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  • 2021-05-14 发布

北京2014高考数学压轴卷文含解析

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‎2014北京市高考压轴卷 文科数学 一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的 ‎1.已知,其中是实数,是虚数单位,则的共轭复数为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎2.已知函数,,且,,,则的值为 A.正 B.负 C.零 D.可正可负 ‎3.已知某几何体的三视图如下,则该几何体体积为( )‎ ‎ ‎ A.4+ B.4+ C.4+ D.4+‎ ‎4.如图所示为函数的部分图像,其中A,B两点之间的距离为5,那么( )‎ A.-1 B. ‎ C. D.1‎ ‎5.(5分)已知两条不重合的直线m、n和两个不重合的平面α、β,有下列命题:‎ ‎①若m⊥n,m⊥α,则n∥α; ‎ ‎②若m⊥α,n⊥β,m∥n,则α∥β; ‎ ‎③若m、n是两条异面直线,mα,nβ,m∥β,n∥α,则α∥β; ‎ ‎④若α⊥β,α∩β=m,nβ,n⊥m,则n⊥α.‎ 其中正确命题的个数是(  )‎ ‎ ‎ A.‎ ‎1‎ B.‎ ‎2‎ C.‎ ‎3‎ D.‎ ‎4‎ ‎6.设函数是定义在上的可导函数,其导函数为,且有,则不等式的解集为 A.     B.      C.      D.‎ ‎7. 已知A,B两点均在焦点为F的抛物线y2=2px(p>0)上,若,线段AB的中点到直线的距离为1,则p的值为(  )‎ ‎ ‎ A.‎ ‎1‎ B.‎ ‎1或3‎ C.‎ ‎2‎ D.‎ ‎2或6‎ ‎8. 已知f(x)=x3﹣6x2+9x﹣abc,a<b<c,且f(a)=f(b)=f(c)=0.现给出如下结论:‎ ‎①f(0)f(1)>0;‎ ‎②f(0)f(1)<0;‎ ‎③f(0)f(3)>0;‎ ‎④f(0)f(3)<0.‎ 其中正确结论的序号是(  )‎ ‎ ‎ A.‎ ‎①③‎ B.‎ ‎①④‎ C.‎ ‎②③‎ D.‎ ‎②④‎ 二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在答题卡的相应位置.‎ ‎ 9.已知集合,若,则实数的值为________________.‎ ‎10.已知如图所示的流程图(未完成),设当箭头a指向①时输出的结果S=m,当箭头a指向②时,输出的结果S=n,求m+n的值.‎ ‎11.若是等差数列的前项和,且,则的值为 . ‎ ‎12. 某市有400家超市,其中大型超市有40家,中型超市有120家,小型超市有240家.为了掌握各超市的营业情况,要从中抽取一个容量为20的样本.若采用分层抽样的方法,抽取的中型超市数是________________.‎ ‎13.在平面直角坐标系中,过坐标原点的一条直线与函数的图象交于P、Q两点,则线段PQ长的最小值是_______‎ ‎14.设a∈R,若x>0时均有[(a﹣1)x﹣1](x2﹣ax﹣1)≥0,则a=  .‎ 三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内.‎ ‎15.已知向量.记 ‎ (I)求的周期;‎ ‎(Ⅱ)在ABC中,角A、B、C的对边分别是a、b、c,且满足(‎2a—c)B=b, 若,试判断ABC的形状. ‎ ‎16. 某校要从2名男同学和4名女同学中选出2人担任羽毛球比赛的志愿者工作,每名同学当选的机会均相等.‎ ‎(Ⅰ)求当选的2名同学中恰有l名男同学的概率;‎ ‎(Ⅱ)求当选的2名同学中至少有1名女同学的概率.‎ ‎17. 