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- 2021-05-14 发布
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2019年高考数学试题分项版——解析几何(解析版)
一、选择题
1.(2019·全国Ⅰ文,10)双曲线C:x5a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线的倾斜角为130°,则C的离心率为( )
A.2sin 40° B.2cos 40° C.1son50° D.1cos50°
答案 D
解析 由题意可得-ba=tan 130°,
所以e= 1+b2a2=1+tan2130°
= 1+sin2130°cos2130°
=1cos130°=1cos50°.
2.(2019·全国Ⅰ文,12)已知椭圆C的焦点为F1(-1,0),F2(1,0),过F2的直线与C交于A,B两点.若|AF2|=2|F2B|,|AB|=|BF1|,则C的方程为( )
A.x22+y2=1 B.x23+y22=1
C.x24+y23=1 D.x25+y24=1
答案 B
解析 由题意设椭圆的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),连接F1A,令|F2B|=m,则|AF2|=2m,|BF1|=3m.由椭圆的定义知,4m=2a,得m=a2,故|F2A|=a=|F1A|,则点A为椭圆C的上顶点或下顶点.令∠OAF2=θ(O为坐标原点),则sin θ=ca=1a.在等腰三角形ABF1中,cos 2θ=2m2+3m2-3m22×2m∙3m=13,因为cos 2θ=1-2sin2θ,所以13=1-21a2,得a2=3.又c2=1,所以b2=a2-c2=2,椭圆C的方程为x23+y22=1,故选B.
3.(2019·全国Ⅱ文,9)若抛物线y2=2px(p>0)的焦点是椭圆x23p+y2p=1的一个焦点,则p等于( )
A.2 B.3 C.4 D.8
答案 D
解析 由题意知,抛物线的焦点坐标为p2,0,椭圆的焦点坐标为(±2p,0),所以p2=2p,解得p=8,故选D.
4.(2019·全国Ⅱ文,12)设F为双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点,O为坐标原点,以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P,Q两点.若|PQ|=|OF|,则C的离心率为( )
A.2 B.3 C.2 D.5
答案 A
解析 如图,由题意知,以OF为直径的圆的方程为x-c222+y2=c24①,将x2+y2=a2记为②式,①-②得x=a2c,则以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2的相交弦所在直线的方程为x=a2c,所以|PQ|=2a2-a2c2.
由|PQ|=|OF|,得2a2-a2c2=c,整理得c4-4a2c2+4a4=0,即e4-4e2+4=0,解得e=2,故选A.
5.(2019·全国Ⅲ文,10)已知F是双曲线C:x24-y25=1的一个焦点,点P在C上,O为坐标原点.若|OP|=|OF|,则△OPF的面积为( )
A.32 B.52 C.72 D.92
答案 B
解析 由F是双曲线x24-y25=1的一个焦点,
知|OF|=3,所以|OP|=|OF|=3.
不妨设点P在第一象限,P(x0,y0),x0>0,y0>0,
则x02+y02=3,x024-y025=1,解得x02=569,y02=259,
所以P2143,53,
所以S△OPF=12|OF|·y0=12×3×53=52.
6.(2019·北京文,5已知双曲线x2a2-y2=1(a>0)的离心率是5,则a等于( )
A.3 B.4 C.2 D.12
答案 D
解析 由双曲线方程x2a2-y2=1,得b2=1,
∴c2=a2+1.
∴5=e2=c2a2=a2+1a2=1+1a2.
结合a>0,解得a=12.
7.(2019·天津文,6)已知抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l.若l与双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于点A和点B,且|AB|=4|OF|(O为原点),则双曲线的离心率为( )
A.2 B.3 C.2 D.5
答案 D
解析 由题意,可得F(1,0),直线l的方程为x=-1,双曲线的渐近线方程为y=±bax.将x=-1代入y=±bax,得y=±ba,所以点A,B的纵坐标的绝对值均为ba.由|AB|=4|OF|可得2ba=4,即b=2a,b2=4a2,故双曲线的离心率e=ca=a2+b2a2=5.
8.(2019·浙江,2)渐近线方程为x±y=0的双曲线的离心率是( )
A.22 B.1
C.2 D.2
答案 C
解析 因为双曲线的渐近线方程为x±y=0,所以无论双曲线的焦点在x轴上还是在y轴上,都满足a=b,所以c=2a,所以双曲线的离心率e=ca=2.
