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- 2021-05-14 发布
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函数及其表示
【考纲说明】
1、了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域;了解映射的概念。
2、在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数。
3、了解简单的分段函数,并能简单应用。
4、本部分内容在高考中约占10分。
【趣味链接】
教室里有40个人(看成集合A),刚好有40张椅子(看成集合B)。如果你们很听话,每人坐一张椅子,就是一对一映射。但是如果你喜欢那个女生,你跑去和她共用一张椅子,也就是两个人都对应着同一张椅子,这就是多对一映射。但是你不可以一个人坐两张椅子,这样很霸道。也就是说你多少个人坐一张椅子都没关系,但是一个人不能坐多张椅子。也就是集合A中的很多元素都可以对应着集合B中的同一个元素,但是集合A中的一个元素不能同时对应着集合B中的多个元素。
于是,总的一句话,映射就是集合A中的任意一个元素,在集合B中都有唯一的元素与之对应。这句话有两个词很重要,一个是任意,另一个是唯一。
而函数呢,只要映射当中的集合A和集合B里面的元素都是数就叫做函数了。
【知识梳理】
一、 函数的概念
1、设是两个集合,如果按照某种对应法则,对于集合中的任意元素,在集合中都有唯一确定的元素与之对应,那么这样的单值对应叫做从到的映射,通常记为,f表示对应法则。
给定一个集合到集合的映射,且。如果元素和元素对应,那么我们把元素叫做元素的象,元素叫做元素的原象.
注意:(1)A中元素必须都有象且唯一;(2)B中元素不一定都有原象,但原象不一定唯一。
2、函数的定义:
设是两个非空的数集,如果按照某种对应法则,对于集合中的任意一个,在集合中都有唯一确定的数和它对应,那么这样的对应叫做从到的一个函数,通常记为。
3、函数的定义域、值域
在函数中,叫做自变量,的取值范围叫做的定义域;与的值相对应的值叫做函数值,函数值的集合称为函数的值域。显然,值域是集合B的子集。
4、函数的三要素:定义域、值域和对应关系。
5、区间的概念及表示法
设是两个实数,且,
满足的实数的集合叫做闭区间,记做;
满足的实数的集合叫做开区间,记做;
满足,或的实数的集合叫做半开半闭区间,分别记做,;
满足的实数的集合分别记做。
注意:对于集合与区间,前者可以大于或等于,而后者必须。
6、求函数的定义域时,一般遵循以下原则:
①是整式时,定义域是全体实数。
②是分式函数时,定义域是使分母不为零的一切实数。
③是偶次根式时,定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合。
④对数函数的真数大于零,当对数或指数函数的底数中含变量时,底数须大于零且不等于1。
⑤中,。
⑥零(负)指数幂的底数不能为零。
⑦若是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时,则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集。
⑧对于求复合函数定义域问题,一般步骤是:若已知的定义域为,其复合函数的定义域应由不等式解出。
⑨对于含字母参数的函数,求其定义域,根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论。
⑩由实际问题确定的函数,其定义域除使函数有意义外,还要符合问题的实际意义。
二、函数的表示方法
函数的三种表示法:图象法、列表法、解析法
1、图象法:就是用函数图象表示两个变量之间的关系;
2、列表法:就是列出表格来表示两个变量的函数关系;
3、解析法:就是把两个变量的函数关系,用等式来表示。
三、分段函数
若函数在其定义域的不同子集上,因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示,这种函数称为分段函数。
分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集,其值域等于各段函数的值域的并集,分段函数虽由几个部分组成,但它表示的是一个函数。
四、求函数解析式常用的方法
1、待定系数法
待定系数法是求函数解析式的常用方法之一,它适用于已知所求函数类型(如一次函数,二次函数,正、反例函数等)及函数的某些特征求其解析式的题目,它在函数解析式的确定中扮演着十分重要的角色。其方法:已知所求函数类型,可预先设出所求函数的解析式,再根据题意列出方程组求出系数。
2、 换元法
换元法也是求函数解析式的常用方法之一,它主要用来处理不知道所求函数的类型,且函数的变量易于用另一个变量表示的问题。它主要适用于已知复合函数的解析式,但使用换元法时要注意新元定义域的变化,最后结果要注明所求函数的定义域。
3、配凑法
已知复合函数的表达式,要求的解析式时,若表达式右边易配成的运算形式,则可用配凑法,使用配凑法时,要注意定义域的变化。
4、消元法,此方法的实质是解函数方程组
消元法适用的范围是:题高条件中,有若干复合函数与原函数混合运算,则要充分利用变量代换,然后联立方程组消去其余部分。
5、赋值法
赋值法是依据题条件的结构特点,由特殊到一般寻找普遍规律的方法。
其方法:将适当变量取特殊值,使问题具体化、简单化,依据结构特点,从而找出一般规律,求出解析式。
【经典例题】
【例1】(2009山东理)定义在R上的函数f(x)满足f(x)= ,则f(2009)的值为( )
A.-1 B. 0 C.1 D. 2
【解析】由已知得,,,
,,
,,,
所以函数f(x)的值以6为周期重复性出现.,所以f(2009)= f(5)=1,故选答案C.
