的零点个数为4个.‎ 故选:B.‎ 点评:‎ 本题考查函数的单调性,考查函数的零点,考查函数的周期性与奇偶性,属于基础题.‎ ‎ ‎ 二、填空题(共7小题,满分30分)(10-11为选做题,两题任选一题,12-16为必做题)‎ ‎10.(5分)(2012•湖南)在极坐标系中,曲线C1:ρ(cosθ+sinθ)=1与曲线C2:ρ=a(a>0)的一个交点在极轴上,则a=  .‎ 考点:‎ 简单曲线的极坐标方程.菁优网版权所有 专题:‎ 计算题.‎ 分析:‎ 根据ρcosθ=x,ρsinθ=y,ρ2=x2+y2将极坐标方程化成普通方程,利用交点在极轴上进行建立等式关系,从而求出a的值.‎ 解答:‎ 解:∵曲线C1的极坐标方程为:ρ(cosθ+sinθ)=1,‎ ‎∴曲线C1的普通方程是x+y﹣1=0,‎ ‎∵曲线C2的极坐标方程为ρ=a(a>0)‎ ‎∴曲线C2的普通方程是x2+y2=a2‎ ‎∵曲线C1:ρ(cosθ+sinθ)=1与曲线C2:ρ=a(a>0)的一个交点在极轴上 ‎∴令y=0则x=,点(,0)在圆x2+y2=a2上 解得a=‎ 故答案为:‎ 点评:‎ 本题主要考查了简单曲线的极坐标方程与普通方程的转化,同时考查了计算能力和分析问题的能力,属于基础题.‎ ‎ ‎ ‎11.(2012•湖南)某制药企业为了对某种药用液体进行生物测定,需要优选培养温度,实验范围定为29℃~63℃.精确度要求±1℃.用分数法进行优选时,能保证找到最佳培养温度需要最少实验次数为 7 .‎ 考点:‎ 优选法的概念.菁优网版权所有 专题:‎ 计算题.‎ 分析:‎ 由题知试验范围为[29,63],可得区间长度为34,将其等分34段,共有33个分点,由分数法的最优性定理可得结论.‎ 解答:‎ 解:由已知试验范围为[29,63],可得区间长度为34,将其等分34段,共有33个分点 由分数法的最优性定理可知F8=33,即通过7次试验可从这33个分点中找出最佳点.‎ 故答案为:7.‎ 点评:‎ 本题考查的是分数法的简单应用.一般地,用分数法安排试点时,可以分两种情况考虑:(1)可能的试点总数正好是某一个(Fn﹣1).(2)所有可能的试点总数大于某一(Fn﹣1),而小于(Fn+1﹣1).用分数法安排试验,一旦确定第一个试点,后续的试点可以用“加两头,减中间”的方法来确定.‎ ‎ ‎ ‎12.(5分)(2012•湖南)不等式x2﹣5x+6≤0的解集为 {x|2≤x≤3} .‎ 考点:‎ 一元二次不等式的解法.菁优网版权所有 专题:‎ 计算题.‎ 分析:‎ 把不等式的左边分解因式后,根据两数相乘的取符号法则:同号得正,异号得负,转化为两个一元一次不等式组,求出不等式组的解集即可得到原不等式的解集.‎ 解答:‎ 解:不等式x2﹣5x+6≤0,‎ 因式分解得:(x﹣2)(x﹣3)≤0,‎ 可化为:或,‎ 解得:2≤x≤3,‎ 则原不等式的解集为{x|2≤x≤3}.‎ 故答案为:{x|2≤x≤3}.‎ 点评:‎ 本题主要考查了一元二次不等式的解法,考查了转化的数学思想,同时考查了计算能力,属于基础题之列.‎ ‎ ‎ ‎13.(5分)(2012•湖南)如图是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图,则该运动员在这五场比赛中得分的方差为 6.8 .‎ ‎(注:方差+…+,其中为x1,x2,…,xn的平均数)‎ 考点:‎ 茎叶图;极差、方差与标准差.菁优网版权所有 专题:‎ 计算题.‎ 分析:‎ 根据茎叶图所给的数据,做出这组数据的平均数,把所给的数据和平均数代入求方差的个数,求出五个数据与平均数的差的平方的平均数就是这组数据的方差.