• 498.99 KB
  • 2021-05-14 发布

高考数学试题分项版—解析几何解析版

  • 26页
  • 当前文档由用户上传发布,收益归属用户
  1. 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
  2. 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
  3. 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
  4. 网站客服QQ:403074932
‎2019年高考数学试题分项版——解析几何(解析版)‎ 一、选择题 ‎1.(2019·全国Ⅰ文,10)双曲线C:x‎5‎a‎2‎-y‎2‎b‎2‎=1(a>0,b>0)的一条渐近线的倾斜角为130°,则C的离心率为(  )‎ A.2sin 40° B.2cos 40° C.‎1‎son50°‎ D.‎‎1‎cos50°‎ 答案 D 解析 由题意可得-ba=tan 130°,‎ 所以e= ‎1+‎b‎2‎a‎2‎=‎‎1+tan‎2‎130°‎ ‎= ‎‎1+‎sin‎2‎‎130°‎cos‎2‎‎130°‎ ‎=‎1‎cos130°‎=‎1‎cos50°‎.‎ ‎2.(2019·全国Ⅰ文,12)已知椭圆C的焦点为F1(-1,0),F2(1,0),过F2的直线与C交于A,B两点.若|AF2|=2|F2B|,|AB|=|BF1|,则C的方程为(  )‎ A.x‎2‎‎2‎+y2=1 B.x‎2‎‎3‎+y‎2‎‎2‎=1‎ C.x‎2‎‎4‎+y‎2‎‎3‎=1 D.x‎2‎‎5‎+y‎2‎‎4‎=1‎ 答案 B 解析 由题意设椭圆的方程为x‎2‎a‎2‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0),连接F1A,令|F2B|=m,则|AF2|=2m,|BF1|=3m.由椭圆的定义知,4m=2a,得m=a‎2‎,故|F2A|=a=|F1A|,则点A为椭圆C的上顶点或下顶点.令∠OAF2=θ(O为坐标原点),则sin θ=ca=‎1‎a.在等腰三角形ABF1中,cos 2θ=‎2m‎2‎‎+‎3m‎2‎-‎‎3m‎2‎‎2×2m∙3m=‎1‎‎3‎,因为cos 2θ=1-2sin2θ,所以‎1‎‎3‎=1-2‎1‎a2,得a2=3.又c2=1,所以b2=a2-c2=2,椭圆C的方程为x‎2‎‎3‎+y‎2‎‎2‎=1,故选B.‎ ‎3.(2019·全国Ⅱ文,9)若抛物线y2=2px(p>0)的焦点是椭圆x‎2‎‎3p+y‎2‎p=1的一个焦点,则p等于(  )‎ A.2 B.3 C.4 D.8‎ 答案 D 解析 由题意知,抛物线的焦点坐标为p‎2‎‎,0‎,椭圆的焦点坐标为(±‎2p,0),所以p‎2‎=‎2p,解得p=8,故选D.‎ ‎4.(2019·全国Ⅱ文,12)设F为双曲线C:x‎2‎a‎2‎-y‎2‎b‎2‎=1(a>0,b>0)的右焦点,O为坐标原点,以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P,Q两点.若|PQ|=|OF|,则C的离心率为(  )‎ A.‎2‎ B.‎3‎ C.2 D.‎‎5‎ 答案 A 解析 如图,由题意知,以OF为直径的圆的方程为x-‎c‎2‎‎2‎2+y2=c‎2‎‎4‎①,将x2+y2=a2记为②式,①-②得x=a‎2‎c,则以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2的相交弦所在直线的方程为x=a‎2‎c,所以|PQ|=2a‎2‎‎-‎a‎2‎c‎2‎.‎ 由|PQ|=|OF|,得2a‎2‎‎-‎a‎2‎c‎2‎=c,整理得c4-4a2c2+4a4=0,即e4-4e2+4=0,解得e=‎2‎,故选A.‎ ‎5.(2019·全国Ⅲ文,10)已知F是双曲线C:x‎2‎‎4‎-y‎2‎‎5‎=1的一个焦点,点P在C上,O为坐标原点.若|OP|=|OF|,则△OPF的面积为(  )‎ A.‎3‎‎2‎ B.‎5‎‎2‎ C.‎7‎‎2‎ D.‎‎9‎‎2‎ 答案 B 解析 由F是双曲线x‎2‎‎4‎-y‎2‎‎5‎=1的一个焦点,‎ 知|OF|=3,所以|OP|=|OF|=3.‎ 不妨设点P在第一象限,P(x0,y0),x0>0,y0>0,‎ 则x‎0‎‎2‎‎+y‎0‎‎2‎=3,‎x‎0‎‎2‎‎4‎‎-y‎0‎‎2‎‎5‎=1,‎解得x‎0‎‎2‎‎=‎56‎‎9‎,‎y‎0‎‎2‎‎=‎25‎‎9‎,‎ 所以P‎2‎‎14‎‎3‎‎,‎‎5‎‎3‎,‎ 所以S△OPF=‎1‎‎2‎|OF|·y0=‎1‎‎2‎×3×‎5‎‎3‎=‎5‎‎2‎.‎ ‎6.(2019·北京文,5已知双曲线x‎2‎a‎2‎-y2=1(a>0)的离心率是‎5‎,则a等于(  )‎ A.‎3‎ B.4 C.2 D.‎‎1‎‎2‎ 答案 D 解析 由双曲线方程x‎2‎a‎2‎-y2=1,得b2=1,‎ ‎∴c2=a2+1.‎ ‎∴5=e2=c‎2‎a‎2‎=a‎2‎‎+1‎a‎2‎=1+‎1‎a‎2‎.‎ 结合a>0,解得a=‎1‎‎2‎.‎ ‎7.(2019·天津文,6)已知抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l.