2012 广东各地 高考二模 理数打包二 49页

‎2012广东各地二模 理数 打包 肇庆 深圳 湛江 韶关 韶关市2012届高三模拟考试数学试题 数学试题（理科）‎ 本试卷共4页,21小题,满分150分.考试用时120分钟.‎ 注意事项：‎ ‎1.答卷前,考生要务必填写答题卷上密封线内的有关项目. ‎ ‎　　2.选择题每小题选出答案后，用铅笔把答案代号填在答题卷对应的空格内.‎ ‎　　3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.‎ ‎4.请考生保持答题卷的整洁.考试结束后，将答题卷和答题卡交回.‎ 参考公式:锥体的体积公式，其中S为锥体的底面面积，为锥体的高.‎ 一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.若复数是纯虚数，则实数的值是（ ）‎ A. B. 　C. D. 或 ‎2．已知集合R,Z,则（ ）‎ A. (0,2) B. [0,2] C. {0, 2} D. {0,1,2}‎ ‎3．设，则的大小关系是（C ）‎ A. B. C. D.‎ ‎4．一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为. ‎ A. B. C D. ‎ 图1‎ ‎5．设向量，，则下列结论正确的是 ( )‎ A. B. C. ∥ D. 与垂直 ‎ 6．执行如图1所示的程序框图后，输出的值为，则的取值范围（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎7. 下列四个判断：‎ ‎①某校高三一班和高三二班的人数分别是 ‎，某次测试数学平均分分别是，则这两个班的数学平均分为；‎ ‎②名工人某天生产同一零件，生产的件数是设其平均数为,中位数为,众数为，则有；‎ ‎③从总体中抽取的样本，则回归直线=必过点（）‎ ‎④已知服从正态分布,，且，则 ‎ 其中正确的个数有： （ ）‎ A．个 B． 个 C． 个 D．个 ‎8. 定义符号函数，设 ‎ ‎，，其中=, =, 若，则实数的取值范围是（ 　 ）‎ A. 　　　B. 　　C. 　　　D. ‎ 二、填空题:本大共7小题,考生作答6小题,每小题5分，满分30分.‎ ‎(一)必做题(9～13题)‎ ‎9．. 已知是单位圆上的点，且点在第二象限，点是此圆与x轴正半轴的交点，记, 若点的纵坐标为．则_____________; _______________. ‎ ‎10．以抛物线的焦点为圆心，且被轴截得的弦长等于的圆的方程为__________________. ‎ ‎11．从如图所示的长方形区域内任取一个点，则点取自阴影部分的概率为.‎ ‎12．已知满足约束条件，则的最小值是_________.‎ ‎13.设，若不等式对任意实数恒成立，则取值集合是_______________________.‎ ‎(二)选做题(14～15题,考生只能从中选做一题)‎ ‎14．（几何证明选讲选做题）‎ 如图，是圆的直径，，,则 ;‎ ‎ ‎ ‎15．(坐标系与参数方程选做题)‎ 已知直线方程是为参数），,以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为，则圆上的点到直线的距离最小值是 ‎ 三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎16. (本小题满分12分)‎ 已知等比数列的前项和为， ，且，，成等差数列.‎ ‎（1）求数列通项公式；‎ ‎（2）设，求数列前项和．‎ ‎17．(本小题满分14分)‎ 有一个3×4×5的长方体, 它的六个面上均涂上颜色. 现将这个长方体锯成60个1×1×1的小正方体，从这些小正方体中随机地任取1个，设小正方体涂上颜色的面数为. ‎ ‎（１）求的概率；‎ ‎（２）求的分布列和数学期望.‎ ‎18．(本小题满分14分)‎ O A B D C M N A B D C M N O 如图5(1)中矩形中，已知，, 分别为和的中点，对角线与交于点，沿把矩形折起，使平面与平面所成角为，如图5(2).‎ （1） 求证：；‎ （2） 求与平面所成角的正弦值.‎ ‎19．(本小题满分12分)‎ 在中，三个内角，，的对边分别为，，，其中， 且 图6‎ ‎(1)求证：是直角三角形；‎ ‎(2)如图6，设圆过三点，点位于劣弧上，求面积最大值.‎ ‎ ‎ ‎20.(本小题满分14分)‎ 在直角坐标系中，动点与定点的距离和它到定直线的距离之比是，设动点的轨迹为，是动圆上一点.‎ ‎（1）求动点的轨迹的方程；‎ ‎（2）设曲线上的三点与点的距离成等差数列，若线段的垂直平分线与轴的交点为，求直线的斜率；‎ ‎（3）若直线与和动圆均只有一个公共点，求、两点的距离的最大值.‎ ‎21．(本小题满分14分)‎ 已知函数，当时，函数取得极大值.‎ ‎（１）求实数的值；‎ ‎（２）已知结论：若函数在区间内导数都存在，且，则存在，使得.试用这个结论证明：若，函数，则对任意，都有；‎ ‎（３）已知正数，满足，求证：当，时，对任意大于，且互不相等的实数，都有.‎ ‎2012届高考模拟测试数学试题(理科)‎ 参考答案和评分标准 一．选择题：CACBD ABB 二填空题：9. （2分）（3分） 10. 