‎ 解答:‎ 解:∵根据茎叶图可知这组数据的平均数是=11‎ ‎∴这组数据的方差是[(8﹣11)2+(9﹣11)2+(10﹣11)2+(13﹣11)2+(15﹣11)2]‎ ‎=[9+4+1+4+16]‎ ‎=6.8‎ 故答案为:6.8.‎ 点评:‎ 本题考查一组数据的方差,考查读茎叶图,这是经常出现的一种组合,对于一组数据通常要求这组数据的平均数,方差,标准差,本题是一个基础题.‎ ‎ ‎ ‎14.(5分)(2012•湖南)如果执行如图所示的程序框图,输入x=4.5,则输出的数i= 4 .‎ 考点:‎ 循环结构.菁优网版权所有 专题:‎ 计算题.‎ 分析:‎ 计算循环中x,与i的值,当x<1时满足判断框的条件,退出循环,输出结果即可.‎ 解答:‎ 解:循环前x=3.5,不满足判断框条件,‎ 第1次循环,i=2,x=2.5,‎ 第2次判断后循环,i=3,x=1.5,‎ 第3次判断并循环i=4,x=0.5,满足判断框的条件退出循环,输出i=4.‎ 故答案为:4.‎ 点评:‎ 本题考查循环结构的应用,注意循环的结果的计算,考查计算能力.‎ ‎ ‎ ‎15.(5分)(2012•湖南)如图,在平行四边形ABCD中,AP⊥BD,垂足为P,且AP=3,则= 18 .‎ 考点:‎ 平面向量数量积的运算.菁优网版权所有 专题:‎ 计算题;压轴题.‎ 分析:‎ 设AC与BD交于O,则AC=2AO,在RtAPO中,由三角函数可得AO与AP的关系,代入向量的数量积=||||cos∠PAO可求 解答:‎ 解:设AC与BD交于点O,则AC=2AO ‎∵AP⊥BD,AP=3,‎ 在Rt△APO中,AOcos∠OAP=AP=3‎ ‎∴||cos∠OAP=2||×cos∠OAP=2||=6,‎ 由向量的数量积的定义可知,=||||cos∠PAO=3×6=18‎ 故答案为:18‎ 点评:‎ 本题主要考查了向量的数量积 的定义的应用,解题的关键在于发现规律:AC×cos∠OAP=2×AOcos∠OAP=2AP.‎ ‎ ‎ ‎16.(5分)(2012•湖南)对于n∈N*,将n表示为n=+…+,当i=k时,ai=1,当0≤i≤k﹣1时,ai为0或1.定义bn如下:在n的上述表示中,当a0,a1,a2,…,ak中等于1的个数为奇数时,bn=1;否则bn=0.‎ ‎(1)b2+b4+b6+b8= 3 ;‎ ‎(2)记cm为数列{bn}中第m个为0的项与第m+1个为0的项之间的项数,则cm的最大值是 2 .‎ 考点:‎ 数列的应用;数列的函数特性.菁优网版权所有 专题:‎ 压轴题;新定义.‎ 分析:‎ ‎(1)由题设定义可知,2=1×2,4=1×22,6=1×22+1×2,8=1×23,从而b2=1,b4=1,b6=0,b8=1,故可求b2+b4+b6+b8的值;‎ ‎(2)设{bn}中第m个为0的项为bi,即bi=0,构造二进制数(i)10=(akak﹣1…a1a0)2,则akak﹣1…a1a0中1的个数为偶数,再进行分类讨论:当a2a1a0=000时,cm=2;当a2a1a0=001时,cm=0;当a2a1a0=010时,cm=1;当a2a1a0=011时,cm=0;当a2a1a0=100时,cm=2;当a2a1a0=101时,cm=0;当a0=0,前面有奇数个1时,cm=1; 当a0=0,前面有偶数个1时,cm=2;当末位有奇数个1时,cm=1;当末位有偶数个1时,cm=0,由此可得cm的最大值.