高考数学一轮必备考情分析学案31变化率与导数导数的运算 8页

‎3.1变化率与导数、导数的运算 考情分析 ‎1.导数的实际意义是指瞬时变化率,几何意义是指曲线在某一点处切线的斜率.‎ ‎2.求导公式和运算法则是利用导数研究函数问题的基础,须熟练掌握.‎ ‎3.高考中,通常以选择题或填空题的形式考查导数的几何意义,也可以在大题中考查.导数的运算每年必考,一般不单独命题考查,而是在应用中考查.仅做为一个考点或工具出现,难度不大,但基础性很强.‎ 基础知识 ‎1.导数的概念 ‎(1)函数在处的导数:一般地,函数在处的瞬时变化率,称其为函数在处的导数,记作 ‎(2)当的导函数,则 ‎2.导数的几何意义 函数在处的导数的几何意义,就是曲线在点处切线的斜率,过点P的切线方程为: ‎3.基本初等函数的导数公式:‎ ‎(1)(c为常数) (2) ‎(3) (4) ‎(5) (6) ‎(7) (8) ‎4.导数的运算法则:‎ ‎(1) (2) ‎(3) 注意事项 ‎1.曲线y＝f(x)“在”点P(x0，y0)处的切线与“过”点P(x0，y0)的切线的区别：‎ 曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线是指P为切点，若切线斜率存在时，切线斜率为k＝f′(x0)，是唯一的一条切线；曲线y＝f(x)过点P(x0，y0‎ ‎)的切线，是指切线经过P点，点P可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条．‎ ‎2.(1)导数的四则运算法则．‎ ‎(2)复合函数的求导法则．‎ ‎3.（1）利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．‎ ‎（2）要正确理解直线与曲线相切和直线与曲线只有一个交点的区别．‎ ‎（3）正确分解复合函数的结构，由外向内逐层求导，做到不重不漏．‎ 题型一　导数的定义 ‎【例1】利用导数的定义求函数f(x)＝x3在x＝x0处的导数，并求曲线f(x)＝x3在x＝x0处切线与曲线f(x)＝x3的交点．‎ 解f′(x0)＝＝ ‎＝ (x2＋xx0＋x)＝3x.‎ 曲线f(x)＝x3在x＝x0处的切线方程为 y－x＝3x·(x－x0)，‎ 即y＝3xx－2x，由 得(x－x0)2(x＋2x0)＝0，解得x＝x0，x＝－2x0.‎ 若x0≠0，则交点坐标为(x0，x)，(－2x0，－8x)；‎ 若x0＝0，则交点坐标为(0,0)．‎ ‎【变式1】 利用导数的定义证明奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数．‎ 证明　法一　设y＝f(x)是奇函数，即对定义域内的任意x都有f(－x)＝－f(x)‎ f′(x)＝li 则f′(－x)＝li ‎＝li＝f′(x)‎ 因此f′(x)为偶函数，同理可证偶函数的导数是奇函数．‎ 法二　设y＝f(x)是奇函数，即对定义域内的任意x都有 f(－x)＝－f(x)，即f(x)＝－f(－x)‎ 因此f′(x)＝[－f(－x)]′＝－ [f(－x)]′＝f′(－x)‎ 则f′(x)为偶函数 同理可证偶函数的导数是奇函数．‎ 题型二　导数的运算 ‎【例2】求下列各函数的导数：‎ ‎(1)y＝；‎ ‎(2)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)；‎ ‎(3)y＝sin；‎ ‎(4)y＝＋；‎ 解(1)∵y＝＝x－＋x3＋，‎ ‎∴y′＝′＋(x3)′＋(x－2sin x)′‎ ‎＝－x－＋3x2－2x－3sin x＋x－2cos x.‎ ‎(2)法一　y＝(x2＋3x＋2)(x＋3)＝x3＋6x2＋11x＋6，‎ ‎∴y′＝3x2＋12x＋11.‎ 法二　y′＝[(x＋1)(x＋2)]′(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)(x＋3)′‎ ‎＝[(x＋1)′(x＋2)＋(x＋1)(x＋2)′](x＋3)＋(x＋1)·　(x＋2)‎ ‎＝(x＋2＋x＋1)(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)‎ ‎＝(2x＋3)(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)‎ ‎＝3x2＋12x＋11.‎ ‎(3)∵y＝sin＝－sin x，‎ ‎∴y′＝′＝－(sin x)′＝－cos x.‎ ‎(4)y＝＋＝＝，‎ ‎∴y′＝′＝＝.‎ ‎【变式2】 求下列函数的导数：‎ ‎(1)y＝xnex；‎ ‎(2)y＝；‎ ‎(3)y＝exln x；‎ ‎(4)y＝(x＋1)2(x－1)．‎ 解　(1)y′＝nxn－1ex＋xnex＝xn－1ex(n＋x)．‎ ‎(2)y′＝＝－.‎ ‎(3)y′＝exln x＋ex·＝ex.‎ ‎(4)∵y＝(x＋1)2(x－1)＝(x＋1)(x2－1)＝x3＋x2－x－1，‎ ‎∴y′＝3x2＋2x－1.‎ 题型三　求复合函数的导数 ‎【例3】求下列复合函数的导数．‎ ‎(1)y＝(2x－3)5；(2)y＝；‎ ‎(3)y＝sin2；(4)y＝ln(2x＋5)．