2012高考文科数学真题汇编立体几何高考题老师版 18页

第 1 页（共 18 页） 学科教师辅导教案 学员姓名 年 级 高三 辅导科目 数 学 授课老师 课时数 2h 第 次课 授课日期及时段 2018 年 月 日 ： — ： 1．（2014 辽宁）已知 m，n 表示两条不同直线， 表示平面，下列说法正确的是（ Ｂ ） A．若 则 B．若 ， ，则 C．若 ， ，则 D．若 ， ，则 2.(2014 新标 1 文) 如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的事一个几何体的三视图，则这个几何 体是（ Ｂ ） A.三棱锥 B.三棱柱 C.四棱锥 D.四棱柱 3.(2014 浙江文) 设 、 是两条不同的直线， 、 是两个不同的平面，则（ Ｃ ） A.若 ， ，则 B.若 ， ，则 C.若 ， ， ，则 D.若 ， ， ，则 4.(2013 浙江文) 设 m，n 是两条不同的直线，α，β 是两个不同的平面．(　C　) A．若 m∥α，n∥α，则 m∥n B．若 m∥α，m∥β，则 α∥β C．若 m∥n，m⊥α，则 n⊥α D．若 m∥α，α⊥β，则 m⊥β 5.（2015 年广东文）若直线 和 是异面直线， 在平面 内， 在平面 内， 是平面 与平面 的交 线，则下列命题正确的是（ Ａ ） A． 至少与 ， 中的一条相交 B． 与 ， 都相交 C． 至多与 ， 中的一条相交 D． 与 ， 都不相交 α / / , / / ,m nα α / /m n m α⊥ n α⊂ m n⊥ m α⊥ m n⊥ / /n α / /m α m n⊥ n α⊥ m n α β nm ⊥ α//n α⊥m β//m αβ ⊥ α⊥m β⊥m β⊥n α⊥n α⊥m nm ⊥ β⊥n αβ ⊥ α⊥m 1l 2l 1l α 2l β l α β l 1l 2l l 1l 2l l 1l 2l l 1l 2l 历年高考试题集锦（文）——立体几何 第 2 页（共 18 页） 6.（2015 年新课标 2 文）一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如下图,则截去部分体积与 剩余部分体积的比值为（ ） 【答案】D【解析】试题分析：截去部分是正方体的一个角,其体积是正方体体积的 ,所以截去部分体积与 剩余部分体积的比值为 ,故选 D. 7．（2015 年福建文）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于（ ） A． B． C． D． 【答案】B【解析】试题分析：由三视图还原几何体，该几何体是底面为直角梯形，高为 的直四棱柱，且 底面直角梯形的两底分别为 ，直角腰长为 ，斜腰为 ．底面积为 ，侧面积为则其表面积 为 ，所以该几何体的表面积为 ，故选 B． 8.（2014 安徽）一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为（ A ） A． B． C． D． 9．（2012 福建）一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是(　D　) 1A.8 1B.7 1C.6 1D.5 111 2 1 6 1 5 8 2 2+ 11 2 2+ 14 2 2+ 15 2 1 2， 1 2 12 3 32 × × = 2+2+4+2 2=8+2 2 11 2 2+ 21 3+ 18 3+ 21 18 第 3 页（共 18 页） A．球 B．三棱锥 C．正方体 D．圆柱 10．（2014 福建理）某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是（ A ） 圆柱 圆锥 四面体 三棱柱 11．（2012 广东理）某几何体的三视图如图所示，它的体积为（ C ） A. B. C. D. 12（2012 广东文）某几何体的三视图如图 1 所示，它的体积为( C ) 13．（2013 广东文）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（ B ） A． B． C． D． 