‎ 解答:‎ 解:(1)由题设定义可知,2=1×2,4=1×22,6=1×22+1×2,8=1×23,∴b2=1,b4=1,b6=0,b8=1‎ ‎∴b2+b4+b6+b8=3‎ ‎(2)设{bn}中第m个为0的项为bi,即bi=0,构造二进制数(i)10=(akak﹣1…a1a0)2,则akak﹣1…a1a0中1的个数为偶数,当a2a1a0=000时,bi+1=1,bi+2=1,bi+3=0,cm=2;‎ 当a2a1a0=001时,bi+1=0,cm=0;当a2a1a0=010时,bi+1=1,bi+2=0,cm=1;当a2a1a0=011时,bi+1=0,cm=0;当a2a1a0=100时,bi+1=1,bi+2=1,bi+3=0,cm=2;当a2a1a0=101时,bi+1=0,cm=0;当a0=0,前面有奇数个1时,bi+1=1,bi+2=0,cm=1; 当a0=0,前面有偶数个1时,bi+1=1,bi+2=1,bi+3=0,cm=2;当末位有奇数个1时,bi+1=1,bi+2=0,cm=1;当末位有偶数个1时,bi+1=1,bi+2=0,cm=0;故cm的最大值为2.‎ 点评:‎ 对于新定义型问题,正确理解新定义传递的信息是解题的突破口.‎ ‎ ‎ 三、解答题(共6小题,满分75分)‎ ‎17.(12分)(2012•湖南)某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息,安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据,如下表所示.‎ 一次购物量 ‎1至4件 ‎5至8件 ‎9至12件 ‎13至16件 ‎17件以上 顾客数(人)‎ x ‎30‎ ‎25‎ y ‎10‎ 结算时间(分钟/人 ‎1‎ ‎1.5‎ ‎2‎ ‎2.5‎ ‎3‎ 已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55%.‎ ‎(Ⅰ)确定x,y的值,并估计顾客一次购物的结算时间的平均值;‎ ‎(Ⅱ)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率.(将频率视为概率)‎ 考点:‎ 概率的应用;众数、中位数、平均数.菁优网版权所有 专题:‎ 应用题;概率与统计.‎ 分析:‎ ‎(Ⅰ)由已知得25+y+10=55,x+30=45,故可确定,y的值,进而可求顾客一次购物的结算时间的平均值;‎ ‎(Ⅱ)记A:一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟;A1:该顾客一次购物的结算时间为1分钟;A2:该顾客一次购物的结算时间为1.5分钟;A3:该顾客一次购物的结算时间为2分钟;将频率视为概率求出相应的概率,利用互斥事件的概率公式即可得到结论.‎ 解答:‎ 解:(Ⅰ)由已知得25+y+10=55,x+30=45,所以x=15,y=20;‎ 顾客一次购物的结算时间的平均值为=1.9(分钟);‎ ‎(Ⅱ)记A:一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟;A1:该顾客一次购物的结算时间为1分钟;‎ A2:该顾客一次购物的结算时间为1.5分钟;A3:该顾客一次购物的结算时间为2分钟;‎ 将频率视为概率可得P(A1);P(A2)=;P(A3)=‎ ‎∴P(A)=P(A1)+P(A2)+P(A3)=0.15+0.3+0.25=0.7‎ ‎∴一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为0.7.‎ 点评:‎ 本题考查学生的阅读能力,考查概率的计算,考查互斥事件,将事件分拆成互斥事件的和是解题的关键,属于中档题.‎ ‎ ‎ ‎18.(12分)(2012•湖南)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R,ω>0,0<φ<)的部分图象如图所示.