大连民族学院附中创新设计高考数学一轮复习单元训练推理与证明 5页

大连民族学院附中2019版《创新设计》高考数学一轮复习单元训练：推理与证明 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．‎ 第Ⅰ卷(选择题　共60分)‎ 一、选择题 (本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1．已知且，对进行如下方式的“ 分拆”：→，→，→，…，那么361的“分拆”所得的数的中位数是( )‎ A．19 B．21 C．29 D．361‎ ‎【答案】A ‎2．否定“自然数a、b、c中恰有一个奇数”时正确的反设是( )‎ A．a、b、c都是偶数 B．a、b、c都是奇数 C．a、b、c中至少有两个奇数 D．a、b、c中或都是偶数或至少有两个奇数 ‎【答案】D ‎3．将全体正奇数排成一个三角形数阵：‎ ‎ 1‎ ‎ 3 5‎ ‎ 7 9 11‎ ‎ 13 15 17 19‎ 按照以上排列的规律，第n 行（n ≥3）从左向右的第3个数为( )‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎4．在求证“数列，，不可能为等比数列”时最好采用( )[来源:Z。xx。k.Com][来源:Z§xx§k.Com]‎ A．分析法 B．综合法 C．反证法 D．直接法 ‎【答案】C ‎5．下列说法中正确的是( )‎ A．合情推理是正确的推理 B．合情推理就是归纳推理 C．归纳推理是从一般到特殊的推理 D．类比推理是从特殊到特殊的推理 ‎【答案】D ‎6．用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，假设正确的是( )‎ A．假设至少有一个钝角 B．假设没有一个钝角 C．假设至少有两个钝角 D．假设没有一个钝角或至少有两个钝角[来源:学*科*网Z*X*X*K]‎ ‎【答案】C ‎7．观察下列各式:则的末四位数字为( )‎ A．3125 B． 5625 C．0625 D．8125‎ ‎【答案】D ‎8．一个正整数数表如下（表中下一行中的数的个数是上一行中数的个数的2倍）：‎ 则第9行中的第4个数是( )‎ A．132 B．255 C．259 D．260‎ ‎【答案】C ‎9．对任意实数，定义运算，其中是常数，等式右边的运算是通常的加法和乘法运算。已知，并且有一个非零常数，使得对任意实数， 都有，则的值是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎10．如图所示，某公园设计节日鲜花摆放方案，其中一个花坛由一批花盆堆成六角垛．顶层一个，以下各层堆成正六边形，逐层每边增加一个花盆，若这垛花盆底层最长的一排共有 13个花盆，则底层的花盆的个数是( )‎ A．91 B．127 C． 169 D．255‎ ‎【答案】B ‎11．对于大于1的自然数m的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”：‎ ‎……仿此，若的“分裂数”中有一个是59，则m的值为( )‎ A．7 B．8 C．9 D．10‎ ‎【答案】B ‎12．2019年，我国南方省市遭遇旱灾以及洪水灾害，为防洪抗旱，某地区大面积种植树造林，如图，在区域内植树，第一棵树在点，第二棵树在点，第三棵树在C1（1，0）点，第四棵树点，接着按图中箭头方向每隔一个单位种一棵树，那么第2019棵树所在的点的坐标是( )‎ A．（13，44） B．（12，44） C．（13，43） D．（14，43）‎ ‎【答案】A 第Ⅱ卷(非选择题　共90分)‎ 二、填空题 (本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)‎ ‎13．已知数列的通项公式为,将数列中各项进行分组如下。第1组：；第2组：，；……；如果第k组的最后一个数为，那么第k+1组的（k+1）个数依次排列为：，，……，，则第10组的第一个数是____________‎ ‎【答案】89‎ ‎14．要研究可导函数在某点处的瞬时变化率，有两种方案可供选择：①直接求导，得到，再把横坐标代入导函数的表达式；②先把按二项式展开，逐个求导，再把横坐标代入导函数的表达式.