2008高考湖北数学文科试题含详细解答全word版080628 10页

绝密★启用前 ‎2008年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）‎ 数 学（文史类）‎ 本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟.‎ ‎★祝考试顺利★‎ 注间事项：‎ 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置 2. 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试题卷上无效.‎ ‎3.填空题和解答题用0.5毫米的黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效.‎ ‎4.考试结束，请将本试题卷和答题卡一并上交.‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.设 A. B. C. D.‎ 解：，，选C ‎2. 的展开式中常数项是 ‎ A.210 B. C. D.-105‎ 解：，令得 ‎ 所以常数项为 ‎3.若集合 A. “”是“”的充分条件但不是必要条件 B. “”是“”的必要条件但不是充分条件 C. “”是“”的充要条件 D. “”既不是“”的充分条件也不是“”的必要条件 解：反之不然故选A ‎4.用与球心距离为1的平面去截面面积为，则球的体积为 ‎ A. B. C. D. ‎ 解：截面面积为截面圆半径为1，又与球心距离为球的半径是，‎ 所以根据球的体积公式知，故D为正确答案． ‎ ‎5.在平面直角坐标系中，满足不等式组的点的集合用阴影表示为下列图中的 解：在坐标系里画出图象，C为正确答案。也可取点坐标检验判断。‎ ‎6.已知在R上是奇函数，且 ‎ A. B. C. D.‎ 解：由题设 ‎7.将函数的图象F向右平移个单位长度得到图象F′，若F′的一条对称轴是直线则的一个可能取值是 ‎ A. B. C. D. ‎ 解： 平移得到图象的解析式为,‎ 对称轴方程，‎ 把带入得，令，‎ ‎8. 函数的定义域为 ‎ A. B. ‎ ‎ C. D. ‎ 解：函数的定义域必须满足条件：‎ ‎9.从5名男生和5名女生中选3人组队参加某集体项目的比赛，其中至少有一名女生入选的组队方案数为 A.100 B‎.110 C.120 D.180‎ 解：10人中任选3人的组队方案有，没有女生的方案有，‎ 所以符合要求的组队方案数为110种。‎ ‎10.如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道I绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P点第三次变轨进入以F为圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用和分别表示椭圆轨道I和Ⅱ的焦距，用和分别表示椭圆轨道I和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子：‎ ‎①②③④其中正确式子的序号是 ‎ ‎ A.①③ B.②③ C.①④ D.②④‎ 解：由焦点到顶点的距离可知②正确，由椭圆的离心率知③正确，故应选Ｂ．‎ 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡相应位置上.‎ ‎11.一个公司共有1 000名员工，下设一些部门，要采用分层抽样方法从全体员工中抽取一个容量为50的样本，已知某部门有200名员工，那么从该部门抽取的工人数是 .‎ 解：由分层抽样方法可知从该部门抽取的工人数满足 ‎12.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，已知则A＝ .‎ 解：由余弦定理可得,‎ ‎13.方程的实数解的个数为 .‎ 解：画出与的图象有两个交点，故方程的实数解的个数为2个。‎ ‎14.