如图,在四棱台ABCD﹣A1B‎1C1D1中,下底ABCD是边长为2的正方形,上底A1B‎1C1D1是边长为1的正方形,侧棱DD1⊥平面ABCD,DD1=2.‎ ‎(1)求证:B1B∥平面D‎1AC;‎ ‎(2)求证:平面D‎1AC⊥平面B1BDD1.‎ ‎18.已知椭圆的左右焦点分别为,点为短轴的一个端点,.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆的方程;‎ ‎(Ⅱ)如图,过右焦点,且斜率为的直线与椭圆相交于两点,为椭圆的右顶点,直线分别交直线于点,线段的中点为,记直线的斜率为.‎ 求证: 为定值.‎ ‎19.已知数列的各项均为正数,记,,‎ ‎ .‎ ‎(Ⅰ)若,且对任意,三个数组成等差数列,求数列的通项公式.‎ ‎(Ⅱ)证明:数列是公比为的等比数列的充分必要条件是:对任意,三个数组成公比为的等比数列.‎ ‎20. 已知函数,,令.‎ ‎(Ⅰ)当时,求的极值;‎ ‎(Ⅱ)当时,求的单调区间;‎ ‎(Ⅲ)当时,若对,使得恒成立,求的取值范围.‎ ‎2014北京市高考压轴卷数学文word版参考答案 ‎1. 【答案】D ‎【解析】故选D.‎ ‎2. 【答案】B ‎【解析】∵,∴函数在R上是减函数且是奇函数,‎ ‎∵,∴,∴,∴,∴,‎ 同理:,,∴.‎ ‎3. 【答案】A ‎【解析】该几何体是一个圆柱与一个长方体的组成,其中重叠了一部分,所以该几何体的体积为.故选A.‎ ‎4. 【答案】A. ‎ ‎【解析】‎ ‎5. 【答案】C ‎【解析】①若m⊥n,m⊥α,则n可能在平面α内,故①错误 ‎②∵m⊥α,m∥n,∴n⊥α,又∵n⊥β,∴α∥β,故②正确 ‎③过直线m作平面γ交平面β与直线c,‎ ‎∵m、n是两条异面直线,∴设n∩c=O,‎ ‎∵m∥β,mγ,γ∩β=c∴m∥c,‎ ‎∵mα,cα,∴c∥α,‎ ‎∵nβ,cβ,n∩c=O,c∥α,n∥α ‎∴α∥β;故③正确 ‎④由面面垂直的性质定理:∵α⊥β,α∩β=m,nβ,n⊥m,∴n⊥α.故④正确 故正确命题有三个,‎ 故选C ‎6. 【答案】C.‎ ‎【解析】由,得:,即,令,则当时,,即在是减函数,  ,,,‎ 在是减函数,所以由得,,即,故选 ‎7. 【答案】B.‎ ‎【解析】分别过A、B作交线l:x=﹣的垂线,垂足分别为C、D,‎ 设AB中点M在准线上的射影为点N,连接MN,‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0)‎ 根据抛物线的定义,得 ‎∴梯形ACDB中,中位线MN=()=2,‎ 可得x0+=2,x ‎∵线段AB的中点M到直线的距离为1,可得|x0﹣|=1‎ ‎∴|2﹣p|=1,解之得p=1或3‎ 故选:B ‎8. 【答案】C.‎ ‎【解析】求导函数可得f′(x)=3x2﹣12x+9=3(x﹣1)(x﹣3)‎ ‎∵a<b<c,且f(a)=f(b)=f(c)=0.‎ ‎∴a<1<b<3<c 设f(x)=(x﹣a)(x﹣b)(x﹣c)=x3﹣(a+b+c)x2+(ab+ac+bc)x﹣abc ‎∵f(x)=x3﹣6x2+9x﹣abc ‎∴a+b+c=6,ab+ac+bc=9‎ ‎∴b+c=6﹣a ‎∴bc=9﹣a(6﹣a)<‎ ‎∴a2﹣‎4a<0‎ ‎∴0<a<4‎ ‎∴0<a<1<b<3<c ‎∴f(0)<0,f(1)>0,f(3)<0‎ ‎∴f(0)f(1)<0,f(0)f(3)>0‎ 故选C.‎ ‎9. 【答案】a=-1.‎ ‎【解析】若a-3=-3,则a=0,此时:‎ ‎ ,,与题意不符,舍 ‎ ‚若‎2a-1=-3,则a=-1,此时:‎ ‎ ,,a=-1‎ ‎ ƒ若a2+1=-3,则a不存在 ‎ 综上可知:a=-1‎ ‎10. 【答案】20.‎ ‎【解析】当箭头指向①时,计算S和i如下.‎ i=1,S=0,S=1;‎ i=2,S=0,S=2;‎ i=3,S=0,S=3;‎ i=4,S=0,S=4;‎ i=5,S=0,S=5;‎ i=6结束.