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- 2021-05-14 发布
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2014北京市高考压轴卷
文科数学
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的
1.已知,其中是实数,是虚数单位,则的共轭复数为( )
A. B. C. D.
2.已知函数,,且,,,则的值为
A.正 B.负 C.零 D.可正可负
3.已知某几何体的三视图如下,则该几何体体积为( )
A.4+ B.4+ C.4+ D.4+
4.如图所示为函数的部分图像,其中A,B两点之间的距离为5,那么( )
A.-1 B.
C. D.1
5.(5分)已知两条不重合的直线m、n和两个不重合的平面α、β,有下列命题:
①若m⊥n,m⊥α,则n∥α;
②若m⊥α,n⊥β,m∥n,则α∥β;
③若m、n是两条异面直线,mα,nβ,m∥β,n∥α,则α∥β;
④若α⊥β,α∩β=m,nβ,n⊥m,则n⊥α.
其中正确命题的个数是( )
A.
1
B.
2
C.
3
D.
4
6.设函数是定义在上的可导函数,其导函数为,且有,则不等式的解集为
A. B. C. D.
7. 已知A,B两点均在焦点为F的抛物线y2=2px(p>0)上,若,线段AB的中点到直线的距离为1,则p的值为( )
A.
1
B.
1或3
C.
2
D.
2或6
8. 已知f(x)=x3﹣6x2+9x﹣abc,a<b<c,且f(a)=f(b)=f(c)=0.现给出如下结论:
①f(0)f(1)>0;
②f(0)f(1)<0;
③f(0)f(3)>0;
④f(0)f(3)<0.
其中正确结论的序号是( )
A.
①③
B.
①④
C.
②③
D.
②④
二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在答题卡的相应位置.
9.已知集合,若,则实数的值为________________.
10.已知如图所示的流程图(未完成),设当箭头a指向①时输出的结果S=m,当箭头a指向②时,输出的结果S=n,求m+n的值.
11.若是等差数列的前项和,且,则的值为 .
12. 某市有400家超市,其中大型超市有40家,中型超市有120家,小型超市有240家.为了掌握各超市的营业情况,要从中抽取一个容量为20的样本.若采用分层抽样的方法,抽取的中型超市数是________________.
13.在平面直角坐标系中,过坐标原点的一条直线与函数的图象交于P、Q两点,则线段PQ长的最小值是_______
14.设a∈R,若x>0时均有[(a﹣1)x﹣1](x2﹣ax﹣1)≥0,则a= .
三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内.
15.已知向量.记
(I)求的周期;
(Ⅱ)在ABC中,角A、B、C的对边分别是a、b、c,且满足(2a—c)B=b, 若,试判断ABC的形状.
16. 某校要从2名男同学和4名女同学中选出2人担任羽毛球比赛的志愿者工作,每名同学当选的机会均相等.
(Ⅰ)求当选的2名同学中恰有l名男同学的概率;
(Ⅱ)求当选的2名同学中至少有1名女同学的概率.
17. 如图,在四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中,下底ABCD是边长为2的正方形,上底A1B1C1D1是边长为1的正方形,侧棱DD1⊥平面ABCD,DD1=2.
(1)求证:B1B∥平面D1AC;
(2)求证:平面D1AC⊥平面B1BDD1.
18.已知椭圆的左右焦点分别为,点为短轴的一个端点,.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)如图,过右焦点,且斜率为的直线与椭圆相交于两点,为椭圆的右顶点,直线分别交直线于点,线段的中点为,记直线的斜率为.
求证: 为定值.
19.已知数列的各项均为正数,记,,
.
(Ⅰ)若,且对任意,三个数组成等差数列,求数列的通项公式.
(Ⅱ)证明:数列是公比为的等比数列的充分必要条件是:对任意,三个数组成公比为的等比数列.
20. 已知函数,,令.
(Ⅰ)当时,求的极值;
(Ⅱ)当时,求的单调区间;
(Ⅲ)当时,若对,使得恒成立,求的取值范围.
2014北京市高考压轴卷数学文word版参考答案
1. 【答案】D
【解析】故选D.
2. 【答案】B
【解析】∵,∴函数在R上是减函数且是奇函数,
∵,∴,∴,∴,∴,
同理:,,∴.
3. 【答案】A
【解析】该几何体是一个圆柱与一个长方体的组成,其中重叠了一部分,所以该几何体的体积为.故选A.
4. 【答案】A.
【解析】
5. 【答案】C
【解析】①若m⊥n,m⊥α,则n可能在平面α内,故①错误
②∵m⊥α,m∥n,∴n⊥α,又∵n⊥β,∴α∥β,故②正确
③过直线m作平面γ交平面β与直线c,
∵m、n是两条异面直线,∴设n∩c=O,
∵m∥β,mγ,γ∩β=c∴m∥c,
∵mα,cα,∴c∥α,
∵nβ,cβ,n∩c=O,c∥α,n∥α
∴α∥β;故③正确
④由面面垂直的性质定理:∵α⊥β,α∩β=m,nβ,n⊥m,∴n⊥α.故④正确
故正确命题有三个,
故选C
6. 【答案】C.
【解析】由,得:,即,令,则当时,,即在是减函数, ,,,
在是减函数,所以由得,,即,故选
7. 【答案】B.