【例2】(2009山东文)定义在R上的函数f(x)满足f(x)= ,则f(3)的值为( )
A.-1 B. -2 C.1 D. 2
【解析】由已知得,,,
,,故选B.
【例3】(2009江西理)函数的定义域为( )
A. B. C. D.
【解析】由.故选C.
【例4】(2009四川)已知函数是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数,且对任意实数都有
,则的值是 ( )
A. 0 B. C. 1 D.
【解析】若≠0,则有,取,则有:
(∵是偶函数,则
)由此得于是
故选答案A.
【例5】(2010福建)下列函数中,与函数 有相同定义域的是 ( )
A. B. C. D.
【解析】由可得定义域是的定义域;的定义域是≠0;的定义域是定义域是。故选答案A。
【例6】(2010浙江理)对于正实数,记为满足下述条件的函数构成的集合:且,有.下列结论中正确的是( )
A.若,,则
B.若,,且,则
C.若,,则
D.若,,且,则
【解析】对于,即有,令,有,不妨设,,即有,因此有,因此有.故选答案C.
【例7】(2011福建)定义在R上的偶函数的部分图像如右图所示,则在上,下列函数中与的单调性不同的是( )
A. B.
C. D.
【解析】根据偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反,故可知求在上单调递减,注意到要与的单调性不同,故所求的函数在上应单调递增。而函数在上递减;函数在时单调递减;函数在(上单调递减,理由如下y’=3x2>0(x<0),故函数单调递增, 显然符合题意;而函数,有y’=-<0(x<0),故其在(上单调递减, 不符合题意,综上选答案C。
【例8】(2009北京)已知函数若,则 .
【解析】由,无解,故应填.
【例9】(2008北京)若函数 则不等式的解集为____________.
【解析】(1)由.
(2)由.
∴不等式的解集为,∴应填
【例10】(2008浙江)已知函数,,其中.
(I)设函数.若在区间上不单调,求的取值范围;
(II)设函数 是否存在,对任意给定的非零实数,存在惟一的非零实数(),使得成立?若存在,求的值;若不存在,请说明理由.
【解析】(I)因,,因在区间上不单调,所以在上有实数解,且无重根,由得
,令有,记则在上单调递减,在上单调递增,所以有, 于是,得,而当时有在 上有两个相等的实根,故舍去,所以;
(II)当时有;
当时有,因为当时不合题意,因此,
下面讨论的情形,记A,B=(ⅰ)当时,在上单调递增,所以要使成立,只能且,因此有,(ⅱ)当时,在上单调递减,所以要使成立,只能且,因此,综合(ⅰ)(ⅱ);
当时A=B,则,即使得成立,因为在上单调递增,所以的值是唯一的;
同理,,即存在唯一的非零实数,要使成立,所以满足题意.
