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2014 年普通高等学校招生全国统一考试(全国Ⅰ)
数学(理科)
第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
(1)【2014 年全国Ⅰ,理 1,5 分】已知集合 , ,则 =( )
(A) (B) (C) (D)
【答案】A
【解析】∵ , ,∴ ,故选 A.
(2)【2014 年全国Ⅰ,理 2,5 分】 ( )
(A) (B) (C) (D)
【答案】D
【解析】∵ ,故选 D.
(3)【2014 年全国Ⅰ,理 3,5 分】设函数 , 的定义域为 ,且 是奇函数, 是偶函
数,则下列结论中正确的是( )
(A) 是偶函数 (B) 是奇函数 (C) 是奇函数 (D) 是奇函
数
【答案】C
【解析】∵ 是奇函数, 是偶函数,∴ 为偶函数, 为偶函数.再根据两个奇函数的积是偶函
数、两个偶函数的积还是偶函数、一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数,可得 为奇函数,
故选 C.
(4)【2014 年全国Ⅰ,理 4,5 分】已知 是双曲线 : 的一个焦点,则点 到 的一条
渐近线的距离为( )
(A) (B)3 (C) (D)
【答案】A
【解析】由 : ,得 , ,设 ,一条渐近线
,即 ,则点 到 的一条渐近线的距离 ,故选 A.
(5)【2014 年全国Ⅰ,理 5,5 分】4 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,则周六、周日都
有同学参加公益活动的概率( )
(A) (B) (C) (D)
【答案】D
【解析】由题知 , 且 ,所以
,解得 ,故选 D.
(6)【2014 年全国Ⅰ,理 6,5 分】如图,圆 的半径为 1, 是圆上的定点, 是圆上的动点,
角 的始边为射线 ,终边为射线 ,过点 作直线 的垂线,垂足为 ,将点 到直
线 的距离表示为 的函数 ,则 在 上的图像大致为( )
{ }2 2 3 0A x x x= − − ≥ { }2 2B x x= − ≤ < A B
[ ]2, 1− − [ )1,2− [ ]1,1− [ )1,2
{ } { }2 2 3 0 1 3A x x x x x x= − − ≥ = ≤ − ≥或 { }2 2B x x= − ≤ < { }2 1A B x x= − ≤ ≤ −
( )
( )
3
2
1 i
1 i
+ =
−
1 i+ 1 i− 1 i− + 1 i− −
3
2
(1 i) 2i(1 i) 1 i(1 i) 2i
+ += = − −− −
( )f x ( )g x R ( )f x ( )g x
( ) ( )f x g x ( ) ( )f x g x ( ) | ( ) |f x g x | ( ) ( ) |f x g x
( )f x ( )g x ( )f x ( )g x
( ) | ( ) |f x g x
F C 2 2 3 ( 0)x my m m− = > F C
3 3m 3m
C 2 2 3 ( 0)x my m m− = >
2 2
13 3
x y
m
− = 2 3 3, 3 3c m c m= + = + ( )3 3,0F m +
3
3
y x
m
= 0x my− = F C 3 3 3
1
md
m
+= =
+
1
8
3
8
5
8
7
8
( )1 3,0F − ( )2 3,0F
2
20
0 12
x y− = ( ) ( )1 2 0 0 0 03 , 3 ,MF MF x y x y⋅ = − − − ⋅ − −
2 2 2
0 0 03 3 1 0x y y= + − = − < 0
3 3
3 3y− < <
O A P
x OA OP P OA M M
OP x ( )f x ( )y f x= [ ]0,π
(A) (B) (C) (D)
【答案】B
【解析】如图:过 作 于 ,则 , ,在 中,
,∴ ,
故选 B.
(7)【2014 年全国Ⅰ,理 7,5 分】执行下图的程序框图,若输入的 分别为 1,2,3,则输出
的 ( )
(A)
(B)
(C) (D)
【答案】D
【解析】输入 ; 时: ;
时: ; 时: ;
时:输出 ,故选 D.
(8)【2014 年全国Ⅰ,理 8,5 分】设 , ,且 ,则( )
(A) (B) (C) (D)
【答案】B
【解析】∵ ,∴ , ,
,∴ ,即 ,故选 B.
