高考数学模拟试题5苏教版 13页

‎2015年高考模拟试卷(5)‎ 南通市数学学科基地命题 ‎ 第Ⅰ卷（必做题，共160分）‎ 一．填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分 ．‎ ‎1．函数y＝2sin(3x＋)的最小正周期为 ． ‎ ‎2. 设复数z满足z(1+2i)=2－i，则|z|＝ ． ‎ ‎3．集合{x|－1≤log10<－，x∈N*}的真子集的个数是 ． ‎ ‎4．从{1，2，3，…，18}中任取两个不同的数，则其中一个数恰好是另一 ‎ 个数的3倍的概率为 ．‎ ‎5．运行如图的算法，则输出的结果是 ．‎ x←0‎ While x<30‎ x ← x+2‎ x ← x2‎ End  While Print x 第5题 ‎6．某校从参加高三年级期中考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩(均为整数)分成六段[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后得到如图的频率分布直方图，请你根据频率分布直方图中的信息，估计出本次考试数学成绩的平均分为 ．‎ ‎7．如图，正方体ABCD－A1B‎1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，B‎1C 上的点，则三棱锥D1－EDF的体积为 ．‎ ‎8．已知圆C过点(1,0)，且圆心在x轴的正半轴上．直线l：y＝x－1被圆C所截得的弦长为2，则过圆心且与直线l垂直的直线的方程为 ．‎ ‎9．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，并且对任意正整数n均有Sn+2＝4Sn+3．则a2= ．‎ ‎10．已知集合A={x|x2+2x－8>0}，B={x|x2－2ax+4≤0}．若a>0，且A∩B中恰有1个整数，则a的取值范围是　 　．‎ ‎11．已知点A(1，-1)，B(4,0)，C(2,2)．平面区域D由所有满足＝λ＋μ (1＜λ≤a，1＜μ≤b)的点P(x，y)组成的区域．若区域D的面积为8，则a+b的最小值为　 　．‎ ‎12．设函数f(x)＝ax+sinx+cosx的图象上存在两条切线垂直，则a的值是 ．‎ ‎13．实数x、y、z满足0≤x≤y≤z≤4．如果它们的平方成公差为2的等差数列，则 ‎|x－y|+|y－z|的最小可能值 ．‎ ‎14．若实数x, y满足x－4＝2，则x的取值范围是 ．‎ 二、解答题：本大题共6小题，共90分.‎ ‎15．(本小题满分14分)已知△ABC的内角A的大小为120°，面积为．‎ ‎（1）若AB，求△ABC的另外两条边长；‎ ‎（2）设O为△ABC的外心，当时，求的值．‎ ‎16．(本小题满分14分)第16题 A B C D E F 已知直三棱柱中，分别为的中点，,点在线段上，且．‎ ‎⑴求证:；‎ ‎⑵若为线段上一点，试确定在线段上的位置，‎ 使得平面．‎ ‎17．(本小题满分14分)汽车从刹车开始到完全静止所用的时间叫做刹车时间；所经过的距离叫做刹车距离.某型汽车的刹车距离s(单位米)与时间t(单位秒)的关系为，其中k是一个与汽车的速度以及路面状况等情况有关的量．‎ ‎（1）当k=8时，且刹车时间少于1秒，求汽车刹车距离；‎ ‎（2）要使汽车的刹车时间不小于1秒钟，且不超过2秒钟，求k的取值范围．‎ ‎18．(本小题满分16分)在平面直角坐标系xOy中，设椭圆T的中心在坐标原点，一条准线方程为，且经过点(1，0)．‎ ‎（1）求椭圆T的方程；‎ ‎（2）设四边形ABCD是矩形，且四条边都与椭圆T相切．求证：满足条件的所有矩形的顶点在一个定圆上；‎ ‎19．(本小题满分16分) 已知函数的导函数．