9.(2019·全国Ⅰ理,10)已知椭圆C的焦点为F1(-1,0),F2(1,0),过F2的直线与C交于A,B两点.若|AF2|=2|F2B|,|AB|=|BF1|,则C的方程为( )
A.x22+y2=1 B.x23+y22=1
C.x24+y23=1 D.x25+y24=1
答案 B
解析 由题意设椭圆的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),连接F1A,令|F2B|=m,则|AF2|=2m,|BF1|=3m.由椭圆的定义知,4m=2a,得m=a2,故|F2A|=a=|F1A|,则点A为椭圆C的上顶点或下顶点.令∠OAF2=θ(O为坐标原点),则sin θ=ca=1a.在等腰三角形ABF1中,cos 2θ=2m2+3m2-3m22×2m∙3m=13,因为cos 2θ=1-2sin2θ,所以13=1-21a22,得a2=3.又c2=1,所以b2=a2-c2=2,椭圆C的方程为x23+y22=1,故选B.
10.(2019·全国Ⅱ理,8)若抛物线y2=2px(p>0)的焦点是椭圆x23p+y2p=1的一个焦点,则p等于( )
A.2 B.3 C.4 D.8
答案 D
解析 由题意知,抛物线的焦点坐标为p2,0,椭圆的焦点坐标为(±2p,0),所以p2=2p,解得p=8,故选D.
11.(2019·全国Ⅱ理,11)设F为双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点,O为坐标原点,以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P,Q两点.若|PQ|=|OF|,则C的离心率为( )
A.2 B.3 C.2 D.5
答案 A
解析 如图,
由题意知,以OF为直径的圆的方程为x-c22+y2=c24①,将x2+y2=a2记为②式,①-②得x=a2c,则以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2的相交弦所在直线的方程为x=a2c,所以|PQ|=2a2-a2c2.
由|PQ|=|OF|,得2a2-a2c2=c,整理得c4-4a2c2+4a4=0,即e4-4e2+4=0,解得e=2,故选A.
12.(2019·全国Ⅲ理,10)双曲线C:x24-y22=1的右焦点为F,点P在C的一条渐近线上,O为坐标原点.若|PO|=|PF|,则△PFO的面积为( )
A.324 B.322 C.22 D.32
答案 A
解析 不妨设点P在第一象限,根据题意可知c2=6,
所以|OF|=6.
又tan∠POF=ba=22,所以等腰△POF的高h=62×22=32,所以S△PFO=12×6×32=324.
13.(2019·北京理,4)已知椭圆的离心率为,则
A. B. C. D.
【思路分析】由椭圆离心率及隐含条件得答案.
【解析】:由题意,,得,则,
,即.
故选:.
【归纳与总结】本题考查椭圆的简单性质,熟记隐含条件是关键,是基础题.
14.(2019·北京理,8)数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线,曲线就是其中之一(如图).给出下列三个结论:
①曲线恰好经过6个整点(即横、纵坐标均为整数的点);
②曲线上任意一点到原点的距离都不超过;
③曲线所围成的“心形”区域的面积小于3.
其中,所有正确结论的序号是
A.① B.② C.①② D.①②③
【思路分析】将换成方程不变,所以图形关于轴对称,根据对称性讨论轴右边的图形可得.
【解析】:将换成方程不变,所以图形关于轴对称,
当时,代入得,,即曲线经过,;
当时,方程变为,所以△,解得,,
所以只能取整数1,当时,,解得或,即曲线经过,,
根据对称性可得曲线还经过,,
故曲线一共经过6个整点,故①正确.
当时,由得,(当时取等),
,,即曲线上轴右边的点到原点的距离不超过,根据对称性可得:曲线上任意一点到原点的距离都不超过;故②正确.
在轴上图形面积大于矩形面积,轴下方的面积大于等腰直角三角形的面积
,因此曲线所围成的“心形”区域的面积大于,故③错误.
故选:.
【归纳与总结】本题考查了命题的真假判断与应用,属中档题.
15.(2019·天津理,5)已知抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l.若l与双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于点A和点B,且|AB|=4|OF|(O为原点),则双曲线的离心率为( )
A.2 B.3 C.2 D.5
答案 D
解析 由题意,可得F(1,0),直线l的方程为x=-1,双曲线的渐近线方程为y=±bax.将x=-1代入y=±bax,得y=±ba,所以点A,B的纵坐标的绝对值均为ba.由|AB|=4|OF|可得2ba=4,即b=2a,b2=4a2,故双曲线的离心率e=ca=a2+b2a2=5.