11. 12. ‎ ‎13. 14. 15. ‎ 三、解答题： 本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎16．(本题满分14分)‎ 解：（1）设数列的公比为，……………1分 若，则，，，故，与已知矛盾，故，………………………………………………2分 从而得，………………………………………………4分 由，，成等差数列，得，‎ 即，‎ 解得……………………………………………5分 所以.………………………………………………6分 ‎（2）由（１）得，，………………………………7分 所以 ‎………………………………10分 ‎……………………………12分 ‎17．(本题满分12分)‎ ‎（１）60个1×1×1的小正方体中，没有涂上颜色的有6个， … （3分）‎ ‎（２）由（1）可知 ‎；；； … （7分）‎ 分布列 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ p ‎ … （10分）‎ ‎ E=0×+1×+2×+3×= …（12分）‎ A B D C M N O O A B D C M N ‎18(本题满分14分) ‎ 解：（1）由题设，M，N是矩形的边AD和BC的中点，所以AMMN, BCMN, 折叠垂直关系不变，所以∠AMD 是平面与平面的平面角，依题意，所以∠AMD=60o，‎ ‎………………………………………………………………………………………………………２分 由AM=DM，可知△MAD是正三角形，所以AD=，在矩形ABCD中，AB=2,AD=,所以，BD=，由题可知BO=OD=，由勾股定理可知三角形BOD是直角三角形，所以BO⊥DO ……………………………………………………………………………………… 5分 解（２）设E，F是BD，CD的中点，则EFCD, OFCD, 所以，CD面OEF, ‎ 又BO=OD，所以BD, 面ABCD, 面, 平面BOD⊥平面ABCD 过A作AH⊥BD，由面面垂直的性质定理,可得AH⊥平面BOD，连结OH ，…………………… 8分 所以OH是AO在平面BOD的投影，所以∠AOH为所求的角,即AO与平面BOD 所成角。……………………11分 A B D C M N O H AH是RT△ABD斜边上的高，所以AH=，BO=OD=，‎ 所以sin∠AOH=（14分）‎ 方法二：空间向量：取MD，NC中点P，Q，如图建系， … ‎ Q（0，0，0），B（，0，0），D（0，，2），O（0，，1）‎ A B D C M N O P Q 所以（，，1），（0，，‎ 所以0，即BO⊥DO（5分）‎ ‎（2）设平面BOD的法向量是，可得+=0‎ ‎=0，令可得所以 又（，，，‎ 设AO与平面BOD所成角为 ‎=（14分）‎ ‎19．(本题满分14分)‎ ‎(1)证明：由正弦定理得，…………………………………2分 整理为，即 ………………………3分 又因为 ‎∴或，即或……………6分 ‎∵， ∴舍去，故 由可知，∴是直角三角形……………6分 ‎(2)由(1)及，得，， ……………7分 设，则， ……………8分 在中， 　所以 ‎ ……………10分 ‎ ………………………12分 因为所以，‎ 当，即时，最大值等于.…………………………………14分 ‎20．(本题满分14分)‎ 解：（1）由已知，得，…………………………1分.‎ 将两边平方，并化简得， …………………………3分.‎ 故轨迹的方程是。 ………………4分.‎ ‎（2）由已知可得，，，‎ 因为，所以，‎ 即得， ① …………………………5分.‎ 故线段的中点为，其垂直平分线方程为， ②‎ ‎ …………………………6分.‎ 因为在椭圆上，故有，，两式相减，‎ 得： ③‎ 将①代入③，化简得， ④ ………………………7分.‎ 将④代入②，并令得，，即的坐标为。………………………8分.‎ 所以. ………………………9分.‎ 设、，直线的方程为 因为既在椭圆上又在直线上，从而有 将（1）代入（2）得 ………10分.‎ 由于直线与椭圆相切，故 从而可得， （3）‎ 同理，由既在圆上又在直线上，可得 ‎， （4）……………………12分 由（3）、（4）得， ‎ 所以 ‎ ‎ …………………………13分.‎ 即，当且仅当时取等号，‎ 故、两点的距离的最大值. …………………………14分.‎ ‎21．(本题满分14分)‎ 解：（１）. 由，得，此时.‎ 当时，，函数在区间上单调递增；‎ 当时，，函数在区间上单调递减. ‎ 函数在处取得极大值，故.…………………………3分 ‎（２）令，…………………4分 则.‎ 函数在上可导，存在，‎ 使得.‎ ‎，‎ 当时，，单调递增，；‎ 当时，，单调递减，；‎ 故对任意，都有.…………………………8分 ‎（３）用数学归纳法证明.‎ ‎①当时，，且，，‎ ‎，由（Ⅱ）得，即 ‎，‎ 当时，结论成立. …………………………9分 ‎②假设当时结论成立，即当时，. 当时，设正数满足，令，， 则，且.‎ ‎ …………………………13分 当时，结论也成立.‎ 综上由①②，对任意，，结论恒成立. …………………………14分 肇庆市中小学教学质量评估 ‎2012届高中毕业班第二次模拟试题 数 学（理科）‎ 注意事项：1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的班别、姓名、考号填写在答题 卡的密封线内.