(9)【2014 年全国Ⅰ,理 9,5 分】不等式组 的解集记为 .有下面四个命题: :
,
: , : , : .其中真命题是( )
(A) , (B) , (C) , (D) ,
【答案】C
【解析】作出可行域如图:设 ,即 ,当直线过 时,
,
∴ ,∴命题 、 真命题,故选 C.
(10)【2014 年全国Ⅰ,理 10,5 分】已知抛物线 : 的焦点为 ,准线为 , 是 上一点, 是直
线 与 的一个交点,若 ,则 ( )
(A) (B) (C)3 (D)2
【答案】C
【解析】过 作 于 ,∵ ,∴ ,又 ,∴ ,
由抛物线定义知 ,故选 C.
D
M MD OP⊥ D sinPM x= cosOM x= Rt OMP∆
cos sin 1cos sin sin 21 2
x xOM PMMD x x xOP
⋅⋅= = = ⋅ = ( ) 1 sin 2 (0 )2f x x x π= ≤ ≤
, ,a b k
M =
20
3
16
5
7
2
15
8
1, 2, 3a b k= = = 1n = 1 3 31 , 2,2 2 2M a b= + = = =
2n = 2 8 3 82 , ,3 3 2 3M a b= + = = = 3n = 3 3 15 8 15, ,2 8 8 3 8M a b= + = = =
4n = 15
8M =
(0, )2
πα ∈ (0, )2
πβ ∈ 1 sintan cos
βα β
+=
3 2
πα β− = 2 2
πα β− = 3 2
πα β+ = 2 2
πα β+ =
sin 1 sintan cos cos
α βα α β
+= = sin cos cos cos sinα β α α β= + ( )sin cos sin 2
πα β α α − = = −
,02 2 2 2
π π π πα β α− < − < < − <
2
πα β α− = − 2 2
πα β− =
1
2 4
x y
x y
+ ≥
− ≤ 1p
( , ) , 2 2x y D x y∀ ∈ + ≥ −
2p ( , ) , 2 2x y D x y∃ ∈ + ≥ 3P ( , ) , 2 3x y D x y∀ ∈ + ≤ 4p ( , ) , 2 1x y D x y∃ ∈ + ≤ −
2p 3p 1p 4p 1p 2p 1p 3p
2x y z+ = 1
2 2
zy x= − + ( )2, 1A −
min 2 2 0z = − + =
0z ≥ 1p 2p
C 2 8y x= F l P l Q
PF C 4FP FQ= | |QF =
7
2
5
2
Q QM l⊥ M 4FP FQ= 3
4
PQ
PF
= 3
4 4
QM PQ
PF
= = 3QM =
3QF QM= =
(11)【2014 年全国Ⅰ,理 11,5 分】已知函数 ,若 存在唯一的零点 ,且 , 则
的取值范围为( )
(A) (B) (C) (D)
【答案】B
【解析】解法一:
由已知 , ,令 ,得 或 ,
当 时, ;
且 , 有小于零的零点,不符合题意.
当 时,
要使 有唯一的零点 且 ,只需 ,即 , ,故选 B.
解法二:
由已知 , 有唯一的正零点,等价于 有唯一的正零根,令 ,则
问题又等价于 有唯一的正零根,即 与 有唯一的交点且交点在在 轴右侧记
, ,由 , , ,
,要使 有唯一的正零根,只需 ,故选 B.
(12)【2014 年全国Ⅰ,理 12,5 分】如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗实线画出的是某多面
体的三视图,则该多面体的个条棱中,最长的棱的长度为( )
(A) (B) (C)6 (D)4
【答案】C
【解析】如图所示,原几何体为三棱锥 ,其中 ,
,故最长的棱的长度为 ,故选 C.
第 II 卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题,每个试题考生都必须作答.第
(22)题~第(24)题为选考题,考生根据要求作答.
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分
(13)【2014 年全国Ⅰ,理 13,5 分】 的展开式中 的系数为 .(用数字填写答案)
【答案】
【解析】 展开式的通项为 ,∴ , ,
∴ 的展开式中 的项为 ,故系数为 .
