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- 2021-05-14 发布
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2014年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷)
数 学(理科)
一. 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1. 设全集,集合,则( )
A. B. C. D.
2. 已知是虚数单位,,则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的表面积是( )
A. 90 B. 129
C. 132 D. 138
4. 为了得到函数的图像,可以将函数的图像( )
A. 向右平移 个单位 B. 向左平移个单位
C. 向右平移个单位 D. 向左平移个单位
5.在的展开式中,记项的系数,则= ( )
A. 45 B. 60 C. 120 D. 210
6. 已知函数 ,且( )
A. B. C. D.
7. 在同一直角坐标系中,函数, 的图像可能是( )
8. 记,,设为平面向量,则( )
A.
B.
C.
D.
9. 已知甲盒中仅有1个球且为红球,乙盒中有m个红球和n个篮球
,从乙盒中随机抽取个球放入甲盒中.
(a)放入 个球后,甲盒中含有红球的个数记为;
(b)放入个球后,从甲盒中取1个球是红球的概率记为.
则 ( )
A. B.
C. D.
10. 设函数,,,,
,记, 则 ( )
A. B. C. D.
二. 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分.
11. 若某程序框图如图所示,当输入50时,则该程序运算后输出的结果是________.
12. 随机变量的取值为0,1,2,若,,则=________.
13.当实数满足时,恒成立,则实数的取值范围是________.
14. 在8张奖券中有一、二、三等奖各1张,其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人,每人2张,不同的获奖情况有_____种(用数字作答).
15.设函数若,则实数的取值范围是______
16.设直线() 与双曲线()两条渐近线分别交于点A,B.若点满足,则该双曲线的离心率是__________
17、如图,某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练.已知点A到墙面的距离为AB,某目标点P沿墙面上的射击线CM移动,此人为了准确瞄准目标点P,需计算由点A观察点P的仰角的大小.若 ,,,则的最大值是 (仰角 为直线AP与平面ABC所成角)
三. 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
18.(本题满分14分)
在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知
(Ⅰ)求角C的大小;
(Ⅱ)若 ,求△ABC的面积.
19.(本题满分14分)
已知数列和满足.若为等比数列,且
(Ⅰ) 求与 ;
(Ⅱ) 设.记数列的前项和为,
(i)求;
(ii)求正整数,使得对任意均有.
20.(本题满分15分)
如图,在四棱锥中,平面^平面 ,,,,.
(Ⅰ) 证明:^平面;
(Ⅱ) 求二面角的大小.
21(本题满分15分)
如图,设椭圆C:动直线与椭圆C只有一个公共点P,且点P在第一象限.
(Ⅰ) 已知直线的斜率为,用表示点P的坐标;
(Ⅱ) 若过原点的直线与垂直,证明:点到直线的距离的最大值为.
22. (本题满分14分)
已知函数
(Ⅰ) 若在上的最大值和最小值分别记为,求;
(Ⅱ) 设若对恒成立,求的取值范围.
2014年高考浙江理科数学试题参考答案
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.【解析】=,
【答案】B
2.【解析】当时,,反之,
即 ,则 解得 或
【答案】A
3.【解析】由三视图可知直观图左边一个横放的三棱柱右侧一个长方体,故几何体的表面积为: .
【答案】D
4.【解析】=
而=
由 ,即
故只需将的图象向右平移 个单位. 故选C
【答案】C
5.【解析】令 ,由题意知即为 展开式中 的系数,故=,故选C
【答案】C
6.【解析】由得 解得 ,所以 ,由 得 ,即,故选C
【答案】C
7.【解析】函数,分别的幂函数与对数函数
答案A中没有幂函数的图像, 不符合;答案B中,中 ,中 ,不符合;答案C中,中,中,不符合;答案D中,中,
中,符合. 故选D
【答案】D
8.【解析】由向量运算的平行四边形法可知与的大小不确定,平行四边形法可知所对的角大于或等于 ,由余弦定理知,
(或).