若l与双曲线x‎2‎a‎2‎-y‎2‎b‎2‎=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于点A和点B,且|AB|=4|OF|(O为原点),则双曲线的离心率为(  )‎ A.‎2‎ B.‎3‎ C.2 D.‎‎5‎ 答案 D 解析 由题意,可得F(1,0),直线l的方程为x=-1,双曲线的渐近线方程为y=±bax.将x=-1代入y=±bax,得y=±ba,所以点A,B的纵坐标的绝对值均为ba.由|AB|=4|OF|可得‎2ba=4,即b=2a,b2=4a2,故双曲线的离心率e=ca=a‎2‎‎+‎b‎2‎a‎2‎=‎5‎.‎ ‎8.(2019·浙江,2)渐近线方程为x±y=0的双曲线的离心率是(  )‎ A.‎2‎‎2‎ B.1‎ C.‎2‎ D.2‎ 答案 C 解析 因为双曲线的渐近线方程为x±y=0,所以无论双曲线的焦点在x轴上还是在y轴上,都满足a=b,所以c=‎2‎a,所以双曲线的离心率e=ca=‎2‎.‎ ‎9.(2019·全国Ⅰ理,10)已知椭圆C的焦点为F1(-1,0),F2(1,0),过F2的直线与C交于A,B两点.若|AF2|=2|F2B|,|AB|=|BF1|,则C的方程为(  )‎ A.x‎2‎‎2‎+y2=1 B.x‎2‎‎3‎+y‎2‎‎2‎=1‎ C.x‎2‎‎4‎+y‎2‎‎3‎=1 D.x‎2‎‎5‎+y‎2‎‎4‎=1‎ 答案 B 解析 由题意设椭圆的方程为x‎2‎a‎2‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0),连接F1A,令|F2B|=m,则|AF2|=2m,|BF1|=3m.由椭圆的定义知,4m=2a,得m=a‎2‎,故|F2A|=a=|F1A|,则点A为椭圆C的上顶点或下顶点.令∠OAF2=θ(O为坐标原点),则sin θ=ca=‎1‎a.在等腰三角形ABF1中,cos 2θ=‎2m‎2‎‎+‎3m‎2‎-‎‎3m‎2‎‎2×2m∙3m=‎1‎‎3‎,因为cos 2θ=1-2sin2θ,所以‎1‎‎3‎=1-2‎1‎a‎2‎2,得a2=3.又c2=1,所以b2=a2-c2=2,椭圆C的方程为x‎2‎‎3‎+y‎2‎‎2‎=1,故选B.‎ ‎10.(2019·全国Ⅱ理,8)若抛物线y2=2px(p>0)的焦点是椭圆x‎2‎‎3p+y‎2‎p=1的一个焦点,则p等于(  )‎ A.2 B.3 C.4 D.8‎ 答案 D 解析 由题意知,抛物线的焦点坐标为p‎2‎‎,0‎,椭圆的焦点坐标为(±‎2p,0),所以p‎2‎=‎2p,解得p=8,故选D.‎ ‎11.(2019·全国Ⅱ理,11)设F为双曲线C:x‎2‎a‎2‎-y‎2‎b‎2‎=1(a>0,b>0)的右焦点,O为坐标原点,以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P,Q两点.若|PQ|=|OF|,则C的离心率为(  )‎ A.‎2‎ B.‎3‎ C.2 D.‎‎5‎ 答案 A 解析 如图,‎ 由题意知,以OF为直径的圆的方程为x-‎c‎2‎2+y2=c‎2‎‎4‎①,将x2+y2=a2记为②式,①-②得x=a‎2‎c,则以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2的相交弦所在直线的方程为x=a‎2‎c,所以|PQ|=2a‎2‎‎-‎a‎2‎c‎2‎.‎ 由|PQ|=|OF|,得2a‎2‎‎-‎a‎2‎c‎2‎=c,整理得c4-4a2c2+4a4=0,即e4-4e2+4=0,解得e=‎2‎,故选A.‎ ‎12.(2019·全国Ⅲ理,10)双曲线C:x‎2‎‎4‎-y‎2‎‎2‎=1的右焦点为F,点P在C的一条渐近线上,O为坐标原点.若|PO|=|PF|,则△PFO的面积为(  )‎ A.‎3‎‎2‎‎4‎ B.‎3‎‎2‎‎2‎ C.2‎2‎ D.3‎‎2‎ 答案 A 解析 不妨设点P在第一象限,根据题意可知c2=6,‎ 所以|OF|=‎6‎.‎ 又tan∠POF=ba=‎2‎‎2‎,所以等腰△POF的高h=‎6‎‎2‎×‎2‎‎2‎=‎3‎‎2‎,所以S△PFO=‎1‎‎2‎×‎6‎×‎3‎‎2‎=‎3‎‎2‎‎4‎.‎ ‎13.(2019·北京理,4)已知椭圆的离心率为,则  ‎ A. B. C. D.‎ ‎【思路分析】由椭圆离心率及隐含条件得答案.‎ ‎【解析】:由题意,,得,则,‎ ‎,即.‎ 故选:.‎ ‎【归纳与总结】本题考查椭圆的简单性质,熟记隐含条件是关键,是基础题.‎ ‎14.(2019·北京理,8)数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线,曲线就是其中之一(如图).给出下列三个结论:‎ ‎①曲线恰好经过6个整点(即横、纵坐标均为整数的点);‎ ‎②曲线上任意一点到原点的距离都不超过;‎ ‎③曲线所围成的“心形”区域的面积小于3.‎ 其中,所有正确结论的序号是  ‎ A.① B.② C.①② D.①②③‎ ‎【思路分析】将换成方程不变,所以图形关于轴对称,根据对称性讨论轴右边的图形可得.‎ ‎【解析】:将换成方程不变,所以图形关于轴对称,‎ 当时,代入得,,即曲线经过,;‎ 当时,方程变为,所以△,解得,,‎ 所以只能取整数1,当时,,解得或,即曲线经过,,‎ 根据对称性可得曲线还经过,,‎ 故曲线一共经过6个整点,故①正确.‎ 当时,由得,(当时取等),‎ ‎,,即曲线上轴右边的点到原点的距离不超过,根据对称性可得:曲线上任意一点到原点的距离都不超过;故②正确.