14．（2013 江西文）一几何体的三视图如右所示，则该几何体的体积为（ A ） A.200+9π B. 200+18π C. 140+9π D. 140+18π 15.(2012 新标) 如图，网格上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，则几何体的体积为 .6 .9 .12 .18 .A .B .C .D 12π 45π 57π 81π 72π ( )B ( )A 48π ( )C π30 ( )D π24 图 2 1 俯视图 侧视图正视图 2 1 1 6 1 3 2 3 1 A B C D 第 4 页（共 18 页） 【答案】B 16.(2013 新标 1) 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ A ） . . . . 17．(2017·全国Ⅰ文)如图，在下列四个正方体中，A，B 为正方体的两个顶点，M，N，Q 为所在棱的中 点，则在这四个正方体中，直线 AB 与平面 MNQ 不平行的是(　　) 【答案】A 18、（2016 年天津）将一个长方形沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如 图所示，则该几何体的侧（左）视图为（ B ） 19、（2016 年全国 I 卷）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若 该几何体的体积是28π 3 ，则它的表面积是（ A ） A 16 8π+ B 8 8π+ C 16 16π+ D 8 16π+ 第 5 页（共 18 页） （A）17π （B）18π （C）20π （D）28π 20 、（2016 年全国 I 卷）如平面 过正方体 ABCD—A 1B1C1D1 的顶点 A ， , ， ，则 m，n 所成角的正弦值为（ A ） （A） （B） （C） （D） 21、（2016 年全国 II 卷）如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ C ） （A）20π （B）24π （C）28π （D）32π 22、（2016 年全国 III 卷）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该 多面体的表面积为（ B ） （A） （B） （C）90 （D）81 23、（2016 年浙江）已知互相垂直的平面 交于直线 l.若直线 m，n 满足 m∥α，n⊥β，则（ C ） A.m∥l B.m∥n C.n⊥l D.m⊥n 24、(2017·全国Ⅱ文)如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体 由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为(　B　) A．90π B．63π C．42π D．36π 25．（2014 湖北文）已知某几何体的三视图如图 所示，则该几何体的体积为____12π________. α 1 1// CB Dα 平面 ABCD mα = 平面 1 1ABB A nα = 平面 3 2 2 2 3 3 1 3 18 36 5+ 54 18 5+ α β， 第 6 页（共 18 页） 26. (2017·全国Ⅲ文)已知圆柱的高为 1，它的两个底面的圆周在直径为 2 的同一个球的球面上，则该圆柱 的体积为(　B　) A．π B．3π 4 C．π 2 D．π 4 27. (2014 新标 2 文) 正三棱柱 的底面边长为 ，侧棱长为 ， 为 中点，则三棱锥 的体积为（ C ） （A） （B） （C） （D） 28．(2017·北京文)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为(　D　) A．60 B．30 C．20 D．10 29．(2017·全国Ⅰ文)已知三棱锥 SABC 的所有顶点都在球 O 的球面上，SC 是球 O 的直径．