(14)【2014 年全国Ⅰ,理 14,5 分】甲、乙、丙三位同学被问到是否去过 、 、 三个城市时,甲
说:我去过的城市比乙多,但没去过 城市;乙说:我没去过 城市;丙说:我们三人去过同一城市;由
此可判断乙去过的城市为 .
【答案】
【解析】由乙说:我没去过 城市,则乙可能去过 城市或 城市,但甲说:我去过的城市比乙多,但没去过
城市,则乙只能是去过 , 中的任一个,再由丙说:我们三人去过同一城市,则由此可判断乙去过的
城市为 .
(15)【2014 年全国Ⅰ,理 15,5 分】已知 , , 是圆 上的三点,若 ,则 与 的
夹角为 .
【答案】
【解析】∵ ,∴ 为线段 中点,故 为 的直径,∴ ,∴ 与 的夹
角为 .
( ) 3 23 1f x ax x= − + ( )f x 0x 0 0x > a
( )2,+∞ ( ), 2−∞ − ( )1,+∞ ( ), 1−∞ −
0a ≠ 2( ) 3 6f x ax x′ = − ( ) 0f x′ = 0x = 2x a
=
0a > ( ) 2 2,0 , ( ) 0; 0, , ( ) 0; , , ( ) 0x f x x f x x f xa a
′ ′ ′∈ −∞ > ∈ < ∈ +∞ >
(0) 1 0f = > ( )f x
0a < ( )2 2, , ( ) 0; ,0 , ( ) 0; 0, , ( ) 0x f x x f x x f xa a
′ ′ ′∈ −∞ < ∈ > ∈ +∞ <
( )f x 0x 0 0x > 2( ) 0f a
> 2 4a > 2a < −
0a ≠ ( ) 3 23 1f x ax x= − +
3
1 13a x x
= ⋅ − 1t x
=
3 3a t t= − + y a= 3 3y t t= − + y
3( ) 3f t t t= − + 2( ) 3 3f t t′ = − + ( ) 0f t′ = 1t = ± ( ) ( ), 1 , ( ) 0; 1,1 , ( ) 0;t f t t f t′ ′∈ −∞ − < ∈ − >
( )1, , ( ) 0t f t′∈ +∞ < 3 3a t t= − + ( 1) 2a f< − = −
6 2 4 2
D ABC− 4, 4 2, 2 5AB BC AC DB DC= = = = =
( )2
4 2 4 6DA = + = 6DA =
8( )( )x y x y− + 2 2x y
20−
8( )x y+ 8
1 8 ( 0,1, ,8)r r r
rT C x y r−
+ = =
7 7 7
8 8 8T C xy xy= = 6 2 6 2 6
7 8 28T C x y x y= =
8( )( )x y x y− + 2 7x y 7 2 6 2 78 28 20x xy y x y x y⋅ − ⋅ = − 20−
A B C
B C
A
C A B B
A B
A
A B C O 1 ( )2AO AB AC= + AB AC
090
1 ( )2AO AB AC= + O BC BC O
090BAC∠ = AB AC
090
(16 )【2014 年全国Ⅰ ,理 16 ,5 分】已知 分别为 的三个内角 的对边, ,且
,则 面积的最大值为 .
【答案】
【解析】由 且 ,即 ,由及正弦定理得:
,∴ ,故 ,∴ ,∴ ,
,∴ .
三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
(17)【2014 年全国Ⅰ,理 17,12 分】已知数列 的前 项和为 , , , ,其中
为常数.
(1)证明: ;
(2)是否存在 ,使得 为等差数列?并说明理由.
解:(1)由题设 , ,两式相减 ,由于 ,
所以 . ……6 分
(2)由题设 , ,可得 ,由(1)知
假设 为等差数列,则 成等差数列,∴ ,解得 ;
证明 时, 为等差数列:由 知:数列奇数项构成的数列 是首项为 1,公差为
4 的等差数列 ,令 则 ,∴
数列偶数项构成的数列 是首项为 3,公差为 4 的等差数列 ,令 则 ,
∴ ,∴ ( ),
因此,存在存在 ,使得 为等差数列. ……12 分
(18)【2014 年全国Ⅰ,理 18,12 分】从某企业的某种产品中抽取 500 件,测
量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如下频率分布直方图:
(1)求这 500 件产品质量指标值的样本平均数 和样本方差 (同一组
数据用该区间的中点值作代表);
(2)由频率分布直方图可以认为,这种产品的质量指标值 服从正态分
布 ,其中 近似为样本平均数 , 近似为样本方差 .
