高考导数洛必达法则 5页

第二部分：泰勒展开式 ‎ ‎1. 其中；‎ ‎2. 其中；‎ ‎3. ，其中；‎ ‎4. 其中；‎ 第三部分：新课标高考命题趋势及方法 许多省市的高考试卷的压轴题都是导数应用问题，其中求参数的取值范围就是一类重点考查的题型.这类题目容易让学生想到用分离参数的方法，一部分题用这种方法很凑效，另一部分题在高中范围内用分离参数的方法却不能顺利解决，高中阶段解决它只有华山一条路——分类讨论和假设反证的方法.虽然这些压轴题可以用分类讨论和假设反证的方法求解，但这种方法往往讨论多样、过于繁杂，学生掌握起来非常困难.研究发现利用分离参数的方法不能解决这部分问题的原因是出现了”型的式子，而这就是大学数学中的不定式问题，解决这类问题的有效方法就是洛必达法则.‎ 第四部分：洛必达法则及其解法 洛必达法则：设函数、满足：‎ ‎（1）； （2）在内，和都存在，且；‎ ‎（3） （可为实数，也可以是）.则.‎ ‎（2011新）例：已知函数，曲线在点处的切线方程为.‎ ‎（Ⅰ）求、的值； （Ⅱ）如果当，且时，，求的取值范围.‎ ‎（Ⅰ）略解得，.（Ⅱ）方法一：分类讨论、假设反证法 由（Ⅰ）知，所以.‎ 考虑函数，则.‎ ‎(i)当时，由知，当时，.因为，‎ 所以当时，，可得；当时，，可得 ‎，从而当且时，，即；‎ ‎（ii）当时，由于当时，，故，而，故当时，，可得，与题设矛盾.‎ ‎（iii）当时， ，而，故当时，，可得，与题设矛盾.综上可得，的取值范围为.‎ 注：分三种情况讨论：①；②；③不易想到.尤其是②时，许多考生都停留在此层面，举反例更难想到.而这方面根据不同题型涉及的解法也不相同，这是高中阶段公认的难点，即便通过训练也很难提升. 当，且时，，即，‎ 也即，记，，且 则，‎ 记，则，‎ 从而在上单调递增，且，因此当时，，当时，；当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增.‎ 由洛必达法则有 ‎ ‎，‎ 即当时，，即当，且时，.因为恒成立，所以.综上所述，当，且时，成立，的取值范围为.‎ 注：本题由已知很容易想到用分离变量的方法把参数分离出来.然后对分离出来的函数求导，研究其单调性、极值.此时遇到了“当时，函数值没有意义”这一问题，很多考生会陷入困境.如果考前对优秀的学生讲洛必达法则的应用，再通过强化训练就能掌握解决此类难题的这一有效方法.‎ 例（2010新）：设函数.‎ ‎（Ⅰ）若，求的单调区间；（Ⅱ）当时，，求的取值范围.‎ 应用洛必达法则和导数（Ⅱ）当时，，即.‎ ‎①当时，；②当时，等价于.‎ 记 ，则. ‎ 记 ，则，当时，，所以在上单调递增，且，所以在上单调递增，且，因此当时，，从而在上单调递增.‎ 由洛必达法则有，‎ 即当时，，所以当时，所以，因此.‎ 综上所述，当且时，成立.‎ 自编：若不等式对于恒成立，求的取值范围.‎ 解：应用洛必达法则和导数 当时，原不等式等价于.记，则.‎ 记，则.因为，‎ ‎，所以在上单调递减，且，‎ 所以在上单调递减，且.因此在上单调递减，‎ 且，故，因此在上单调递减.‎ 由洛必达法则有，‎ 即当时，，即有.故时，不等式对于恒成立.‎ 通过以上例题的分析，我们不难发现应用洛必达法则解决的试题应满足：‎ ‎（1）可以分离变量；②用导数可以确定分离变量后一端新函数的单调性；③出现“”型式子.‎ ‎2010海南宁夏文（21）‎ 已知函数.‎ ‎（Ⅰ）若在时有极值，求函数的解析式；（Ⅱ）当时，，求的取值范围.‎ 解：（Ⅱ）应用洛必达法则和导数时，，即.①当时，；②当时，等价于，也即.记，，则.‎ 记，，则，因此在上单调递增，且，所以，从而在上单调递增.‎ 由洛必达法则有，即当时，所以，即有.‎ 综上所述，当，时，成立.‎ ‎2010全国大纲理（22）设函数.‎ ‎（Ⅰ）证明：当时，；（Ⅱ）设当时，，求的取值范围.‎ 解：（Ⅰ）略 （Ⅱ）应用洛必达法则和导数 由题设，此时.①当时，若，则，不成立；‎ ‎②当时，当时，，即；若，则；‎ 若，则等价于，即.‎ 记，则.‎ 记，则，.‎ 因此，在上单调递增，且，所以，‎ 即在上单调递增，且，所以.‎ 因此，所以在上单调递增.‎ 由洛必达法则有，即当时，‎ ‎，即有，所以.综上所述，的取值范围是.‎ ‎（2008）例：设函数．‎ ‎（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）如果对任何，都有，求的取值范围．‎ 解：（Ⅰ）． ‎ 当（）时，，即；‎ 当（）时，，即．因此在每一个区间（）是增函数，在每一个区间（）是减函数． ‎ ‎（Ⅱ）应用洛必达法则和导数若，则；若，则等价于，即 则.记，‎ 因此，当时，，在上单调递减，且，故，所以在上单调递减，而.另一方面，当时，，因此.‎