‎ ‎∴S=m=5.‎ 当箭头指向②时,计算S和i如下.‎ i=1,S=0, S=1;‎ i=2,S=3;‎ i=3,S=6;‎ i=4,S=10;‎ i=5,S=15;‎ i=6结束.‎ ‎∴S=n=15.‎ ‎∴m+n=20.‎ ‎11. 【答案】44 ‎ ‎【解析】由,解得,又由 ‎12. 【答案】6.‎ ‎【解析】每个个体被抽到的概率等于 =,而中型超市有120家,故抽取的中型超市数是 120×=6‎ ‎13.【答案】4.‎ ‎【解析】设过坐标原点的一条直线方程为,因为与函数的图象交于P、Q两点,所以,且联列解得,所以 ‎14. 【答案】‎ ‎【解析】(1)a=1时,代入题中不等式明显不成立.‎ ‎(2)a≠1,构造函数y1=(a﹣1)x﹣1,y2=x 2﹣ax﹣1,它们都过定点P(0,﹣1).‎ 考查函数y1=(a﹣1)x﹣1:令y=0,得M(,0),‎ ‎∴a>1;‎ 考查函数y2=x 2﹣ax﹣1,显然过点M(,0),代入得:,‎ 解之得:a=,或a=0(舍去).‎ 故答案为:‎ ‎15. 【解析】 ‎ ‎ ‎ ‎(I) ‎ ‎(Ⅱ 根据正弦定理知: ‎ ‎ ‎ ‎ ∵ ∴ 或或 ‎ 而,所以,因此ABC为等边三角形.……………12分 ‎16. 【解析】(I)所有的选法共有=15种,‎ 当选的2名同学中恰有1名男同学的选法有•=8种,‎ ‎∴当选的2名同学中恰有1名男同学的概率为 .‎ ‎(II)所有的选法共有=15种,‎ 当选的2名同学中恰有2名女同学的选法有=6种,‎ 当选的2名同学中恰有1名女同学的选法有•=8种,‎ 故当选当选的2名同学中至少有1名女同学的选法有6+8=14种,‎ 故当选的2名同学中至少有1名女同学的概率为.‎ ‎17. 【解析】证明:(1)设AC∩BD=E,连接D1E,‎ ‎∵平面ABCD∥平面A1B‎1C1D1.‎ ‎∴B1D1∥BE,∵B1D1=BE=,‎ ‎∴四边形B1D1EB是平行四边形,‎ 所以B1B∥D1E.‎ 又因为B1B⊄平面D‎1AC,D1E⊂平面D‎1AC,‎ 所以B1B∥平面D‎1AC ‎(2)证明:侧棱DD1⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,‎ ‎∴AC⊥DD1.‎ ‎∵下底ABCD是正方形,AC⊥BD.‎ ‎∵DD1与DB是平面B1BDD1内的两条相交直线,‎ ‎∴AC⊥平面B1BDD1‎ ‎∵AC⊂平面D‎1AC,∴平面D‎1AC⊥平面B1BDD1.‎ ‎18. 【解析】(Ⅰ)由条件…………2分 故所求椭圆方程为. …………4分 ‎(Ⅱ)设过点的直线方程为:. …………5分 由可得: …………6分 因为点在椭圆内,所以直线和椭圆都相交,即恒成立.‎ 设点,则 ‎. …………8分 因为直线的方程为:,‎ 直线的方程为:, ………9分 令,可得,,‎ 所以点的坐标. ………10分 直线的斜率为 ‎ …………12分 ‎ ‎ 所以为定值. …………13分 ‎19. 【解析】 (Ⅰ) 因为对任意,三个数是等差数列,‎ 所以. ………1分 所以, ………2分 即. ………3分 所以数列是首项为1,公差为4的等差数列. ………4分 所以. ………5分 ‎(Ⅱ)(1)充分性:若对于任意,三个数组成公比为的等比数列,则 ‎    . ………6分 所以得 ‎ 即. ………7分 ‎   因为当时,由可得, ………8分 所以.‎ 因为,‎ 所以. ‎ 即数列是首项为,公比为的等比数列, ………9分 ‎(2)必要性:若数列是公比为的等比数列,则对任意,有 ‎. ………10分 因为,‎ 所以均大于.于是 ‎     ………11分 ‎     ………12分 即==,所以三个数组成公比为的等比数列.‎ ‎………13分 综上所述,数列是公比为的等比数列的充分必要条件是:对任意n∈N﹡,三个数组成公比为的等比数列. ………14分 ‎20. 【解析】‎