(i)利用该正态分布,求 ;
(ii)某用户从该企业购买了 100 件这种产品,记 表示 100 件产品中质量指标值为区间
(187.8,212.2)
的产品件数,利用(i)的结果,求 .
附: .若 ,则 ,
=0.9544.
解:(1)抽取产品质量指标值的样本平均数 和样本方差 分别为:
.
……6 分
(2)(ⅰ)由(1)知 ,从而 .
……9 分
(ⅱ)由(ⅰ)知,一件产品中质量指标值为于区间(187.8,212.2)的概率为 0.6826
依题意知 ,所以 . ……12 分
(19)【2014 年全国Ⅰ,理 19,12 分】如图三棱柱 中,侧面 为菱
形, .
(1)证明: ;
, ,a b c ABC∆ , ,A B C 2a =
(2 )(sin sin ) ( )sinb A B c b C+ − = − ABC∆
3
2a = (2 )(sin sin ) ( )sinb A B c b C+ − = − ( )(sin sin ) ( )sina b A B c b C+ − = −
( )( ) ( )a b a b c b c+ − = − 2 2 2b c a bc+ − =
2 2 2 1cos 2 2
b c aA bc
+ −= = 060A∠ = 2 2 4b c bc+ − =
2 24 b c bc bc= + − ≥ 1 sin 32ABCS bc A∆ = ≤
{ }na n nS 1 1a = 0na ≠ 1 1n n na a Sλ+ = − λ
2n na a λ+ − =
λ { }na
1 1n n na a Sλ+ = − 1 2 1 1n n na a Sλ+ + += − ( )1 2 1n n n na a a aλ+ + +− = 0na ≠
2n na a λ+ − =
1 1a = 1 2 1 1a a Sλ= − 2 1 1a λ= − 3 1a λ= +
{ }na 1 2 3, ,a a a 1 3 22a a a+ = 4λ =
4λ = { }na 2 4n na a+ − = { }2 1ma −
2 1 4 3ma m− = − 2 1,n m= − 1
2
nm
+= 2 1na n= − ( 2 1)n m= −
{ }2ma 2 4 1ma m= − 2 ,n m=
2
nm =
2 1na n= − ( 2 )n m= 2 1na n= − *n N∈ 1 2n na a+ − =
4λ = { }na
x 2s
Z
2( , )N µ δ µ x 2δ 2s
(187.8 212.2)P Z< <
X
EX
150 12.2≈ 2( , )Z N µ δ ( ) 0.6826P Zµ δ µ δ− < < + = ( 2 2 )P Zµ δ µ δ− < < +
x 2s
170 0.02 180 0.09 190 0.22 200 0.33 210 0.24 220 0.08 230 0.02 200x = × + × + × + × + × + × + × =
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 22 30 0.02 20 0.09 10 0.22 0 0.33 10 0.24 20 0.08 30 0.02 150s = − × + − × + − × + × + × + × + × =
(200,150)Z N (187.8 212.2)P Z< < = (200 12.2 200 12.2) 0.6826P Z− < < + =
(100,0.6826)X B 100 0.6826 68.26EX = × =
1 1 1ABC A B C− 1 1BB C C
1AB B C⊥
1AC AB=
(2)若 , , ,求二面角 的余弦值.
解:(1)连结 ,交 于 ,连结 .因为侧面 为菱形,所以 ,
且 为 与 的中点.又 ,所以 平面 ,故
又 ,故 . ……6 分
(2)因为 且 为 的中点,所以 ,又因为 ,所以 ,故
,从而 , , 两两互相垂直. 以 为坐标原点, 的方向
为 轴正方向, 为单位长,建立如图所示空间直角坐标系 . 因为
,所以 为等边三角形.又 ,则 ,
, , , ,
,
,设 是平面的
法向量,则 ,即 所以可取 ,设 是平面的法向量,则
,同理可取 ,则 ,所以二面角 的余弦值
为 . ……12 分
(20)【2014 年全国Ⅰ,理 20,12 分】已知点 ,椭圆 : 的离心率为 , 是
椭圆的焦点,直线 的斜率为 , 为坐标原点.