‎ ‎2. 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能写在试卷上.‎ ‎3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在另发的答题卷各题目指定区域内相应的位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.‎ 本试卷共4页，21小题，满分150分. 考试用时120分钟.‎ ‎1．参考公式：锥体的体积公式其中S为锥体的底面积，为锥体的高 ‎ 球的表面积公式，体积公式其中为球的半径 ‎2．样本数据的样本方差，其中为样本平均数．‎ 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．设（是虚数单位），则 A． B． C． D． ‎ ‎2．若集合，则集合 A. B. C. D. R ‎ ‎3．已知ABCD中，，，对角线AC与BD交于点O，则 的坐标为 A. B. C. D. ‎ ‎4．给出以下三幅统计图及四个命题：‎ ‎ ‎ ‎①从折线统计图能看出世界人口的变化情况；②2050年非洲人口大约将达到15亿；③2050年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多；④从1957年到2050年各洲中北美洲人口增长速度最慢.‎ 其中命题正确的是 A．①② B．①③ C. ①④ D．②④‎ ‎5. “是锐角”是“”的 ‎ ‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 ‎ C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎6. 已知某几何体的三视图如图1所示，则该几何体的体积为 A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎7. 已知，，规定：当时, ；当时, ，则 A. 有最小值,最大值1 B. 有最大值1,无最小值 C. 有最小值,无最大值 D. 有最大值,无最小值 ‎8．若对于定义在上的函数，其函数图象是连续的，且存在常数（），使得对任意的实数x成立，则称是“同伴函数”．下列关于“同伴函数”的叙述中正确的是 A．“同伴函数”至少有一个零点 B. 是一个“同伴函数”‎ C. 是一个“同伴函数” D. 是唯一一个常值“同伴函数”‎ 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分。‎ ‎ (一）必做题（9-13题）‎ ‎9．不等式的解集是 ▲ .‎ ‎10．在数列，，，要计算此数列前30项的和，现已给出了该问题算法的程序框图（如图2所示），请在图中判断框内（1）处和执行框中的（2）处填上合适的语句，使之能完成该题算法功能. （1） ▲ （2） ▲ ‎ ‎11．某车间在三天内，每天生产10件某产品，其中第一天，第二天分别生产出了1件、件次品，而质检部每天要从生产的10件产品中随意抽取4件进行检查，若发现有次品，则当天的产品不能通过. 则第一天通过检查的概率是 ▲ ；若的第三项的二项式系数为5n，则第二天通过检查的概率 ▲ .‎ ‎12．曲线的切线中，斜率最小的切线方程为_ ▲_.‎ ‎13．若点P在直线上，过点P的直线与圆只有一个公共点M，且的最小值为4，则 ▲ ．‎ ‎（ ） ▲ ‎ ‎14.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线与（）的交点的极坐标为 ▲ ‎ ‎15.（几何证明选讲选做题）如图3，AB的延长线上任取一点C，过C作圆的切线CD，切点为D，的平分线交AD于E,则 ▲ .‎ 三、解答题:本大题共6小题，满分80分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. ‎ ‎16.（本小题满分12分）‎ 如图4，某测量人员，为了测量西江北岸不能到达的两点A，B之间的距离，她在西江南岸找到一个点C，从C点可以观察到点A，B；找到一个点D，从D点可以观察到点A，C；找到一个点E，从E 点可以观察到点B，C；并测量得到数据：，，， ，，DC=CE=1（百米）.‎ ‎（1）求DCDE的面积；‎ ‎（2）求A，B之间的距离.‎ ‎17.（本小题满分12分）‎ ‎“肇实，正名芡实，因肇庆所产之芡实颗粒大、药力强，故名。”某科研所为进一步改良肇实，为此对肇实的两个品种（分别称为品种A和品种B）进行试验．选取两大片水塘，每大片水塘分成n小片水塘，在总共2n小片水塘中，随机选n小片水塘种植品种A，另外n小片水塘种植品种B．‎ ‎（1）假设n=4，在第一大片水塘中，种植品种A的小片水塘的数目记为，求的分布列和数学期望；‎ ‎（2）试验时每大片水塘分成8小片，即n=8，试验结束后得到品种A和品种B在每个小片水塘上的每亩产量（单位：kg/亩）如下表：‎ ‎ 号码 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 品种A ‎101‎ ‎97‎ ‎92‎ ‎103‎ ‎91‎ ‎100‎ ‎110‎ ‎106‎ 品种B ‎115‎ ‎107‎ ‎112‎ ‎108‎ ‎111‎ ‎120‎ ‎110‎ ‎113‎ 分别求品种A和品种B的每亩产量的样本平均数和样本方差；根据试验结果，你认为应该种植哪一品种？