明天上午李明要参加奥运志愿者活动，为了准时起床，他用甲、乙两个闹钟叫醒自己，假设甲闹钟准时响的概率是0.80，乙闹钟准时响的概率是0.90，则两个闹钟至少有一准时响的概率是 .‎ 解：两个闹钟都不准时响的概率是，所以至少有一准时响的概率是 ‎15.圆的圆心坐标为 ， 和圆C关于直线 对称的圆C′的普通方程是 .‎ 解：由题设，圆心坐标；关于直线对称的圆C′圆心为，半径相等，所以方程是 三、解答题：本大题共6分小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎16.（本小题满12分）‎ ‎ 已知函数 ‎ （Ⅰ）将函数化简成的形式，并指出的周期；‎ ‎ （Ⅱ）求函数上的最大值和最小值 解：(Ⅰ).‎ ‎ 故的周期为｛k∈Z且k≠0｝.‎ ‎(Ⅱ)由π≤x≤π，得.因为f(x)＝在[]上是减函数，在[]上是增函数.‎ 故当x=时，f(x)有最小值－；而f(π)=－2，f(π)＝－＜－2，‎ 所以当x=π时，f(x)有最大值－2.‎ ‎17.（本小题满分12分）‎ ‎ 已知函数（m为常数，且m>0）有极大值9.‎ ‎ （Ⅰ）求m的值；‎ ‎ （Ⅱ）若斜率为-5的直线是曲线的切线，求此直线方程.‎ 解：(Ⅰ) f’(x)＝3x2+2mx－m2=(x+m)(3x－m)=0,则x=－m或x=m,‎ 当x变化时，f’(x)与f(x)的变化情况如下表：‎ x ‎(－∞,－m)‎ ‎－m ‎(－m,)‎ ‎(,+∞)‎ f’(x)‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎+‎ f (x)‎ 极大值 极小值 从而可知，当x=－m时，函数f(x)取得极大值9，‎ 即f(－m)＝－m3+m3+m3+1=9,∴m＝2.‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知，f(x)=x3+2x2－4x+1,‎ 依题意知f’(x)＝3x2＋4x－4＝－5，∴x＝－1或x＝－.‎ 又f(－1)＝6，f(－)＝，‎ 所以切线方程为y－6＝－5(x＋1),或y－＝－5(x＋)，‎ 即5x＋y－1＝0，或135x＋27y－23＝0.‎ ‎18.（本小题满分12分）‎ ‎ 如图，在直三棱柱中，平面侧面 ‎ （Ⅰ）求证： ‎ ‎ （Ⅱ）若，直线AC与平面所成的角为，二面角 解：(Ⅰ)证明：如右图，过点A在平面A1ABB1内作AD⊥A1B于D，则 由平面A1BC⊥侧面A1ABB1,且平面A1BC∩侧面A1ABB1＝A1B，‎ 得AD⊥平面 A1BC.又BC平面A1BC 所以AD⊥BC.‎ 因为三棱柱ABC－A1B‎1C1是直三棱柱,‎ 则AA1⊥底面ABC,所以AA1⊥BC.‎ 又AA1∩AD=A,从而BC⊥侧面A1ABB1,‎ 又AB侧面A1ABB1，‎ 故AB⊥BC.‎ ‎ (Ⅱ)证法1：连接CD,则由(Ⅰ)知∠ACD就是直线AC与平面A1BC所成的角，∠ABA1就是二面角A1－BC－A的颊角，即∠ACD＝θ，∠ABA1=j.‎ ‎ 于是在RtΔADC中，sinθ=,在RtΔADA1中，sin∠AA1D＝,‎ ‎ ∴sinθ=sin∠AA1D,由于θ与∠AA1D都是锐角，所以θ＝∠AA1D.‎ ‎ 又由RtΔA1AB知，∠AA1D＋j＝∠AA1B＋j＝，故θ＋j＝.‎ ‎ 证法2：由(Ⅰ)知，以点B为坐标原点，以BC、BA、BB1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.‎ 设AB=c（c＜a＝，则B(0,0,0)，A(0,c,0)，C(),‎ A1(0,c,a)，于是，＝（0，c,a）,‎ ,=(0,c,a) 设平面A1BC的一个法向量为n=(x,y,z),‎ 则由 可取n＝（0，－a，c），于是 n·=ac＞0，与n的夹角b为锐角,则b与q互为余角. sinq=cosb=,‎ cosj=‎ 所以sinq=cosj=sin(),又0＜q，j＜，所以q+j=.‎ ‎19.（本不题满分12分）‎ ‎ 如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为‎18000cm2,四周空白的宽度为‎10cm，两栏之间的中缝空白的宽度为‎5cm，怎样确定广告的高与宽的尺寸（单位：cm），能使矩形广告面积最小？