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高考全国Ⅰ理科数学试题及答案word解析版

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2014 年普通高等学校招生全国统一考试(全国Ⅰ) 数学(理科) 第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. (1)【2014 年全国Ⅰ,理 1,5 分】已知集合 , ,则 =( ) (A) (B) (C) (D) 【答案】A 【解析】∵ , ,∴ ,故选 A. (2)【2014 年全国Ⅰ,理 2,5 分】 ( ) (A) (B) (C) (D) 【答案】D 【解析】∵ ,故选 D. (3)【2014 年全国Ⅰ,理 3,5 分】设函数 , 的定义域为 ,且 是奇函数, 是偶函 数,则下列结论中正确的是( ) (A) 是偶函数 (B) 是奇函数 (C) 是奇函数 (D) 是奇函 数 【答案】C 【解析】∵ 是奇函数, 是偶函数,∴ 为偶函数, 为偶函数.再根据两个奇函数的积是偶函 数、两个偶函数的积还是偶函数、一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数,可得 为奇函数, 故选 C. (4)【2014 年全国Ⅰ,理 4,5 分】已知 是双曲线 : 的一个焦点,则点 到 的一条 渐近线的距离为( ) (A) (B)3 (C) (D) 【答案】A 【解析】由 : ,得 , ,设 ,一条渐近线 ,即 ,则点 到 的一条渐近线的距离 ,故选 A. (5)【2014 年全国Ⅰ,理 5,5 分】4 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,则周六、周日都 有同学参加公益活动的概率( ) (A) (B) (C) (D) 【答案】D 【解析】由题知 , 且 ,所以 ,解得 ,故选 D. (6)【2014 年全国Ⅰ,理 6,5 分】如图,圆 的半径为 1, 是圆上的定点, 是圆上的动点, 角 的始边为射线 ,终边为射线 ,过点 作直线 的垂线,垂足为 ,将点 到直 线 的距离表示为 的函数 ,则 在 上的图像大致为( ) { }2 2 3 0A x x x= − − ≥ { }2 2B x x= − ≤ < A B [ ]2, 1− − [ )1,2− [ ]1,1− [ )1,2 { } { }2 2 3 0 1 3A x x x x x x= − − ≥ = ≤ − ≥或 { }2 2B x x= − ≤ < { }2 1A B x x= − ≤ ≤ − ( ) ( ) 3 2 1 i 1 i + = − 1 i+ 1 i− 1 i− + 1 i− − 3 2 (1 i) 2i(1 i) 1 i(1 i) 2i + += = − −− − ( )f x ( )g x R ( )f x ( )g x ( ) ( )f x g x ( ) ( )f x g x ( ) | ( ) |f x g x | ( ) ( ) |f x g x ( )f x ( )g x ( )f x ( )g x ( ) | ( ) |f x g x F C 2 2 3 ( 0)x my m m− = > F C 3 3m 3m C 2 2 3 ( 0)x my m m− = > 2 2 13 3 x y m − = 2 3 3, 3 3c m c m= + = + ( )3 3,0F m + 3 3 y x m = 0x my− = F C 3 3 3 1 md m += = + 1 8 3 8 5 8 7 8 ( )1 3,0F − ( )2 3,0F 2 20 0 12 x y− = ( ) ( )1 2 0 0 0 03 , 3 ,MF MF x y x y⋅ = − − − ⋅ − −  2 2 2 0 0 03 3 1 0x y y= + − = − < 0 3 3 3 3y− < < O A P x OA OP P OA M M OP x ( )f x ( )y f x= [ ]0,π (A) (B) (C) (D) 【答案】B 【解析】如图:过 作 于 ,则 , ,在 中, ,∴ , 故选 B. (7)【2014 年全国Ⅰ,理 7,5 分】执行下图的程序框图,若输入的 分别为 1,2,3,则输出 的 ( ) (A) (B) (C) (D) 【答案】D 【解析】输入 ; 时: ; 时: ; 时: ; 时:输出 ,故选 D. (8)【2014 年全国Ⅰ,理 8,5 分】设 , ,且 ,则( ) (A) (B) (C) (D) 【答案】B 【解析】∵ ,∴ , , ,∴ ,即 ,故选 B. (9)【2014 年全国Ⅰ,理 9,5 分】不等式组 的解集记为 .