高考数学总复习基础知识与典型例题09立体几何part03 5页

数学基础知识与典型例题 （第九章直线、平面、简单的几何体） 引 言 立体几何的学习，主要把握对图形的识别及变换（分割，补形，旋转等），因此， 既要熟记基本图形中元素的位置关系和度量关系，也要能在复杂背景图形中“剥出”基 本图形. 平 面 及 空 间 直 线 1.平面的基本性质: (1)公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内． 公理 2：如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条直线. 公理 3：经过不在同一条直线上的三点有且只有一个平面（不共线的三点确定一平面）． 推论 1：经过一条直线和这条直线外的一点有且只有一个平面. 推论 2：经过两条相交直线有且只有一个平面． 推论 3；经过两条平行直线有且只有一个平面． 注：⑴水平放置的平面图形的直观图的画法——用斜二测．．．．画．法．．其规则是： ①在已知图形取水平平面，取互相垂直的轴 ,Ox Oy ，再取 0z 轴，使 90xOz   ，且 90yOz   ； ②画直观图时，把它们画成对应的轴 , ,O x O y O z      ，使 45x O y     (或135 )， 90x O z     , x Oy  所确定的平面表示水平平面； ③已知图形中平行于 x 轴、y 轴或 z 轴的线段,在直观图中分别画成平行于 x 轴、y 轴或 z 轴的线段； ④已知图形中平行于 x 轴和 z 轴的线段,在直观图中保持长度不变;平行于 y 轴的线段,长度为原来的一半． ⑵运用平面的三个公理及推论，能证明共点、共线、共面一类问题。 2. 空间两条直线位置关系有：相交、平行、异面. ⑴相交直线 ─── 共面有且只有一个公共点； ⑵平行直线 ─── 共面没有公共点； ①公理 4：平行于同一条直线的两条直线互相平行; ②等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等． 推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等． ⑶异面直线 ─── 不同在任．一平面内. 平 面 及 空 间 直 线 (Ⅰ)两条异面直线所成的角(或夹角)：对于两条异面直线 ,a b ，经过空间任一点 O 作直线 a ∥ a , b ∥ b ，则 a 与 b 所成的锐角(或直角)叫做异面直线 a 与 b 所成的角(或夹角)．若两条 异面直线所成的角是直角，则称这两条异面直线互相垂直.异面直线所成的角的范围是 0 ,90   ． (Ⅱ)两条异面直线的距离：和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线. 两条异 面直线的公垂线段的长度，叫做两条异面直线的距离． 注：①如图:设异面直线 a，b 所成角为则 EF2=m2+n2+d2±2mncos或 AB EF d AB      ②证明两条直线是异面直线一般用反证法。 例 1.“直线 a 经过平面 外一点 P”用符号表示为 ( ) (A) , //P a a  (B) a P  (C) ,P A P   (D) ,P a a   例 2. 对于空间中的三条直线，有以下四个条件：①三条直线两两相交；②三条直线两 两平行；③三条直线共点；④两直线相交，第三条平行于其中一条与另个一条相交.其 中使这三条直线共面的充分条件有（ ）个 (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 例 3. 如图 ABCD—A1B1C1D1 是正方体，O 是 B1D1 的中点，直线 A1C 交平面 AB1D1 于点 M，则下列结论错误的是( ) (A)A、M、O 三点共线 (B)M、O、A1、A 四点共面 (C)A、O、C、M 四点共面 (D)B、B1、O、M 四点共面 例 4. 直线 1 2l l与 互相平行的一个充要条件是( ) (A) 1 2l l、 都垂直于同一平面 (B) l1 平行 l2 所在的平面 (C) 1 2l l、 与同一平面所成的角相等 (D) l1，l2 都平行于同一平面 例 5. a,b 为两异面直线，下列结论正确的是 ( ) (A)过不在 a,b 上的任何一点，可作一个平面与 a,b 都平行 (B)过不在 a,b 上的任一点，可作一直线与 a,b 都相交 (C)过不在 a,b 上任一点，可作一直线与 a,b 都平行 (D)过 a 可以并且只可以作一个平面与 b 平行 例 6.