【课堂练习】
1、(2009山东)已知定义在R上的奇函数,满足,且在区间[0,2]上是增函数,则( )
A. B.
C. D.
2、(2009全国Ⅱ)函数y=(x0)的反函数是 ( )
A. (x0) B. (x0) C. (x0) D.(x0)
3、(2009江西)函数的定义域为( )
A. B. C. D.
4、(2008全国Ⅱ)设则 ( )
A. B. C. D.
5、(2009天津)设函数则不等式的解集是( )
A. B. C. D.
6、(2010天津)设函数f(x)在R上的导函数为f’(x),且2f(x)+xf’(x)>x,x下面的不等式在R内恒成立的是( )
A. B. C. D.
7、(2009湖南)设函数在(,+)内有定义,对于给定的正数K,定义函数
取函数=。若对任意的,恒有=,则( )
A. K的最大值为2 B. K的最小值为2 C. K的最大值为1 D. K的最小值为1
2. (2009天津理)已知函数若则实数的取值范围( )
A. B. C. D.
9、(2008年山东)设函数则的值为( )
A. B. C. D.
10、(2007福建)已知函数为R上的减函数,则满足的实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
11、(2007安徽)图中的图象所表示的函数的解析式为 ( )
A. (0≤x≤2) B. (0≤x≤2)
C. (0≤x≤2) D. (0≤x≤2)
12、(2007上海)函数的定义域是 .
13、(2006安徽)函数对于任意实数满足条件,若________.
14、(2006上海)已知函数是定义在上的偶函数. 当时,
,则当时, .
15、(2008安徽)已知函数,则不等式的解集为 .
16、(2009北京)函数,则,若,则实数的取值范围是 .
17、(2009江苏)已知集合,若则实数的取值范围是,其中= .
18、(2009广东)已知二次函数的导函数的图像与直线平行,且在=-1处取得最小值m-1(m).设函数.
(1)若曲线上的点P到点Q(0,2)的距离的最小值为,求m的值.
(2)如何取值时,函数存在零点,并求出零点.
19、(2008江苏)设为实数,函数.
(1)若,求的取值范围;
(2)求的最小值;
(3)设函数,直接写出(不需给出演算步骤)不等式的解集.
20、(2008上海)已知函数的反函数。定义:若对给定的实数,函数与互为反函数,则称满足“和性质”;若函数与互为反函数,则称满足“积性质”.
(1)判断函数是否满足“1和性质”,并说明理由;
(2)求所有满足“2和性质”的一次函数;
(3)设函数对任何,满足“积性质”。求的表达式.
【课后作业】
1、若函数是函数的反函数,且,则 ( )
A. B. C. D.2
2、函数的反函数是( )
A. B.
C. D.
3、设函数在内有定义,对于给定的正数K,定义函数
取函数。当=时,函数的单调递增区间为( )
A. B. C. D.
4、下列函数中,满足“对任意,(0,),当<时,都有>的是( )
A.= B. = C.= D..
5、已知函数满足:x≥4,则=;当x<4时=,则=( )
A. B.. C.. D.
6、已知函数的反函数为,则( )
A.0 B.1 C.2 D.4
7、已知函数连续,则常数的值是( )
A.2 B.3 C.4 D.5
8、若函数的零点与的零点之差的绝对值不超过0.25, 则可以是( )
A. B.
C. D.
9、设,则的定义域为( )
A. B. C. D.
10、函数的反函数是( )
A. B..
C. D.
11、函数的反函数为( )
A. B.
C. D.科
12、定义在R上的偶函数,满足,且在区间上为递增,则( )
A. B.
C. D.
13、已知,函数,若实数、满足,则、的大小关系为 .
14、函数的定义域为 .
15、已知定义在R上的奇函数,满足,且在区间[0,2]上是增函数,若方程f(x)=m(m>0)在区间上有四个不同的根,则
16、已知函数为上的奇函数,当时,.若,则实数 .
17、若对于任意a[-1,1], 函数f(x) = x+ (a-4)x + 4-2a的值恒大于零, 则x的取值范围是 .
18、设函数.
(1)求的单调区间;
(2)若当时,(其中)不等式恒成立,求实数的取值范围;
(3)试讨论关于的方程:在区间上的根的个数.