有下面四个命题: : , : , : , : .其中真命题是( ) (A) , (B) , (C) , (D) , 【答案】C 【解析】作出可行域如图:设 ,即 ,当直线过 时, , ∴ ,∴命题 、 真命题,故选 C. (10)【2014 年全国Ⅰ,理 10,5 分】已知抛物线 : 的焦点为 ,准线为 , 是 上一点, 是直 线 与 的一个交点,若 ,则 ( ) (A) (B) (C)3 (D)2 【答案】C 【解析】过 作 于 ,∵ ,∴ ,又 ,∴ , 由抛物线定义知 ,故选 C. D M MD OP⊥ D sinPM x= cosOM x= Rt OMP∆ cos sin 1cos sin sin 21 2 x xOM PMMD x x xOP ⋅⋅= = = ⋅ = ( ) 1 sin 2 (0 )2f x x x π= ≤ ≤ , ,a b k M = 20 3 16 5 7 2 15 8 1, 2, 3a b k= = = 1n = 1 3 31 , 2,2 2 2M a b= + = = = 2n = 2 8 3 82 , ,3 3 2 3M a b= + = = = 3n = 3 3 15 8 15, ,2 8 8 3 8M a b= + = = = 4n = 15 8M = (0, )2 πα ∈ (0, )2 πβ ∈ 1 sintan cos βα β += 3 2 πα β− = 2 2 πα β− = 3 2 πα β+ = 2 2 πα β+ = sin 1 sintan cos cos α βα α β += = sin cos cos cos sinα β α α β= + ( )sin cos sin 2 πα β α α − = = −   ,02 2 2 2 π π π πα β α− < − < < − < 2 πα β α− = − 2 2 πα β− = 1 2 4 x y x y + ≥  − ≤ 1p ( , ) , 2 2x y D x y∀ ∈ + ≥ − 2p ( , ) , 2 2x y D x y∃ ∈ + ≥ 3P ( , ) , 2 3x y D x y∀ ∈ + ≤ 4p ( , ) , 2 1x y D x y∃ ∈ + ≤ − 2p 3p 1p 4p 1p 2p 1p 3p 2x y z+ = 1 2 2 zy x= − + ( )2, 1A − min 2 2 0z = − + = 0z ≥ 1p 2p C 2 8y x= F l P l Q PF C 4FP FQ=  | |QF = 7 2 5 2 Q QM l⊥ M 4FP FQ=  3 4 PQ PF = 3 4 4 QM PQ PF = = 3QM = 3QF QM= = (11)【2014 年全国Ⅰ,理 11,5 分】已知函数 ,若 存在唯一的零点 ,且 , 则 的取值范围为( ) (A) (B) (C) (D) 【答案】B 【解析】解法一: 由已知 , ,令 ,得 或 , 当 时, ; 且 , 有小于零的零点,不符合题意. 当 时, 要使 有唯一的零点 且 ,只需 ,即 , ,故选 B. 解法二: 由已知 , 有唯一的正零点,等价于 有唯一的正零根,令 ,则 问题又等价于 有唯一的正零根,即 与 有唯一的交点且交点在在 轴右侧记 , ,由 , , , ,要使 有唯一的正零根,只需 ,故选 B. (12)【2014 年全国Ⅰ,理 12,5 分】如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗实线画出的是某多面 体的三视图,则该多面体的个条棱中,最长的棱的长度为( ) (A) (B) (C)6 (D)4 【答案】C 【解析】如图所示,原几何体为三棱锥 ,其中 , ,故最长的棱的长度为 ,故选 C. 第 II 卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题,每个试题考生都必须作答.第 (22)题~第(24)题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分 (13)【2014 年全国Ⅰ,理 13,5 分】 的展开式中 的系数为 .