(1)求 的方程;
(2)设过点 的直线 与 相交于 两点,当 的面积最大时,求 的方程.
解:(1)设 ,由条件知 ,得 ,又 ,
所以 , ,故 的方程 . ……6 分
( 2 ) 依 题 意 当 轴 不 合 题 意 , 故 设 直 线 : , 设 , 将 代 入
,
得 ,当 ,即 时,
从而 ,又点 到直线 的距离 ,所以 的
面积 ,设 ,则 , ,
当且仅当 , 等号成立,且满足 ,所以当 的面积最大时, 的方程为:
或 .
.……12 分
F
1AC AB⊥ o
1 60CBB∠ = AB BC= 1 1 1A A B C− −
1BC 1B C O AO 1 1BB C C 1 1B C BC⊥
O 1B C 1BC 1AB B C⊥ 1B C ⊥ ABO 1B C AO⊥
1B O CO= 1AC AB=
1AC AB⊥ O 1B C AO CO= AB BC= BOA BOC∆ ≅ ∆
OA OB⊥ OA OB 1OB O OB
x OB O xyz−
0
1 60CBB∠ = 1CBB∆ AB BC= 30,0, 3A
( )1,0,0B 1
30, ,03B
30, ,03C
− 1
3 30, ,3 3AB
= −
1 1
31,0, 3A B AB
= = −
1 1
31, ,03B C BC
= = − −
( ), ,n x y z=
1
1 1
0
0
n AB
n A B
= =
3 3 03 3
3 03
y z
x z
− =
− =
( )1, 3, 3n = m
1 1
1 1
0
0
m A B
n B C
= =
( )1, 3, 3m = − 1cos , 7
n mn m
n m
= =
1 1 1A A B C− −
1
7
( )0, 2A − E
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > > 3
2
AF 2 3
3
O
E
A l E ,P Q OPQ∆ l
( ),0F c 2 2 3
3c
= 3c = 3
2
c
a
=
2a = 2 2 2 1b a c= − = E
2
2 14
x y+ =
l x⊥ l 2y kx= − ( ) ( )1 1 2 2, , ,P x y Q x y 2y kx= −
2
2 14
x y+ =
( )2 21 4 16 12 0k x kx+ − + = 216(4 3) 0k∆ = − > 2 3
4k >
2
1,2 2
8 2 4 3
1 4
k kx k
± −= +
2 2
2
1 2 2
4 1 4 31 1 4
k kPQ k x x k
+ −= + − = +
O PQ 2
2
1
d
k
=
+ OPQ∆
2
2
1 4 4 3
2 1 4OPQ
kS d PQ k∆
−= = +
24 3k t− = 0t > 2
4 4 144OPQ
tS t t t
∆ = = ≤+ +
2t = 7
2k = ± 0∆ > OPQ∆ l
7 22y x= − 7 22y x= − −
(21)【2014 年全国Ⅰ,理 21,12 分】设函数 ,曲线 在点 处的切线为
.
(1)求 ;
(2)证明: .
解:(1)函数 的定义域为 ,
由题意可得 ,故 . ……6 分
(2)由(1)知, ,从而 等价于 ,设函数 ,则
,所以当 时, ,当 时, ,故 在 单调减,
在 单调递增,从而 在 的最小值为 . ……8
分
设函数 ,则 ,所以当 时, ,当 时,
,
故 在 单调递增,在 单调递减,从而 在 的最小值为 .
综上:当 时, ,即 .……12 分
请考生在(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答.注意:只能做所选定的题目.如果多做,则按所做第一个
题目计分,做答时,请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.
(22)【2014 年全国Ⅰ,理 22,10 分】(选修 4-1:几何证明选讲)如图,四边形 是 的内
接四边形, 的延长线与 的延长线交于点 ,且 .
