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- 2021-05-14 发布
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2016年全国高考理科数学试题全国卷2
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1、已知z=(m+3)+(m–1)i在复平面内对应的点在第四象限,则实数m的取值范围是( )
A.(–3,1) B.(–1,3) C.(1,+∞) D.(–∞,–3)
2、已知集合A={1,2,3},B={x|(x+1)(x–2)<0,x∈Z},则A∪B=( )
A.{1} B.{1,2} C.{0,1,2,3} D.{–1,0,1,2,3}
3、已知向量a=(1,m),b=(3,–2),且(a+b)⊥b,则m=( )
A.–8 B.–6 C.6 D.8
4、圆x2+y2–2x–8y+13=0的圆心到直线ax+y–1=0的距离为1,则a=( )
A.– B.– C. D.2
5、如下左1图,小明从街道的E处出发,先到F处与小红会合,再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )
A.24 B.18 C.12 D.9
6、上左2图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为( )
A.20π B.24π C.28π D.32π
7、若将函数y=2sin2x的图像向左平移个单位长度,则平移后图象的对称轴为( )
A.x=–(k∈Z) B.x=+(k∈Z) C.x=–(k∈Z) D.x=+(k∈Z)
8、中国古代有计算多项式值的秦九韶算法,上左3图是实现该算法的程序框图。执行该程序框图,若输入的x=2,n=2,依次输入的a为2,2,5,则输出的s=( )
A.7 B.12 C.17 D.34
9、若cos(–α)=,则sin2α= ( )
A. B. C.– D.–
10、从区间[0,1]随机抽取2n个数x1,x2,…,xn,y1,y2,…,yn,构成n个数对(x1,y1),(x2,y2
),…,(xn,yn),其中两数的平方和小于1的数对共有m个,则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( )
A. B. C. D.
11、已知F1、F2是双曲线E:–=1的左,右焦点,点M在E上,MF1与x轴垂直,sin∠MF2F1=,则E的离心率为( )
A. B. C. D.2
12、已知函数f(x)(x∈R)满足f(–x)=2–f(x),若函数y=与y=f(x)图像的交点为(x1,y1),(x2,y2),...(xm,ym),则( )
A.0 B.m C.2m D.4m
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分
13、△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cosA=,cosC=,a=1,则b=___________.
14、α、β是两个平面,m,n是两条直线,有下列四个命题:
(1)如果m⊥n,m⊥α,n∥β,那么α⊥β。 (2)如果m⊥α,n∥α,那么m⊥n。
(3)如果α∥β,m⊂α,那么m∥β。
(4)如果m∥n,α∥β,那么m与α所成的角和n与β所成的角相等。
其中正确的命题有____________________(填写所有正确命题的编号)。
15、有三张卡片,分别写有1和2,1和3,2和3.甲,乙,丙三人各取走一张卡片,甲看了乙的卡片后说:“我与乙的卡片上相同的数字不是2”,乙看了丙的卡片后说:“我与丙的卡片上相同的数字不是1”,丙说:“我的卡片上的数字之和不是5”,则甲的卡片上的数字是____________.
16、若直线y=kx+b是曲线y=lnx+2的切线,也是曲线y=ln(x+1)的切线,则b=__________.
三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
17、(本题满分12分)Sn为等差数列{an}的前n项和,且a1=1,S7=28。记bn=[lgan],其中[x]表示不超过x的最大整数,如[0.9]=0,[lg99]=1.
(1)求b1,b11,b101;
(2)求数列{bn}的前1 000项和.
18、(本题满分12分)某险种的基本保费为a(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下:
上年度出险次数
0
1
2
3
4
≥5
保费
0.85a
a
1.25a
1.5a
1.75a
2a
设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下:[]
一年内出险次数
0
1
2
3
4
≥5
概率
0.30
0.15
0.20
0.20
0.10
0. 05
(1)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率;
(2)若一续保人本年度的保费高于基本保费,求其保费比基本保费高出60%的概率;
(3)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.
19、(本小题满分12分)如图,菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O,AB=5,AC=6,点E、F分别在AD、CD上,AE=CF=,EF交BD于点H.将△DEF沿EF折到△D'EF位置,OD'=.