综合①、②可得到某些恒等式，利用上述思想方法，可得到恒等式：‎ ‎=____________•‎ ‎【答案】‎ ‎15．观察下列不等式 照此规律，第五个不等式为 .‎ ‎【答案】.‎ ‎16．三个同学对问题“关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围”提出各自的解题思路。‎ 甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值．”‎ 乙说：“把不等式变形为左边含变量的函数，右边仅含常数，求函数的最值．”‎ 丙说：“把不等式两边看成关于的函数，作出函数图象．”‎ 参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即的取值范围是 ‎ ‎【答案】‎ 三、解答题 (本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)‎ ‎17．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，下图(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形．‎ ‎ (1)求出，并猜测的表达式；‎ ‎(2)求证：＋＋＋…＋．‎ ‎【答案】 (1)∵ f(1)＝1，f(2)＝5，f(3)＝13，f(4)＝25，∴ f(5)＝25＋4×4＝41.‎ ‎∵ f(2)－f(1)＝4＝4×1，f(3)－f(2)＝8＝4×2，f(4)－f(3)＝12＝4×3，f(5)－f(4)＝16＝4×4，‎ 由上式规律得出f(n＋1)－f(n)＝4n. ∴ f(n)－f(n－1)＝4(n－1)，f(n－1)－f(n－2)＝4·(n－2)，‎ f(n－2)－f(n－3)＝4·(n－3)，…‎ f(2)－f(1)＝4×1，‎ ‎∴ f(n)－f(1)＝4(n－1)＋(n－2)＋…＋2＋1＝2(n－1)·n，∴ f(n)＝2n2－2n＋1(n≥2)，‎ 又n＝1时，f(1)也适合f(n)．‎ ‎∴ f(n)＝2n2－2n＋1. ‎ ‎(2)当n≥2时，＋＋＋…＋‎ ‎18．设.‎ ‎(Ⅰ）利用作差法比较与的大小；‎ ‎(Ⅱ）求证：；‎ ‎(Ⅲ）利用（Ⅰ）（Ⅱ）的结论，证明：．‎ ‎【答案】（1），∴‎ ‎(Ⅲ）由（1）得 类似的，，‎ ‎19．若实数满足，则称，‎ ‎(1）若的取值范围。‎ ‎(2）对任意两个不相等的正数，证明：‎ ‎【答案】（1）由题意得，即 的取值范围是 ‎(2）当是不相等的正数时 又 ‎20．设函数中，均为整数，且均为奇数。‎ ‎ 求证：无整数根。[来源:Zxxk.Com]‎ ‎【答案】假设有整数根，则 ‎ 而均为奇数，即为奇数，为偶数，则同时为奇数‘‎ ‎ 或同时为偶数，为奇数，当为奇数时，为偶数；当为偶数时，也为偶数，即为奇数，与矛盾。‎ ‎ 无整数根。‎ ‎21．由下面四个图形中的点数分别给出了四个数列的前四项,将每个图形的层数增加可得到这四个数列的后继项.按图中多边形的边数依次称这些数列为“三角形数列”、“四边形数列”，将构图边数增加到可得到“边形数列”，记它的第项为，‎ ‎ 1，3，6，10 1，4，9，16 1，5，12，22 1，6，15，28‎ ‎(1） 求使得的最小的取值；‎ ‎(2） 试推导关于、的解析式；‎ ‎( 3) 是否存在这样的“边形数列”,它的任意连续两项的和均为完全平方数,若存在,指出所有满足条件的数列并证明你的结论;若不存在,请说明理由.‎ ‎【答案】 (1),由题意得,所以,最小的. ‎ ‎ (2)设边形数列所对应的图形中第层的点数为,则[来源:1]‎ 从图中可以得出:后一层的点在条边上增加了一点,两条边上的点数不变,‎ ‎ 所以,‎ 所以是首项为1公差为的等差数列,‎ 所以.(或等) ‎ ‎ (3) ‎ ‎ 显然满足题意, ‎ ‎ 而结论要对于任意的正整数都成立,则的判别式必须为零,‎ ‎ 所以,, 所以,满足题意的数列为“三角形数列”.‎ ‎22．△ABC的三个内角A、B、C成等差数列， 分别为三个内角A、B、C所对的边，求证： 。‎ ‎【答案】要证，即需证。‎ 即证。又需证，需证 ‎∵△ABC三个内角A、B、C成等差数列。∴B=60°。‎ 由余弦定理，有，即。‎ ‎∴成立，命题得证。‎