‎ ‎（1）若，不等式恒成立，求a的取值范围；‎ ‎（2）解关于x的方程；‎ ‎（3）设函数，求时的最小值．‎ ‎20．(本小题满分16分) 已知数列{an}满足a1＝a(a＞0，a∈N*)，a1＋a2＋…＋an－pan＋1＝0(p≠0，p≠－1，n∈N*)．‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式an；‎ ‎(2)若对每一个正整数k，若将ak＋1，ak＋2，ak＋3按从小到大的顺序排列后，此三项均能构成等差数列，且公差为dk.①求p的值及对应的数列{dk}．‎ ‎②记Sk为数列{dk}的前k项和，问是否存在a，使得Sk＜30对任意正整数k恒成立？若存在，求出a的最大值；若不存在，请说明理由．‎ 第Ⅱ卷（附加题，共40分）‎ ‎21．[选做题]本题包括A、B、C、D四小题，每小题10分；请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答． ‎ A．（选修４－１：几何证明选讲）如图，AB、CD是圆的两条平行弦，BE//AC，BE交CD于E、交圆于F，过A点的切线交DC的延长线于P，PC=ED=1，PA=2．‎ ‎（1）求AC的长；‎ ‎（2）求证：BE＝EF．‎ B．（选修４－２：矩阵与变换）已知二阶矩阵有特征值及对应的一个特征向量，并且矩阵对应的变换将点变换成．‎ ‎ （1）求矩阵M；‎ ‎　（2）已知向量，求的值．‎ C．（选修４－４：坐标系与参数方程）已知直线的参数方程是，圆C的极坐标方程为．‎ ‎（1）求圆心C的直角坐标；‎ ‎（2）由直线上的点向圆C引切线，求切线长的最小值．‎ D．（选修４－５：不等式选讲）已知函数. 若不等式恒成立，求实数的范围．‎ ‎【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.‎ ‎22. （本小题满分10分）某学生在校举行的环保知识大奖赛中，答对每道题的概率都是, 答错每道题的概率都是,答对一道题积5分,答错一道题积-5分,答完n道题后的总积分记为.‎ ‎（1）答完2道题后,求同时满足S1=5且的概率；‎ ‎（2）答完5道题后,设，求的分布列及其数学期望.‎ ‎23．（本小题满分10分）一个非空集合中的各个元素之和是3的倍数，则称该集合为“好集”．‎ 记集合 {1，2，3，…，3n}的子集中所有“好集”的个数为f(n)．‎ ‎（1）求f(1)，f(2)的值；‎ ‎（2）求f(n)的表达式．‎ ‎2015年高考模拟试卷(5)参考答案 南通市数学学科基地命题 第Ⅰ卷（必做题，共160分）‎ 一、填空题 ‎1．； 2．1；3．290-1； 4．； 5．36； 6．71； 7．； 8．x+y－3＝0； ‎ ‎9．2或6. 【解析】由Sn+1=qSn+a1．得Sn+2=q(qSn+a1)+ a1＝q2Sn+a1(q+1)，与已知条件比较得，q2＝4，a1(q+1)=3．从而，(q，a1)＝(2，1)，或(q，a1)＝(-2，-3)．‎ ‎10．［，).【解析】A={x|x<-4，或x>2}．设f(x)＝x2－2ax+4，则f(x)的对称轴x=a>0，由f(-4)=20+‎8a>0，知B∩{x|x<-4}＝Æ．因此，A∩B中恰有一个整数为3．故f(3)≤0，f(4)＞0．即［，)．‎ ‎11．4.【解析】由条件可知D是为平行四边形，其面积为8，故得(a－1)(b－1)=1，故a+b≥4．‎ ‎12．0.【解析】f(x)=ax+sin(x+)，f ′(x)=a+cos(x+)由题设可知存在x1，x2使(a+cos(x1+))(a+cos(x2+))=-1，不妨设－cos(x1+)＜－cos(x2+)，则(a+cos(x1+))(a+cos(x2+))=-1<0得，－cos(x1+)＜a＜－cos(x2+)，所以－1＝(a+cos(x1+))(a+cos(x2+))≥(a+1)(a-1)＝a2－1．