【解析】分别过A、B作交线l:x=﹣的垂线,垂足分别为C、D,
设AB中点M在准线上的射影为点N,连接MN,
设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0)
根据抛物线的定义,得
∴梯形ACDB中,中位线MN=()=2,
可得x0+=2,x
∵线段AB的中点M到直线的距离为1,可得|x0﹣|=1
∴|2﹣p|=1,解之得p=1或3
故选:B
8. 【答案】C.
【解析】求导函数可得f′(x)=3x2﹣12x+9=3(x﹣1)(x﹣3)
∵a<b<c,且f(a)=f(b)=f(c)=0.
∴a<1<b<3<c
设f(x)=(x﹣a)(x﹣b)(x﹣c)=x3﹣(a+b+c)x2+(ab+ac+bc)x﹣abc
∵f(x)=x3﹣6x2+9x﹣abc
∴a+b+c=6,ab+ac+bc=9
∴b+c=6﹣a
∴bc=9﹣a(6﹣a)<
∴a2﹣4a<0
∴0<a<4
∴0<a<1<b<3<c
∴f(0)<0,f(1)>0,f(3)<0
∴f(0)f(1)<0,f(0)f(3)>0
故选C.
9. 【答案】a=-1.
【解析】若a-3=-3,则a=0,此时:
,,与题意不符,舍
若2a-1=-3,则a=-1,此时:
,,a=-1
若a2+1=-3,则a不存在
综上可知:a=-1
10. 【答案】20.
【解析】当箭头指向①时,计算S和i如下.
i=1,S=0,S=1;
i=2,S=0,S=2;
i=3,S=0,S=3;
i=4,S=0,S=4;
i=5,S=0,S=5;
i=6结束.
∴S=m=5.
当箭头指向②时,计算S和i如下.
i=1,S=0, S=1;
i=2,S=3;
i=3,S=6;
i=4,S=10;
i=5,S=15;
i=6结束.
∴S=n=15.
∴m+n=20.
11. 【答案】44
【解析】由,解得,又由
12. 【答案】6.
【解析】每个个体被抽到的概率等于 =,而中型超市有120家,故抽取的中型超市数是 120×=6
13.【答案】4.
【解析】设过坐标原点的一条直线方程为,因为与函数的图象交于P、Q两点,所以,且联列解得,所以
14. 【答案】
【解析】(1)a=1时,代入题中不等式明显不成立.
(2)a≠1,构造函数y1=(a﹣1)x﹣1,y2=x 2﹣ax﹣1,它们都过定点P(0,﹣1).
考查函数y1=(a﹣1)x﹣1:令y=0,得M(,0),
∴a>1;
考查函数y2=x 2﹣ax﹣1,显然过点M(,0),代入得:,
解之得:a=,或a=0(舍去).
故答案为:
15. 【解析】
(I)
(Ⅱ 根据正弦定理知:
∵ ∴ 或或
而,所以,因此ABC为等边三角形.……………12分
16. 【解析】(I)所有的选法共有=15种,
当选的2名同学中恰有1名男同学的选法有•=8种,
∴当选的2名同学中恰有1名男同学的概率为 .
(II)所有的选法共有=15种,
当选的2名同学中恰有2名女同学的选法有=6种,
当选的2名同学中恰有1名女同学的选法有•=8种,
故当选当选的2名同学中至少有1名女同学的选法有6+8=14种,
故当选的2名同学中至少有1名女同学的概率为.
17. 【解析】证明:(1)设AC∩BD=E,连接D1E,
∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1.
∴B1D1∥BE,∵B1D1=BE=,
∴四边形B1D1EB是平行四边形,
所以B1B∥D1E.
又因为B1B⊄平面D1AC,D1E⊂平面D1AC,
所以B1B∥平面D1AC
(2)证明:侧棱DD1⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,
∴AC⊥DD1.
∵下底ABCD是正方形,AC⊥BD.
∵DD1与DB是平面B1BDD1内的两条相交直线,
∴AC⊥平面B1BDD1
∵AC⊂平面D1AC,∴平面D1AC⊥平面B1BDD1.
18. 【解析】(Ⅰ)由条件…………2分
故所求椭圆方程为. …………4分
(Ⅱ)设过点的直线方程为:. …………5分
由可得: …………6分
因为点在椭圆内,所以直线和椭圆都相交,即恒成立.
设点,则
. …………8分
因为直线的方程为:,
直线的方程为:, ………9分
令,可得,,
所以点的坐标. ………10分
直线的斜率为
…………12分
所以为定值. …………13分
19. 【解析】 (Ⅰ) 因为对任意,三个数是等差数列,
所以. ………1分
所以, ………2分
即. ………3分
所以数列是首项为1,公差为4的等差数列. ………4分
所以. ………5分
(Ⅱ)(1)充分性:若对于任意,三个数组成公比为的等比数列,则
. ………6分
所以得
即. ………7分
因为当时,由可得, ………8分
所以.
因为,
所以.
即数列是首项为,公比为的等比数列, ………9分
(2)必要性:若数列是公比为的等比数列,则对任意,有
. ………10分
因为,
所以均大于.于是
………11分
………12分
即==,所以三个数组成公比为的等比数列.
………13分
综上所述,数列是公比为的等比数列的充分必要条件是:对任意n∈N﹡,三个数组成公比为的等比数列. ………14分
20. 【解析】