‎ ‎(Ⅰ)求函数f(x)的解析式;‎ ‎(Ⅱ)求函数g(x)=f(x﹣)﹣f(x+)的单调递增区间.‎ 考点:‎ 由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式;三角函数中的恒等变换应用;复合三角函数的单调性.菁优网版权所有 专题:‎ 计算题.‎ 分析:‎ ‎(I)先利用函数图象求此函数的周期,从而计算得ω的值,再将点(,0)和(0,1)代入解析式,分别解得φ和A的值,最后写出函数解析式即可;‎ ‎(II)先利用三角变换公式将函数g(x)的解析式化为y=Asin(ωx+φ)型函数,再将内层函数看做整体,置于外层函数即正弦函数的单调增区间上,即可解得函数g(x)的单调增区间 解答:‎ 解:(I)由图象可知,周期T=2(﹣)=π,∴ω==2‎ ‎∵点(,0)在函数图象上,∴Asin(2×+φ)=0‎ ‎∴sin(+φ)=0,∴+φ=π+kπ,即φ=kπ+,k∈z ‎∵0<φ<‎ ‎∴φ=‎ ‎∵点(0,1)在函数图象上,∴Asin=1,A=2‎ ‎∴函数f(x)的解析式为f(x)=2sin(2x+)‎ ‎(II)g(x)=2sin[2(x﹣)+]﹣2sin[2(x+)+]=2sin2x﹣2sin(2x+)‎ ‎=2sin2x﹣2(sin2x+cos2x)=sin2x﹣cos2x ‎=2sin(2x﹣)‎ 由﹣+2kπ≤2x﹣≤+2kπ,k∈z 得kπ﹣≤x≤kπ+‎ ‎∴函数g(x)=f(x﹣)﹣f(x+)的单调递增区间为[kπ﹣,kπ+]k∈z 点评:‎ 本题主要考查了y=Asin(ωx+φ)型函数的图象和性质,根据图象求函数的解析式,利用函数解析式求复合三角函数单调区间的方法,属基础题 ‎ ‎ ‎19.(12分)(2012•湖南)如图,在四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是等腰梯形,AD∥BC,AC⊥BD.‎ ‎(Ⅰ)证明:BD⊥PC;‎ ‎(Ⅱ)若AD=4,BC=2,直线PD与平面PAC所成的角为30°,求四棱锥P﹣ABCD的体积.‎ 考点:‎ 直线与平面垂直的性质;直线与平面所成的角.菁优网版权所有 专题:‎ 计算题;证明题.‎ 分析:‎ ‎(1)由PA⊥平面ABCD,AC⊥BD可证得BD⊥平面PAC,从而证得BD⊥PC;‎ ‎(2)设AC∩BD=O,连接PO,由BD⊥平面PAC可得∠DPO是直线PD和平面PAC所成的角,于是∠DPO=30°,从而有PD=2OD,于是可证得△AOD,△BOC均为等腰直角三角形,从而可求得梯形ABCD的高,继而可求SABCD,VP﹣ABCD.‎ 解答:‎ 解:(Ⅰ)∵PA⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,‎ ‎∴PA⊥BD;‎ 又AC⊥BD,PA,AC是平面PAC内的两条相交直线,‎ ‎∴BD⊥平面PAC,而PC⊂平面PAC,∴BD⊥PC;‎ ‎(Ⅱ)设AC∩BD=O,连接PO,由(Ⅰ)知BD⊥平面PAC,‎ ‎∴∠DPO是直线PD和平面PAC所成的角,‎ ‎∴∠DPO=30°,‎ 由BD⊥平面PAC,PO⊂平面PAC知,BD⊥PO.在Rt△POD中,由∠DPO=30°得PD=2OD.‎ ‎∵四边形ABCD是等腰梯形,AC⊥BD,‎ ‎∴△AOD,△BOC均为等腰直角三角形,从而梯形ABCD的高为AD+BC=×(4+2)=3,‎ 于是SABCD=×(4+2)×3=9.‎ 在等腰三角形AOD中,OD=AD=2,‎ ‎∴PD=2OD=4,PA==4,‎ ‎∴VP﹣ABCD=SABCD×PA=×9×4=12.‎ 点评:‎ 本题考查直线与平面垂直判定定理与性质性质定理,考查直线与平面所成的角的应用与锥体体积,突出对分析、推理与计算能力的考查与应用,属于中档题.