(用数字填写答案) 【答案】 【解析】 展开式的通项为 ,∴ , , ∴ 的展开式中 的项为 ,故系数为 . (14)【2014 年全国Ⅰ,理 14,5 分】甲、乙、丙三位同学被问到是否去过 、 、 三个城市时,甲 说:我去过的城市比乙多,但没去过 城市;乙说:我没去过 城市;丙说:我们三人去过同一城市;由 此可判断乙去过的城市为 . 【答案】 【解析】由乙说:我没去过 城市,则乙可能去过 城市或 城市,但甲说:我去过的城市比乙多,但没去过 城市,则乙只能是去过 , 中的任一个,再由丙说:我们三人去过同一城市,则由此可判断乙去过的 城市为 . (15)【2014 年全国Ⅰ,理 15,5 分】已知 , , 是圆 上的三点,若 ,则 与 的 夹角为 . 【答案】 【解析】∵ ,∴ 为线段 中点,故 为 的直径,∴ ,∴ 与 的夹 角为 . ( ) 3 23 1f x ax x= − + ( )f x 0x 0 0x > a ( )2,+∞ ( ), 2−∞ − ( )1,+∞ ( ), 1−∞ − 0a ≠ 2( ) 3 6f x ax x′ = − ( ) 0f x′ = 0x = 2x a = 0a > ( ) 2 2,0 , ( ) 0; 0, , ( ) 0; , , ( ) 0x f x x f x x f xa a    ′ ′ ′∈ −∞ > ∈ < ∈ +∞ >       (0) 1 0f = > ( )f x 0a < ( )2 2, , ( ) 0; ,0 , ( ) 0; 0, , ( ) 0x f x x f x x f xa a    ′ ′ ′∈ −∞ < ∈ > ∈ +∞ <       ( )f x 0x 0 0x > 2( ) 0f a > 2 4a > 2a < − 0a ≠ ( ) 3 23 1f x ax x= − + 3 1 13a x x = ⋅ − 1t x = 3 3a t t= − + y a= 3 3y t t= − + y 3( ) 3f t t t= − + 2( ) 3 3f t t′ = − + ( ) 0f t′ = 1t = ± ( ) ( ), 1 , ( ) 0; 1,1 , ( ) 0;t f t t f t′ ′∈ −∞ − < ∈ − > ( )1, , ( ) 0t f t′∈ +∞ < 3 3a t t= − + ( 1) 2a f< − = − 6 2 4 2 D ABC− 4, 4 2, 2 5AB BC AC DB DC= = = = = ( )2 4 2 4 6DA = + = 6DA = 8( )( )x y x y− + 2 2x y 20− 8( )x y+ 8 1 8 ( 0,1, ,8)r r r rT C x y r− + = =  7 7 7 8 8 8T C xy xy= = 6 2 6 2 6 7 8 28T C x y x y= = 8( )( )x y x y− + 2 7x y 7 2 6 2 78 28 20x xy y x y x y⋅ − ⋅ = − 20− A B C B C A C A B B A B A A B C O 1 ( )2AO AB AC= +   AB AC 090 1 ( )2AO AB AC= +   O BC BC O 090BAC∠ = AB AC 090 (16 )【2014 年全国Ⅰ ,理 16 ,5 分】已知 分别为 的三个内角 的对边, ,且 ,则 面积的最大值为 . 【答案】 【解析】由 且 ,即 ,由及正弦定理得: ,∴ ,故 ,∴ ,∴ , ,∴ . 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (17)【2014 年全国Ⅰ,理 17,12 分】已知数列 的前 项和为 , , , ,其中 为常数. (1)证明: ; (2)是否存在 ,使得 为等差数列?并说明理由. 