平面解析几何初步高考试题0710 5页

平面解析几何初步 ‎ (1)直线与方程 ‎ ①在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素，‎ ‎ ②理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式 ‎ ③能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直，‎ ‎ ④掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），了解斜截式与一次函数的关系，‎ ‎ ⑤能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标，‎ ‎⑥掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．‎ ‎(2)圆与方程 ‎ ①掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程．‎ ‎ ②能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系．‎ ‎ ③能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．‎ ‎ ④初步了解用代数方法处理几何问题的思想．‎ ‎ 一.选择题 ‎1.(2009年陕西理4)过原点且倾斜角为的直线被圆学所截得的弦长为 ‎（A） （B）2 （C） （D）2 ‎ ‎ 答案：D ‎2.(2009年辽宁理4) 若圆且与直线和都相切，圆心在直线，则圆C的方程为 ‎（A）（B）（C）（D）‎ ‎ B 解析：（法一）设圆心为，半径为r，则，∴。‎ ‎（法二）由题意知圆心为直线、分别与直线的交点的中点，‎ 交点分别为（0，0）、（2，－2），∴圆心为（1，－1），半径为。‎ ‎3.(2009年上海理18)过圆的圆心，作直线分别交x、y正半轴于点A、B，被圆分成四部分（如图），若这四部分图形面积满足则直线AB有（ ）‎ ‎（A） 0条 （B） 1条 （C） 2条 （D） 3条 ‎【答案】B【解析】由已知，得：，第II，IV部分的面积是定值，所以，为定值，即为定值，当直线AB绕着圆心C移动时，只可能有一个位置符合题意，即直线AB只有一条，故选B。‎ ‎4.(2008年山东理11)已知圆的方程为．设该圆过点的最长弦和最短弦分别为和 ‎，则四边形的面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 解： 化成标准方程 ，过点的最长弦为 最短弦为 ‎ 二.填空题 ‎1.(2010年江苏9)在平面直角坐标系xOy中，已知圆上有且仅有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1，则实数c的取值范围是______▲_____‎ ‎【答案】（-13，13）[解析]考查圆与直线的位置关系。 圆半径为2，圆心（0，0）到直线12x-5y+c=0的距离小于1，，的取值范围是（-13，13）。‎ ‎2.（2010年全国理15）过点A(4,1)的圆C与直线x-y=0相切于点B（2,1），则圆C的方程为____‎ ‎【答案】 解析设圆的方程为，则根据已知条件得 ‎．‎ ‎3.（2010年山东理16）已知圆C过点（1,0），且圆心在x轴的正半轴上，直线：被圆C所截得的弦长为，则过圆心且与直线垂直的直线的方程为 ．‎ ‎【答案】【解析】由题意，设所求的直线方程为，设圆心坐标为，则由题意知：，解得或-1，又因为圆心在x轴的正半轴上，所以，故圆心坐标为（3，0），因为圆心（3，0）在所求的直线上，所以有，即，故所求的直线方程为。‎ ‎【命题意图】本题考查了直线的方程、点到直线的距离、直线与圆的关系，考查了同学们解决直线与圆问题的能力。‎ ‎4.(2010年广东理12)已知圆心在x轴上，半径为的圆O位于y轴左侧，且与直线x+y=0相切，则圆O的方程是 ‎ ‎【答案】．