‎ ‎18.（本小题满分14分）‎ 如图5，AB是圆柱ABFG的母线，C是点A关于点B对称的点，O是圆柱上底面的圆心，BF过O点，DE是过O点的动直径，且AB=2，BF=2AB.‎ ‎（1）求证：BE⊥平面ACD；‎ ‎（2）当三棱锥D—BCE的体积最大时，求二面角C—DE—A的平面角的余弦值.‎ ‎19.（本题满分14分）‎ 数列的前n项和记为Sn，，点（Sn，）在直线上，n∈N*．‎ ‎（1）若数列是等比数列，求实数t的值；‎ ‎（2）设，在（1）的条件下，求数列的前n项和；‎ ‎（3）设各项均不为0的数列中，所有满足的整数i的个数称为这个数列的“积异号数”，令（），在（2）的条件下，求数列的“积异号数”.‎ ‎20.（本小题满分14分）‎ 已知点P是圆F1：上任意一点，点F2与点F1关于原点对称. 线段PF2的中垂线与PF1交于M点．‎ ‎（1）求点M的轨迹C的方程； ‎ ‎（2）设轨迹C与x轴的两个左右交点分别为A，B，点K是轨迹C上异于A，B的任意一点，KH⊥x轴，H为垂足，延长HK到点Q使得HK=KQ，连结AQ延长交过B且垂直于x轴的直线l于点D，N为DB的中点．试判断直线QN与以AB为直径的圆O的位置关系．‎ ‎21．（本小题满分14分）‎ 设函数的图象与直线相切于．‎ ‎（1）求在区间上的最大值与最小值；‎ ‎（2）是否存在两个不等正数，当时，函数的值域是，若存在，求出所有这样的正数；若不存在，请说明理由；‎ ‎2012届高中毕业班第二次模拟试题 数 学（理科）参考答案 一、选择题 ‎1B解析： ‎ ‎2C解析：因为，‎ ‎3D解析：如图所示，=(－2，3)+(3，7)=(1，10).‎ ‎∴==(，5).∴=(，－5).‎ ‎4B解析：①显然正确;从条形统计图中可得到：2050年非洲人口大约将达到近18亿，②错;从扇形统计图中能够明显的得到结论:2050年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多,③正确;由上述三幅统计图并不能得出从1957年到2050年中哪个洲人口增长速度最慢，故④错误． ‎ ‎5A解析：是锐角则有，但时，不一定是锐角。‎ ‎6A解析：由三视图可知，几何体是底部是一底面对角线长为的正方形，高为4的长方体，上部为一球，球的直径等于正方形的边长。设正方形的边长为，则，即，所以，长方体的体积为,球的体积为 故几何体的体积为.‎ ‎7C解析：画出与的图象,它们交于A、B两点.由“规定”，在A、B两侧, 故；在A、B之间, ,故.‎ ‎ 综上可知, 的图象是图中的实线部分,因此有最小值-1,无最大值.‎ ‎8A解析: A正确，令，得．所以．若，显然有实数根；若，．又因为的函数图象是连续不断，所以在上必有实数根．因此任意的“同伴函数”必有根，即任意“同伴函数”至少有一个零点．‎ B错误．用反证法，假设是一个“同伴函数”，则，即对任意实数x成立，所以，而此式无解，所以不是一个“同伴函数”．‎ C错误.因为的定义域不是R.‎ D错误，设是一个“同伴函数”，则，当时，可以取遍实数集，因此不是唯一一个常值“同伴函数”．‎ 二、填空题 ‎9解析： 当时，有得，无解.‎ 当时，有，，∴.‎ 当时，有，即6>3，∴.综上，有.‎ ‎10．（1）处应填（3分）；（2）处应填（2分）‎ 解析：该算法使用了循环结构，因为是求30个数的和，故循环体应执行30次，其中i是计数变量，因此判断框内的条件就是限制计数变量i的，故应为.算法中的变量p实质是表示参与求和的各个数，由于它也是变化的，且满足第i个数比其前一个数大，,第个数比其前一个数大i，故应有.故(1)处应填；（2）处应填 ‎11解析：（3分），（2分） （1）随意抽取4件产品检查是随机事件，而第一天有9件正品，第一天通过检查的概率为.（2）由第三项的二项式系数为，故第二天通过检查的概率为.‎ ‎12解析：. . 当时，；当时，. ∴切线方程为，即.‎ ‎13解析：. 画出图形，由题意l2与圆C只一个交点，说明是圆C的切线，由于，所以要最小，只需最小，即点C到的距离，所以|PM|的最小值为，解得．‎ ‎14解析1：由或（舍去）得 解析2：由，因为，所以，故交点的极坐标为 ‎15解析：连接，与相交于点，设，‎ ‎,，，‎ ‎，，而，45°.‎ 三、解答题 ‎16．（本小题满分12分）‎ 解：（1）连结DE，在DCDE中，， （1分）‎ ‎ （平方百米） （4分）‎ ‎（2）依题意知，在RTDACD中， （5分）‎ 在DBCE中，‎ 由正弦定理 （6分）‎ 得 （7分）‎ ‎∵ （8分）‎ ‎ （9分）‎ 在DABC中，由余弦定理 （10分）‎ 可得 （11分）‎ ‎∴（百米） （12分）‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ 解：（1）可能的取值为0，1，2，3，4. （1分）‎ ‎，，，‎ ‎，‎ 即的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P ‎ （4分）‎ 的数学期望为 （6分）‎ ‎ （2）品种A的每亩产量的样本平均数和样本方差分别为：‎ ‎ （7分）‎ ‎ （8分）‎ 品种B的每亩产量的样本平均数和样本方差分别为：‎ ‎ （9分）‎ ‎ （10分）‎ 由以上结果可以看出，品种B的样本平均数大于品种A的样本平均数，且品种B的样本方差小于品种A，故应该选择种植品种B. （12分）‎ ‎18．