若平面 SCA⊥ 平面 SCB，SA＝AC，SB＝BC，三棱锥 SABC 的体积为 9，则球 O 的表面积为________． 1．【答案】36π【解析】如图，连接 OA，OB.由 SA＝AC，SB＝BC，SC 为球 O 的直径知，OA⊥SC，OB⊥ SC.由平面 SCA⊥平面 SCB，平面 SCA∩平面 SCB＝SC，OA⊥SC 知，OA⊥平面 SCB. 设球 O 的半径为 r，则 OA＝OB＝r，SC＝2r，∴三棱锥 S－ABC 的体积 V＝1 3×(1 2SC·OB)·OA＝ r3 3， 即r3 3＝9，∴r＝3，∴S 球表＝4πr2＝36π. 30、(2017·山东文，13)由一个长方体和两个1 4圆柱构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为 1 1 1ABC A B C− 2 3 D BC 1 1A B DC− 3 3 2 1 3 2 第 7 页（共 18 页） ______2＋π 2__． 31.(2012 新标文) 如图，三棱柱 中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC= 1 2AA1，D 是棱 AA1 的中点。 (Ｉ) 证明：平面 BDC⊥平面 。（Ⅱ）平面 分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比. 【答案】（Ⅰ）略；（Ⅱ）1:1. 32.(2013 新标 2 文) 如图，直三棱柱 ABC－A1B1C1 中，D，E 分别是 AB，BB1 的中点． (1)证明：BC1∥平面 A1CD； (2)设 AA1＝AC＝CB＝2，AB＝2 2，求三棱锥 C－A1DE 的体积． 【答案】(1)略；(2) 1. 33、(2017·全国Ⅰ文)如图，在四棱锥 PABCD 中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP＝90°. (1)证明：平面 PAB⊥平面 PAD； (2)若 PA＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°，且四棱锥 PABCD 的体积为8 3，求该四棱锥的侧面积． 1．(1)证明　由已知∠BAP＝∠CDP＝90°，得 AB⊥PA，CD⊥PD. 1 1 1ABC A B C− 1BDC 1BDC 第 8 页（共 18 页） 由于 AB∥CD，故 AB⊥PD，从而 AB⊥平面 PAD.又 AB⊂平面 PAB，所以平面 PAB⊥平面 PAD. (2)解　如图，在平面 PAD 内作 PE⊥AD，垂足为 E. 由(1)知，AB⊥平面 PAD，故 AB⊥PE，AB⊥AD，所以 PE⊥平面 ABCD. 设 AB＝x，则由已知可得 AD＝ 2x，PE＝ 2 2 x， 故四棱锥 PABCD 的体积 VPABCD＝1 3AB·AD·PE＝ 1 3x3.由题设得 1 3x3＝8 3，故 x＝2. 从而结合已知可得 PA＝PD＝AB＝DC＝2，AD＝BC＝2 2，PB＝PC＝2 2， 可得四棱锥 PABCD 的侧面积为 1 2PA·PD＋1 2PA·AB＋1 2PD·DC＋1 2BC2sin 60°＝6＋2 3. 34．（2014 山东文）如图，四棱锥 中， 分 别为线段 的中点. （Ｉ）求证： ；（II）求证： .【答案】略 35.(2014 四川文) 在如图所示的多面体中，四边形 和 都为矩形。 （Ⅰ）若 ，证明：直线 平面 ； P ABCD− 1, , , ,2AP PCD AD BC AB BC AD E F⊥ = =平面 ∥ ,AD PC AP BEF∥平面 BE PAC⊥ 平面 1 1ABB A 1 1ACC A D E B1 C1 A C B A1 O M E D A B C C1 A1 B1 AC BC⊥ BC ⊥ 1 1ACC A 第 9 页（共 18 页） （Ⅱ）设 ， 分别是线段 ， 的中点，在线段 上是否存在一点 ，使直线 平面 ？请证明你的结论。 【简解】（Ⅰ）略（2）取线段 AB 的中点 M，连接 ，设 O 为 的交点.由已知，O 为 的中点.连接 MD，OE，则 MD，OE 分别为 的中位线. 