如图，正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，E、F 分别是 AB、CC1 的中点，则异面直线 A1C 与 EF 所成 角的余弦值为( ) (A) 3 3 (B) 3 2 (C) 3 1 (D) 6 1 例 7. 已知如右图，在  ,,, 中选择适当的符号填入各个空格： AB β，A AB，A β， CD，A ，BD β，D 。 例 8.已知正 ABC 的边长为 32 ,则到三个顶点的距离都为 1 的平面有______ 个. 例 9. 已知异面直线 a 与 b 所成的角是 500，空间有一定点 P，则过点 P 与 a，b 所成的角 都是 700 的直线有________条. 平 面 及 空 间 直 线 例 10. 一副三角板 ABC 和 ABD 如图摆成直二面角，若 BC＝a，求 AB 和 CD 的夹角的 余弦值。 直 线 和 平 面 平 行 与 平 面 和 平 面 平 行 1.直线和平面的位置关系有：直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行. 注:直线与平面相交和直线与平面平行统称 为直线在平面外． (1) 直线在平面内——有无数个公共点; (2) 直线与平面相交——有且只有一个公共点; (3) 直线与平面平行——没有公共点． ①直线和平面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线与平面内的一条直线平 行,那么这条直线和这个平面平行. 即 , //// a b aa b        ②直线和平面平行的性质定理:如果一条直线与平面平行,经过这条直线的平面和这个 平面相交,那么这条直线和交线平行. 即 //l l mm        2.两个平面的位置关系：平行、相交（垂直是相交的一种特殊情况） (1)两个平面相交———有一条公共直线． (2)两平面平行———没有公共点 (Ⅰ)两个平面平行的判定定理: 如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面， 那么这两个平面平行. 即 // // a b a b P a b                推论：①如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那 么这两个平面平行. 即 , , , , // , // a b a b A m n m n B a m b n                   ②垂直于同一条直线的两个平面互相平行；平行于同一平面的两个平面平行. 即 ,l l       ; //         (Ⅱ)两个平面平行的性质定理：如果两个平面平行同时和第三个平面相交，那么它们交 线平行. 即 //, a ba b             注:平行问题常用平行转化的思想: 直 线 和 平 面 平 行 与 平 面 和 平 面 平 行 例 11.若直线 a⊥b，且 a∥平面，则直线 b 与平面的位置关系是( ) (A)b   (B)b∥ (C)b  或 b∥ (D)以上都不对 例 12. 若直线 l 与平面的一条平行线平行，则 l 和的位置关系是 ( ) (A) l  (B) //l  (C) //l l  或 (D)l 和 相交 例 13.直线与平面平行的充要条件是( ) (A)直线与平面内的一条直线平行 (B)直线与平面内的两条直线不相交 (C)直线与平面内的任一直线都不相交 (D)直线与平行内的无数条直线平行 例 14. “平面 内不共线的三点到平面  的距离相等”是“ ∥  ”的（ ） (A)充要条件(B)充分不必要条件(C)必要不充分条件(D)既不充分也不必要条件 例 15. 夹在两平行平面之间的两条线段的长度相等的充要条件是( )。 (A)两条线段同时与平面垂直 (B)两条线段互相平行 (C)两条线段相交 (D)两条线段与平面所成的角相等 例 16. 经过平面外一点可以作 个平面平行于这个平面； 可以作 条直线平行于这个平面. 例 17. 如图，直线 AC、DF 被三个平行平面、、γ 所截，已知 AB=2，BC=3，EF=4，则 DF= 。 例 18. 给出下列四组命题： p q ① 直线 l∥平面 l 上两点到 的距离相等 ② 直线 l⊥平面 l 垂直于 内无数条直线 ③ 平面 ∥平面  直线 l ，且 //l ④ 平面 内任一直线平行于平面   // 满足 p 是 q 的充分且必要条件的序号是________． 例 19. 