‎ 在轴上图形面积大于矩形面积,轴下方的面积大于等腰直角三角形的面积 ‎,因此曲线所围成的“心形”区域的面积大于,故③错误.‎ 故选:.‎ ‎【归纳与总结】本题考查了命题的真假判断与应用,属中档题.‎ ‎15.(2019·天津理,5)已知抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l.若l与双曲线x‎2‎a‎2‎-y‎2‎b‎2‎=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于点A和点B,且|AB|=4|OF|(O为原点),则双曲线的离心率为(  )‎ A.‎2‎ B.‎3‎ C.2 D.‎‎5‎ 答案 D 解析 由题意,可得F(1,0),直线l的方程为x=-1,双曲线的渐近线方程为y=±bax.将x=-1代入y=±bax,得y=±ba,所以点A,B的纵坐标的绝对值均为ba.由|AB|=4|OF|可得‎2ba=4,即b=2a,b2=4a2,故双曲线的离心率e=ca=a‎2‎‎+‎b‎2‎a‎2‎=‎5‎.‎ 二、填空题 ‎1.(2019·全国Ⅲ文,15)设F1,F2为椭圆C:x‎2‎‎36‎+y‎2‎‎20‎=1的两个焦点,M为C上一点且在第一象限.若△MF1F2为等腰三角形,则M的坐标为________.‎ 答案 (3,‎15‎)‎ 解析 不妨令F1,F2分别为椭圆C的左、右焦点,根据题意可知c=‎36-20‎=4.因为△MF1F2为等腰三角形,所以易知|F1M|=2c=8,所以|F2M|=2a-8=4.‎ 设M(x,y),则x‎2‎‎36‎‎+y‎2‎‎20‎=1,‎‎|F‎1‎M|‎‎2‎‎=‎(x+4)‎‎2‎+y‎2‎=64,‎x>0,‎y>0,‎得x=3,‎y=‎15‎,‎ 所以M的坐标为(3,‎15‎).‎ ‎2.(2019·北京文,11)设抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l.则以F为圆心,且与l相切的圆的方程为________.‎ 答案 (x-1)2+y2=4‎ 解析 ∵抛物线y2=4x的焦点F的坐标为(1,0),‎ 准线l为直线x=-1,∴圆的圆心坐标为(1,0).‎ 又∵圆与l相切,∴圆心到l的距离为圆的半径,‎ ‎∴r=2.‎ ‎∴圆的方程为(x-1)2+y2=4.‎ ‎3.(2019·浙江,12)已知圆C的圆心坐标是(0,m),半径长是r.若直线2x-y+3=0与圆C相切于点A(-2,-1),则m=________,r=________.‎ 答案 -2 ‎‎5‎ 解析 方法一 设过点A(-2,-1)且与直线2x-y+3=0垂直的直线方程为l:x+2y+t=0,所以-2-2+t=0,所以t=4,所以l:x+2y+4=0,令x=0,得m=-2,则r=‎(-2-0)‎‎2‎‎+‎‎(-1+2)‎‎2‎=‎5‎.‎ 方法二 因为直线2x-y+3=0与以点(0,m)为圆心的圆相切,且切点为A(-2,-1),所以m+1‎‎0-(-2)‎×2=-1,所以m=-2,r=‎(-2-0‎)‎‎2‎+‎‎(-1+2)‎‎2‎=‎5‎.‎ ‎4.(2019·浙江,15)已知椭圆x‎2‎‎9‎+y‎2‎‎5‎=1的左焦点为F,点P在椭圆上且在x轴的上方.若线段PF的中点在以原点O为圆心 ,|OF|为半径的圆上,则直线PF的斜率是________.‎ 答案 ‎‎15‎ 解析 依题意,设点P(m,n)(n>0),由题意知F(-2,0),|OF|=2,所以线段FP的中点M‎-2+m‎2‎‎,‎n‎2‎在圆x2+y2=4上,所以‎-2+m‎2‎2+n‎2‎2=4,又点P(m,n)在椭圆x‎2‎‎9‎+y‎2‎‎5‎=1上,所以n‎2‎‎9‎+n‎2‎‎5‎=1,所以4m2-36m-63=0,所以m=-‎3‎‎2‎或m=‎21‎‎2‎(舍去),当m=-‎3‎‎2‎时,n=‎15‎‎2‎,所以kPF=‎15‎‎2‎‎-0‎‎-‎3‎‎2‎-(-2)‎=‎15‎.‎ ‎5.(2019·江苏,7)在平面直角坐标系xOy中,若双曲线x2-y‎2‎b‎2‎=1(b>0)经过点(3,4),则该双曲线的渐近线方程是_________________.‎ 答案 y=±‎2‎x 解析 因为双曲线x2-y‎2‎b‎2‎=1(b>0)经过点(3,4),所以9-‎16‎b‎2‎=1,得b=‎2‎,所以该双曲线的渐近线方程是y=±bx=±‎2‎x.‎ ‎6.(2019·江苏,10)在平面直角坐标系xOy中,P是曲线y=x+‎4‎x(x>0)上的一个动点,则点P到直线x+y=0的距离的最小值是________.‎ 答案 4‎ 解析 设Px,x+‎‎4‎x,x>0,则点P到直线x+y=0的距离d=‎2x+‎‎4‎x‎2‎=≥‎2‎‎2x∙‎‎4‎x‎2‎=4,当且仅当2x=‎4‎x,即x=‎2‎时取等号,故点P到直线x+y=0的距离的最小值是4.‎ ‎7.(2019·全国Ⅰ理,16)已知双曲线C:x‎2‎a‎2‎-y‎2‎b‎2‎=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A,B两点.若F‎1‎A=AB,F‎1‎B·F‎2‎B=0,则C的离心率为________.‎ 答案 2‎ 解析 因为·=0,所以F1B⊥F2B,如图.‎ 因为F‎1‎A=AB,所以点A为F1B的中点,又点O为F1F2的中点,所以OA∥BF2,所以F1B⊥OA,所以|OF1|=|OB|,所以∠BF1O=∠F1BO,所以∠BOF2=2∠BF1O.