‎ ‎ ‎ ‎20.(13分)(2012•湖南)某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.该企业第一年年初有资金2000万元,将其投入生产,到当年年底资金增长了50%.预计以后每年年增长率与第一年的相同.公司要求企业从第一年开始,每年年底上缴资金d万元,并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元.‎ ‎(Ⅰ)用d表示a1,a2,并写出an+1与an的关系式;‎ ‎(Ⅱ)若公司希望经过m(m≥3)年使企业的剩余资金为4000万元,试确定企业每年上缴资金d的值(用m表示).‎ 考点:‎ 数列的应用;根据实际问题选择函数类型.菁优网版权所有 专题:‎ 计算题;综合题.‎ 分析:‎ ‎(Ⅰ)由题意可求得a1=2000(1+50%)﹣d,a2=a1(1+50%)﹣d=,…从而归纳出an+1=an﹣d.‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)得an=an﹣1﹣d=(an﹣2﹣d)﹣d=…=a1﹣d[1+++…+],利用等比数列的求和公式可求得an=(3000﹣3d)+2d,再结合题意am=4000,‎ 即可确定企业每年上缴资金d的值.‎ 解答:‎ 解:(Ⅰ)由题意得:a1=2000(1+50%)﹣d=3000﹣d,‎ a2=a1(1+50%)﹣d=a1﹣d=4500﹣d,‎ ‎…‎ an+1=an(1+50%)﹣d=an﹣d.‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)得an=an﹣1﹣d ‎=(an﹣2﹣d)﹣d ‎=an﹣2﹣d﹣d ‎=…‎ ‎=a1﹣d[1+++…+]‎ 整理得:an=(3000﹣d)﹣2d[﹣1]‎ ‎=(3000﹣3d)+2d.‎ 由题意,am=4000,即(3000﹣3d)+2d=4000.‎ 解得d==,‎ 故该企业每年上缴资金d的值为时,经过m(m≥3)年企业的剩余资金为4000万元.‎ 点评:‎ 本题考查数列的应用,着重考查归纳思想的运用,求得an+1=an﹣d是关键,递推关系的综合应用是难点,突出转化与运算能力的考查,属于难题.‎ ‎ ‎ ‎21.(13分)(2012•湖南)在直角坐标系xOy中,已知中心在原点,离心率为的椭圆E的一个焦点为圆C:x2+y2﹣4x+2=0的圆心.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆E的方程;‎ ‎(Ⅱ)设P是椭圆E上一点,过P作两条斜率之积为的直线l1,l2.当直线l1,l2都与圆C相切时,求P的坐标.‎ 考点:‎ 直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程;椭圆的简单性质.菁优网版权所有 专题:‎ 综合题;压轴题.‎ 分析:‎ ‎(Ⅰ)确定x2+y2﹣4x+2=0的圆心C(2,0),设椭圆E的方程为:,其焦距为2c,则c=2,利用离心率为,即可求得椭圆E的方程;‎ ‎(Ⅱ)设P(x0,y0),l1,l2的斜率分别为k1,k2,则k1k2=,由l1与圆C:x2+y2﹣4x+2=0相切,可得,同理可得,从而k1,k2是方程的两个实根,进而,利用,即可求得点P的坐标.