所以， ， 连接 OM，从而四边形 MDEO 为平行四边形，则 . 因为直线 平面 ， 平面 ，所以直线 平面 . 即线段 AB 上存在一点 M（线段 AB 的中点），使得直线 平面 . 36．（2013 北京文）如图，在四棱锥 中， ， ， ，平面 底面 ， ， 和 分别是 和 的中点，求证： （1） 底面 （2） 平面 （3）平面 平面 37．（2012 江苏）如图，在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，A1B1=A1C1，D，E 分别是棱 BC，CC1 上的点（点 D 不同于点 C），且 AD⊥DE，F 为 B1C1 的中点．求证： （1）平面 ADE⊥平面 BCC1B1； （2）直线 A1F∥平面 ADE． 38 ．（2013 江苏）如图，在三棱锥 中，平面 平面 ， ， ，过 作 ，垂足为 ，点 分别是棱 的中点. 求证：（1）平面 平面 ； （2） . D E BC 1CC AB M / /DE 1A MC 1 1 1, , ,A M MC AC AC 1 1,AC AC 1AC 1,ABC ACC∆ ∆ 1 1, ,2 2MD AC OE AC MD OE∴   DE MO DE ⊄ 1A MC MO ⊂ 1A MC DE  1A MC DE  1A MC P ABCD− / /AB CD AB AD⊥ 2CD AB= PAD ⊥ ABCD PA AD⊥ E F CD PC PA ⊥ ABCD / /BE PAD BEF ⊥ PCD ABCS − ⊥SAB SBC BCAB ⊥ ABAS = A SBAF ⊥ F GE， SCSA， //EFG ABC SABC ⊥ 第 10 页（共 18 页） 【答案】略 39 ．（2014 江苏）如图，在三棱锥 中， 分别为棱 的中点．已知 ． （1）求证：直线 PA∥平面 DEF；（2）平面 BDE⊥平面 ABC． 40．（2014 北京文）如图，在三棱柱 中，侧棱垂直于底面， ， ，BC=1， 、 分别为 、 的中点. （1）求证：平面 平面 ；（2）求证： 平面 ；（3）求三棱锥 的体积. 【简解】(1)AB⊥平面 B1BCC1 即可；（2）取 AB 中点 G，C1F∥EG 即可；(3) 41. （2015 北京文）如图，在三棱锥 中，平面 平面 ， 为等边三角形， 且 ， ， 分别为 ， 的中点． P ABC− D E F， ， PC AC AB， ， 6PA AC PA⊥ =， ， 8BC = ， 5DF = 1 1 1ABC A B C− AB BC⊥ 1 2AA AC= = E F 1 1AC BC ABE ⊥ 1 1B BCC 1 //C F ABE E ABC− C1 B1 A1 F E C B A 3 3 V C− ΑΒ VΑΒ ⊥ CΑΒ V∆ ΑΒ C CΑ ⊥ Β C C 2Α = Β = Ο Μ ΑΒ VΑ 第 11 页（共 18 页） （Ⅰ）求证： 平面 ；（Ⅱ）求证：平面 平面 ；（Ⅲ）求三棱锥 的体 积． 【答案】（1）证明详见解析；（2）证明详见解析；（3） . 42.（2015 年新课标 1 卷）如图四边形 ABCD 为菱形，G 为 AC 与 BD 交点， ， （I）证明：平面 平面 ； （II）若 ， 三棱锥 的体积为 ，求该三棱锥的侧面积. （I）因为四边形 ABCD 为菱形，所以 AC⊥BD. 因为 BE⊥平面 ABCD,所以 AC⊥BE,故 AC⊥平面 BED. 又 AC 平面 AEC,所以平面 AEC⊥平面 BED. ……5 分 （II）设 AB= ，在菱形 ABCD 中，又∠ABC= ，可得 AG=GC= ，GB=GD= . 因为 AE⊥EC,所以在 Rt△AEC 中，可的 EG= . 由 BE⊥平面 ABCD,知△EBG 为直角三角形，可得 BE= . 由已知得，三棱锥 E-ACD 的体积 = × AC·GD·BE= . 故 =2 ……9 分 从而可得 AE=EC=ED= .所以△EAC 的面积为 3，△EAD 的面积与 △ECD 的面积均为 . 故三棱锥 E-ACD 的侧面积为 3+2 . ……12 分 43.