解:(1)由题设 , ,两式相减 ,由于 , 所以 . ……6 分 (2)由题设 , ,可得 ,由(1)知 假设 为等差数列,则 成等差数列,∴ ,解得 ; 证明 时, 为等差数列:由 知:数列奇数项构成的数列 是首项为 1,公差为 4 的等差数列 ,令 则 ,∴ 数列偶数项构成的数列 是首项为 3,公差为 4 的等差数列 ,令 则 , ∴ ,∴ ( ), 因此,存在存在 ,使得 为等差数列. ……12 分 (18)【2014 年全国Ⅰ,理 18,12 分】从某企业的某种产品中抽取 500 件,测 量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如下频率分布直方图: (1)求这 500 件产品质量指标值的样本平均数 和样本方差 (同一组 数据用该区间的中点值作代表); (2)由频率分布直方图可以认为,这种产品的质量指标值 服从正态分 布 ,其中 近似为样本平均数 , 近似为样本方差 . (i)利用该正态分布,求 ; (ii)某用户从该企业购买了 100 件这种产品,记 表示 100 件产品中质量指标值为区间 (187.8,212.2) 的产品件数,利用(i)的结果,求 . 附: .若 ,则 , =0.9544. 解:(1)抽取产品质量指标值的样本平均数 和样本方差 分别为: . ……6 分 (2)(ⅰ)由(1)知 ,从而 . ……9 分 (ⅱ)由(ⅰ)知,一件产品中质量指标值为于区间(187.8,212.2)的概率为 0.6826 依题意知 ,所以 . ……12 分 (19)【2014 年全国Ⅰ,理 19,12 分】如图三棱柱 中,侧面 为菱 形, . (1)证明: ; , ,a b c ABC∆ , ,A B C 2a = (2 )(sin sin ) ( )sinb A B c b C+ − = − ABC∆ 3 2a = (2 )(sin sin ) ( )sinb A B c b C+ − = − ( )(sin sin ) ( )sina b A B c b C+ − = − ( )( ) ( )a b a b c b c+ − = − 2 2 2b c a bc+ − = 2 2 2 1cos 2 2 b c aA bc + −= = 060A∠ = 2 2 4b c bc+ − = 2 24 b c bc bc= + − ≥ 1 sin 32ABCS bc A∆ = ≤ { }na n nS 1 1a = 0na ≠ 1 1n n na a Sλ+ = − λ 2n na a λ+ − = λ { }na 1 1n n na a Sλ+ = − 1 2 1 1n n na a Sλ+ + += − ( )1 2 1n n n na a a aλ+ + +− = 0na ≠ 2n na a λ+ − = 1 1a = 1 2 1 1a a Sλ= − 2 1 1a λ= − 3 1a λ= + { }na 1 2 3, ,a a a 1 3 22a a a+ = 4λ = 4λ = { }na 2 4n na a+ − = { }2 1ma − 2 1 4 3ma m− = − 2 1,n m= − 1 2 nm += 2 1na n= − ( 2 1)n m= − { }2ma 2 4 1ma m= − 2 ,n m= 2 nm = 2 1na n= − ( 2 )n m= 2 1na n= − *n N∈ 1 2n na a+ − = 4λ = { }na x 2s Z 2( , )N µ δ µ x 2δ 2s (187.8 212.2)P Z< < X EX 150 12.2≈ 2( , )Z N µ δ ( ) 0.6826P Zµ δ µ δ− < < + = ( 2 2 )P Zµ δ µ δ− < < + x 2s 170 0.02 180 0.09 190 0.22 200 0.33 210 0.24 220 0.08 230 0.02 200x = × + × + × + × + × + × + × = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 22 30 0.02 20 0.09 10 0.22 0 0.33 10 0.24 20 0.08 30 0.02 150s = − × + − × + − × + × + × + × + × = (200,150)Z N (187.8 212.2)P Z< < = (200 12.2 200 12.2) 0.6826P Z− < < + = (100,0.6826)X B 100 0.6826 68.26EX = × = 1 1 1ABC A B C− 1 1BB C C 1AB B C⊥ 1AC AB= (2)若 , , ,求二面角 的余弦值. 解:(1)连结 ,交 于 ,连结 .因为侧面 为菱形,所以 , 且 为 与 的中点.又 ,所以 平面 ,故 又 ,故 . ……6 分 (2)因为 且 为 的中点,所以 ,又因为 ,所以 ,故 ,从而 , , 两两互相垂直. 