‎ 解答:‎ 解:(Ⅰ)由x2+y2﹣4x+2=0得(x﹣2)2+y2=2,∴圆心C(2,0)‎ 设椭圆E的方程为:,其焦距为2c,则c=2,‎ ‎∵,∴a=4,‎ ‎∴b2=a2﹣c2=12‎ ‎∴椭圆E的方程为:‎ ‎(Ⅱ)设P(x0,y0),l1,l2的斜率分别为k1,k2,则l1:y﹣y0=k1(x﹣x0)‎ l2:y﹣y0=k2(x﹣x0),且k1k2=‎ 由l1与圆C:x2+y2﹣4x+2=0相切得 ‎∴‎ 同理可得 从而k1,k2是方程的两个实根 所以①,且 ‎∵,‎ ‎∴,‎ ‎∴x0=﹣2或 由x0=﹣2得y0=±3;由得满足①‎ 故点P的坐标为(﹣2,3)或(﹣2,﹣3),或()或()‎ 点评:‎ 本题考查椭圆的标准方程,考查直线与圆相切,解题的关键是确定k1,k2是方程的两个实根,属于中档题.‎ ‎ ‎ ‎22.(13分)(2012•湖南)已知函数f(x)=ex﹣ax,其中a>0.‎ ‎(1)若对一切x∈R,f(x)≥1恒成立,求a的取值集合;‎ ‎(2)在函数f(x)的图象上取定点A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))(x1<x2),记直线AB的斜率为K,证明:存在x0∈(x1,x2),使f′(x0)=K恒成立.‎ 考点:‎ 导数在最大值、最小值问题中的应用;利用导数研究函数的单调性.菁优网版权所有 专题:‎ 计算题;压轴题.‎ 分析:‎ ‎(1)根据题意,对f(x)求导可得f′(x)=0,令f′(x)=0,解可得x=lna,分x<lna与x>lna两种情况讨论可得f(x)取最小值为f(lna)=a﹣alna,令g(t)=t﹣tlnt,对其求导可得g′(t)=﹣lnt,分析可得当t=1时,g(t)取得最大值1,因此当且仅当a=1时,a﹣alna≥1成立,即可得答案;‎ ‎(2)根据题意,由直线的斜率公式可得k=﹣a,令φ(x)=f′(x)﹣k=ex﹣,可以求出φ(x1)与φ(x2)的值,令F(t)=et﹣t﹣1,求导可得F′(t)=et﹣1,‎ 分t>0与t<0讨论可得F(t)的最小值为F(0)=0,则当t≠0时,F(t)>F(0)=0,即et﹣t﹣1>0,进而讨论可得φ(x1)<0、φ(x2)>0,结合函数的连续性分析可得答案.‎ 解答:‎ 解:(1)f′(x)=ex﹣a,‎ 令f′(x)=0,解可得x=lna;‎ 当x<lna,f′(x)<0,f(x)单调递减,当x>lna,f′(x)>0,f(x)单调递增,‎ 故当x=lna时,f(x)取最小值,f(lna)=a﹣alna,‎ 对一切x∈R,f(x)≥1恒成立,当且仅当a﹣alna≥1,①‎ 令g(t)=t﹣tlnt,则g′(t)=﹣lnt,‎ 当0<t<1时,g′(t)>0,g(t)单调递增,当t>1时,g′(t)<0,g(t)单调递减,‎ 故当t=1时,g(t)取得最大值,且g(1)=1,‎ 因此当且仅当a=1时,①式成立,‎ 综上所述,a的取值的集合为{1}.‎ ‎(2)根据题意,k==﹣a,‎ 令φ(x)=f′(x)﹣k=ex﹣,‎ 则φ(x1)=﹣[﹣(x2﹣x1)﹣1],‎ φ(x2)=[﹣(x1﹣x2)﹣1],‎ 令F(t)=et﹣t﹣1,则F′(t)=et﹣1,‎ 当t<0时,F′(t)<0,F(t)单调递减;当t>0时,F′(t)>0,F(t)单调递增,‎ 则F(t)的最小值为F(0)=0,‎ 故当t≠0时,F(t)>F(0)=0,即et﹣t﹣1>0,‎ 从而﹣(x2﹣x1)﹣1>0,且>0,则φ(x1)<0,‎ ‎﹣(x1﹣x2)﹣1>0,>0,则φ(x2)>0,‎ 因为函数y=φ(x)在区间[x1,x2]上的图象是连续不断的一条曲线,所以存在x0∈(x1,x2),使φ(x0)=0,‎ 即f′(x0)=K成立.‎ 点评:‎ 本题考查导数的应用,涉及最大值、最小值的求法以及恒成立问题,是综合题;关键是理解导数的符号与单调性的关系,并能正确求出函数的导数.‎ ‎ ‎