(2017·全国Ⅱ文)如图，四棱锥 PABCD 中，侧面 PAD 为等边三角形且垂直于底面 ABCD，AB＝BC＝1 2 V //Β CΜΟ CΜΟ ⊥ VΑΒ V C− ΑΒ 3 3 BE ABCD⊥ 平面 AEC ⊥ BED 120ABC∠ =  ,AE EC⊥ E ACD− 6 3 ⊂ x o120 3 2 x 2 x 3 2 x 2 2 x E ACDV − 1 3 1 2 36 6 24 3x = x 6 5 5 第 12 页（共 18 页） AD，∠BAD＝∠ABC＝90°. (1)证明：直线 BC∥平面 PAD；(2)若△PCD 的面积为 2 7，求四棱锥 PABCD 的体积． 2．(1)证明　在平面 ABCD 内，因为∠BAD＝∠ABC＝90°，所以 BC∥AD. 又 BC⊄平面 PAD，AD⊂平面 PAD，故 BC∥平面 PAD. (2)解　如图，取 AD 的中点 M，连接 PM，CM.由 AB＝BC＝1 2AD 及 BC∥AD，∠ABC＝90°得四边形 ABCM 为正方形，则 CM⊥AD. 因为侧面 PAD 为等边三角形且垂直于底面 ABCD，平面 PAD∩平面 ABCD＝AD，所以 PM⊥AD，PM⊥底面 ABCD.因为 CM⊂底面 ABCD，所以 PM⊥CM. 设 BC＝x，则 CM＝x，CD＝ 2x，PM＝ 3x，PC＝PD＝2x. 取 CD 的中点 N，连接 PN，则 PN⊥CD，所以 PN＝ 14 2 x.因为△PCD 的面积为 2 7， 所以1 2× 2x× 14 2 x＝2 7，解得 x＝－2(舍去)或 x＝2.于是 AB＝BC＝2，AD＝4，PM＝2 3. 所以四棱锥 PABCD 的体积 V＝1 3×2(2＋4) 2 ×2 3＝4 3. 44、（2016 年江苏省高考）如图，在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，D，E 分别为 AB，BC 的中点，点 F 在侧棱 B1B 上，且 ， . 求证：（1）直线 DE∥平面 A1C1F；（2）平面 B1DE⊥平面 A1C1F. （2）在直三棱柱 中， 因为 平面 ，所以 1 1B D A F⊥ 1 1 1 1AC A B⊥ 1 1 1ABC A B C− 1 1 1 1AA ⊥ 平面ABC 1 1AC ⊂ 1 1 1A B C 1 1 1AA ⊥ AC 第 13 页（共 18 页） 又因为 所以 平面 因为 平面 ，所以 又因为 所以 因为直线 ，所以 45、（2016 年全国 I 卷）如图，已知正三棱锥 P-ABC 的侧面是直角三角形，PA=6，顶点 P 在平面 ABC 内的 正投影为点 D，D 在平面 PAB 内的正投影为点 E，连结 PE 并延长交 AB 于点 G. （I）证明：G 是 AB 的中点； （II）在图中作出点 E 在平面 PAC 内的正投影 F（说明作法及理由），并求四面体 PDEF 的体积． （II）在平面 内，过点 作 的平行线交 于点 ， 即为 在平面 内的正投影. 理由如下：由已知可得 ， ，又 ,所以 , 因此 平面 ，即点 为 在平面 内的正投影. 连结 ，因为 在平面 内的正投影为 ，所以 是正三角形 的中心. 由（I）知， 是 的中点，所以 在 上，故 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1, ,AC A B AA ABB A A B ABB A A B AA A⊥ ⊂ ⊂ =， 平面 平面 1 1AC ⊥ 1 1ABB A 1B D ⊂ 1 1ABB A 1 1 1AC B D⊥ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1C F, C F,B D A AC A A F A AC A F A⊥ ⊂ ⊂ =F， 平面 平面 1 1 1C FB D A⊥ 平面 1 1B D B DE⊂ 平面 1B DE平面 1 1 .AC F⊥ 平面 P A B D C G E PAB E PB PA F F E PAC PB PA⊥ ⊥PB PC / /EF PB EF PA EF PC，⊥ ⊥ EF ⊥ PAC F E PAC CG P ABC D D ABC G AB D CG 2 .3 =CD CG 第 14 页（共 18 页） 由题设可得 平面 ， 平面 ，所以 ，因此 由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且 ，可得 在等腰直角三角形 中，可得 所以四面体 的体积 46、（2016 年全国 II 卷高考） 如图，菱形 的对角线 与 交于点 ，点 、 分别在 ， 上， ， 交 于点 ，将 沿 折到 的位置. （Ⅰ）证明： ； （Ⅱ）若 ,求五棱锥 体积. 