(1)证明:D'H⊥平面ABCD;
(2)求二面角B–D'A–C的正弦值.
20、(本小题满分12分)已知椭圆E:+=1的焦点在X轴上,A是E的左顶点,斜率为k(k>0)的直线交E于A,M两点,点N在E上,MA⊥NA.
(1)当t=4,|AM|=|AN|时,求△AMN的面积;
(2)当2|AM|=|AN|时,求k的取值范围.
21、(本小题满分12分)(1)讨论函数f(x)=ex的单调性,并证明当x>0时,(x–2)ex+x+2>0;
(2)证明:当a∈[0,1)时,函数g(x)=(x>0)有最小值。设g(x)的最小值为h(a),求函数h(a)的值域.
请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号
22、(本小题满分10分)[选修4–1:几何证明选讲]如图,在正方形ABCD中,E、G分别在边DA,DC上(不与端点重合),且DE=DG,过D点作DF⊥CE,垂足为F.
(1) 证明:B,C,G,F四点共圆;
(2)若AB=1,E为DA的中点,求四边形BCGF的面积.
23、(本小题满分10分)[选修4–4:坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy中,圆C的方程为(x+6)2+y2=25.
(1)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求C的极坐标方程;
(2)直线l的参数方程是(t为参数),l与C交于A,B两点,|AB|=,求l的斜率.
24、(本小题满分10分)[选修4–5:不等式选讲]已知函数f(x)=|x–|+|x+|,M为不等式f(x)<2的解集.
(1)求M;
(2)证明:当a,b∈M时,|a+b|<|1+ab|.
参考答案
1、解析:∴m+3>0,m–1<0,∴–30,∴·=·,整理得(k–1)(4k2–k–4)=0,
4k2–k+4=0无实根,∴k=1.
所以△AMN的面积为|AM|2=(·)2=.
(2)直线AM的方程为y=k(x+),
联立椭圆E和直线AM方程并整理得,(3+tk2)x2+2tk2x+t2k2–3t=0。解得x=–或x=–,
∴|AM|=|–+|=·,∴|AN|=·
∵2|AM|=|AN|,∴2··=·,整理得,t=.
∵椭圆E的焦点在x轴,∴t>3,即>3,整理得<0,解得0,∴f(x)在(–∞,–2)和(–2,+∞)上单调递增。
∴x>0时,ex>f(0)=–1,∴(x–2)ex+x+2>0。
(2)g'(x)===,a∈[0,1)。
由(1)知,当x>0时,f(x)=ex的值域为(–1,+∞),只有一解.使得·et=–a,t∈(0,2]。
当x∈(0,t)时g'(x)<0,g(x)单调减;当x∈(t,+∞)时g'(x)>0,g(x)单调增
h(a)===。
记k(t)=,在t∈(0,2]时,k'(t)=>0,∴k(t)单调递增,∴h(a)=k(t)∈(,].
22、解析:(1)证明:∵DF⊥CE,∴Rt△DEF∽Rt△CED,∴∠GDF=∠DEF=∠BCF,=。
∵DE=DG,CD=BC,∴=。∴△GDF∽△BCF,∴∠CFB=∠DFG。
∴∠GFB=∠GFC+∠CFB=∠GFC+∠DFG=∠DFC=90°,∴∠GFB+∠GCB=180°.∴B,C,G,F四点共圆.
(2)∵E为AD中点,AB=1,
∴DG=CG=DE=,∴在Rt△GFC中,GF=GC,连接GB,Rt△BCG≌Rt△BFG,∴S四边形BCGF=2S△BCG=2××1×=.
23、解:(1)整理圆的方程得x2+y2+12x+11=0,
由ρ2=x2+y2、ρcosθ=x、ρsinθ=y可知圆C的极坐标方程为ρ2+12ρcosθ+11=0.
(2)记直线的斜率为k,则直线的方程为kx–y=0,
由垂径定理及点到直线距离公式知:=,即=,整理得k2=,则k=±.
24、解析:(1)当x<–时,f(x)=–x–x–=–2x,若–1时,f(x)=2x,若f(x)<2,0,即a2b2+1>a2+b2,则a2b2+2ab+1>a2+2ab+b2,则(ab+1)2>(a+b)2,即|a+b|<|ab+1|,
证毕.