二、填空题
1.(2019·全国Ⅲ文,15)设F1,F2为椭圆C:x236+y220=1的两个焦点,M为C上一点且在第一象限.若△MF1F2为等腰三角形,则M的坐标为________.
答案 (3,15)
解析 不妨令F1,F2分别为椭圆C的左、右焦点,根据题意可知c=36-20=4.因为△MF1F2为等腰三角形,所以易知|F1M|=2c=8,所以|F2M|=2a-8=4.
设M(x,y),则x236+y220=1,|F1M|2=(x+4)2+y2=64,x>0,y>0,得x=3,y=15,
所以M的坐标为(3,15).
2.(2019·北京文,11)设抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l.则以F为圆心,且与l相切的圆的方程为________.
答案 (x-1)2+y2=4
解析 ∵抛物线y2=4x的焦点F的坐标为(1,0),
准线l为直线x=-1,∴圆的圆心坐标为(1,0).
又∵圆与l相切,∴圆心到l的距离为圆的半径,
∴r=2.
∴圆的方程为(x-1)2+y2=4.
3.(2019·浙江,12)已知圆C的圆心坐标是(0,m),半径长是r.若直线2x-y+3=0与圆C相切于点A(-2,-1),则m=________,r=________.
答案 -2 5
解析 方法一 设过点A(-2,-1)且与直线2x-y+3=0垂直的直线方程为l:x+2y+t=0,所以-2-2+t=0,所以t=4,所以l:x+2y+4=0,令x=0,得m=-2,则r=(-2-0)2+(-1+2)2=5.
方法二 因为直线2x-y+3=0与以点(0,m)为圆心的圆相切,且切点为A(-2,-1),所以m+10-(-2)×2=-1,所以m=-2,r=(-2-0)2+(-1+2)2=5.
4.(2019·浙江,15)已知椭圆x29+y25=1的左焦点为F,点P在椭圆上且在x轴的上方.若线段PF的中点在以原点O为圆心 ,|OF|为半径的圆上,则直线PF的斜率是________.
答案 15
解析 依题意,设点P(m,n)(n>0),由题意知F(-2,0),|OF|=2,所以线段FP的中点M-2+m2,n2在圆x2+y2=4上,所以-2+m22+n22=4,又点P(m,n)在椭圆x29+y25=1上,所以n29+n25=1,所以4m2-36m-63=0,所以m=-32或m=212(舍去),当m=-32时,n=152,所以kPF=152-0-32-(-2)=15.
5.(2019·江苏,7)在平面直角坐标系xOy中,若双曲线x2-y2b2=1(b>0)经过点(3,4),则该双曲线的渐近线方程是_________________.
答案 y=±2x
解析 因为双曲线x2-y2b2=1(b>0)经过点(3,4),所以9-16b2=1,得b=2,所以该双曲线的渐近线方程是y=±bx=±2x.
6.(2019·江苏,10)在平面直角坐标系xOy中,P是曲线y=x+4x(x>0)上的一个动点,则点P到直线x+y=0的距离的最小值是________.
答案 4
解析 设Px,x+4x,x>0,则点P到直线x+y=0的距离d=2x+4x2=≥22x∙4x2=4,当且仅当2x=4x,即x=2时取等号,故点P到直线x+y=0的距离的最小值是4.
7.(2019·全国Ⅰ理,16)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A,B两点.若F1A=AB,F1B·F2B=0,则C的离心率为________.
答案 2
解析 因为·=0,所以F1B⊥F2B,如图.
因为F1A=AB,所以点A为F1B的中点,又点O为F1F2的中点,所以OA∥BF2,所以F1B⊥OA,所以|OF1|=|OB|,所以∠BF1O=∠F1BO,所以∠BOF2=2∠BF1O.因为直线OA,OB为双曲线C的两条渐近线,
所以tan∠BOF2=ba,tan∠BF1O=ab.
因为tan∠BOF2=tan(2∠BF1O),
所以ba=2×ab1-ab2,所以b2=3a2,
所以c2-a2=3a2,
即2a=c,所以双曲线的离心率e=ca=2.
8.(2019·全国Ⅲ理,15)设F1,F2为椭圆C:x236+y220=1的两个焦点,M为C上一点且在第一象限.若△MF1F2为等腰三角形,则M的坐标为________.
答案 (3,15)
解析 不妨令F1,F2分别为椭圆C的左、右焦点,根据题意可知c=36-20=4.因为△MF1F2为等腰三角形,所以易知|F1M|=2c=8,所以|F2M|=2a-8=4.