‎ 解：‎ 解法1：设矩形栏目的高为a cm，宽为b cm，则ab=9000. ①‎ 广告的高为a+20，宽为2b+25，其中a＞0，b＞0.‎ 广告的面积S＝(a+20)(2b+25)‎ ‎＝2ab+40b+‎25a+500＝18500+‎25a+40b ‎≥18500+2=18500+‎ 当且仅当‎25a＝40b时等号成立，此时b=,代入①式得a=120，从而b=75.‎ 即当a=120，b=75时,S取得最小值24500.‎ 故广告的高为‎140 cm,宽为‎175 cm时，可使广告的面积最小.‎ 解法2：设广告的高为宽分别为x cm，y cm，则每栏的高和宽分别为x－20，其中x＞20，y＞25‎ 两栏面积之和为2(x－20),由此得y=‎ 广告的面积S=xy=x()＝x,‎ 整理得S=‎ 因为x－20＞0，所以S≥2‎ 当且仅当时等号成立，‎ 此时有(x－20)2＝14400(x＞20)，解得x=140，代入y=+25,得y＝175，‎ 即当x=140，y＝175时，S取得最小值24500，‎ 故当广告的高为‎140 cm，宽为‎175 cm时，可使广告的面积最小.‎ ‎20（本小题满分13分）‎ ‎ 已知双曲线的两个焦点为 ‎ 的曲线C上.‎ ‎ （Ⅰ）求双曲线C的方程；‎ ‎ （Ⅱ）记O为坐标原点，过点Q (0,2)的直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，若△OEF的面积为求直线l的方程 解：(Ⅰ)解法1：依题意，由a2+b2=4，得双曲线方程为（0＜a2＜4），‎ 将点（3，）代入上式，得.解得a2=18（舍去）或a2＝2，‎ 故所求双曲线方程为 解法2：依题意得，双曲线的半焦距c=2.‎ ‎2a‎=|PF1|－|PF2|=‎ ‎∴a2=2，b2=c2－a2=2.‎ ‎∴双曲线C的方程为 ‎(Ⅱ)解法1：依题意，可设直线l的方程为y=kx+2，代入双曲线C的方程并整理，‎ 得(1－k2)x2－4kx－6=0.‎ ‎∵直线I与双曲线C相交于不同的两点E、F,‎ ‎∴‎ ‎∴k∈(－)∪(1,).‎ 设E(x1,y1),F(x2,y2)，则由①式得x1+x2=于是 ‎|EF|=‎ ‎=‎ 而原点O到直线l的距离d＝,‎ ‎∴SΔOEF=‎ 若SΔOEF＝，即解得k=±,‎ 满足②.故满足条件的直线l有两条，其方程分别为y=和 解法2：依题意，可设直线l的方程为y=kx+2,代入双曲线C的方程并整理，‎ 得(1－k2)x2－4kx－6＝0. ①‎ ‎∵直线l与比曲线C相交于不同的两点E、F，‎ ‎∴‎ ‎∴k∈(－)∪(1,). ②‎ 设E(x1,y1),F(x2,y2)，则由①式得 ‎|x1－x2|＝. ③‎ 当E、F在同一支上时（如图1所示），‎ SΔOEF＝|SΔOQF－SΔOQE|=；‎ 当E、F在不同支上时（如图2所示），‎ SΔOEF＝SΔOQF＋SΔOQE＝‎ 综上得SΔOEF＝，于是 由|OQ|＝2及③式，得SΔOEF＝.‎ 若SΔOEF＝2，即,解得k=±,满足②.‎ 故满足条件的直线l有两条，方程分别为y=和y=‎ ‎21.（本小题满分14分）‎ ‎ 已知数列,其中为实数，为正整数.‎ ‎ （Ⅰ）证明：当 ‎（Ⅱ）设为数列的前n项和，是否存在实数，使得对任意正整数n，都有 若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由.‎ 解： (Ⅰ)证明：假设存在一个实数l，使｛an｝是等比数列，则有,即 ‎（）2=2矛盾.‎ 所以｛an｝不是等比数列.‎ ‎（Ⅱ）证明：∵‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 又由上式知 故当数列｛bn｝是以为首项，为公比的等比数列.‎ ‎（Ⅲ）当由（Ⅱ）得于是 ‎ ‎ ‎ 当时，，从而上式仍成立.‎ ‎ 要使对任意正整数n , 都有 ‎ 即 ‎ 令 ‎ 当n为正奇数时，当n为正偶数时，‎ ‎ ‎ ‎ 于是可得 ‎ 综上所述，存在实数，使得对任意正整数，都有 ‎ 的取值范围为