因为直线OA,OB为双曲线C的两条渐近线,‎ 所以tan∠BOF2=ba,tan∠BF1O=ab.‎ 因为tan∠BOF2=tan(2∠BF1O),‎ 所以ba=‎2×‎ab‎1-‎ab‎2‎,所以b2=3a2,‎ 所以c2-a2=3a2,‎ 即2a=c,所以双曲线的离心率e=ca=2.‎ ‎8.(2019·全国Ⅲ理,15)设F1,F2为椭圆C:x‎2‎‎36‎+y‎2‎‎20‎=1的两个焦点,M为C上一点且在第一象限.若△MF1F2为等腰三角形,则M的坐标为________.‎ 答案 (3,‎15‎)‎ 解析 不妨令F1,F2分别为椭圆C的左、右焦点,根据题意可知c=‎36-20‎=4.因为△MF1F2为等腰三角形,所以易知|F1M|=2c=8,所以|F2M|=2a-8=4.‎ 设M(x,y),则x‎2‎‎36‎‎+y‎2‎‎20‎=1,‎F‎1‎M‎2‎‎=x+4‎‎2‎+‎y‎2‎‎=64,‎x>0,‎y>0,‎得x=-3,‎y=‎15‎,‎ 所以M的坐标为(3,‎15‎).‎ 三、解答题 ‎1.(2019·全国Ⅰ文,21)已知点A,B关于坐标原点O对称,|AB|=4,⊙M过点A,B且与直线x+2=0相切.‎ ‎(1)若A在直线x+y=0上,求⊙M的半径;‎ ‎(2)是否存在定点P,使得当A运动时,|MA|-|MP|为定值?并说明理由.‎ 解 (1)因为⊙M过点A,B,所以圆心M在AB的垂直平分线上.‎ 由已知A在直线x+y=0上,且A,B关于坐标原点O对称,‎ 所以M在直线y=x上,故可设M(a,a).‎ 因为⊙M与直线x+2=0相切,所以⊙M的半径为r=|a+2|.‎ 由已知得|AO|=2.‎ 又MO⊥AO,故可得2a2+4=(a+2)2,‎ 解得a=0或a=4.‎ 故⊙M的半径r=2或r=6.‎ ‎(2)存在定点P(1,0),使得|MA|-|MP|为定值.‎ 理由如下:‎ 设M(x,y),由已知得⊙M的半径为r=|x+2|,|AO|=2.‎ 由于MO⊥AO,故可得x2+y2+4=(x+2)2,‎ 化简得M的轨迹方程为y2=4x.‎ 因为曲线C:y2=4x是以点P(1,0)为焦点,以直线x=-1为准线的抛物线,‎ 所以|MP|=x+1.‎ 因为|MA|-|MP|=r-|MP|=x+2-(x+1)=1,‎ 所以存在满足条件的定点P.‎ ‎2.(2019·全国Ⅱ文,20)已知F1,F2是椭圆C:x‎2‎a‎2‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)的两个焦点,P为C上的点,O为坐标原点.‎ ‎(1)若△POF2为等边三角形,求C的离心率;‎ ‎(2)如果存在点P,使得PF1⊥PF2,且△F1PF2的面积等于16,求b的值和a的取值范围.‎ 解 (1)连接PF1.‎ 由△POF2为等边三角形可知在△F1PF2中,‎ ‎∠F1PF2=90°,|PF2|=c,|PF1|=‎3‎c,‎ 于是2a=|PF1|+|PF2|=(‎3‎+1)c,‎ 故C的离心率为e=ca=‎3‎-1.‎ ‎(2)由题意可知,若满足条件的点P(x,y)存在,‎ 则‎1‎‎2‎|y|·2c=16,yx+c·yx-c=-1,‎ 即c|y|=16,①‎ x2+y2=c2,②‎ 又x‎2‎a‎2‎+y‎2‎b‎2‎=1.③‎ 由②③及a2=b2+c2得y2=b‎4‎c‎2‎.‎ 又由①知y2=‎16‎‎2‎c‎2‎,故b=4.‎ 由②③及a2=b2+c2得x2=a‎2‎c‎2‎(c2-b2),‎ 所以c2≥b2,从而a2=b2+c2≥2b2=32,‎ 故a≥4‎2‎.‎ 当b=4,a≥4‎2‎时,存在满足条件的点P.‎ 所以b=4,a的取值范围为[4‎2‎,+∞).‎ ‎3.(2019·全国Ⅲ文,21)已知曲线C:y=x‎2‎‎2‎,D为直线y=-‎1‎‎2‎上的动点,过D作C的两条切线,切点分别为A,B.‎ ‎(1)证明:直线AB过定点;‎ ‎(2)若以E‎0,‎‎5‎‎2‎为圆心的圆与直线AB相切,且切点为线段AB的中点,求该圆的方程.‎ ‎(1)证明 设Dt,-‎‎1‎‎2‎,A(x1,y1),‎ 则x‎1‎‎2‎=2y1.‎ 由于y′=x,所以切线DA的斜率为x1,‎ 故y‎1‎‎+‎‎1‎‎2‎x‎1‎‎-t=x1,‎ 整理得2tx1-2y1+1=0.‎ 设B(x2,y2),同理可得2tx2-2y2+1=0.‎ 所以直线AB的方程为2tx-2y+1=0.‎ 所以直线AB过定点‎0,‎‎1‎‎2‎.‎ ‎(2)解 由(1)得直线AB的方程为y=tx+‎1‎‎2‎.‎ 由y=tx+‎1‎‎2‎,‎y=x‎2‎‎2‎,‎可得x2-2tx-1=0,‎ 于是x1+x2=2t,y1+y2=t(x1+x2)+1=2t2+1.‎ 设M为线段AB的中点,则Mt,t‎2‎+‎‎1‎‎2‎.‎ 由于EM⊥AB,而EM=(t,t2-2),AB与向量(1,t)平行,‎ 所以t+(t2-2)t=0.解得t=0或t=±1.‎ 当t=0时,|EM|=2,‎ 所求圆的方程为x2+y-‎‎5‎‎2‎2=4;‎ 当t=±1时,|EM|=‎2‎,‎ 所求圆的方程为x2+y-‎‎5‎‎2‎2=2.‎ ‎4.(2019·北京文,19)已知椭圆C:x‎2‎a‎2‎+y‎2‎b‎2‎=1的右焦点为(1,0),且经过点A(0,1).‎ ‎(1)求椭圆C的方程;‎ ‎(2)设O为原点,直线l:y=kx+t(t≠±1)与椭圆C交于两个不同点P,Q,直线AP与x轴交于点M,直线AQ与x轴交于点N.