以 为坐标原点, 的方向 为 轴正方向, 为单位长,建立如图所示空间直角坐标系 . 因为 ,所以 为等边三角形.又 ,则 , , , , , , ,设 是平面的 法向量,则 ,即 所以可取 ,设 是平面的法向量,则 ,同理可取 ,则 ,所以二面角 的余弦值 为 . ……12 分 (20)【2014 年全国Ⅰ,理 20,12 分】已知点 ,椭圆 : 的离心率为 , 是 椭圆的焦点,直线 的斜率为 , 为坐标原点. (1)求 的方程; (2)设过点 的直线 与 相交于 两点,当 的面积最大时,求 的方程. 解:(1)设 ,由条件知 ,得 ,又 , 所以 , ,故 的方程 . ……6 分 ( 2 ) 依 题 意 当 轴 不 合 题 意 , 故 设 直 线 : , 设 , 将 代 入 , 得 ,当 ,即 时, 从而 ,又点 到直线 的距离 ,所以 的 面积 ,设 ,则 , , 当且仅当 , 等号成立,且满足 ,所以当 的面积最大时, 的方程为: 或 . .……12 分 F 1AC AB⊥ o 1 60CBB∠ = AB BC= 1 1 1A A B C− − 1BC 1B C O AO 1 1BB C C 1 1B C BC⊥ O 1B C 1BC 1AB B C⊥ 1B C ⊥ ABO 1B C AO⊥ 1B O CO= 1AC AB= 1AC AB⊥ O 1B C AO CO= AB BC= BOA BOC∆ ≅ ∆ OA OB⊥ OA OB 1OB O OB x OB O xyz− 0 1 60CBB∠ = 1CBB∆ AB BC= 30,0, 3A       ( )1,0,0B 1 30, ,03B       30, ,03C  −    1 3 30, ,3 3AB  = −     1 1 31,0, 3A B AB  = = −      1 1 31, ,03B C BC  = = − −      ( ), ,n x y z= 1 1 1 0 0 n AB n A B  = =       3 3 03 3 3 03 y z x z  − =  − = ( )1, 3, 3n = m 1 1 1 1 0 0 m A B n B C  = =       ( )1, 3, 3m = − 1cos , 7 n mn m n m = =       1 1 1A A B C− − 1 7 ( )0, 2A − E 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > 3 2 AF 2 3 3 O E A l E ,P Q OPQ∆ l ( ),0F c 2 2 3 3c = 3c = 3 2 c a = 2a = 2 2 2 1b a c= − = E 2 2 14 x y+ = l x⊥ l 2y kx= − ( ) ( )1 1 2 2, , ,P x y Q x y 2y kx= − 2 2 14 x y+ = ( )2 21 4 16 12 0k x kx+ − + = 216(4 3) 0k∆ = − > 2 3 4k > 2 1,2 2 8 2 4 3 1 4 k kx k ± −= + 2 2 2 1 2 2 4 1 4 31 1 4 k kPQ k x x k + −= + − = +  O PQ 2 2 1 d k = + OPQ∆ 2 2 1 4 4 3 2 1 4OPQ kS d PQ k∆ −= = + 24 3k t− = 0t > 2 4 4 144OPQ tS t t t ∆ = = ≤+ + 2t = 7 2k = ± 0∆ > OPQ∆ l 7 22y x= − 7 22y x= − − (21)【2014 年全国Ⅰ,理 21,12 分】设函数 ,曲线 在点 处的切线为 . (1)求 ; (2)证明: . 解:(1)函数 的定义域为 , 由题意可得 ,故 . ……6 分 (2)由(1)知, ,从而 等价于 ,设函数 ,则 ,所以当 时, ,当 时, ,故 在 单调减, 在 单调递增,从而 在 的最小值为 . ……8 分 设函数 ,则 ,所以当 时, ,当 时, , 故 在 单调递增,在 单调递减,从而 在 的最小值为 . 综上:当 时, ,即 .……12 分 请考生在(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答.注意:只能做所选定的题目.