19、两县城A和B相距20km,现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧上选择一点C建造垃圾处理厂,其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关,对城A和城B的总影响度为城A与城B的影响度之和,记C点到城A的距离为x km,建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y,统计调查表明:垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比,比例系数为4;对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比,比例系数为k ,当垃圾处理厂建在的中点时,对城A和城B的总影响度为0.065.
(1)将y表示成x的函数;
A
B
C
x
(2)讨论(1)中函数的单调性,并判断弧上是否存在一点,使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小?若存在,求出该点到城A的距离;若不存在,说明理由.
1、 某地有三家工厂,分别位于矩形ABCD 的顶点A,B 及CD的中点P处,已知AB=20km,
CB=10km ,为了处理三家工厂的污水,现要在矩形ABCD 的区域上(含边界),
且A,B与等距离的一点O 处建造一个污水处理厂,并铺设排污管道AO,BO,OP,
设排污管道的总长为km.
(Ⅰ)按下列要求写出函数关系式:
①设∠BAO=(rad),将表示成的函数关系式;
②设OP(km) ,将表示成的函数关系式.
(Ⅱ)请你选用(Ⅰ)中的一个函数关系式,确定污水处理厂的位置,使三条排污管道总长度最短.
【参考答案】
【课堂练习】
1、D 2、B 3、D 4、B 5、A 6、A 7、D 8、A 9、A 10、C 11、B
12、
13、 -
14、
15、
16、
17、4
18、(1)设,则;又的图像与直线平行 又在取极小值, , , ;
, 设
则
;
(2)由,得
当时,方程有一解,函数有一零点;
当时,方程有二解,若,,
函数有两个零点;若,
,函数有两个零点;
当时,方程有一解, , 函数有一零点
19、(1)若,则
(2)当时,
当时,
综上
(3)时,得,
当时,;
当时,△>0,得:
讨论得:当时,解集为;
当时,解集为;
当时,解集为.
20、(1)函数的反函数是
而其反函数为 故函数不满足“1和性质”
(2)设函数满足“2和性质”,
而得反函数由“2和性质”定义可知=对恒成立即所求一次函数为
(3)设,,且点在图像上,则在函数图象上,
故,可得,
令,则。,即。
综上所述,,此时,其反函数就是,
而,故与互为反函数 。
【课后作业】
1、A 2、C 3、C 4、A 5、A 6、C 7、B 8、A 9、B 10、D 11、D 12、A
13、m3 15、-8 16、 17、(
18、(1)函数的定义域为. 由得;
由得, 则增区间为,减区间为.
(2)令得,由(1)知在上递减,在上递增,
由,且,
时, 的最大值为,故时,不等式恒成立.
(3)方程即.记,则.由得;由得.所以g(x)在[0,1]上递减,在[1,2]上递增.而g(0)=1,g(1)=2-2ln2,g(2)=3-2ln3,∴g(0)>g(2)>g(1) 所以,当a>1时,方程无解;
当3-2ln3<a≤1时,方程有一个解,当2-2ln2<a≤a≤3-2ln3时,方程有两个解;当a=2-2ln2时,方程有一个解;
当a<2-2ln2时,方程无解.综上所述,a时,方程无解;或a=2-2ln2
时,方程有唯一解;时,方程有两个不等的解.
19、(1)如图,由题意知AC⊥BC,,其中当时,y=0.065,所以k=9所以y表示成x的函数为
(2),,令得,所以,即,当时, ,即所以函数为单调减函数,当时, ,即所以函数为单调增函数.所以当时, 即当C点到城A的距离为时, 函数有最小值.
20、(Ⅰ)①设AB中点为Q,由条件知PQ 垂直平分AB,若∠BAO=(rad) ,则, 故,又OP=,所以, 所求函数关系式为
②若OP=(km) ,则OQ=10-,所以OA=OB=所求函数关系式为
(Ⅱ)选择函数模型①,令得sin,因为,所以=.当时,,是的减函数;当时,,y是的增函数.所以当=时,(km)。这时点0位于线段AB 的中垂线上,且距离AB边km处.