设M(x,y),则x236+y220=1,F1M2=x+42+y2=64,x>0,y>0,得x=-3,y=15,
所以M的坐标为(3,15).
三、解答题
1.(2019·全国Ⅰ文,21)已知点A,B关于坐标原点O对称,|AB|=4,⊙M过点A,B且与直线x+2=0相切.
(1)若A在直线x+y=0上,求⊙M的半径;
(2)是否存在定点P,使得当A运动时,|MA|-|MP|为定值?并说明理由.
解 (1)因为⊙M过点A,B,所以圆心M在AB的垂直平分线上.
由已知A在直线x+y=0上,且A,B关于坐标原点O对称,
所以M在直线y=x上,故可设M(a,a).
因为⊙M与直线x+2=0相切,所以⊙M的半径为r=|a+2|.
由已知得|AO|=2.
又MO⊥AO,故可得2a2+4=(a+2)2,
解得a=0或a=4.
故⊙M的半径r=2或r=6.
(2)存在定点P(1,0),使得|MA|-|MP|为定值.
理由如下:
设M(x,y),由已知得⊙M的半径为r=|x+2|,|AO|=2.
由于MO⊥AO,故可得x2+y2+4=(x+2)2,
化简得M的轨迹方程为y2=4x.
因为曲线C:y2=4x是以点P(1,0)为焦点,以直线x=-1为准线的抛物线,
所以|MP|=x+1.
因为|MA|-|MP|=r-|MP|=x+2-(x+1)=1,
所以存在满足条件的定点P.
2.(2019·全国Ⅱ文,20)已知F1,F2是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点,P为C上的点,O为坐标原点.
(1)若△POF2为等边三角形,求C的离心率;
(2)如果存在点P,使得PF1⊥PF2,且△F1PF2的面积等于16,求b的值和a的取值范围.
解 (1)连接PF1.
由△POF2为等边三角形可知在△F1PF2中,
∠F1PF2=90°,|PF2|=c,|PF1|=3c,
于是2a=|PF1|+|PF2|=(3+1)c,
故C的离心率为e=ca=3-1.
(2)由题意可知,若满足条件的点P(x,y)存在,
则12|y|·2c=16,yx+c·yx-c=-1,
即c|y|=16,①
x2+y2=c2,②
又x2a2+y2b2=1.③
由②③及a2=b2+c2得y2=b4c2.
又由①知y2=162c2,故b=4.
由②③及a2=b2+c2得x2=a2c2(c2-b2),
所以c2≥b2,从而a2=b2+c2≥2b2=32,
故a≥42.
当b=4,a≥42时,存在满足条件的点P.
所以b=4,a的取值范围为[42,+∞).
3.(2019·全国Ⅲ文,21)已知曲线C:y=x22,D为直线y=-12上的动点,过D作C的两条切线,切点分别为A,B.
(1)证明:直线AB过定点;
(2)若以E0,52为圆心的圆与直线AB相切,且切点为线段AB的中点,求该圆的方程.
(1)证明 设Dt,-12,A(x1,y1),
则x12=2y1.
由于y′=x,所以切线DA的斜率为x1,
故y1+12x1-t=x1,
整理得2tx1-2y1+1=0.
设B(x2,y2),同理可得2tx2-2y2+1=0.
所以直线AB的方程为2tx-2y+1=0.
所以直线AB过定点0,12.
(2)解 由(1)得直线AB的方程为y=tx+12.
由y=tx+12,y=x22,可得x2-2tx-1=0,
于是x1+x2=2t,y1+y2=t(x1+x2)+1=2t2+1.
设M为线段AB的中点,则Mt,t2+12.
由于EM⊥AB,而EM=(t,t2-2),AB与向量(1,t)平行,
所以t+(t2-2)t=0.解得t=0或t=±1.
当t=0时,|EM|=2,
所求圆的方程为x2+y-522=4;
当t=±1时,|EM|=2,
所求圆的方程为x2+y-522=2.
4.(2019·北京文,19)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1的右焦点为(1,0),且经过点A(0,1).
(1)求椭圆C的方程;
(2)设O为原点,直线l:y=kx+t(t≠±1)与椭圆C交于两个不同点P,Q,直线AP与x轴交于点M,直线AQ与x轴交于点N.若|OM|·|ON|=2,求证:直线l经过定点.
(1)解 由题意,得b2=1,c=1,
所以a2=b2+c2=2.