如图所示，△ABC 是正三角形，AE 和 CD 都垂直于平面 ABC，且 AE＝AB＝2a， CD＝a，F 是 BE 的中点，求证：(1) DF//平面 ABC；(2) AF⊥BD. 例 20. 在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，E、F、G、H 分别为棱 BC、CC1、C1D1、AA1 的中点，O 为 AC 与 BD 的交点（如图）求证： ⑴EG∥平面 BB1D1D；⑵平面 BDF∥平面 B1D1H；⑶A1O⊥平面 BDF；⑷平面 BDF⊥平面 AA1C. 直 线 和 平 面 垂 直 1.直线和平面垂直: (1)定义:如果一条直线 l 和一个平面 内的任意一条直线都垂直,那么就说直线l 和平 面 互相垂直.记作:l  (2)判定定理:如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面. 即 , , , m n m n A ll m l n            (3)性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．即 a a bb        2. 三垂线定理: (1)斜线在平面内的射影：从斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过斜足和垂足的直 线叫做斜线在这个平面内的射影．注：垂线段比任何一条斜线段短． ⑵三垂线定理:在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么 它也和这条斜线垂直. 即 , a PA a OPa OA OA             三垂线定理的逆定理:在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线垂直，那么 它也和这条斜线的射影垂直.即 , , a PA A a OA a OP O OP               垂足为 3.直线和平面所成的角：平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的角，叫做这条 直线和这个平面所成的角． 注:①最小角定理：斜线和平面所成的角，是这条斜线和这个平面内任一条直线所成的 角中最小的角．即 21 coscoscos   （ 1 为最小角，如图）其中1 为斜线 OA 与平面 所成角，即为∠OAB，2 为 OA 射影 AB 与内直线 AC 所成的角，为∠OAC.显然，>1，>2 ②一条直线垂直于平面，就说它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或在平面内， 就说它们所成的角是 0 的角，可见，直线和平面所成的角的范围是 0 ,90     ． ③直线与平面所成的角：关键是找直线在平面内的射影. ④三垂线定理及其逆定理在证明异面直线垂直，确定二面角的平面角，确定点到直线的 垂线等非常有用. ⑤垂直转化: 直 线 和 平 面 垂 直 例 21.等腰直角三角形 ABC 沿斜边上的高 AD 折成直二面角 B-AD-C，则 BD 与平面 ABC 所成角的正切 值为( ) (A) 2 (B) 2 2 (C)1 (D) 3 3 例 22. 命题:（1）一个平面的两条斜线段中，较长的斜线段有较长的射影;（2）两条异面直线在同一 平面内的射影是两条相交直线;（3）两条平行直线在同一平面内的射影是两条平行直线;（4）一个锐 角在一个平面内的射影一定是锐角.以上命题正确的有（ ） (A)0 个 (B)1 个 (C)2 个 (D)3 个 例 23. 平面内有一四边形 ABCD，P 为外一点，P 点到四边形 ABCD 各边的距离相等，则这个四边 形（ ） (A)必有外接圆 (B)必有内切圆 (C)既有内切圆又有外接圆 (D)必是正方形 例 24. 如图，PA⊥⊙O 所在平面，AB 为底面圆的直径，C 为下底面圆周上一点，∠CAB=，∠PBA=θ， ∠CPB=，则（ ） (A)cosθ·sin=sin (B)sinθ·sin=sin(C)cosθ·cos=cos (D)cosθ·sin=cos 例 25. 如图，PA⊥平面 ABC，△ABC 中，∠ACB=90o.则图中 Rt△的个数为（ ） （A）4 （B）3 （C）2 （D）1 例 26.下列四个命题: ① l∥m,m∥n,n⊥  l⊥ ； ② l∥m,m⊥ ,n⊥  l∥n ③l∥m,l⊥ ,  m⊥ ； ④ l∥ ,m⊥  l⊥m 其中错误命题的个数是（ ） (A)0 个 (B)1 个 (C)2 个 (D)3 个 例 27. 