高考导数洛必达法则 5页

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  • 2021-05-14 发布

高考导数洛必达法则

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第二部分:泰勒展开式 ‎ ‎1. 其中;‎ ‎2. 其中;‎ ‎3. ,其中;‎ ‎4. 其中;‎ 第三部分:新课标高考命题趋势及方法 许多省市的高考试卷的压轴题都是导数应用问题,其中求参数的取值范围就是一类重点考查的题型.这类题目容易让学生想到用分离参数的方法,一部分题用这种方法很凑效,另一部分题在高中范围内用分离参数的方法却不能顺利解决,高中阶段解决它只有华山一条路——分类讨论和假设反证的方法.虽然这些压轴题可以用分类讨论和假设反证的方法求解,但这种方法往往讨论多样、过于繁杂,学生掌握起来非常困难.研究发现利用分离参数的方法不能解决这部分问题的原因是出现了”型的式子,而这就是大学数学中的不定式问题,解决这类问题的有效方法就是洛必达法则.‎ 第四部分:洛必达法则及其解法 洛必达法则:设函数、满足:‎ ‎(1); (2)在内,和都存在,且;‎ ‎(3) (可为实数,也可以是).则.‎ ‎(2011新)例:已知函数,曲线在点处的切线方程为.‎ ‎(Ⅰ)求、的值; (Ⅱ)如果当,且时,,求的取值范围.‎ ‎(Ⅰ)略解得,.(Ⅱ)方法一:分类讨论、假设反证法 由(Ⅰ)知,所以.‎ 考虑函数,则.‎ ‎(i)当时,由知,当时,.因为,‎ 所以当时,,可得;当时,,可得 ‎,从而当且时,,即;‎ ‎(ii)当时,由于当时,,故,而,故当时,,可得,与题设矛盾.‎ ‎(iii)当时, ,而,故当时,,可得,与题设矛盾.综上可得,的取值范围为.‎ 注:分三种情况讨论:①;②;③不易想到.尤其是②时,许多考生都停留在此层面,举反例更难想到.而这方面根据不同题型涉及的解法也不相同,这是高中阶段公认的难点,即便通过训练也很难提升. 当,且时,,即,‎ 也即,记,,且 则,‎ 记,则,‎ 从而在上单调递增,且,因此当时,,当时,;当时,,当时,,所以在上单调递减,在上单调递增.‎ 由洛必达法则有 ‎ ‎,‎ 即当时,,即当,且时,.因为恒成立,所以.综上所述,当,且时,成立,的取值范围为.‎ 注:本题由已知很容易想到用分离变量的方法把参数分离出来.然后对分离出来的函数求导,研究其单调性、极值.此时遇到了“当时,函数值没有意义”这一问题,很多考生会陷入困境.如果考前对优秀的学生讲洛必达法则的应用,再通过强化训练就能掌握解决此类难题的这一有效方法.‎ 例(2010新):设函数.‎ ‎(Ⅰ)若,求的单调区间;(Ⅱ)当时,,求的取值范围.‎ 应用洛必达法则和导数(Ⅱ)当时,,即.‎ ‎①当时,;②当时,等价于.‎ 记 ,则. ‎ 记 ,则,当时,,所以在上单调递增,且,所以在上单调递增,且,因此当时,,从而在上单调递增.‎ 由洛必达法则有,‎ 即当时,,所以当时,所以,因此.‎ 综上所述,当且时,成立.‎ 自编:若不等式对于恒成立,求的取值范围.‎ 解:应用洛必达法则和导数 当时,原不等式等价于.记,则.‎ 记,则.因为,‎ ‎,所以在上单调递减,且,‎ 所以在上单调递减,且.因此在上单调递减,‎ 且,故,因此在上单调递减.‎ 由洛必达法则有,‎ 即当时,,即有.故时,不等式对于恒成立.‎ 通过以上例题的分析,我们不难发现应用洛必达法则解决的试题应满足:‎ ‎(1)可以分离变量;②用导数可以确定分离变量后一端新函数的单调性;③出现“”型式子.‎ ‎2010海南宁夏文(21)‎ 已知函数.‎ ‎(Ⅰ)若在时有极值,求函数的解析式;(Ⅱ)当时,,求的取值范围.‎ 解:(Ⅱ)应用洛必达法则和导数时,,即.①当时,;②当时,等价于,也即.记,,则.‎ 记,,则,因此在上单调递增,且,所以,从而在上单调递增.‎ 由洛必达法则有,即当时,所以,即有.‎ 综上所述,当,时,成立.‎ ‎2010全国大纲理(22)设函数.‎ ‎(Ⅰ)证明:当时,;(Ⅱ)设当时,,求的取值范围.‎ 解:(Ⅰ)略 (Ⅱ)应用洛必达法则和导数 由题设,此时.①当时,若,则,不成立;‎ ‎②当时,当时,,即;若,则;‎ 若,则等价于,即.‎ 记,则.‎ 记,则,.‎ 因此,在上单调递增,且,所以,‎ 即在上单调递增,且,所以.‎ 因此,所以在上单调递增.‎ 由洛必达法则有,即当时,‎ ‎,即有,所以.综上所述,的取值范围是.‎ ‎(2008)例:设函数.‎ ‎(Ⅰ)求的单调区间;(Ⅱ)如果对任何,都有,求的取值范围.‎ 解:(Ⅰ). ‎ 当()时,,即;‎ 当()时,,即.因此在每一个区间()是增函数,在每一个区间()是减函数. ‎ ‎(Ⅱ)应用洛必达法则和导数若,则;若,则等价于,即 则.记,‎ 因此,当时,,在上单调递减,且,故,所以在上单调递减,而.另一方面,当时,,因此.‎