所以椭圆C的方程为x22+y2=1.
(2)证明 设P(x1,y1),Q(x2,y2),
则直线AP的方程为y=y1-1x1x+1.
令y=0,得点M的横坐标xM=-x1y1-1.
又y1=kx1+t,从而|OM|=|xM|=x1kx1+t-1.
同理,|ON|=x2kx2+t-1.
由y=kx+tk,x22+y2=1,得(1+2k2)x2+4ktx+2t2-2=0,
则x1+x2=-4kt1+2k2,x1x2=2t2-21+2k2.
所以|OM|·|ON|=x1kx1+t-1·x2kx2+t-1
=x1x2k2x1x2+kt-1x1+x2+(t-1)2
=2t2-11+2k2k2∙2t2-21+2k2+kt-1∙-4kt1+2k2+(t-1)2
=21+t1-t.
又|OM|·|ON|=2,所以21+t1-t=2.
解得t=0,所以直线l经过定点(0,0).
5.(2019·天津文,19)设椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F,左顶点为A,上顶点为B.已知3|OA|=2|OB|(O为原点).
(1)求椭圆的离心率;
(2)设经过点F且斜率为34的直线l与椭圆在x轴上方的交点为P,圆C同时与x轴和直线l相切,圆心C在直线x=4上,且OC∥AP.求椭圆的方程.
解 (1)设椭圆的半焦距为c,由已知有3a=2b,又由a2=b2+c2,消去b得a2=32a2+c2,解得ca=12.
所以椭圆的离心率为12.
(2)由(1)知,a=2c,b=3c,故椭圆方程为x24c2+y23c2=1.
由题意,F(-c,0),则直线l的方程为y=34(x+c).
点P的坐标满足x24c2+y23c2=1,y=34x+c,消去y并化简,
得到7x2+6cx-13c2=0,
解得x1=c,x2=-13c7.
代入到l的方程,解得y1=32c,y2=-914c.
因为点P在x轴上方,所以Pc,32c.
由圆心C在直线x=4上,可设C(4,t).
因为OC∥AP,且由(1)知A(-2c,0),
故t4=32cc+2c,解得t=2.
因为圆C与x轴相切,所以圆C的半径为2.
又由圆C与l相切,得344+c-21+342=2,可得c=2.
所以,椭圆的方程为x216+y212=1.
6.(2019·浙江,21)如图,已知点F(1,0)为抛物线y2=2px(p>0)的焦点.过点F的直线交抛物线于A,B两点,点C在抛物线上,使得△ABC的重心G在x轴上,直线AC交x轴于点Q,且Q在点F的右侧.记△AFG,△CQG的面积分别为S1,S2.
(1)求p的值及抛物线的准线方程;
(2)求S1S2的最小值及此时点G的坐标.
解 (1)由题意得p2=1,即p=2.
所以,抛物线的准线方程为x=-1.
(2)设A(xA,yA),B(xB,yB),C(xC,yC),重心G(xG,yG).令yA=2t,t≠0,则xA=t2.由于直线AB过点F,故直线AB的方程为x= t2-12ty+1,代入y2=4x,得
y2-2(t2-1)ty-4=0,
故2tyB=-4,即yB=-2t,所以B1t2,-2t.
又由于xG=13(xA+xB+xC),yG=13(yA+yB+yC)及重心G在x轴上,故2t-2t+yC=0.
即C1t-t2,21t-t,G2t4-2t2+23t2,0.
所以,直线AC的方程为y-2t=2t(x-t2),
得Q(t2-1,0).
由于Q在焦点F的右侧,故t2>2.从而
S1S2=12|FG|·|yA|12|QG|·|yC|=2t4-2t2+23t2-1∙|2t|t2-1-2t4-2t2+23t2∙2t-2t
=2t4-t2t4-1=2-t2-2t4-1.
令m=t2-2,则m>0,
S1S2=2-mm2+4m+3=2-1m+3m+4≥2-12m∙3m+4=1+32.
当且仅当m=3时,S1S2取得最小值1+32,此时G(2,0).
7.(2019·江苏,17)如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦点为F1(-1,0),F2(1,0).过F2作x轴的垂线l,在x轴的上方,l与圆F2:(x-1)2+y2=4a2交于点A,与椭圆C交于点D.连接AF1并延长交圆F2于点B,连接BF2交椭圆C于点E,连接DF1.已知DF1=52.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)求点E的坐标.
解 (1)设椭圆C的焦距为2c.