若|OM|·|ON|=2,求证:直线l经过定点.‎ ‎(1)解 由题意,得b2=1,c=1,‎ 所以a2=b2+c2=2.‎ 所以椭圆C的方程为x‎2‎‎2‎+y2=1.‎ ‎(2)证明 设P(x1,y1),Q(x2,y2),‎ 则直线AP的方程为y=y‎1‎‎-1‎x‎1‎x+1.‎ 令y=0,得点M的横坐标xM=-x‎1‎y‎1‎‎-1‎.‎ 又y1=kx1+t,从而|OM|=|xM|=x‎1‎kx‎1‎‎+t-1‎.‎ 同理,|ON|=x‎2‎kx‎2‎‎+t-1‎.‎ 由y=kx+tk,‎x‎2‎‎2‎‎+y‎2‎=1,‎得(1+2k2)x2+4ktx+2t2-2=0,‎ 则x1+x2=-‎4kt‎1+‎‎2k‎2‎,x1x2=‎2t‎2‎‎-2‎‎1+‎‎2k‎2‎.‎ 所以|OM|·|ON|=x‎1‎kx‎1‎‎+t-1‎·‎x‎2‎kx‎2‎‎+t-1‎ ‎=‎x‎1‎x‎2‎k‎2‎x‎1‎x‎2‎‎+kt-1‎x‎1‎‎+‎x‎2‎+‎‎(t-1)‎‎2‎ ‎=‎‎2t‎2‎‎-1‎‎1+‎‎2k‎2‎k‎2‎‎∙‎2t‎2‎‎-2‎‎1+‎‎2k‎2‎+kt-1‎∙‎-‎‎4kt‎1+‎‎2k‎2‎+‎‎(t-1)‎‎2‎ ‎=2‎1+t‎1-t.‎ 又|OM|·|ON|=2,所以2‎1+t‎1-t=2.‎ 解得t=0,所以直线l经过定点(0,0).‎ ‎5.(2019·天津文,19)设椭圆x‎2‎a‎2‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)的左焦点为F,左顶点为A,上顶点为B.已知‎3‎|OA|=2|OB|(O为原点).‎ ‎(1)求椭圆的离心率;‎ ‎(2)设经过点F且斜率为‎3‎‎4‎的直线l与椭圆在x轴上方的交点为P,圆C同时与x轴和直线l相切,圆心C在直线x=4上,且OC∥AP.求椭圆的方程.‎ 解 (1)设椭圆的半焦距为c,由已知有‎3‎a=2b,又由a2=b2+c2,消去b得a2=‎3‎‎2‎a2+c2,解得ca=‎1‎‎2‎.‎ 所以椭圆的离心率为‎1‎‎2‎.‎ ‎(2)由(1)知,a=2c,b=‎3‎c,故椭圆方程为x‎2‎‎4c‎2‎+y‎2‎‎3c‎2‎=1.‎ 由题意,F(-c,0),则直线l的方程为y=‎3‎‎4‎(x+c).‎ 点P的坐标满足x‎2‎‎4c‎2‎‎+y‎2‎‎3c‎2‎=1,‎y=‎3‎‎4‎x+c,‎消去y并化简,‎ 得到7x2+6cx-13c2=0,‎ 解得x1=c,x2=-‎13c‎7‎.‎ 代入到l的方程,解得y1=‎3‎‎2‎c,y2=-‎9‎‎14‎c.‎ 因为点P在x轴上方,所以Pc,‎3‎‎2‎c.‎ 由圆心C在直线x=4上,可设C(4,t).‎ 因为OC∥AP,且由(1)知A(-2c,0),‎ 故t‎4‎=‎3‎‎2‎cc+2c,解得t=2.‎ 因为圆C与x轴相切,所以圆C的半径为2.‎ 又由圆C与l相切,得‎3‎‎4‎‎4+c‎-2‎‎1+‎‎3‎‎4‎‎2‎=2,可得c=2.‎ 所以,椭圆的方程为x‎2‎‎16‎+y‎2‎‎12‎=1.‎ ‎6.(2019·浙江,21)如图,已知点F(1,0)为抛物线y2=2px(p>0)的焦点.过点F的直线交抛物线于A,B两点,点C在抛物线上,使得△ABC的重心G在x轴上,直线AC交x轴于点Q,且Q在点F的右侧.记△AFG,△CQG的面积分别为S1,S2.‎ ‎(1)求p的值及抛物线的准线方程;‎ ‎(2)求S‎1‎S‎2‎的最小值及此时点G的坐标.‎ 解 (1)由题意得p‎2‎=1,即p=2.‎ 所以,抛物线的准线方程为x=-1.‎ ‎(2)设A(xA,yA),B(xB,yB),C(xC,yC),重心G(xG,yG).令yA=2t,t≠0,则xA=t2.由于直线AB过点F,故直线AB的方程为x=‎ t‎2‎-1‎‎2ty+1,代入y2=4x,得 y2-‎2(t‎2‎-1)‎ty-4=0,‎ 故2tyB=-4,即yB=-‎2‎t,所以B‎1‎t‎2‎‎,-‎‎2‎t.‎ 又由于xG=‎1‎‎3‎(xA+xB+xC),yG=‎1‎‎3‎(yA+yB+yC)及重心G在x轴上,故2t-‎2‎t+yC=0.‎ 即C‎1‎t‎-t‎2‎‎,2‎‎1‎t‎-t,G‎2t‎4‎‎-‎2t‎2‎+2‎‎3t‎2‎‎,0‎.‎ 所以,直线AC的方程为y-2t=2t(x-t2),‎ 得Q(t2-1,0).‎ 由于Q在焦点F的右侧,故t2>2.从而 S‎1‎S‎2‎‎=‎1‎‎2‎‎|FG|·|yA|‎‎1‎‎2‎‎|QG|·|yC|‎=‎‎2t‎4‎‎-‎2t‎2‎+2‎‎3t‎2‎‎-1‎‎∙|2t|‎t‎2‎‎-1-‎‎2t‎4‎‎-‎2t‎2‎+2‎‎3t‎2‎‎∙‎‎2‎t‎-2t ‎=‎2t‎4‎‎-‎t‎2‎t‎4‎‎-1‎=2-t‎2‎‎-2‎t‎4‎‎-1‎.‎ 令m=t2-2,则m>0,‎ S‎1‎S‎2‎‎=2-mm‎2‎‎+4m+3‎=2-‎1‎m+‎3‎m+4‎≥2-‎1‎‎2‎m∙‎3‎m+4‎=1+‎3‎‎2‎.‎ 当且仅当m=‎3‎时,S‎1‎S‎2‎取得最小值1+‎3‎‎2‎,此时G(2,0).‎ ‎7.(2019·江苏,17)如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:x‎2‎a‎2‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)的焦点为F1(-1,0),F2(1,0).