【答案】D
9.【解析1】 ,
=
∴-= ,
故
又∵ ,
∴
又
∴
=
=-=
所以 ,故选A
【答案】A
【解析2】:在解法1中取 ,计算后再比较。
10.【解析】由 ,
故
由
故
=
故 ,故选B
【答案】B
【解析2】估算法: 的几何意义为将区间 等分为99个小区间,每个小区间的端点的函数值之差的绝对值之和.如图为将函数 的区间 等分为4个小区间的情形,因 在上递增,此时
=,同理对题中给出的 同样有 ;
而略小于 ,略小于 ,所以估算得
【答案】B
二. 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分.
11.【解析】第一次运行结果
第二次运行结果
第三次运行结果
第四次运行结果
第五次运行结果
x
0
1
2
P
此时 ,∴输出 ,【答案】6
12.【解析】设 时的概率为,的分布列为
由 ,解得
x
0
1
2
P
的分布列为即为
故 . 【答案】
13.【解析】作出不等式组所表示的区域如图,由恒成立,故 三点坐标代入,均成立得 解得 ,∴实数的取值范围是 , 【答案】
【解析2】作出不等式组所表示的区域如图,由得,由图分析可知, 且在 点取得最小值,在 取得最大值,故 得,故实数的取值范围是 , 【答案】
14.【解析1】不同的获奖分两种,一是有一人获两张奖券,一人获一张奖券,共有
二是有三人各获得一张奖券,共有 ,因此不同的获奖情况共有 种
【解析2】将一、二、三等奖各1张分给4个人有 种分法,其中三张奖券都分给一个人的有4种分法,因此不同的获奖情况共有64-4=60种.
【答案】60
15.【解析】由题意 或 ,解得
∴当 或 解得
【答案】
16.【解析1】由双曲线的方程可知,它的渐近线方程为 和 ,分别与直线: 联立方程组,解得,,,设AB中点为,由 得,则
即 ,PQ与已知直线垂直,
∴ ,即 即得 ,即,即 ,所以
【解析2】不妨设 ,渐近线方程为即
由 消去 得
设AB中点为,由韦达定理得:……① ,
又 ,由得 即得得 代入①得
得 ,所以 ,所以 ,得
【答案】
17.【解析1】:∵AB=15cm,AC=25cm,∠ABC=90°,∴BC=20cm,
过P作PP′⊥BC,交BC于P′,
1°当P在线段BC上时,连接AP′,则
设BP′=x,则CP′=20-x,( )
由∠BCM=30°,得
在直角△ABP′中,
∴
令,则函数在x∈[0,20]单调递减,
∴x=0时, 取得最大值为
2°当P在线段CB的延长线上时,连接AP′,则
设BP′=x,则CP′=20+x,( )
由∠BCM=30°,得
在直角△ABP′中,
∴,
令,则,
所以,当 时 ;当 时
所以当 时
此时时, 取得最大值为
综合1°,2°可知 取得最大值为
【解析2】:如图以B为原点,BA、BC所在的直线分别为x,y轴,建立如图所示的空间直角坐标系,∵AB=15cm,AC=25cm,∠ABC=90°,∴BC=20cm,由∠BCM=30°,可设 (其中 ), ,,所以
设(),
所以,当 时 ;当 时
所以当 时
所以 取得最大值为
【解析3】:分析知,当 取得最大时,即最大,最大值即为平面ACM与地面ABC所成的锐二面角的度量值,
如图,过B在面BCM内作BD^BC交CM于D,过B作BH^AC于H,连DH,则ÐBHD即为平面ACM与地面ABC所成的二面角的平面角, 的最大值即为 ,在 中,
由等面积法可得=12,
所以 =
三. 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
18.【解析】:(Ⅰ)由题得 ,
即
由 得 ,又 ,得
即 ,所以
(Ⅱ),, ,得
由 得 ,从而 故 =
所以,△ABC的面积为
19.【解析】:(Ⅰ)∵ ①,
当n≥2,n∈N*时,②,
由①¸②知:当 时, ,令n=3,则有
∵b3=6+b2, ∴a3=8.