因为F1(-1,0),F2(1,0),所以F1F2=2,则c=1.
又因为DF1=52,AF2⊥x轴,
所以DF2=DF12-F1F22=522-22=32.
因此2a=DF1+DF2=4,所以a=2.
由b2=a2-c2,得b2=3.
所以椭圆C的标准方程为x24+y23=1.
(2)方法一 由(1)知,椭圆C:x24+y23=1,a=2.
因为AF2⊥x轴,所以点A的横坐标为1.
将x=1代入圆F2方程(x-1)2+y2=16,解得y=±4.
因为点A在x轴上方,所以A(1,4).
又F1(-1,0),所以直线AF1:y=2x+2.
由y=2x+2,(x-1)2+y2=16,得5x2+6x-11=0,解得x=1或x=-115.
将x=-115代入y=2x+2,得y=-125.
因此B-115,-125.又F2(1,0),所以直线BF2:y=34(x-1).
由y=34x-1,x24+y23=1,得7x2-6x-13=0,解得x=-1或x=137.
又因为E是线段BF2与椭圆的交点,所以x=-1.
将x=-1代入y=34(x-1),得y=-32.
因此E-1,-32.
方法二 由(1)知,椭圆C:x24+y23=1.如图,连接EF1.
因为BF2=2a,EF1+EF2=2a,所以EF1=EB,从而∠BF1E=∠B.
因为F2A=F2B,所以∠A=∠B.
所以∠A=∠BF1E,从而EF1∥F2A.
因为AF2⊥x轴,所以EF1⊥x轴.
因为F1(-1,0),由x=-1,x24+y23=1,得y=±32.
又因为E是线段BF2与椭圆的交点,所以y=-32.
因此E-1,-32.
8.(2019·江苏,18)如图,一个湖的边界是圆心为O的圆,湖的一侧有一条直线型公路l,湖上有桥AB(AB是圆O的直径).规划在公路l上选两个点P,Q,并修建两段直线型道路PB,QA,规划要求:线段PB,QA上的所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.已知点A,B到直线l的距离分别为AC和BD(C,D为垂足),测得AB=10,AC=6,BD=12(单位:百米).
(1)若道路PB与桥AB垂直,求道路PB的长;
(2)在规划要求下,P和Q中能否有一个点选在D处?并说明理由;
(3)在规划要求下,若道路PB和QA的长度均为d(单位:百米),求当d最小时,P,Q两点间的距离.
解 方法一 (1)过A作AE⊥BD,垂足为E.
由已知条件得,四边形ACDE为矩形,
DE=BE=AC=6,AE=CD=8.
因为PB⊥AB,
所以cos∠PBD=sin∠ABE=AEAB=810=45.
所以PB=BDcos∠PBD=1245=15.
因此道路PB的长为15(百米).
(2)①若P在D处,由(1)可得E在圆上,则线段BE上的点(除B,E)到点O的距离均小于圆O的半径,所以P选在D处不满足规划要求.
②若Q在D处,连接AD,由(1)知AD=AE2+ED2=10,从而cos∠BAD=AD2+AB2-BD22AD∙AB=725>0,
所以∠BAD为锐角.
所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径.
因此Q选在D处也不满足规划要求.
综上,P和Q均不能选在D处.
(3)先讨论点P的位置.
当∠OBP<90°时,线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径,点P不符合规划要求;当∠OBP≥90°时,对线段PB上任意一点F,OF≥OB,即线段PB上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径,点P符合规划要求.
设P1为l上一点,且P1B⊥AB,由(1)知,P1B=15,此时P1D=P1Bsin∠P1BD=P1Bcos∠EBA=15×35=9;
当∠OBP>90°时,在△PP1B中,PB>P1B=15.
由上可知,d≥15.
再讨论点Q的位置.
由(2)知,要使得QA≥15,点Q只有位于点C的右侧,才能符合规划要求.当QA=15时,CQ=QA2-AC2=152-62=321.此时,线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.
综上,当PB⊥AB,点Q位于点C右侧,且CQ=321时,d最小,此时P,Q两点间的距离PQ=PD+CD+CQ=17+321.
因此,d最小时,P,Q两点间的距离为17+321(百米).
方法二 (1)如图,过O作OH⊥l,垂足为H.
以O为坐标原点,直线OH为y轴,建立如图所示的平面直角坐标系.
因为BD=12,AC=6,所以OH=9,直线l的方程为y=9,点A,B的纵坐标分别为3,-3.