下列命题中正确的是 （ ） (A)过平面外一点作此平面的垂面是唯一的 (B)过直线外一点作此直线的垂线是唯一的 (C)过平面的一条斜线作此平面的垂面是唯一的 (D)过直线外一点作此直线的平行平面是唯一的 例 28.将正方形 ABCD 沿着对角线 BD 折成一个四面体 ABCD,在下列给出的四个角度中， ①30° ②60° ③90° ④120°，不可能是 AC 与平面 BCD 所成的角是 ．（把你认为正确的 序号都填上） 例 29. 如图，  BAD 90 的等腰直角三角形 ABD 与正三角形 CBD 所在平面互相垂直，E 为 BC 的中点，则 AE 与平面 BCD 所成角的大小为______. 例 30. 空间四边形 PABC 中，PA、PB、PC 两两相互垂直,∠PBA＝45°,∠PBC＝60°，M 为 AB 的中 点.(1)求 BC 与平面 PAB 所成的角； (2)求证：AB⊥平面 PMC. 二 面 角 及 平 面 与 平 面 垂 直 1.二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形,叫做二面角.如图二面角 l ─ ─ 二面角的平面角：以二面角 l ─ ─ 的棱l 上任意一点 O 为端点，在两个半平面 、 内分别作棱的垂线 OA、OB，这两条射线 OA、OB 所成的角∠AOB 叫做二面角的平面角． 直二面角：平面角是直角的二面角叫做直二面角． 2.两个平面互相垂直：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个 平面互相垂直．即 l AOB    二面角 的平面角 为90   ⑴两个平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直． 即 a a         ⑵两个平面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的 直线垂直于另一个平面．即 , , l aa a l              注:找二面角的平面角的方法主要有： ①定义法：直接在二面角的棱上取一点(特殊点)，分别在两个半平面中作棱的垂线，得 出平面角，用定义法时，要认真观察图形的特性． ②三垂线法：已知二面角其中一个面内一点到另一个面的垂线，用三垂线定理或其逆定理作出平面角． ③垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个半平面的交线 所成的角即为平面角，由此可知，二面角的平面角所在的平面与棱垂直． ④射影法：利用面积射影公式: cos S S   ，其中 为平面角的大小， S 是射影的面积. 此方法不必在图中画出平面角来． cos 底 侧 SS  . 例 31.若平面、互相垂直，则( ) (A)中的任意一条直线垂直于 (B)中有且只有一条直线垂直于 (C)平行于的直线垂直于 (D)内垂直于交线的直线必垂直于 例 32. 如图，平面⊥平面，∩=l，A∈，B∈，且 AB 与 l 所成的角为 60 ，A、B 到 l 的距离分别为 1、 3 ，则线段 AB 的长是( ) (A)4 (B) 3 32 (C) 3 34 (D) 3 例 33. 如图，正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，E 是 BC 的中点，连结 D1E，则二面角 1 1D B E C  的正切值等于( ) (A) 5 52 (B) 2 5 (C) 52 (D) 3 5 二 面 角 及 平 面 与 平 面 垂 直 例 34. 如图所示，四边形 BCDE 是正方形，AB⊥平面 BCDE,则图中互相垂直的平面有( ) (A)4 对 (B)5 对 (C)7 对 (D) 8 对 例 35. 一间民房的屋顶有如图三种不同的盖法：①单向倾斜；②双向倾斜；③四向倾斜， 记三种盖法屋顶面积分别为 P1、P2、P3.若屋顶斜面与水平面所成的角都是,则( ) (A)P3＞P2＞P1 (B)P3＞P2=P1 (C)P3=P2＞P1 (D)P3=P2=P1 例 36. 已知平面、、γ，直线 l、m，且 lmml    ,,, ，给出下 列四个结论：①   ；② l ；③ m ；④   .则其中正确的个数是( ) (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 例 37. 将边长为 a 的正六边形 ABCDEF 沿 AD 折成二面角 E—AD—C，使 CE=a,则二面 角 E—AD—C 的大小为_________. 