∵{an}为等比数列,且a1=2,∴{an}的公比为q,则
由题意知an>0,∴q>0,∴q=2.
∴an=2n(n∈N*).
又由,得:
即
∴bn=n(n+1)(n∈N*).
(Ⅱ)(i)∵
∴ =
= =
=
(ii)因为c1=0,c2>0,c3>0,c4>0;
当n≥5时,
而 ,得
所以,当n≥5时,cn<0,
综上,对任意n∈N*恒有 ,故k=4.
20.证明:(Ⅰ)在直角梯形BCDE中,由DE=BE=1,CD=2,得BD=BC= ,
由 ,AB=2得 ,即AC⊥BC,又平面ABC⊥平面BCDE,
从而AC⊥平面BCDE,
所以AC⊥DE,又DE⊥DC,从而
DE⊥平面ACD;
(Ⅱ)【方法1】
作BF⊥AD,与AD交于点F,过点F作FG∥DE,与AB交于点G,连接BG,由(Ⅰ)知DE⊥AD,则FG⊥AD,所以∠BFG就是二面角B-AD-E的平面角,在直角梯形BCDE中,由CD2=BC2+BD2,得BD⊥BC,
又平面ABC⊥平面BCDE,得BD⊥平面ABC,从而
BD⊥AB,由于AC⊥平面BCDE,得
AC⊥CD.
在Rt△ACD中,由DC=2, ,得 ;
在Rt△AED中,由ED=1,得 ;
在Rt△ABD中,由 ,AB=2,
得 , ,从而 ,
在△ABE,△ABG中,利用余弦定理分别可得 , .
在△BFG中, ,
所以,∠BFG= ,即二面角B-AD-E的大小为 .
【方法2】以D的原点,分别以射线DE,DC为x,y轴的正半轴,建立空间直角坐标系 ,如图所示.
由题意知各点坐标如下: , , , , .
设平面ADE的法向量为
平面ABD的法向量为,可算得:
, ,
由 即 ,可取
由即可取
于是
由题意可知,所求二面角是锐角,故二面角B-AD-E的大小为
21.【解析】:(Ⅰ)【方法1】设直线l的方程为 ,由 ,消去y得
由于直线l与椭圆C只有一个公共点P,故△=0,即,解得点P的坐标为
又点P在第一象限,故点P的坐标为
【方法2】作变换 ,则椭圆C:变为圆 :
切点 变为点 ,切线( 变为 .
在圆 中设直线 的方程为( ) ,
由 解得
即 ,由于 ,
所以 ,得 ,
即 代入得 即,
利用逆变换代入即得:
(Ⅱ)由于直线l1过原点O且与直线l垂直,故直线l1的方程为x+ky=0,所以点P到直线l1的距离
整理得:
因为,所以
当且仅当 时等号成立.
所以,点P到直线 的距离的最大值为 .
23.【解析】:(Ⅰ)∵ ,
∴,由于
(ⅰ)当 时,有 ,故
此时,f(x)在上是增函数,因此 , ,
故
(ⅱ)当时,若x∈(a,1),,在(a,1)上是增函数;若x∈(-1,a),,在(-1,a)上是减函数,
∴ ,
由于 ,因此
当 时, ;
当 时,;
(ⅲ)当时,有,故,
此时 在上是减函数,
因此,,
故;
综上,
(Ⅱ)令,则
,
因为[f(x)+b]2≤4对x∈[-1,1]恒成立,
即对x∈[-1,1]恒成立,
所以由(Ⅰ)知,
(ⅰ)当时,在上是增函数, 在上的最大值是,最小值,则且矛盾;
(ⅱ)当 时,在上的最小值是,最大值是,所以且,从而
且
令,则,∴ 在 上是增函数,
故,
因此
(ⅲ)当 时,在上的最小值是,最大值是
,所以由且,解得
(ⅳ)当时,在上的最大值是,最小值是,
所以由且,解得3a+b=0.
综上, 的取值范围是.