故a=0．‎ ‎13．4－2. 【解析】|x－y|+|y－z|＝z－x＝＝＝≥＝4－2．‎ ‎14．{0}U [4，20] . 【解析】令a＝，b＝，则a2＋b2＝x，已知条件即a2＋b2－‎4a－2b＝0(a≥0，b≥0)Þ(a－2)2＋(b－1)2＝5(a≥0，b≥0)Þ以(2，1)为圆心，为半径，过原点的圆满足a≥0，b≥0的点．即图中及原点．x为相应点与原点距离的平方，x∈{0}∪[4，20]．‎ 二、解答题 ‎15．（1）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a， b，c，‎ 于是，所以bc=4． ‎ 因为，所以．‎ 由余弦定理得． ‎ ‎（2）由得，即，解得或4． ‎ 设BC的中点为D，则，‎ 因为O为△ABC的外心，所以，‎ 于是． ‎ 所以当时，，；‎ 当时，，． ‎ ‎16．⑴由直三棱柱可知平面,所以， ‎ A B C D E F M 又因为，面，‎ 故， ‎ 又在直三棱柱中，，‎ 故面在平面内，所以 ‎ ‎⑵连结AE，在BE上取点M，使BE=4ME, ‎ 连结FM，,F，在中，由BE=4ME，AB=4AF 所以MF//AE， ‎ 又在面AA‎1C1C中，易证C1D//AE，所以平面． ‎ ‎17．（１）当时，，‎ 这时汽车的瞬时速度为V=， ‎ 令，解得（舍）或， ‎ 当时，，‎ 所以汽车的刹车距离是米． ‎ ‎（２）汽车的瞬时速度为，所以 汽车静止时，‎ 故问题转化为在内有解 ‎ 又，‎ ‎，当且仅当时取等号， ‎ ‎，记，‎ ‎，，，单调递增， ‎ ‎，，即， ‎ 故的取值范围为-‎ ‎18．（1）因为椭圆T的中心在坐标原点，一条准线方程为y＝2，‎ 所以椭圆T的焦点在y轴上，于是可设椭圆T的方程为＋＝1(a＞b＞0)．‎ 因为椭圆T经过点(1，0)，‎ 所以 解得 故椭圆T的方程为．‎ ‎（2）由题意知，矩形ABCD是椭圆的外切矩形，‎ ‎(i)若矩形ABCD的边与坐标轴不平行，则可设一组对边所在直线的方程为，‎ 则由消去y得，‎ 于是，化简得．‎ 所以矩形ABCD的一组对边所在直线的方程为，即， ‎ 则另一组对边所在直线的方程为，‎ 于是矩形顶点坐标(x，y)满足，‎ 即，亦即．‎ ‎(ii)若矩形ABCD的边与坐标轴平行，则四个顶点显然满足．‎ 故满足条件的所有矩形的顶点在定圆上．‎ ‎19．(1)因为，所以，又因为， ‎ 所以在时恒成立，因为，‎ 所以． ‎ ‎⑵ 因为，所以，‎ 所以，则或． ‎ ‎①当时，，所以或；‎ ‎②当时，或，‎ 所以或或；‎ ‎③当时，，所以或． ‎ ‎⑶ 因为，‎ ① 若，则时，，所以，‎ 从而的最小值为； ‎ ‎②若，则时，，所以，‎ 当时，的最小值为，‎ 当时，的最小值为，‎ 当时，的最小值为． ‎ ‎③若，则时，‎ 当时，最小值为；‎ 当时，最小值为．‎ 因为，，‎ 所以最小值为．综上所述，.‎ ‎20.(1)因为a1＋a2＋…＋an－pan＋1＝0，所以n≥2时，a1＋a2＋…＋an－1－pan＝0，两式相减，得＝(n≥2)，故数列{an}从第二项起是公比为的等比数列，又当n＝1时，a1－pa2＝0，解得a2＝，‎ 从而an＝ ‎(2)①由(1)得ak＋1＝k－1，‎ ak＋2＝k，ak＋3＝k＋1，‎ 若ak＋1为等差中项，则2ak＋1＝ak＋2＋ak＋3，‎ 即＝1或＝－2，解得p＝－；‎ 此时ak＋1＝－‎3a(－2)k－1，ak＋2＝－‎3a(－2)k，‎ 所以dk＝|ak＋1－ak＋2|＝‎9a·2k－1，‎ 若ak＋2为等差中项，则2ak＋2＝ak＋1＋ak＋3，‎ 即＝1，此时无解；‎ 若ak＋3为等差中项，则2ak＋3＝ak＋1＋ak＋2，‎ 即＝1或＝－，解得p＝－，‎ 此时ak＋1＝－k－1，ak＋3＝－k＋1，‎ 所以dk＝|ak＋1－ak＋3|＝·k－1，‎ 综上所述，p＝－，dk＝‎9a·2k－1或p＝－，‎ dk＝·k－1.