高考数学复习 立体几何之空间角 10页

第十二讲 立体几何之空间角 一、基本知识回顾 空间的角主要包括两条异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角。‎ 1） 异面直线所成角 2） 直线与平面所成角 ‎ 若则或 若则 3） 二面角 ‎ (为原斜面面积,为射影面积,为斜面与射影所成锐二面角的平面角)‎ 当为锐角时，‎ 当为锐角时，‎ 二、例题讲解 ‎1.在正三棱柱中，若与所成的角的大小。‎ 解：法一：如图一所示，‎ 设为、的交点，的中点，则所求角是。‎ 设，于是在中， ‎ 即 ‎ 法二：取的中点为坐标原点，如图建立空间直角坐标系的长度单位，‎ 则由 有 ‎2.如图二所示，在四棱锥中，底面是一直角梯形，且与底面成角。‎ ⑴若为垂足，求证：；‎ ⑵求异面直线所成角的大小。‎ 解 ：⑴证明：，‎ 再由,得 ⑵如图三所示设分别为的中点，连结。‎ 为平行四边形，‎ 分别为的中点，则或它的补角就是异面直线所成角，而。‎ 在中，由余弦定理可得 所以，异面直线所成角的大小为。‎ 法二：以所在的直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，‎ 则，‎ ‎，‎ 所以，异面直线所成角的大小为。‎ ‎3.已知四棱锥中，底面是矩形，分别是的中点。‎ ⑴求证：；‎ ⑵求与平面所成角的大小；‎ ⑶求二面角的大小。‎ 解析：法一：⑴如图四所示，‎ 取的中点，连接 又因为 所以四边形是平行四边形，‎ ‎。‎ 又，‎ ‎。‎ ⑵连结所成的角。‎ 在。‎ 即所成角的大小为。‎ ⑶作。‎ 由三垂线定理，得是二面角的平面角。‎ 由 所以，二面角的大小为。‎ 法二：以为原点，如图五所示，建立直角坐标系。‎ 则。‎ ⑴取的中点，连结 又，‎ ‎。‎ ⑵由题意可得，设平面的一个法向量是。‎ 即所成角的大小为。‎ ⑶设平面的一个法向量为 则 由⑵可得平面的一个法向量是。‎ ‎。‎ 所以，二面角的大小为。‎ ‎4.（07福建）如图六所示正三棱柱的所有棱长都为2，‎ ⑴求证：‎ ⑵求二面角的大小。‎ 解析：⑴取中点，连结。‎ 因为是正三角形，‎ 因为在正三棱柱，平面 ‎。‎ 连结 ‎ 在正方形中，O，D分别为的中点。‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 在正方形中， ‎ ‎ ‎ 取为原点，的方向为轴，轴，轴建立空间直角坐标系。‎ 则 ⑵ 设平面的法向量为 ‎。‎ 令为平面的一个法向量。‎ 由⑴知，‎ 所以，二面角的大小。‎ 直接法 设与交于G，在平面中，作于F，连结AF 由（1）得 是二面角的平面角。‎ 在中由等面积可求得 又 所以，二面角的大小为。‎