（本小题满分14分）‎ ‎（1）证明：是圆柱的母线，是点关于点对称的点，‎ ‎∴垂直圆柱的底面，即平面， （1分）‎ ‎∵平面，∴ （2分）‎ ‎∵是圆柱上底面的直径，∴ （3分）‎ ‎∵平面，平面，且 （4分）‎ ‎∴BE⊥平面 （5分）‎ ‎（2）解：是圆O的直径，∴是直角，‎ 设,在直角三角形中，，（6分）‎ ‎， （8分）‎ 当且仅当，即时“”成立， （9分）‎ ‎∵三棱锥的体积等于三棱锥的体积，而三棱锥的高，‎ ‎∴三角形的面积最大时，三棱锥的体积也最大，‎ 此时，，即三角形是等腰直角三角形 （10分）‎ ‎∴‎ ‎∵，∴平面 （11分）‎ 连结CO，AO，‎ 从而有，∴是二面角的平面角 （12分）‎ 在三角形中，‎ 又，，∴‎ 同理可得，∴ （13分）‎ ‎，即二面角的平面角的余弦值为. （14分）‎ ‎（若考生用其它方法进行解答，可参照上面的评分标准给分）‎ ‎19．（本小题满分14分）‎ 解：（1）由题意，当时，有， （1分）‎ 两式相减，得， （2分）‎ 所以，当时，是等比数列，要使时是等比数列，‎ 则只需，从而得出． （4分）‎ ‎（2）由（1）得，等比数列的首项为，公比，∴ （5分）‎ ‎∴ （6分）‎ ‎∴ ① （7分）‎ 上式两边乘以3得 ② （8分）‎ ‎①－②得 （9分）‎ ‎∴ （10分）‎ ‎（3） 由（2）知，∵‎ ‎∵，，∴ （11分）‎ ‎∵，‎ ‎∴数列递增. （12分）‎ 由，得当时，cn>0. （13分）‎ ‎∴数列的“积异号数”为1. （14分）‎ ‎20．（本小题满分14分）‎ 解：（1）由题意得， （1分）‎ 圆的半径为4，且 （2分）‎ 从而 （3分）‎ ‎∴ 点M的轨迹是以为焦点的椭圆,其中长轴,焦距，‎ 则短半轴， （4分）‎ 椭圆方程为: （5分）‎ ‎（2）设，则．‎ ‎∵，∴．∴ （6分）‎ ‎∴点在以为圆心，2为半径的的圆上．即点在以为直径的圆上．(7分)‎ 又，∴直线的方程为． (8分)‎ 令，得． (9分)‎ 又，为的中点，∴． (10分)‎ ‎∴，． (11分)‎ ‎∴‎ ‎． (13分)‎ ‎∴．∴直线与圆相切. (14分)‎ ‎21．（本小题满分14分）‎ 解：（1）， （1分）‎ 依题意则有：，即 解得 （2分）‎ ‎∴‎ 令，解得或 （3分）‎ 当变化时，在区间上的变化情况如下表：‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎+‎ 单调递增 ‎4‎ 单调递减 ‎0‎ 单调递增 ‎4‎ 所以函数在区间上的最大值是4，最小值是0. （4分）‎ ‎（2）由函数的定义域是正数知，，故极值点不在区间上； （5分）‎ ‎①若极值点在区间，此时，在此区间上的最大值是4，不可能等于；故在区间上没有极值点； （7分）‎ ‎②若在上单调增，即或，‎ 则，即，解得不合要求； （10分）‎ ‎③若在上单调减，即10,m为常数）的焦点是F(1，0)，P(x0，y0)是抛物线上的动点，定点A(2，0).‎ ‎(1) 若，设线段AP的垂直平分线与X轴交于Q(x1,O),求x1的取值范围；‎ ‎(2) 是否存在垂直于x轴的定直线l，使以AP为直径的圆截l得到的弦长为定值？若存在，求其方程，若不存在，说明理由.‎ ‎21. (本小题满分14分)设X=1是函数的一个极值点(a>0，e为自然对数的底).‎ ‎(1) 求a与b的关系式(用a表示b)，并求f(x)的单调区间；‎ ‎(2) 若f(x)在闭区间[m,m+1]上的最小值为0，最大值为，且m>-1试求m与a的值.‎ ‎2012年深圳市高三年级第二次调研考试 数学（理科） 2012.4‎ 本试卷共6页，21小题，满分150分．考试用时120分钟． ‎ 一、选择题：本大题共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分． ‎ ‎1．集合{｜}（其中i是虚数单位）中元素的个数是 ‎ A．1 B．2 C．4 D．无穷多个 ‎ ‎2．设随机变量，若，则c等于 ‎ A．0 B．1 C．2 D．3 ‎ ‎3．已知命题p：“存在正实数a,b，使得;lg（a＋b）＝lga＋lgb+”；命题q：“空间两条直线异面的充分必要条件是它们不同在任何一个平面内”．则它们的真假是 ‎ A．p，q都是真命题 B．p是真命题，q是假命题 ‎ C．p，q都是假命题 D．p是假命题，q是真命题 ‎ ‎4．在学校的一次演讲比赛中，高一、高二、高三分别有1名、2名、3名同学获奖，将这 六名同学排成一排合影，要求同年级的同学相邻，那么不同的排法共有 ‎ A．6种 B．36种 　　C．72种 D．120种 ‎ ‎5．设,,，若a，1，b成等比数列，且c，1，d 成等差数列，则下列不等式 恒成立的是 ‎ ‎6．设函数若f（x）的值域为R，则常数a的取值范围是 ‎ ‎7．