过F2作x轴的垂线l,在x轴的上方,l与圆F2:(x-1)2+y2=4a2交于点A,与椭圆C交于点D.连接AF1并延长交圆F2于点B,连接BF2交椭圆C于点E,连接DF1.已知DF1=‎5‎‎2‎.‎ ‎(1)求椭圆C的标准方程;‎ ‎(2)求点E的坐标.‎ 解 (1)设椭圆C的焦距为2c.‎ 因为F1(-1,0),F2(1,0),所以F1F2=2,则c=1.‎ 又因为DF1=‎5‎‎2‎,AF2⊥x轴,‎ 所以DF2=DF‎1‎‎2‎‎-‎F‎1‎F‎2‎‎2‎=‎5‎‎2‎‎2‎‎-‎‎2‎‎2‎=‎3‎‎2‎.‎ 因此2a=DF1+DF2=4,所以a=2.‎ 由b2=a2-c2,得b2=3.‎ 所以椭圆C的标准方程为x‎2‎‎4‎+y‎2‎‎3‎=1.‎ ‎(2)方法一 由(1)知,椭圆C:x‎2‎‎4‎+y‎2‎‎3‎=1,a=2.‎ 因为AF2⊥x轴,所以点A的横坐标为1.‎ 将x=1代入圆F2方程(x-1)2+y2=16,解得y=±4.‎ 因为点A在x轴上方,所以A(1,4).‎ 又F1(-1,0),所以直线AF1:y=2x+2.‎ 由y=2x+2,‎‎(x-1)‎‎2‎‎+y‎2‎=16,‎得5x2+6x-11=0,解得x=1或x=-‎11‎‎5‎.‎ 将x=-‎11‎‎5‎代入y=2x+2,得y=-‎12‎‎5‎.‎ 因此B‎-‎11‎‎5‎,-‎‎12‎‎5‎.又F2(1,0),所以直线BF2:y=‎3‎‎4‎(x-1).‎ 由y=‎3‎‎4‎x-1‎,‎x‎2‎‎4‎‎+y‎2‎‎3‎=1,‎得7x2-6x-13=0,解得x=-1或x=‎13‎‎7‎.‎ 又因为E是线段BF2与椭圆的交点,所以x=-1.‎ 将x=-1代入y=‎3‎‎4‎(x-1),得y=-‎3‎‎2‎.‎ 因此E‎-1,-‎‎3‎‎2‎.‎ 方法二 由(1)知,椭圆C:x‎2‎‎4‎+y‎2‎‎3‎=1.如图,连接EF1.‎ 因为BF2=2a,EF1+EF2=2a,所以EF1=EB,从而∠BF1E=∠B.‎ 因为F2A=F2B,所以∠A=∠B.‎ 所以∠A=∠BF1E,从而EF1∥F2A.‎ 因为AF2⊥x轴,所以EF1⊥x轴.‎ 因为F1(-1,0),由x=-1,‎x‎2‎‎4‎‎+y‎2‎‎3‎=1,‎得y=±‎3‎‎2‎.‎ 又因为E是线段BF2与椭圆的交点,所以y=-‎3‎‎2‎.‎ 因此E‎-1,-‎‎3‎‎2‎.‎ ‎8.(2019·江苏,18)如图,一个湖的边界是圆心为O的圆,湖的一侧有一条直线型公路l,湖上有桥AB(AB是圆O的直径).规划在公路l上选两个点P,Q,并修建两段直线型道路PB,QA,规划要求:线段PB,QA上的所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.已知点A,B到直线l的距离分别为AC和BD(C,D为垂足),测得AB=10,AC=6,BD=12(单位:百米).‎ ‎(1)若道路PB与桥AB垂直,求道路PB的长;‎ ‎(2)在规划要求下,P和Q中能否有一个点选在D处?并说明理由;‎ ‎(3)在规划要求下,若道路PB和QA的长度均为d(单位:百米),求当d最小时,P,Q两点间的距离.‎ 解 方法一 (1)过A作AE⊥BD,垂足为E.‎ 由已知条件得,四边形ACDE为矩形,‎ DE=BE=AC=6,AE=CD=8.‎ 因为PB⊥AB,‎ 所以cos∠PBD=sin∠ABE=AEAB=‎8‎‎10‎=‎4‎‎5‎.‎ 所以PB=BDcos∠PBD=‎12‎‎4‎‎5‎=15.‎ 因此道路PB的长为15(百米).‎ ‎(2)①若P在D处,由(1)可得E在圆上,则线段BE上的点(除B,E)到点O的距离均小于圆O的半径,所以P选在D处不满足规划要求.‎ ‎②若Q在D处,连接AD,由(1)知AD=AE‎2‎‎+‎ED‎2‎=10,从而cos∠BAD=AD‎2‎‎+AB‎2‎-‎BD‎2‎‎2AD∙AB=‎7‎‎25‎>0,‎ 所以∠BAD为锐角.‎ 所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径.‎ 因此Q选在D处也不满足规划要求.‎ 综上,P和Q均不能选在D处.‎ ‎(3)先讨论点P的位置.‎ 当∠OBP<90°时,线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径,点P不符合规划要求;当∠OBP≥90°时,对线段PB上任意一点F,OF≥OB,即线段PB上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径,点P符合规划要求.‎ 设P1为l上一点,且P1B⊥AB,由(1)知,P1B=15,此时P1D=P1Bsin∠P1BD=P1Bcos∠EBA=15×‎3‎‎5‎=9;‎ 当∠OBP>90°时,在△PP1B中,PB>P1B=15.‎ 由上可知,d≥15.‎ 再讨论点Q的位置.‎ 由(2)知,要使得QA≥15,点Q只有位于点C的右侧,才能符合规划要求.当QA=15时,CQ=QA‎2‎‎-‎AC‎2‎=‎15‎‎2‎‎-‎‎6‎‎2‎=3‎21‎.此时,线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.‎ 综上,当PB⊥AB,点Q位于点C右侧,且CQ=3‎21‎时,d最小,此时P,Q两点间的距离PQ=PD+CD+CQ=17+3‎21‎.