因为AB为圆O的直径,AB=10,
所以圆O的方程为x2+y2=25.
从而A(4,3),B(-4,-3),直线AB的斜率为34.
因为PB⊥AB,所以直线PB的斜率为-43,
直线PB的方程为y=-43x-253.
所以P(-13,9),PB=(-13+4)2+(9+3)2=15.
所以道路PB的长为15(百米).
(2)①若P在D处,取线段BD上一点E(-4,0),则EO=4<5,所以P选在D处不满足规划要求.
②若Q在D处,连接AD,由(1)知D(-4,9),又A(4,3),
所以线段AD:y=-34x+6(-4≤x≤4).
在线段AD上取点M3,154,
因为OM=32+1542<32+42=5,
所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径.
因此Q选在D处也不满足规划要求.
综上,P和Q均不能选在D处.
(3)先讨论点P的位置.
当∠OBP<90°时,线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径,点P不符合规划要求;
当∠OBP≥90°时,对线段PB上任意一点F,OF≥OB,即线段PB上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径,点P符合规划要求.
设P1为l上一点,且P1B⊥AB,由(1)知,P1B=15,此时P1(-13,9);
当∠OBP>90°时,在△PP1B中,PB>P1B=15.
由上可知,d≥15.
再讨论点Q的位置.
由(2)知,要使得QA≥15,点Q只有位于点C的右侧,才能符合规划要求.当 QA=15时,设Q(a,9),由AQ=(a-4)2+(9-3)2=15(a>4),
得a=4+321,所以Q(4+321,9).此时,线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.
综上,当P(-13,9),Q(4+321,9)时,d最小,此时P,Q两点间的距离PQ=4+321-(-13)=17+321.
因此,d最小时,P,Q两点间的距离为17+321 (百米).
9.(2019·全国Ⅰ理,19)已知抛物线C:y2=3x的焦点为F,斜率为32的直线l与C的交点为A,B,与x轴的交点为P.
(1)若|AF|+|BF|=4,求l的方程;
(2)若AP=3PB,求|AB|.
解 设直线l:y=32x+t,A(x1,y1),B(x2,y2).
(1)由题设得F34,0,故|AF|+|BF|=x1+x2+32,由题设可得x1+x2=52.
由y=32x+t,y2=3x,可得9x2+12(t-1)x+4t2=0,
令Δ>0,得t<12,
则x1+x2=-12t-19.
从而-12t-19=52,得t=-78.
所以l的方程为y=32x-78.
(2)由AP=3PB可得y1=-3y2,
由y=32x+t,y2=3x,可得y2-2y+2t=0,
所以y1+y2=2,从而-3y2+y2=2,故y2=-1,y1=3,
代入C的方程得x1=3,x2=13,
即A(3,3),B13,-1,
故|AB|=4133.
10.(2019·全国Ⅱ理,21)已知点A(-2,0),B(2,0),动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率之积为-12.记M的轨迹为曲线C.
(1)求C的方程,并说明C是什么曲线;
(2)过坐标原点的直线交C于P,Q两点,点P在第一象限,PE⊥x轴,垂足为E,连接QE并延长交C于点G.
(ⅰ)证明:△PQG是直角三角形;
(ⅱ)求△PQG面积的最大值.
(1)解 由题设得yx+2·yx-2=-12,化简得x24+y22=1(|x|≠2),所以C为中心在坐标原点,焦点在x轴上的椭圆,不含左右顶点.
(2)(ⅰ)证明 设直线PQ的斜率为k,则其方程为y=kx(k>0).
由y=kx,x24+y22=1,得x=±21+2k2 .
记u=21+2k2,则P(u,uk),Q(-u,-uk),E(u,0).
于是直线QG的斜率为k2,方程为y=k2(x-u).
由y=k2x-u,x24+y22=1,得(2+k2)x2-2uk2x+k2u2-8=0.①
设G(xG,yG),则-u和xG是方程①的解,
故xG=u3k2+22+k2,由此得yG=uk32+k2.
从而直线PG的斜率为uk32+k2-uku3k2+22+k2-u=-1k,
因为kPQ·kPG=-1.
所以PQ⊥PG,即△PQG是直角三角形.
(ⅱ)解 由(ⅰ)得|PQ|=2u1+k2,|PG|=2ukk2+12+k2,所以△PQG的面积S=12|PQ||PG|=8k1+k21+2k22+k2=81k+k1+21k+k2.