如果多做,则按所做第一个 题目计分,做答时,请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. (22)【2014 年全国Ⅰ,理 22,10 分】(选修 4-1:几何证明选讲)如图,四边形 是 的内 接四边形, 的延长线与 的延长线交于点 ,且 . (1)证明: ; (2)设 不是 的直径, 的中点为 ,且 ,证明: 为等边三角 形. 解:(1)由题设得, , , , 四点共圆,所以, 又 , ,所以 ……5 分 (2)设 的中点为 ,连结 ,则由 知 ,故 在直线 上, 又 不是 的直径, 为 的中点,故 ,即 , 所以 ,故 ,又 ,故 , 由(1)知, ,所以 为等边三角形. ……10 分 (23)【2014 年全国Ⅰ,理 23,10 分】(选修 4-4:坐标系与参数方程)已知曲线 ,直线 ( 为参数). (1)写出曲线 的参数方程,直线 的普通方程; (2)过曲线 上任意一点 作与 夹角为 30°的直线,交 于点 ,求 的最大值与最小值. 解:(1)曲线 的参数方程为 ( 为参数)直线 的普通方程为 . ……5 分 (2)曲线 上任意一点 到 的距离为 , 则 ,其中 为锐角,且 , 当 时, 取得最大值,最大值为 ( ) 1 ln x x bef x ae x x − = + ( )y f x= ( )( )1, 1f ( 1) 2y e x= − + ,a b ( ) 1f x > ( )f x ( )0,+∞ 1 1 2( ) lnx x x xa b bf x ae x e e ex x x − −′ = + − + (1) 2, (1)f f e′= = 1, 2a b= = 12( ) ln x x ef x e x x − = + ( ) 1f x > 2ln xx x xe e −> − ( ) lng x x x= ( ) lng x x x′ = + 10,x e  ∈   ( ) 0g x′ < 1,x e  ∈ +∞   ( ) 0g x′ > ( )g x 10, e      1,e  +∞   ( )g x ( )0,+∞ 1 1( )g e e = − 2( ) xh x xe e −= − ( )( ) 1xh x e x−′ = − ( )0,1x∈ ( ) 0h x′ > ( )1,x∈ +∞ ( ) 0h x′ < ( )h x ( )0,1 ( )1,+∞ ( )h x ( )g x ( )0,+∞ 1(1)h e = − 0x > ( ) ( )g x h x> ( ) 1f x > ABCD O AB DC E CB CE= D E∠ = ∠ AD O AD M MB MC= ABC∆ A B C D D CBE∠ = ∠ CB CE= CBE E∴∠ = ∠ D E∠ = ∠ BC N MN MB MC= MN BC⊥ O MN AD O M AD OM AD⊥ MN AD⊥ / /AD BC A CBE∠ = ∠ CBE E∠ = ∠ A E∠ = ∠ D E∠ = ∠ ADE∆ 2 2 : 14 9 x yC + = 2: 2 2 x tl y t = +  = − t C l C P l l A PA C 2cos 3sin x y θ θ =  = θ l 2 6 0x y+ − = C (2cos ,3sin )P θ θ l 5 | 4cos 3sin 6 |5d θ θ= + − 2 5| | | 5sin( ) 6 |sin30 5 dPA θ α= = + −  α 4tan 3 α = sin( ) 1θ α+ = − | |PA 22 5 5 当 时, 取得最小值,最小值为 . ……10 分 (24)【2014 年全国Ⅰ,理 24,10 分】(选修 4-5:不等式选讲)若 , 且 . (1)求 的最小值; (2)是否存在 ,使得 ?并说明理由. 解:(1)由 ,得 ,且当 时等号成立. 故 ,且当 时等号成立,所以 的最小值为 . ……5 分 (2)由(1)知, ,由于 ,从而不存在 ,使得 . ……10 分 sin( ) 1θ α+ = | |PA 2 5 5 0a > 0b > 1 1 aba b + = 3 3a b+ ,a b 2 3 6a b+ = 1 1 2ab a b ab = + ≥ 2ab ≥ 2a b= = 3 3 3 32 4 2a b a b+ ≥ ≥ 2a b= = 3 3a b+ 4 2 2 3 2 6 4 3a b ab+ ≥ ≥ 4 3 6> ,a b 2 3 6a b+ =