‎ 因此,d最小时,P,Q两点间的距离为17+3‎21‎(百米).‎ 方法二 (1)如图,过O作OH⊥l,垂足为H.‎ 以O为坐标原点,直线OH为y轴,建立如图所示的平面直角坐标系.‎ 因为BD=12,AC=6,所以OH=9,直线l的方程为y=9,点A,B的纵坐标分别为3,-3.‎ 因为AB为圆O的直径,AB=10,‎ 所以圆O的方程为x2+y2=25.‎ 从而A(4,3),B(-4,-3),直线AB的斜率为‎3‎‎4‎.‎ 因为PB⊥AB,所以直线PB的斜率为-‎4‎‎3‎,‎ 直线PB的方程为y=-‎4‎‎3‎x-‎25‎‎3‎.‎ 所以P(-13,9),PB=‎(-13+4)‎‎2‎‎+‎‎(9+3)‎‎2‎=15.‎ 所以道路PB的长为15(百米).‎ ‎(2)①若P在D处,取线段BD上一点E(-4,0),则EO=4<5,所以P选在D处不满足规划要求.‎ ‎②若Q在D处,连接AD,由(1)知D(-4,9),又A(4,3),‎ 所以线段AD:y=-‎3‎‎4‎x+6(-4≤x≤4).‎ 在线段AD上取点M‎3,‎‎15‎‎4‎,‎ 因为OM=‎3‎‎2‎‎+‎‎15‎‎4‎‎2‎<‎3‎‎2‎‎+‎‎4‎‎2‎=5,‎ 所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径.‎ 因此Q选在D处也不满足规划要求.‎ 综上,P和Q均不能选在D处.‎ ‎(3)先讨论点P的位置.‎ 当∠OBP<90°时,线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径,点P不符合规划要求;‎ 当∠OBP≥90°时,对线段PB上任意一点F,OF≥OB,即线段PB上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径,点P符合规划要求.‎ 设P1为l上一点,且P1B⊥AB,由(1)知,P1B=15,此时P1(-13,9);‎ 当∠OBP>90°时,在△PP1B中,PB>P1B=15.‎ 由上可知,d≥15.‎ 再讨论点Q的位置.‎ 由(2)知,要使得QA≥15,点Q只有位于点C的右侧,才能符合规划要求.当 QA=15时,设Q(a,9),由AQ=‎(a-4)‎‎2‎‎+‎‎(9-3)‎‎2‎=15(a>4),‎ 得a=4+3‎21‎,所以Q(4+3‎21‎,9).此时,线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.‎ 综上,当P(-13,9),Q(4+3‎21‎,9)时,d最小,此时P,Q两点间的距离PQ=4+3‎21‎-(-13)=17+3‎21‎.‎ 因此,d最小时,P,Q两点间的距离为17+3‎21‎ (百米).‎ ‎9.(2019·全国Ⅰ理,19)已知抛物线C:y2=3x的焦点为F,斜率为‎3‎‎2‎的直线l与C的交点为A,B,与x轴的交点为P.‎ ‎(1)若|AF|+|BF|=4,求l的方程;‎ ‎(2)若AP=3PB,求|AB|.‎ 解 设直线l:y=‎3‎‎2‎x+t,A(x1,y1),B(x2,y2).‎ ‎(1)由题设得F‎3‎‎4‎‎,0‎,故|AF|+|BF|=x1+x2+‎3‎‎2‎,由题设可得x1+x2=‎5‎‎2‎.‎ 由y=‎3‎‎2‎x+t,‎y‎2‎‎=3x,‎可得9x2+12(t-1)x+4t2=0,‎ 令Δ>0,得t<‎1‎‎2‎,‎ 则x1+x2=-‎12‎t-1‎‎9‎.‎ 从而-‎12‎t-1‎‎9‎=‎5‎‎2‎,得t=-‎7‎‎8‎.‎ 所以l的方程为y=‎3‎‎2‎x-‎7‎‎8‎.‎ ‎(2)由AP=3PB可得y1=-3y2,‎ 由y=‎3‎‎2‎x+t,‎y‎2‎‎=3x,‎可得y2-2y+2t=0,‎ 所以y1+y2=2,从而-3y2+y2=2,故y2=-1,y1=3,‎ 代入C的方程得x1=3,x2=‎1‎‎3‎,‎ 即A(3,3),B‎1‎‎3‎‎,-1‎,‎ 故|AB|=‎4‎‎13‎‎3‎.‎ ‎10.(2019·全国Ⅱ理,21)已知点A(-2,0),B(2,0),动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率之积为-‎1‎‎2‎.记M的轨迹为曲线C.‎ ‎(1)求C的方程,并说明C是什么曲线;‎ ‎(2)过坐标原点的直线交C于P,Q两点,点P在第一象限,PE⊥x轴,垂足为E,连接QE并延长交C于点G.‎ ‎(ⅰ)证明:△PQG是直角三角形;‎ ‎(ⅱ)求△PQG面积的最大值.‎ ‎(1)解 由题设得yx+2‎·yx-2‎=-‎1‎‎2‎,化简得x‎2‎‎4‎+y‎2‎‎2‎=1(|x|≠2),所以C为中心在坐标原点,焦点在x轴上的椭圆,不含左右顶点.‎ ‎(2)(ⅰ)证明 设直线PQ的斜率为k,则其方程为y=kx(k>0).‎ 由y=kx,‎x‎2‎‎4‎‎+y‎2‎‎2‎=1,‎得x=±‎2‎‎1+2‎k‎2‎ .‎ 记u=‎2‎‎1+2‎k‎2‎,则P(u,uk),Q(-u,-uk),E(u,0).‎ 于是直线QG的斜率为k‎2‎,方程为y=k‎2‎(x-u).‎ 由y=k‎2‎x-u,‎x‎2‎‎4‎‎+y‎2‎‎2‎=1,‎得(2+k2)x2-2uk2x+k2u2-8=0.①‎ 设G(xG,yG),则-u和xG是方程①的解,‎ 故xG=u‎3k‎2‎‎+2‎‎2+‎k‎2‎,由此得yG=uk‎3‎‎2+‎k‎2‎.