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- 2021-05-14 发布
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永州市2020年高考第一次模拟考试试卷
数学(理科)参考答案
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
B
A
D
A
B
C
D
C
A
D
B
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分. 把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.
13.2 14.5 15. 16.
三、解答题:本大题共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分12分)
解:(1)在中,由正弦定理得, ……………2分
,, ……………4分
因为,所以. ……………6分
(2),且,, ……………7分
在中,,,
由余弦定理得, ……………9分
即,解得:或 …………11分
的长为1或3. ……………12分
18.(本小题满分12分)
解:(1)如图连接,易知,均为正三角形,取中点,
连接, ,则, ……………2分
又, 平面,
平面, ……………4分
又平面,所以. ……………5分
(2)因为二面角为直二面角,所以平面平面,
又因为平面平面,且,所以平面.
又因为,故以点为坐标原点,所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系. ……………6分
则,,.所以,
设平面的法向量为.由得
取,所以. ……………9分
又因为直线平面,所以是平面的一个法向量,
所以. ……………11分
又因为二面角为锐二面角
所以二面角的余弦值. ……………12分
19.(本小题满分12分)
解:(1)由题意知,解得
所以椭圆的方程为. ……………4分
(2)显然直线不满足题设条件,可设直线,
联立,消去,整理得:
∴ ……………6分
由得:或…………7分
因为坐标原点在以线段为直径的圆外
∴ ……………9分
又
∵,即 ∴. ……………11分
故或. ……………12分
20.(本小题满分12分)
解:(1)根据条形图可知,优等品的频率为,用频率估计概率,则任取一件产品为优等品的概率为. ……………2分
(2)由(1)任取一件产品为优等品的概率为,
由题意,或
……………3分
; ……………4分
……………5分
故的分布列为:
47000
39000
所以数学期望 ……………6分
(3)机器人在第0格为必然事件,,第一次掷硬币出现正面,机器人移到第1格,其概率.机器人移到第格的情况只有两种:
①先到第格,又出现反面,其概率,
②先到第格,又出现正面,其概率
所以,故 ……………8分
所以时,数列为首项,
公比为的等比数列.
所以,,,,, ……………9分
以上各式累加,得,
所 …10分
所以获胜概率,
失败概率 ……………11分
,所以获胜概率更大,
故此方案能吸引顾客购买该款产品. ……………12分
21.(本小题满分12分)
解:(1)函数的定义域为., …………1分
当时,在单调递增,
,时,
∴存在唯一正数,使得, ……………3分
函数在单调递减,在单调递增,
∴函数有唯一极小值点,没有极大值点,
∴当时,有唯一极小值点,没有极大值点. ……………5分
(2)由(1)知,当时,有唯一极小值点,
∴,恒成立
∵,∴,
∴. ……………6分
令,则在单调递减,
由于,,
∴存在唯一正数,使得,从而.……8分
由于恒成立,
①当时,成立;
②当时,由于,∴.
令,当时,,
∴在单调递减,从而.
∵,且,且,
∴. ……………10分
下面证明时,.
,且在单调递增,由于,,
∴存在唯一,使得,
∴.
令,,易知在单调递增,
∴,
∴,即时,.
∴的最大值是10. ……………12分
22.(本小题满分10分)
解:(1)曲线的极坐标方程可化为 ……………………2分
将 代入上式得,
所以曲线的直角坐标方程为. ………………………………5分
(2)将直线的参数方程代入得
,化简得 ; ………6分
由,得 ;
, ………………………8分
,
所以. ………………………………10分
23. (本小题满分10分)
解:(1) .……2分
当时,无解;
当时,由得,解得;
当时,恒成立,则;
综上所述,不等式的解集为. …………………………5分
(2)不等式恒成立,
恒成立. ………………………………7分
当时,;
当时,;
当时,,
, ………………………………9分
,即实数的取值范围. ………………………………10分