(1)证明: ;
(2)设 不是 的直径, 的中点为 ,且 ,证明: 为等边三角
形.
解:(1)由题设得, , , , 四点共圆,所以,
又 , ,所以 ……5 分
(2)设 的中点为 ,连结 ,则由 知 ,故 在直线 上,
又 不是 的直径, 为 的中点,故 ,即 ,
所以 ,故 ,又 ,故 ,
由(1)知, ,所以 为等边三角形. ……10 分
(23)【2014 年全国Ⅰ,理 23,10 分】(选修 4-4:坐标系与参数方程)已知曲线 ,直线
( 为参数).
(1)写出曲线 的参数方程,直线 的普通方程;
(2)过曲线 上任意一点 作与 夹角为 30°的直线,交 于点 ,求 的最大值与最小值.
解:(1)曲线 的参数方程为 ( 为参数)直线 的普通方程为 . ……5
分
(2)曲线 上任意一点 到 的距离为 ,
则 ,其中 为锐角,且 ,
当 时, 取得最大值,最大值为
( ) 1
ln
x
x bef x ae x x
−
= + ( )y f x= ( )( )1, 1f
( 1) 2y e x= − +
,a b
( ) 1f x >
( )f x ( )0,+∞ 1 1
2( ) lnx x x xa b bf x ae x e e ex x x
− −′ = + − +
(1) 2, (1)f f e′= = 1, 2a b= =
12( ) ln
x
x ef x e x x
−
= + ( ) 1f x > 2ln xx x xe e
−> − ( ) lng x x x=
( ) lng x x x′ = + 10,x e
∈ ( ) 0g x′ < 1,x e
∈ +∞ ( ) 0g x′ > ( )g x 10, e
1,e
+∞ ( )g x ( )0,+∞ 1 1( )g e e
= −
2( ) xh x xe e
−= − ( )( ) 1xh x e x−′ = − ( )0,1x∈ ( ) 0h x′ > ( )1,x∈ +∞
( ) 0h x′ <
( )h x ( )0,1 ( )1,+∞ ( )h x ( )g x ( )0,+∞ 1(1)h e
= −
0x > ( ) ( )g x h x> ( ) 1f x >
ABCD O
AB DC E CB CE=
D E∠ = ∠
AD O AD M MB MC= ABC∆
A B C D D CBE∠ = ∠
CB CE= CBE E∴∠ = ∠ D E∠ = ∠
BC N MN MB MC= MN BC⊥ O MN
AD O M AD OM AD⊥ MN AD⊥
/ /AD BC A CBE∠ = ∠ CBE E∠ = ∠ A E∠ = ∠
D E∠ = ∠ ADE∆
2 2
: 14 9
x yC + =
2: 2 2
x tl y t
= +
= − t
C l
C P l l A PA
C 2cos
3sin
x
y
θ
θ
=
=
θ l 2 6 0x y+ − =
C (2cos ,3sin )P θ θ l 5 | 4cos 3sin 6 |5d θ θ= + −
2 5| | | 5sin( ) 6 |sin30 5
dPA θ α= = + −
α 4tan 3
α =
sin( ) 1θ α+ = − | |PA 22 5
5
当 时, 取得最小值,最小值为 . ……10 分
(24)【2014 年全国Ⅰ,理 24,10 分】(选修 4-5:不等式选讲)若 , 且 .
(1)求 的最小值;
(2)是否存在 ,使得 ?并说明理由.
解:(1)由 ,得 ,且当 时等号成立.
故 ,且当 时等号成立,所以 的最小值为 . ……5 分
(2)由(1)知, ,由于 ,从而不存在 ,使得 . ……10 分
sin( ) 1θ α+ = | |PA 2 5
5
0a > 0b > 1 1 aba b
+ =
3 3a b+
,a b 2 3 6a b+ =
1 1 2ab a b ab
= + ≥ 2ab ≥ 2a b= =
3 3 3 32 4 2a b a b+ ≥ ≥ 2a b= = 3 3a b+ 4 2
2 3 2 6 4 3a b ab+ ≥ ≥ 4 3 6> ,a b 2 3 6a b+ =