‎ 解　(1)设u＝2x－3，则y＝(2x－3)5，‎ 由y＝u5与u＝2x－3复合而成，‎ ‎∴y′＝f′(u)·u′(x)＝(u5)′(2x－3)′＝5u4·2‎ ‎＝10u4＝10(2x－3)4.‎ ‎(2)设u＝3－x，则y＝.‎ 由y＝u与u＝3－x复合而成．‎ y′＝f′(u)·u′(x)＝(u)′(3－x)′＝u－(－1)‎ ‎＝－u－＝－＝.‎ ‎(3)设y＝u2，u＝sin v，v＝2x＋，‎ 则yx′＝yu′·uv′·vx′＝2u·cos v·2‎ ‎＝4sin·cos＝2sin.‎ ‎(4)设y＝ln u，u＝2x＋5，则yx′＝yu′·ux′‎ y′＝·(2x＋5)′＝.‎ ‎【变式3】 求下列函数的导数：‎ ‎(1)y＝；　　　　(2)y＝sin22x；‎ ‎(3)y＝e－xsin 2x; (4)y＝ln.‎ 解　(1)y′＝·2x＝，‎ ‎(2)y′＝(2sin 2x)(cos 2x)×2＝2sin 4x ‎(3)y′＝(－e－x)sin 2x＋e－x(cos 2x)×2‎ ‎＝e－x(2cos 2x－sin 2x)．‎ ‎(4)y′＝··2x＝.　　‎ 重难点突破 ‎【例4】已知函数f(x)＝ln x－ax＋－1(a∈R)．‎ ‎(1)当a＝－1时，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；‎ ‎(2)当a≤时，讨论f(x)的单调性．‎ ‎ [解析] (1)当a＝－1时，f(x)＝ln x＋x＋－1，‎ x∈(0，＋∞)．所以f′(x)＝，x∈(0，＋∞)，(1分)‎ 因此f′(2)＝1，即曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线斜率为1.‎ 又f(2)＝ln 2＋2，‎ 所以曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为 y－(ln 2＋2)＝x－2，即x－y＋ln 2＝0.(3分)‎ ‎(2)因为f(x)＝ln x－ax＋－1，所以f′(x)＝－a＋＝－，x∈(0，＋∞)．(4分)‎ 令g(x)＝ax2－x＋1－a，x∈(0，＋∞)．‎ ‎①当a＝0时，g(x)＝－x＋1，x∈(0，＋∞)，‎ 所以当x∈(0,1)时，g(x)＞0，‎ 此时f′(x)＜0，函数f(x)单调递减；‎ 当x∈(1，＋∞)时，g(x)＜0，此时f′(x)＞0，函数f(x)单调递增；(6分)‎ ‎②当a≠0时，由f′(x)＝0，‎ 即ax2－x＋1－a＝0，解得x1＝1，x2＝－1.‎ a．当a＝时，x1＝x2，g(x)≥0恒成立，此时f′(x)≤0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减；(7分)‎ b．当0＜a＜时，－1＞1＞0.‎ x∈(0,1)时，g(x)＞0，此时f′(x)＜0，函数f(x)单调递减；‎ x∈时，g(x)＜0，此时f′(x)＞0，函数f(x)单调递增；x∈时，g(x)＞0，此时f′(x)＜0，函数f(x)单调递减；(9分)‎ c．当a＜0时，由于－1＜0，x∈(0,1)时，g(x)＞0，此时f′(x)＜0，函数f(x)单调递减；‎ x∈(1，＋∞)时，g(x)＜0，此时f′(x)＞0，函数f(x)单调递增．(11分)‎ 综上所述：‎ 当a≤0时，函数f(x)在(0,1)上单调递减，‎ 函数f(x)在(1，＋∞)上单调递增；‎ 当a＝时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减；‎ 当0＜a＜时，函数f(x)在(0,1)上单调递减，‎ 函数f(x)在上单调递增，‎ 函数f(x)在上单调递减．(12分)‎ 巩固提高 ‎1．下列求导过程中 ‎①′＝－；②()′＝；③(logax)′＝′＝‎ ；④(ax)′＝(eln ax)′＝(exln a)′＝exln aln a＝axln a 其中正确的个数是(　　)．‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ 答案　D ‎2．函数f(x)＝(x＋2a)(x－a)2的导数为(　　)．‎ A．2(x2－a2) B． 2(x2＋a2)‎ C．3(x2－a2) D．3(x2＋a2)‎ 解析　f′(x)＝(x－a)2＋(x＋2a)[2(x－a)]＝3(x2－a2)．‎ 答案　C ‎3．曲线y＝－在点M处的切线的斜率为(　　)．‎ ‎ A．－ B.C．－D. 解析　本小题考查导数的运算、导数的几何意义，考查运算求解能力．‎ y′＝＝，把x＝代入得导数值为.‎ 答案　B ‎4．若f(x)＝x2－2x－4ln x，则f′(x)＞0的解集为(　　)．‎ ‎ A．(0，＋∞) B．(－1,0)∪(2，＋∞)‎ C．(2，＋∞) D．(－1,0)‎ 解析　令f′(x)＝2x－2－＝＞0，利用数轴标根法可解得－1＜x＜0或x＞2，又x＞0，所以x＞2.故选C.‎ 答案　C ‎5．如图，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A，B，C 的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f(f(0))＝______；li＝________(用数字作答)．‎ 答案　2　－2　　‎