设圆心为，则，解得．‎ ‎5.(2010年上海理5) 圆的圆心到直线l:的距离 。‎ 解析：考查点到直线距离公式圆心（1,2）到直线距离为 ‎6.(2009年天津理14)若圆与圆（a>0）的公共弦的长为，则___________‎ 解析：由知的半径为，由图可知解之得 ‎7.(2008年广东理11)经过圆的圆心，且与直线垂直的直线方程是 ．‎ A B C x y P O F E ‎【解析】易知点C为，而直线与垂直，我们设待求的直线的方程为，将点C的坐标代入马上就能求出参数的值为，故待求的直线的方程为。‎ ‎8.(2008年江苏9)如图，在平面直角坐标系中，设三角形的顶点分别为，点在线段AO上的一点（异于端点），这里均为非零实数，设直线分别与边交于点，某同学已正确求得直线的方程为，请你完成直线的方程： ( ▲ )。‎ ‎【解析】本小题考查直线方程的求法．画草图，由对称性可猜想填．事实上，由截距式可得直线AB：，直线CP： ，两式相减得，显然直线AB与CP 的交点F 满足此方程，又原点O 也满足此方程，故为所求直线OF 的方程．【答案】‎ x y O ‎· B A C ‎·‎ ‎·‎ D ·‎ ‎9.(2008年上海理15)如图，在平面直角坐标系中，是一个与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别相切于点C、D的定圆所围成区域（含边界），A、B、C、D是该圆的四等分点，若点P(x,y)、P’(x’,y’)满足x≤x’ 且y≥y’，则称P优于P’，如果中的点Q满足：不存在中的其它点优于Q，那么所有这样的点Q组成的集合是劣弧（ ） 　　 A． B． C． D． ‎ ‎【答案】【解析】依题意，在点Q组成的集合中任取一点，过该点分别作 平行于两坐标轴的直线，构成的左上方区域（权且称为“第二象限”）与点Q 组成的集合无公共元素，这样点Q组成的集合才为所求. 检验得：D． 　‎ ‎10.(2007年山东理15)与直线和曲线都相切的半径最小的圆的标准方程是_________.‎ ‎【答案】:. 【分析】：曲线化为，其圆心到直线的距离为 所求的最小圆的圆心在直线上，其到直线的距离为，圆心坐标为标准方程为。‎ 三.解答题 ‎1.(2009年江苏18)（本小题满分16分）在平面直角坐标系中，已知圆和圆.‎ ‎（1）若直线过点，且被圆截得的弦长为，求直线的方程；‎ ‎（2）设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标。‎ ‎[解析] 本小题主要考查直线与圆的方程、点到直线的距离公式，考查数学运算求解能力、综合分析问题的能力。满分16分。‎ ‎(1)设直线的方程为：，即 由垂径定理，得：圆心到直线的距离，‎ 结合点到直线距离公式，得：‎ 化简得：‎ 求直线的方程为：或，即或 ‎(2) 设点P坐标为，直线、的方程分别为：‎ ‎，即：‎ 因为直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，两圆半径相等。由垂径定理，得：：圆心到直线与直线的距离相等。‎ 故有：，‎ 化简得：‎ 关于的方程有无穷多解，有：解之得：点P坐标为或。‎ ‎2.(2008年江苏18)‎ 在平面直角坐标系中，记二次函数（‎ ‎）与两坐标轴有三个交点．经过三个交点的圆记为．‎ ‎（1）求实数b的取值范围；‎ ‎（2）求圆的方程；‎ ‎（3）问圆是否经过定点（其坐标与的无关）？请证明你的结论．‎ 解：本小题主要考查二次函数图象与性质、圆的方程的求法．‎ ‎（Ⅰ）令＝0，得抛物线与轴交点是（0，b）；‎ 令，由题意b≠0 且Δ＞0，解得b＜1 且b≠0．‎ ‎（Ⅱ）设所求圆的一般方程为 令＝0 得这与＝0 是同一个方程，故D＝2，F＝．‎ 令＝0 得＝0，此方程有一个根为b，代入得出E＝―b―1．‎ 所以圆C 的方程为.‎ ‎（Ⅲ）圆C 必过定点，证明如下：‎ 假设圆C过定点 ，将该点的坐标代入圆C的方程，‎ 并变形为 （*）‎ 为使（*）式对所有满足的都成立，必须有，结合（*）式得 ‎，解得 经检验知，点均在圆C上，因此圆C 过定点。‎