高考数学理科试卷及答案北京卷 15页

‎2007年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）‎ 数　学（理工农医类）‎ 本试卷分第I卷（选择题）和第II（非选择题）两部分，第I卷1至2页，第II卷3至9页，共150分。考试时间120分钟。考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。‎ 第I卷（选择题　共40分）‎ 注意事项：‎ ‎1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。‎ ‎2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．不能答在试卷上。‎ 一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。‎ ‎1．已知，那么角是（　　）‎ A．第一或第二象限角 ‎ B．第二或第三象限角 C．第三或第四象限角 ‎ D．第一或第四象限角 ‎2．函数的反函数的定义域为（　　）‎ A． ‎ B． ‎ C． ‎ D．‎ ‎3．平面平面的一个充分条件是（　　）‎ A．存在一条直线 B．存在一条直线 C．存在两条平行直线 D．存在两条异面直线 ‎4．已知是所在平面内一点，为边中点，且，那么（　　）‎ A． ‎ B．‎ C． ‎ D．‎ ‎5．记者要为5名志愿都和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（　　）‎ A．1440种 ‎ B．960种 ‎ C．720种 ‎ D．480种 ‎6．若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则的取值范围是（　　）‎ A． ‎ B． ‎ C． ‎ D．或 ‎7．如果正数满足，那么（　　）‎ A．，且等号成立时的取值唯一 B．，且等号成立时的取值唯一 C．，且等号成立时的取值不唯一 D．，且等号成立时的取值不唯一 ‎8．对于函数①，②，③，判断如下三个命题的真假：‎ 命题甲：是偶函数；‎ 命题乙：在上是减函数，在上是增函数；‎ 命题丙：在上是增函数．‎ 能使命题甲、乙、丙均为真的所有函数的序号是（　　）‎ A．①③ ‎ B．①② ‎ C．③ ‎ D．②‎ 第II卷（共110分）‎ 注意事项：‎ ‎1．用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上 ‎2．答卷前将密封线内的项目填写清楚 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。把答案填在题中横线上．‎ ‎9． 。‎ ‎10．若数列的前项和，则此数列的通项公式为 ；数列中数值最小的项是第 项。‎ ‎11．在中，若，，，则 。‎ ‎12．已知集合，若，则实数的取值范围是 。‎ ‎13．2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的。弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为，那么的值等于 。‎ ‎14．已知函数，分别由下表给出 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎ 则的值为 ；满足的的值是 。‎ 三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．‎ ‎15．（本小题共13分）‎ 数列中，，（是常数，），且成公比不为的等比数列。‎ ‎（I）求的值；‎ ‎（II）求的通项公式。‎ ‎16．（本小题共14分）‎ 如图，在中，，斜边．可以通过以直线为轴旋转得到，且二面角是直二面角．动点的斜边上。‎ ‎（I）求证：平面平面；‎ ‎（II）当为的中点时，求异面直线与所成角的大小；‎ ‎（III）求与平面所成角的最大值。‎ ‎17．（本小题共14分）‎ 矩形ABCD的两条对角线相交于点，AB边所在直线的方程为，点在AD边所在直线上。‎ ‎（I）求边所在直线的方程；‎ ‎（II）求矩形外接圆的方程；‎ ‎（III）若动圆过点，且与矩形的外接圆外切，求动圆的圆心的轨迹方程。‎ ‎18．（本小题共13分）‎ 某中学号召学生在今年春节期间至少参加一次社会公益活动（以下简称活动）．该校合唱团共有100名学生，他们参加活动的次数统计如图所示．‎ ‎（I）求合唱团学生参加活动的人均次数；‎ ‎（II）从合唱团中任意选两名学生，求他们参加活动次数恰好相等的概率；‎ ‎（III）从合唱团中任选两名学生，用表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量的分布列及数学期望。‎ ‎19．