‎ ‎②当p＝－时，Sk＝‎9a(2k－1)．‎ 则由Sk＜30，得a＜，‎ 当k≥3时，＜1，所以必定有a＜1，‎ 所以不存在这样的最大正整数．‎ 当p＝－时，Sk＝，‎ 则由Sk＜30，得a＜，因为＞，所以a＝13满足Sk＜30恒成立；但当a＝14时，存在k＝5，使得a＞即Sk＜30，‎ 所以此时满足题意的最大正整数a＝13.‎ 第Ⅱ卷（附加题，共40分）‎ ‎21.A. （1），， ‎ 又，‎ ‎ ‎ ‎，， ‎ ‎， ‎ ‎ （2），，‎ 而，，． ‎ B．（1）设，则，故 . ‎ ‎ ，故 . ‎ ‎ 联立以上方程组解得，故. ‎ ‎（2）由（1）知 ‎ 则矩阵M的特征多项式为 令，得矩阵M另一个特征值为3.‎ 设矩阵的另一个特征向量是，‎ 则，解得,故 . ‎ 由，得，得 . ‎ ‎∴. ‎ C．（1），‎ ‎， ‎ ‎， ‎ 即，． ‎ ‎（2）方法1：直线上的点向圆C 引切线长是 ‎，‎ ‎∴直线上的点向圆C引的切线长的最小值是 ‎ 方法2：直线的普通方程为 ‎ 圆心C到距离是，‎ ‎∴直线上的点向圆C引的切线长的最小值是 ‎ D．由|，且，得 ‎ 又因为，则有2 ‎ 解不等式，得 ‎22．（1）由题意“S1=5且”表示：‎ ‎“答完题，第一题答对，第二题答错；或第一题答对，第二题也答对” ‎ 此时概率 ． ‎ ‎（2）因为答完5道题，结果可能是：‎ 答对道，此时，；答对道，此时，；‎ 答对道，此时；答对道，此时；‎ 答对道，此时；答对道，此时， ‎ ‎∴的取值只能是5,15,25 ‎ ‎ 因此，‎ ‎ ，‎ ‎ ‎ ‎ ∴的分布列为：‎ ‎5‎ ‎15‎ ‎25‎ P ‎ ‎ ‎∴ ‎ ‎23．(1)易得f(1)=3； ‎ 当n=2时，集合{1，2，3，4，5，6}的子集中是“好集”的有：‎ 单元集：{3}，{6}共2个，双元集{1,2}，{1,5}，{2,4}，{4,5}，{3,6}共5个，三元集有：{1,2,3}，{1,2,6}，{1,3,5}，{1,5,6}，{4,2,3}，{4,2,6}，{4,3,5}，{4,5,6}共8个，四元集有{3,4,5,6}，{2,3,4,6}，{1,3,5,6}，{1,2,3,6}，{1,2,4 ,5}共五个，五元集{1,2,4,5,6}，{1,2,3,4,5}共2个，还有一个全集．‎ 故f(2)＝1+(2+5)×2+8＝23． ‎ ‎ (2)首先考虑f(n+1)与f(n)的关系．‎ 集合{1，2，3，…，3n，3n+1，3n+2，3n+3}在集合{1，2，3，…，3n}中加入3个元素3n+1，3n+2，3n+3．故f(n+1)的组成有以下几部分：①原还的f(n)个集合；②含有元素3n+1的“好集”是{1，2，3，…，3n}中各元素之和被3除余2的集合，含有元素是3n+2的“好集”是{1，2，3，…，3n}中各元素之和被3除余1的集合，含有元素是3n+,3的“好集”是{1，2，3，…，3n}中各元素之和被3除余0的集合，合计是23n；③含有元素是3n+1与3n+2的“好集”是{1，2，3，…，3n}中各元素之和被3除余0的集合，含有元素是3n+2与3n+3的“好集”是{1，2，3，…，3n}中各元素之和被3除余1的集合，含有元素是3n+1与3n+3的“好集”是{1，2，3，…，3n}中各元素之和被3除余2的集合，合计是23n；④含有元素是3n+1，3n+2，3n+3的“好集”是{1，2，3，…，3n}中“好集”与它的并，再加上{3n+1，3n+2，3n+3}。‎ ‎ 所以，f(n+1)＝‎2 f(n)+2×23n+1． ‎ ‎ 两边同除以2n+1，得－＝4n+，‎ ‎ 所以 ＝4n-1+4n-2+…+4+++…++＝+1－，‎ ‎ 即f(n)＝+2n－1． ‎