如图1，直线l和圆c，当l从0 开始在平面上绕点O按逆时针方向匀速转动（转动角度不超过900）时，它扫过的圆内阴影部分的面积S 是时间t的函数，这个函数的图象大致是 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 8．如果函数y＝｜x｜－1的图象与方程的曲线恰好有两个不同的公共点，则实数的取值范围是 ‎ 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． ‎ ‎（一）必做题：第9、10、11、12、13题为必做题． ‎ ‎9．在实数范围内，方程｜x｜＋｜x＋1｜＝1的解集是 ． ‎ ‎10．某机器零件的俯视图是直径为24 mm的圆（包括圆心），主 视图和侧视图完全相同，如图2所示．则该机器零件的体积 是______mm3（结果保留）． ‎ ‎11．已知平面向量a，b满足条件a＋b＝（0,1），a－b＝（－1,2），则ab＝＿＿＿＿＿＿＿ ‎ ‎12．执行图3中程序框图表示的算法，若输入m=5533，n=2012，则输出d＝＿＿＿＿＿‎ ‎（注：框图中的赋值符号“＝”也可以写成“←”或“：＝”）‎ ‎ ‎ ‎13．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验． ‎ 根据收集到的数据（如下表），由最小二乘法求得回归方程． ‎ 现发现表中有一个数据模糊看不清，请你推断出该数据的值为 ． ‎ ‎（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能从中选做一题． ‎ ‎14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，已知直线把曲线 ‎ 所围成的区域分成面积相等的两部分，则常数a的值是 ． ‎ ‎15．（几何证明选讲选做题）如图4，AB 是圆O的直径， ‎ 弦AD和BC 相交于点P，连接CD．若∠APB＝120°， ‎ 则等于 ． ‎ ‎ ‎ 三、解答题：本大题共 6 小题，满分 80 分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． ‎ ‎16．（本小题满分12分） ‎ 已知函数 ‎（1）求f（x）的最大值； ‎ ‎（2）设△ABC中，角A、B的对边分别为a、b，若B＝2A，且-，‎ 求角C的大小． ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎17．（本小题满分12分） ‎ 深圳市某校中学生篮球队假期集训，集训前共有6个篮球，其中3个是新球（即没有用过的球）， 3 个是旧球（即至少用过一次的球）．每次训练，都从中任意取出2 个球，用完后放回． ‎ ‎（1）设第一次训练时取到的新球个数为，求的分布列和数学期望； ‎ ‎（2）求第二次训练时恰好取到一个新球的概率． ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎18．（本小题满分14分） ‎ 如图 5，已知正方形ABCD在水平面上的正投影（投影线垂直于投影面）是四边形，其中A与A '重合，且BB'＜DD'＜CC'． ‎ ‎（1）证明AD'//平面BB'C'C，并指出四边形AB'C'D’的形状； ‎ ‎（2）如果四边形中AB'C'D’中，，正方形的边长为 ，‎ 求平面ABCD与平面AB'C'D’所成的锐二面角的余弦值． ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎19．（本小题满分14分） ‎ 已知数列满足：，且 ‎（1）求通项公式 ‎ ‎（2）设的前n项和为S n，问：是否存在正整数m、n，使得 若存在，请求出所有的符合条件的正整数对（m,n），若不存在，请说明理由． ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎20．（本小题满分14分） ‎ 如图6，已知动圆M过定点F（1,0）且与x轴相切，点F 关于圆心M 的对称点为 F'，‎ 动点F’的轨迹为C． ‎ ‎（1）求曲线C的方程； ‎ ‎（2）设是曲线C上的一个定点，过点A任意作两条倾斜角互补的直线，分别与曲线C相交于另外两点P 、Q． ‎ ‎①证明：直线PQ的斜率为定值； ‎ ‎②记曲线C位于P 、Q两点之间的那一段为l．若点B在l上，且点B到直线PQ的 距离最大，求点B的坐标． ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎21．（本小题满分14分） ‎ 已知函数f（x）＝x－xlnx ， ，其中表示函数f（x）在 x＝a处的导数，a为正常数． ‎ ‎（1）求g（x）的单调区间； ‎ ‎（2）对任意的正实数，且，证明： ‎ ‎ ‎ ‎（3）对任意的 ‎2012年深圳市高三年级第二次调研考试 ‎ 数学（理科）参考答案及评分标准 2012.4‎ 一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 答案 C B A ‎ C D A D B 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．‎ ‎（一）必做题：第9、10、11、12、13题为必做题．‎ ‎9． 10． 