试题解析：（I）由已知得， 又由 得 ，故 由此得 ，所以 . （II）由 得 由 得 所以 于是 故 由（I）知 ，又 ，所以 平面 于是 又由 ，所以， 平面 又由 得 五边形 的面积 所以五棱锥 体积 47 、（2016 年全国 III 卷高考）如图，四棱锥 中， 平面 ， ， ， ， 为线段 上一点， ， 为 的中点． ⊥PC PAB ⊥DE PAB / /DE PC 2 1, .3 3 = =PE PG DE PC 6=PA 2, 2 2.= =DE PE EFP 2.= =EF PF PDEF 1 1 42 2 2 .3 2 3 = × × × × =V ABCD AC BD O E F AD CD AE CF= EF BD H DEF∆ EF 'D EF∆ 'AC HD⊥ 55, 6, , ' 2 24AB AC AE OD= = = = D ABCEF′− , .⊥ =AC BD AD CD =AE CF =AE CF AD CD / / .AC EF , ′⊥ ⊥EF HD EF HD / / .′AC HD / /EF AC 1 .4 = =OH AE DO AD 5, 6= =AB AC 2 2 4.= = − =DO BO AB AO 1, 3.′= = =OH D H DH 2 2 2 2 2(2 2) 1 9 ,′ ′+ = + = =OD OH D H .′ ⊥OD OH ′⊥AC HD , ′⊥ =AC BD BD HD H ⊥AC ,′BHD .′⊥AC OD ,′ ⊥ =OD OH AC OH O ′ ⊥OD .ABC =EF DH AC DO 9 .2 =EF ABCFE 1 1 9 696 8 3 .2 2 2 4 = × × − × × =S ' ABCEFD − 1 69 23 22 2 .3 4 2 = × × =V P ABC− PA ⊥ ABCD AD BC 3AB AD AC= = = 4PA BC= = M AD 2AM MD= N PC 第 15 页（共 18 页） （I）证明 平面 ； （II）求四面体 的体积. （Ⅱ）因为 平面 ， 为 的中点，所以 到平面 的距离为 . ....9 分 取 的中点 ，连结 .由 得 ， . 由 得 到 的距离为 ，故 . 所以四面体 的体积 . .....12 分 48．(2017·北京文)如图，在三棱锥 P－ABC 中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA＝AB＝BC＝2，D 为线 段 AC 的中点，E 为线段 PC 上一点． (1)求证：PA⊥BD； (2)求证：平面 BDE⊥平面 PAC； (3)当 PA∥平面 BDE 时，求三棱锥 E－BCD 的体积． (1)证明　因为 PA⊥AB，PA⊥BC，AB∩BC＝B，所以 PA⊥平面 ABC.又因为 BD⊂平面 ABC，所以 PA⊥BD. MN  PAB N BCM− ⊥PA ABCD N PC N ABCD PA2 1 BC E AE 3== ACAB BCAE ⊥ 522 =−= BEABAE BCAM ∥ M BC 5 52542 1 =××=∆BCMS BCMN − 3 54 23 1 =××= ∆− PASV BCMBCMN 第 16 页（共 18 页） (2)证明　因为 AB＝BC，D 是 AC 的中点，所以 BD⊥AC.由(1)知，PA⊥BD， 又 PA∩AC＝A，所以 BD⊥平面 PAC.所以平面 BDE⊥平面 PAC. (3)解　因为 PA∥平面 BDE，平面 PAC∩平面 BDE＝DE，所以 PA∥DE. 