设t=k+1k,则由k>0得t≥2,当且仅当k=1时取等号.
因为S=8t1+2t2在[2,+∞)上单调递减,所以当t=2,即k=1时,S取得最大值,最大值为169.
因此,△PQG面积的最大值为169.
11.(2019·全国Ⅲ理,21)已知曲线C:y=x22,D为直线y=-12上的动点,过D作C的两条切线,切点分别为A,B.
(1)证明:直线AB过定点;
(2)若以E0,52为圆心的圆与直线AB相切,且切点为线段AB的中点,求四边形ADBE的面积.
(1)证明 设Dt,12,A(x1,y1),则x12=2y1.
由y′=x,所以切线DA的斜率为x1,故y1+12x1-t=x1.
整理得2tx1-2y1+1=0.
设B(x2,y2),同理可得2tx2-2y2+1=0.
故直线AB的方程为2tx-2y+1=0.
所以直线AB过定点0,12.
(2)解 由(1)得直线AB的方程为y=tx+12.
由y=tx+12,y=x22,可得x2-2tx-1=0,Δ=4t2+4>0,
于是x1+x2=2t,x1x2=-1,y1+y2
=t(x1+x2)+1=2t2+1,
|AB|=1+t2|x1-x2|
=1+t2·x1+x22-4x1x2=2(t2+1).
设d1,d2分别为点D,E到直线AB的距离,
则d1=t2+1,d2=2t2+1,
因此,四边形ADBE的面积S=12|AB|(d1+d2)
=(t2+3)t2+1.
设M为线段AB的中点,则Mt,t2+12.
由于EM⊥AB,而EM=(t,t2-2),
AB与坐标为(1,t)的向量平行,所以t+(t2-2)t=0.
解得t=0或t=±1.
当t=0时,S=3;当t=±1时,S=42.
因此,四边形ADBE的面积为3或42.
12.(2019·北京理,18)(14分)已知抛物线经过点.
(Ⅰ)求抛物线的方程及其准线方程;
(Ⅱ)设为原点,过抛物线的焦点作斜率不为0的直线交抛物线于两点,,直线分别交直线,于点和点.求证:以为直径的圆经过轴上的两个定点.
【思路分析】(Ⅰ)代入点,解方程可得,求得抛物线的方程和准线方程;
(Ⅱ)抛物线的焦点为,设直线方程为
,联立抛物线方程,运用韦达定理,以及直线的斜率和方程,求得,的坐标,可得为直径的圆方程,可令,解方程,即可得到所求定点.
【解析】:(Ⅰ)抛物线经过点.可得,即,
可得抛物线的方程为,准线方程为;
(Ⅱ)证明:抛物线的焦点为,
设直线方程为,联立抛物线方程,可得,
设,,,,
可得,,
直线的方程为,即,
直线的方程为,即,
可得,,,,
可得的中点的横坐标为,
即有为直径的圆心为,
半径为,
可得圆的方程为,
化为,
由,可得或.
则以为直径的圆经过轴上的两个定点,.
【归纳与总结】本题考查抛物线的定义和方程、性质,以及圆方程的求法,考查直线和抛物线方程联立,运用韦达定理,考查化简整理的运算能力,属于中档题.
13.(2019·天津理,18)设椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F,上顶点为B.已知椭圆的短轴长为4,离心率为55.
(1)求椭圆的方程;
(2)设点P在椭圆上,且异于椭圆的上、下顶点,点M为直线PB与x轴的交点,点N在y轴的负半轴上.若|ON|=|OF|(O为原点),且OP⊥MN,求直线PB的斜率.
解 (1)设椭圆的半焦距为c,依题意,2b=4,ca=55,又a2=b2+c2,可得a=5,b=2,c=1.
所以椭圆的方程为x25+y24=1.
(2)由题意,设P(xP,yP)(xP≠0),M(xM,0),直线PB的斜率为k(k≠0),又B(0,2),则直线PB的方程为y=kx+2,与椭圆方程联立得y=kx+,x25+y24=1,
整理得(4+5k2)x2+20kx=0,可得xP=-20k4+5k2,
代入y=kx+2得yP=8-10k24+5k2.
所以直线OP的斜率为yPxP=4-5k2-10k.
在y=kx+2中,令y=0,得xM=-2k.
由题意得N(0,-1),所以直线MN的斜率为-k2.
由OP⊥MN,得4-5k2-10k·-k2=-1,化简得k2=245,
从解得k=±2305.
所以直线PB的斜率为2305或-2305.