11． 12． 13．‎ ‎（注：第9题答案也可以写成，如果写成，不扣分．）‎ ‎（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能从中选做一题．‎ ‎14．（坐标系与参数方程选做题） 15．（几何证明选讲选做题）‎ 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．‎ ‎16．（本小题满分12分）‎ 已知函数，．‎ ‎（1）求的最大值；‎ ‎（2）设△中，角、的对边分别为、，若且，求角的大小．‎ 解：（1） ……………………2分 ‎．（注：也可以化为） …4分 所以的最大值为． …………………………………………………………6分 ‎（注：没有化简或化简过程不全正确，但结论正确，给4分）‎ ‎（2）因为，由（1）和正弦定理，得．………………7分 又，所以，即， ………………9分 而是三角形的内角，所以，故，， ………………11分 所以，，． ……………………………………12分 ‎17．（本小题满分12分）‎ 深圳市某校中学生篮球队假期集训，集训前共有6个篮球，其中3个是新球（即没有用过的球），3个是旧球（即至少用过一次的球）．每次训练，都从中任意取出2个球，用完后放回．‎ ‎（1）设第一次训练时取到的新球个数为，求的分布列和数学期望；‎ ‎（2）求第二次训练时恰好取到一个新球的概率．‎ 解：（1）的所有可能取值为0，1，2． ………………………………………1分 设“第一次训练时取到个新球（即）”为事件（0，1，2）．因为集训前共有6个篮球，其中3个是新球，3个是旧球，所以 ‎， ………………………………………3分 ‎， ………………………………………5分 ‎． ………………………………………7分 所以的分布列为（注：不列表，不扣分）‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ 的数学期望为． ……………………………………8分 ‎（2）设“从6个球中任意取出2个球，恰好取到一个新球”为事件．‎ 则“第二次训练时恰好取到一个新球”就是事件．‎ 而事件、、互斥，‎ 所以，．‎ 由条件概率公式，得 ‎， …………………………………9分 ‎， …………………………………10分 ‎． …………………………………11分 所以，第二次训练时恰好取到一个新球的概率为 ‎． …………………………………12分 ‎18．（本小题满分14分）‎ 如图5，已知正方形在水平面上的正投影（投影线垂直于投影面）是四边形，其中与重合，且．‎ ‎（1）证明平面，并指出四边形的形状；‎ ‎（2）如果四边形中，，，正方形的边长为，‎ 求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．‎ 证明：（1）依题意，平面，‎ 平面，‎ 平面，‎ 所以． ……………2分 ‎（法1）在上取点，使得，‎ 连结，，如图5－1．‎ 因为，且，‎ 所以是平行四边形，，且．‎ 又是正方形，，且，‎ 所以，且，故是平行四边形， ………………………………4分 从而，又平面，平面，‎ 所以平面． ………………………………………………………………6分 四边形是平行四边形（注：只需指出四边形的形状，不必证明）．……7分 ‎（法2）因为，平面，平面，‎ 所以平面．‎ 因为是正方形，所以，又平面，平面，‎ 所以平面． ………………………………………………………………4分 而平面，平面，，‎ 所以平面平面，又平面，所以平面． …………6分 四边形是平行四边形（注：只需指出四边形的形状，不必证明）．……7分 解：（2）依题意，在Rt△中，，‎ 在Rt△中，，‎ 所以．‎ ‎（注：或） ………………………………………8分 连结，，如图5－2，‎ 在Rt△中，．‎ 所以，故．……10分 ‎（法1）延长，相交于点，‎ 则，而，所以．‎ 连结，则是平面与平面 的交线．‎ 在平面内作，垂足为，‎ 连结．‎ 因为平面，平面，所以．‎ 从而平面，．‎ 所以是平面与平面所成的一个锐二面角． …………………………12分 在Rt△中，，‎ 在Rt△中，．‎ 所以，‎ 即平面与平面所成的锐二面角的余弦值为．……………………14分 ‎（法2）以为原点，为轴，为轴，为轴，‎ 建立空间直角坐标系（如图5－3），‎ 则平面的一个法向量．‎ 设平面的一个法向量为，‎ 因为，，，‎ 所以，，‎ 而，，‎ 所以且，‎ 即，‎ 取，则，，所以平面的一个法向量为．‎ ‎（注：法向量不唯一，可以是与共线的任一非零向量）……………………12分 ‎．‎ 所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值为． …………………14分 ‎（法3）由题意，正方形在水平面上的正投影是四边形，‎ 所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值． …………………12分 而，，所以，‎ 所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值为． …………………14分 ‎19．（本小题满分14分）‎ 已知数列满足：，，且，．‎ ‎（1）求通项公式；‎ ‎（2）设的前项和为，问：是否存在正整数、，使得？