‎ 从而直线PG的斜率为uk‎3‎‎2+‎k‎2‎‎-uku‎3k‎2‎‎+2‎‎2+‎k‎2‎‎-u=-‎1‎k,‎ 因为kPQ·kPG=-1.‎ 所以PQ⊥PG,即△PQG是直角三角形.‎ ‎(ⅱ)解 由(ⅰ)得|PQ|=2u‎1+‎k‎2‎,|PG|=‎2ukk‎2‎‎+1‎‎2+‎k‎2‎,所以△PQG的面积S=‎1‎‎2‎|PQ||PG|=‎8k‎1+‎k‎2‎‎1+‎‎2k‎2‎‎2+‎k‎2‎=‎8‎‎1‎k‎+k‎1+2‎‎1‎k‎+k‎2‎.‎ 设t=k+‎1‎k,则由k>0得t≥2,当且仅当k=1时取等号.‎ 因为S=‎8t‎1+‎‎2t‎2‎在[2,+∞)上单调递减,所以当t=2,即k=1时,S取得最大值,最大值为‎16‎‎9‎.‎ 因此,△PQG面积的最大值为‎16‎‎9‎.‎ ‎11.(2019·全国Ⅲ理,21)已知曲线C:y=x‎2‎‎2‎,D为直线y=-‎1‎‎2‎上的动点,过D作C的两条切线,切点分别为A,B.‎ ‎(1)证明:直线AB过定点;‎ ‎(2)若以E‎0,‎‎5‎‎2‎为圆心的圆与直线AB相切,且切点为线段AB的中点,求四边形ADBE的面积.‎ ‎(1)证明 设Dt,‎‎1‎‎2‎,A(x1,y1),则x‎1‎‎2‎=2y1.‎ 由y′=x,所以切线DA的斜率为x1,故y‎1‎‎+‎‎1‎‎2‎x‎1‎‎-t=x1.‎ 整理得2tx1-2y1+1=0.‎ 设B(x2,y2),同理可得2tx2-2y2+1=0.‎ 故直线AB的方程为2tx-2y+1=0.‎ 所以直线AB过定点‎0,‎‎1‎‎2‎.‎ ‎(2)解 由(1)得直线AB的方程为y=tx+‎1‎‎2‎.‎ 由y=tx+‎1‎‎2‎,‎y=x‎2‎‎2‎,‎可得x2-2tx-1=0,Δ=4t2+4>0,‎ 于是x1+x2=2t,x1x2=-1,y1+y2‎ ‎=t(x1+x2)+1=2t2+1,‎ ‎|AB|=‎1+‎t‎2‎|x1-x2|‎ ‎=‎1+‎t‎2‎·x‎1‎‎+‎x‎2‎‎2‎‎-4‎x‎1‎x‎2‎=2(t2+1).‎ 设d1,d2分别为点D,E到直线AB的距离,‎ 则d1=t‎2‎‎+1‎,d2=‎2‎t‎2‎‎+1‎,‎ 因此,四边形ADBE的面积S=‎1‎‎2‎|AB|(d1+d2)‎ ‎=(t2+3)t‎2‎‎+1‎.‎ 设M为线段AB的中点,则Mt,t‎2‎+‎‎1‎‎2‎.‎ 由于EM⊥AB,而EM=(t,t2-2),‎ AB与坐标为(1,t)的向量平行,所以t+(t2-2)t=0.‎ 解得t=0或t=±1.‎ 当t=0时,S=3;当t=±1时,S=4‎2‎.‎ 因此,四边形ADBE的面积为3或4‎2‎.‎ ‎12.(2019·北京理,18)(14分)已知抛物线经过点.‎ ‎(Ⅰ)求抛物线的方程及其准线方程;‎ ‎(Ⅱ)设为原点,过抛物线的焦点作斜率不为0的直线交抛物线于两点,,直线分别交直线,于点和点.求证:以为直径的圆经过轴上的两个定点.‎ ‎【思路分析】(Ⅰ)代入点,解方程可得,求得抛物线的方程和准线方程;‎ ‎(Ⅱ)抛物线的焦点为,设直线方程为 ‎,联立抛物线方程,运用韦达定理,以及直线的斜率和方程,求得,的坐标,可得为直径的圆方程,可令,解方程,即可得到所求定点.‎ ‎【解析】:(Ⅰ)抛物线经过点.可得,即,‎ 可得抛物线的方程为,准线方程为;‎ ‎(Ⅱ)证明:抛物线的焦点为,‎ 设直线方程为,联立抛物线方程,可得,‎ 设,,,,‎ 可得,,‎ 直线的方程为,即,‎ 直线的方程为,即,‎ 可得,,,,‎ 可得的中点的横坐标为,‎ 即有为直径的圆心为,‎ 半径为,‎ 可得圆的方程为,‎ 化为,‎ 由,可得或.‎ 则以为直径的圆经过轴上的两个定点,.‎ ‎【归纳与总结】本题考查抛物线的定义和方程、性质,以及圆方程的求法,考查直线和抛物线方程联立,运用韦达定理,考查化简整理的运算能力,属于中档题.‎ ‎13.(2019·天津理,18)设椭圆x‎2‎a‎2‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)的左焦点为F,上顶点为B.已知椭圆的短轴长为4,离心率为‎5‎‎5‎.‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)设点P在椭圆上,且异于椭圆的上、下顶点,点M为直线PB与x轴的交点,点N在y轴的负半轴上.若|ON|=|OF|(O为原点),且OP⊥MN,求直线PB的斜率.‎ 解 (1)设椭圆的半焦距为c,依题意,2b=4,ca=‎5‎‎5‎,又a2=b2+c2,可得a=‎5‎,b=2,c=1.‎ 所以椭圆的方程为x‎2‎‎5‎+y‎2‎‎4‎=1.‎ ‎(2)由题意,设P(xP,yP)(xP≠0),M(xM,0),直线PB的斜率为k(k≠0),又B(0,2),则直线PB的方程为y=kx+2,与椭圆方程联立得y=kx+,‎x‎2‎‎5‎‎+y‎2‎‎4‎=1,‎ 整理得(4+5k2)x2+20kx=0,可得xP=-‎20k‎4+‎‎5k‎2‎,‎ 代入y=kx+2得yP=‎8-‎‎10k‎2‎‎4+‎‎5k‎2‎.‎ 所以直线OP的斜率为yPxP=‎4-‎‎5k‎2‎‎-10k.‎ 在y=kx+2中,令y=0,得xM=-‎2‎k.‎ 由题意得N(0,-1),所以直线MN的斜率为-k‎2‎.‎ 由OP⊥MN,得‎4-‎‎5k‎2‎‎-10k·‎-‎k‎2‎=-1,化简得k2=‎24‎‎5‎,‎ 从解得k=±‎2‎‎30‎‎5‎.‎ 所以直线PB的斜率为‎2‎‎30‎‎5‎或-‎2‎‎30‎‎5‎.‎