因为 D 为 AC 的中点，所以 DE＝1 2PA＝1，BD＝DC＝ 2. 由(1)知，PA⊥平面 ABC，所以 DE⊥平面 ABC，所以三棱锥 E－BCD 的体积 V＝1 6BD·DC·DE＝ 1 3. 49．(2017·江苏，15)如图，在三棱锥 ABCD 中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面 ABD⊥平面 BCD，点 E，F(E 与 A，D 不重合)分别在棱 AD，BD 上，且 EF⊥AD. 求证：(1)EF∥平面 ABC； (2)AD⊥AC. 证明　(1)在平面 ABD 内，因为 AB⊥AD，EF⊥AD，则 AB∥EF.又因为 EF⊄平面 ABC，AB⊂平面 ABC， 所以 EF∥平面 ABC. (2)因为平面 ABD⊥平面 BCD，平面 ABD∩平面 BCD＝BD，BC⊂平面 BCD，BC⊥BD， 所以 BC⊥平面 ABD.因为 AD⊂平面 ABD，所以 BC⊥AD.又 AB⊥AD，BC∩AB＝B，AB⊂平面 ABC，BC⊂平 面 ABC，所以 AD⊥平面 ABC.又因为 AC⊂平面 ABC，所以 AD⊥AC. 50、（2013 年全国 I 卷）如图，三棱柱 中， ， ， 。 （Ⅰ）证明： ；（Ⅱ）若 ， ，求三棱柱 的体积。 1 1 1ABC A B C− CA CB= 1AB AA= 1 60BAA∠ =  1AB AC⊥ 2AB CB= = 1 6AC = 1 1 1ABC A B C− C1 B1 A A1 B C 第 17 页（共 18 页） 51、（2011 年全国 I 卷）如图，四棱锥 中，底面 为平行四边形。 底面 。 （I）证明： （II）设 ，求棱锥 的高。 (18)解：（Ⅰ）因为 , 由余弦定理得 从而 BD2+AD2= AB2，故 BD AD 又 PD 底面 ABCD，可得 BD PD,所以 BD 平面 PAD. 故 PA BD （Ⅱ）过 D 作 DE⊥PB 于 E， 由（I）知 BC⊥BD,又 PD⊥底面 ， 所以 BC⊥平面 PBD，而 DE 平面 PBD，故 DE⊥BC,所以 DE⊥平面 PBC 由题设知 PD=1，则 BD= ,PB=2，由 DE﹒PB=PD﹒BD 得 DE= ,即棱锥 的高为 52、（2014 年全国 I 卷）如图，三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，侧面 BB1C1C 为菱形，B1C 的中点为 O，且 AO⊥ 平面 BB1C1C． （1）证明：B1C⊥AB； （2）若 AC⊥AB1，∠CBB1=60°，BC=1，求三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的高． （1）证明：连接 BC1，则 O 为 B1C 与 BC1 的交点，∵侧面 BB1C1C 为菱形，∴BC1⊥B1C， ∵AO⊥平面 BB1C1C，∴AO⊥B1C，∵AO∩BC1=O，∴B1C⊥平面 ABO，∵AB⊂平面 ABO，∴B1C⊥AB； P ABCD− ABCD 60 , 2 ,DAB AB AD PD∠ = = ⊥ ABCD PA BD⊥ 1PD AD= = D PBC− 60 , 2DAB AB AD∠ = ° = 3BD AD= ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ABCD ⊂ 3 2 3 D PBC− 2 3 A B CD P 第 18 页（共 18 页） （2）解：作 OD⊥BC，垂足为 D，连接 AD，作 OH⊥AD，垂足为 H，∵BC⊥AO，BC⊥OD，AO∩OD=O， ∴BC⊥平面 AOD，∴OH⊥BC，∵OH⊥AD，BC∩AD=D，∴OH⊥平面 ABC， ∵∠CBB1=60°，∴△CBB1 为等边三角形，∵BC=1，∴OD= ， ∵AC⊥AB1，∴OA= B1C= ，由 OH•AD=OD•OA，可得 AD= = ，∴OH= ， ∵O 为 B1C 的中点，∴B1 到平面 ABC 的距离为 ，∴三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的高 ．