（本小题共13分）‎ 如图，有一块半椭圆形钢板，其半轴长为，短半轴长为，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底是半椭圆的短轴，上底的端点在椭圆上，记，梯形面积为。‎ ‎（I）求面积以为自变量的函数式，并写出其定义域；‎ ‎（II）求面积的最大值。‎ ‎20．（本小题共13分）‎ 已知集合，其中，由中的元素构成两个相应的集合：‎ ‎，．‎ 其中是有序数对，集合和中的元素个数分别为和．‎ 若对于任意的，总有，则称集合具有性质．‎ ‎（I）检验集合与是否具有性质并对其中具有性质的集合，写出相应的集合和；‎ ‎（II）对任何具有性质的集合，证明：；‎ ‎（III）判断和的大小关系，并证明你的结论。‎ ‎2007年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）‎ 数　学（理工农医类）‎ 参考答案 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）‎ ‎1．C　　2．B　　3．D　　4．A　　5．B　　6．D　　7．A　　8．D 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）‎ ‎9．　　‎ ‎10． 3 ‎ ‎11． ‎ ‎12．‎ ‎13． ‎ ‎14． ‎ 三、解答题（本大题共6小题，共80分）‎ ‎15．（共13分）‎ 解：（I），，，‎ 因为，，成等比数列，‎ 所以，‎ 解得或．‎ 当时，，不符合题意舍去，故．‎ ‎（II）当时，由于 ‎，‎ ‎，‎ ‎……‎ ‎，‎ 所以。‎ 又，，故．‎ 当n=1时，上式也成立，‎ 所以 ‎16．（共14分）‎ 解法一：‎ ‎（I）由题意，，，‎ 是二面角是直二面角，‎ 又二面角是直二面角，‎ ‎，又，‎ 平面，‎ 又平面，‎ 平面平面．‎ ‎（II）作，垂足为，连结（如图），则，‎ 是异面直线与所成的角．‎ 在中，，，‎ ‎．‎ 又．‎ 在中，．‎ 异面直线与所成角的大小为．‎ ‎（III）由（I）知，平面，‎ 是与平面所成的角，且．‎ 当最小时，最大，‎ 这时，，垂足为，，，‎ 与平面所成角的最大值为．‎ 解法二：‎ ‎（I）同解法一。‎ ‎（II）建立空间直角坐标系，如图，则，，，，‎ ‎，，‎ ‎．‎ 异面直线与所成角的大小为．‎ ‎（III）同解法一 ‎17．（共14分）‎ 解：（I）因为边所在直线的方程为，且与垂直，所以直线的斜率为．‎ 又因为点在直线上，‎ 所以边所在直线的方程为，‎ 即　．‎ ‎（II）由解得点的坐标为，‎ 因为矩形两条对角线的交点为．‎ 所以为矩形外接圆的圆心．‎ 又．‎ 从而矩形外接圆的方程为．‎ ‎（III）因为动圆过点，所以是该圆的半径，又因为动圆与圆外切，‎ 所以，‎ 即．‎ 故点的轨迹是以为焦点，实轴长为的双曲线的左支．‎ 因为实半轴长，半焦距．‎ 所以虚半轴长．‎ 从而动圆的圆心的轨迹方程为．‎ ‎18．（共13分）‎ 解：由图可知，参加活动1次、2次和3次的学生人数分别为10、50和40．‎ ‎（I）该合唱团学生参加活动的人均次数为．‎ ‎（II）从合唱团中任选两名学生，他们参加活动次数恰好相等的概率为．‎ ‎（III）从合唱团中任选两名学生，记“这两人中一人参加1次活动，另一人参加2次活动”为事件，“这两人中一人参加2次活动，另一人参加3次活动”为事件，“这两人中一人参加1次活动，另一人参加3次活动”为事件．易知 ‎；‎ ‎；‎ 又 的分布列：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ 的数学期望：．‎ ‎19．（共13分）‎ 解：（I）依题意，以的中点为原点建立直角坐标系（如图），则点的横坐标为．‎ 点的纵坐标满足方程，‎ 解得 ‎，‎ 其定义域为．‎ ‎（II）记，‎ 则．‎ 令，得．‎ 因为当时，；当时，，所以是的最大值．‎ 因此，当时，也取得最大值，最大值为．‎ 即梯形面积的最大值为．‎ ‎20．（共13分）‎ ‎（I）解：集合不具有性质．‎ 集合具有性质，其相应的集合和是，‎ ‎．‎ ‎（II）证明：首先，由中元素构成的有序数对共有个．‎ 因为，所以；‎ 又因为当时，时，，所以当时，．‎ 从而，集合中元素的个数最多为，‎ 即．‎ ‎（III）解：，证明如下：‎ ‎（1）对于，根据定义，，，且，从而．‎ 如果与是的不同元素，那么与中至少有一个不成立，从而与中也至少有一个不成立．‎ 故与也是的不同元素．‎ 可见，中元素的个数不多于中元素的个数，即，‎ ‎（2）对于，根据定义，，，且，从而 ‎．如果与是的不同元素，那么与中至少有一个不成立，从而与中也不至少有一个不成立，‎ 故与也是的不同元素．‎ 可见，中元素的个数不多于中元素的个数，即，‎ 由（1）（2）可知，。‎ 更多试卷下载请访问：http://www.peiren.com/ ‎