例 38. 将椭圆 149 22  yx 所在平面沿 xy 3 3 折成 60 0 的二面角，则椭圆两个焦点 F1，F2 的距离 21FF =______. 例 39. 如图，矩形 ABEF 和正方形 ABCD 有公共边 AB，它们所在平面成 600 的二面角， AB=CB=2a,BE=a, 则 FC= 。 例 40. 如图,四棱锥 P—ABCD 的底面 ABCD 为正方形，PD⊥底面 ABCD，PD=AD， 求证：（1）平面 PAC⊥平面 PBD；（2）求 PC 与平面 PBD 所成的角； （3）在线段 PB 上是否存在一点 E，使得 PC⊥平面 ADE？若存在，请加以证明，并求 此时二面角 A—ED—B 的大小；若不存在，请说明理由. 简 单 几 何 体 1.棱柱 (1)棱柱的定义：如果一个多面体有两个面互相平行,而其余每相邻两个面的交线互相平 行,这样的多面体叫做棱柱． (2)棱柱的分类： 正 棱 柱 直 棱 柱 其 他 棱 柱棱 柱 斜 棱 柱 ì ìï ïï ïïï íïï ïí ïïîïïïïïî 简 单 几 何 体 (3)棱柱的主要性质： ①侧棱都相等，侧面是平行四边形;②两个底面与平行于底面的 截面是对应边互相平行的全等多边形;③过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形. (4)平行六面体与长方体: ①概念：底面是平行四边形的四棱柱叫平行六面体;侧棱与底面垂直的平行六面体叫直 平行六面体;底面是矩形的直平行六面体叫长方体．棱长都相等的长方体叫正方体． ②性质定理： (Ⅰ)平行六面体的对角线交于一点，并且交点处互相平分. (Ⅱ)长方体的一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和. 即设长方体的长、宽、高分别为 a 、b 、 c ，对角线长为l ，则 2 2 2 2l a b c   ． 推论一：长方体一条对角线与同一个顶点的三条棱所成的角为  ,, ,则 1coscoscos 222   . 推论二：长方体一条对角线与同一个顶点的三各侧面所成的角为  ,, ,则 2coscoscos 222   . (5)棱柱的侧面积和体积公式: ①直棱柱的侧面积和体积公式:如果直棱柱的底面周长是 C，高是 h ，那么它的侧面积 是 S 直棱柱=Ch;如果直棱柱的底面面积是 S，高是 h ，那么它的体积是 v 直棱柱=Sh． ②斜棱柱的侧面积和体积公式:如果斜棱柱的直截面(垂直于侧棱并与每条侧棱都相交的 截面)的周长为 C，侧棱长为l ，那么斜棱柱的侧面积是 S 斜棱柱侧=Cl;如果斜棱柱的直截面 的面积为 S，侧棱长为 z，那么它的体积是 V 斜棱柱=Sz． 注: 四棱柱 平行六面体 直平行六面体 长方体 正四棱柱 正方体底面是 平行四边形 侧棱垂直 底面 底面是 矩形 底面是 正方形 侧面与 底面边长相等 2.棱锥 (1)棱锥的概念和性质: ①棱锥:如果一个多面体的一个面是多边形,其余是有一个公共顶点的三角形,那么这个多面体叫做棱锥. ②棱锥的分类：棱锥的底面可以是三角形、四边形、五边形……，因此我们把这样的棱 锥分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥……. ③性质定理：如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么截面和底面相似，并且它们面积 的比等于截得的棱锥的高和已知棱锥的高的平方比． (2)正棱锥的概念和性质: ①正棱锥：如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心,这 样的棱锥叫做正棱锥． ②正棱锥的性质:(ⅰ)各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各侧面底边上的高 叫棱锥的斜高，正棱锥的斜高相等．(ⅱ)正棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成 一个直角三角形; 正棱锥的高、侧棱和侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形． 3)棱锥的面积和体积: ①棱锥的全面积(S 全)等于底面积(S 底)和侧面积(S 侧)之和，即 S 全= S 底+ S 侧．若 C 为正棱锥的底面周长， h 为斜高，则 S 侧= 1 2 Ch ;②棱锥的体积等于 它的底面积(S 底)与高( h )的乘积的 1 3 ，即 V 棱锥= 1 3 Sh .