若存在，请求出所有的符合条件的正整数对，若不存在，请说明理由．‎ 解：（1）当是奇数时，；当是偶数时，．‎ 所以，当是奇数时，；当是偶数时，． ……………………2分 又，，所以，，，…，，…是首项为1，公差为2的等差数列；‎ ‎，，，…，，…是首项为2，公比为3的等比数列． ……………………4分 所以，． ………………………………………………6分 ‎（2）由（1），得 ‎，‎ ‎． ………………………8分 所以，若存在正整数、，使得，则 ‎． ………………9分 显然，当时，；‎ 当时，由，整理得．‎ 显然，当时，；‎ 当时，，‎ 所以是符合条件的一个解． ……………………………‎ ‎11分 当时，‎ ‎． …………………………12分 当时，由，整理得，‎ 所以是符合条件的另一个解．‎ 综上所述，所有的符合条件的正整数对，有且仅有和两对． ……14分 ‎（注：如果仅写出符合条件的正整数对和，而没有叙述理由，每得到一组正确的解，给2分，共4分）‎ ‎20．（本小题满分14分）‎ 如图6，已知动圆过定点且与轴相切，点关于圆心的对称点为，动点的轨迹为．‎ ‎（1）求曲线的方程；‎ ‎（2）设是曲线上的一个定点，过点任意作两条倾斜角互补的直线，分别与曲线相交于另外两点、．‎ ‎① 证明：直线的斜率为定值；‎ ‎② 记曲线位于、两点之间的那一段为．若点在上，且点到直线的距离最大，求点的坐标．‎ 解：（1）（法1）设，因为点在圆上，‎ 且点关于圆心的对称点为，‎ 所以， …………1分 且圆的直径为．…………2分 由题意，动圆与轴相切，‎ 所以，两边平方整理得：，‎ 所以曲线的方程为． ………………………………………………5分 ‎（法2）因为动圆过定点且与轴相切，所以动圆在轴上方，‎ 连结，因为点关于圆心的对称点为，所以为圆的直径．‎ 过点作轴，垂足为，过点作轴，垂足为（如图6－1）．‎ 在直角梯形中，，‎ 即动点到定点的距离比到轴的距离大1． …………………………………………3分 又动点位于轴的上方（包括轴上），‎ 所以动点到定点的距离与到定直线的距离相等．‎ 故动点的轨迹是以点为焦点，以直线为准线的抛物线．‎ 所以曲线的方程为． ………………………………………………5分 ‎（2）①（法1）由题意，直线的斜率存在且不为零，如图6－2．‎ 设直线的斜率为（），则直线的斜率为． ……………………………6分 因为是曲线：上的点，‎ 所以，直线的方程为．‎ 由，‎ 解之得或，‎ 所以点的坐标为，‎ 以替换，得点的坐标为． ………………………………8分 所以直线的斜率为定值．………………10分 ‎（法2）因为是曲线：上的点，所以，．‎ 又点、在曲线：上，所以可设，， …………6分 而直线，的倾斜角互补，‎ 所以它们的斜率互为相反数，即，整理得． …………8分 所以直线的斜率为定值． ………………10分 ‎②（法1）由①可知，，，‎ ‎，所以直线的方程为，‎ 整理得． ……………………………………11分 设点在曲线段上，因为、两点的横坐标分别为和，‎ 所以点的横坐标在和之间，即，‎ 所以，从而．‎ 点到直线的距离 ‎． ………12分 当时，．‎ 注意到，所以点在曲线段上．‎ 所以，点的坐标是． ……………………………………………………………14分 ‎（法2）由①可知，，结合图6－3可知，‎ 若点在曲线段上，且点到直线的距离最大，‎ 则曲线在点处的切线． ………………11分 设：，由方程组，‎ 消去，得．‎ 令△，整理，得．……12分 代入方程组，解得，．‎ 所以，点的坐标是． ……………………………………………………………14分 ‎（法3）因为抛物线：关于轴对称，‎ 由图6－4可知，当直线的倾斜角大于且趋近于时，直线的倾斜角小于且趋近于，即当直线的斜率大于0且趋近于0时，直线的斜率小于0且趋近于0．‎ 从而、两点趋近于点关于轴的对称点． ………………11分 由抛物线的方程和①的结论，‎ 得，． ‎ 所以抛物线以点为切点的切线．‎ ‎……………………12分 所以曲线段上到直线的距离最大的点就是点，‎ 即点、点重合．‎ 所以，点的坐标是． ……………14分 ‎21．（本小题满分14分）‎ 已知函数，，其中表示函数在处的导数，为正常数．‎ ‎（1）求的单调区间；‎ ‎（2）对任意的正实数，且，证明：‎ ‎；‎ ‎（3）对任意的，且，证明：．‎ 解：（1），，‎ ‎． ……………………………………2分 所以，时，，单调递增；‎ ‎ 时，，单调递减．‎ 所以，的单调递增区间为，单调递减区间为． ……………………4分 ‎（2）（法1）对任意的正实数，且，‎ 取，则，由（1）得，‎ 即，‎ 所以，……①； ………………………6分 取，则，由（1）得，‎ 即，‎ 所以，……②．‎ 综合①②，得． ………………………8分 ‎（法2）因为，‎ 所以，当时，；当时，．‎ 故在上单调递增，在上单调递减．‎ 所以，对任意的正实数，且，有，． ……………6分 由，得，即，‎ 所以．‎ 故．……①； ‎ 由，同理可证．……②．‎ 综合①②，得． ………………………8分 ‎（3）对，令（），则 ‎，‎ 显然，，所以，‎ 所以，在上单调递减．‎ 由，得，即．‎ 所以，． ……………………………10分 所以 ‎． ………………………………12分 又由（2）知，所以．‎ ‎．‎ 所以，．……………………14分