高考文科数学圆锥曲线专项练习 21页

‎ 高考文科数学圆锥曲线专项练习 ‎1、如图，已知椭圆的左顶点为，左焦点为，‎ ‎ 上顶点为，若，则该椭圆的离心率是 . ‎ ‎2、点是抛物线上一动点，则点到点的距离与到直线的距离和的最小值是 ‎ ‎（A） （B） （C）2 （D）‎ x y O C B A F D ‎3、如图，双曲线的中心在坐标原点， ‎ ‎ 分别是双曲线虚轴的上、下顶点，是 双曲线的左顶点，为双曲线的左焦点，直线 与相交于点.若双曲线的离心率为2，‎ 则的余弦值是（ ） ‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎4、过抛物线的焦点作倾斜角为的直线，与抛物线分别交于，两点（点在轴上方）， 　　　　　 ．‎ ‎5、已知双曲线（）的右焦点与抛物线的焦点相同，则此双曲线的离心率为 A． B． C． D． ‎ ‎6、已知中心在原点，焦点在轴上的双曲线的离心率，其焦点到渐近线的距离为1，则此双曲线的方程为 A． B． C. D. ‎ ‎7、设为抛物线上一点，为抛物线的焦点，若以为圆心，为半径的圆和抛物线的准线相交，则的取值范围是（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎8、双曲线的离心率为 ；若抛物线的焦点恰好为该双曲线的右焦点，则的值为 .‎ ‎9、已知双曲线上一点M到两个焦点的距离分别 为20和4，则该双曲线的离心率为______。‎ ‎10、过双曲线的右焦点，且平行于经过一、三象限的渐近线的直线方程是 ‎ （A） （B） ‎ ‎（C） （D）‎ ‎11、已知双曲线的一个焦点是，则其渐近线的方程为（ ）‎ ‎（A） （B） ‎ ‎（C） （D） ‎ ‎12、已知点，抛物线的焦点是，若抛物线上存在一点，使得最小，则点的坐标为（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎13、双曲线的左右焦点分别为，且恰为抛物线的焦点，设双曲线与该抛物线的一个交点为，若是以为底边的等腰三角形，则双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎14、抛物线的焦点为，点为抛物线上的动点，点为其准线上的动点，当为等边三角形时，其面积为（ ） ‎ A. B. 4 C. 6 D.‎ ‎15、设抛物线的焦点为F，其准线与轴的交点为Q，过点F作直线交抛物线于 A、B两点，若，则直线的方程为 ．‎ ‎16、抛物线的准线方程是______；该抛物线的焦点为，点在此抛物线上，且，则______．‎ ‎17、已知椭圆的一个焦点是，且离心率为.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）设经过点的直线交椭圆于两点，线段的垂直平分线交轴于点 ‎，求的取值范围.‎ ‎18、在平面直角坐标系中，点到两点，的距离之和为，设点的轨迹为曲线.‎ ‎（Ⅰ）写出的方程；‎ ‎（Ⅱ）设过点的斜率为（）的直线与曲线交于不同的两点,，点在轴上，且，求点纵坐标的取值范围.‎ ‎19、已知椭圆的两个焦点分别为，，点与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）过点的直线与椭圆相交于，两点,设点，记直线，的斜率分别为，，求证：为定值.‎ ‎20、已知椭圆过点，且离心率为.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）为椭圆的左、右顶点，直线与轴交于点，点是椭圆上异于的动点，直线分别交直线于两点.证明：恒为定值.‎ ‎21、 已知椭圆的左焦点，长轴长与短轴长的比是.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）过作两直线，交椭圆于，，，四点，若，求证：为定值.‎ ‎22、已知椭圆的右顶点，离心率为，为坐标原点.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）已知（异于点）为椭圆上一个动点，过作线段的垂线交椭圆于点，求的取值范围. ‎ ‎23、已知椭圆:的右焦点为，且点在椭圆上．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）已知点，动直线过点，且直线与椭圆交于，两点，‎ 证明：为定值．‎ ‎24、已知椭圆的离心率为，且经过点．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）过点的直线交椭圆于，两点，求△（为原点）面积的最大值．‎ ‎25、已知椭圆：的两个焦点分别为，，离心率为，且过点.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的标准方程；‎ ‎（Ⅱ），，，是椭圆上的四个不同的点，两条都不和轴垂直的直线和分别过点，，且这两条直线互相垂直，求证：为定值.‎ ‎26、已知椭圆C:的四个顶点恰好是一边长为2，一内角为的菱形的四个顶点.‎ ‎(I)求椭圆C的方程；‎ ‎(II)若直线y =kx交椭圆C于A，B两点，在直线l:x+y-3=0上存在点P,使得 ΔPAB为等边三角形,求k的值.‎ ‎27、如图，椭圆的左顶点为，是椭圆上异于点的任意一点，点与点关于点对称．‎ ‎（Ⅰ）若点的坐标为，求的值；‎ ‎（Ⅱ）若椭圆上存在点，使得，求的取值范围．‎ ‎28、如图，已知椭圆的左焦点为，过点的直线交椭圆于两点，线段的中点为，的中垂线与轴和轴分别交于两点．‎ ‎（Ⅰ）若点的横坐标为，求直线的斜率；‎ ‎（Ⅱ）记△的面积为，△（为原点）的面 积为．试问：是否存在直线，使得？说明理由．‎ 高考文科数学圆锥曲线专项练习答案 ‎1、 2、D 3、C 4、3 5. C 6、A 7、A 8、 ； 9、 10、D ‎11、D 12、D 13、B 14、D 15、 16、，‎ ‎17. （Ⅰ）解：设椭圆的半焦距是.依题意，得 . ………………1分 ‎ 因为椭圆的离心率为，‎ 所以，. ………………3分 故椭圆的方程为 . ………………4分 ‎（Ⅱ）解：当轴时，显然. ………………5分 当与轴不垂直时，可设直线的方程为.‎ 由 消去整理得 . ‎ ‎ ………………7分 设，线段的中点为.‎ 则 . ………………8分 所以 ，.‎ 线段的垂直平分线方程为.‎ 在上述方程中令，得. ………………10分 当时，；当时，.‎ 所以，或. ………………12分 综上，的取值范围是. ………………13分 ‎18、解：（Ⅰ）由题设知,‎ 根据椭圆的定义，的轨迹是焦点为，，长轴长为的椭圆，‎ 设其方程为 则， ，，所以的方程为. ………5分 ‎（II）依题设直线的方程为.将代入并整理得，‎ ‎ . . ………6分 设，，‎ 则， ..………7分 设的中点为，则，，即. ………8分 因为，‎ 所以直线的垂直平分线的方程为， ……9分 令解得，， .………10分 当时，因为，所以； .………12分 当时，因为，所以. .………13分 综上得点纵坐标的取值范围是. .………14分 ‎19、解:（Ⅰ）依题意，由已知得 ，，由已知易得,‎ 解得. ………………………3分 ‎ 则椭圆的方程为. ………………………4分 ‎(II) ①当直线的斜率不存在时，由解得.‎ 设，，则为定值. ………5分 ②当直线的斜率存在时，设直线的方程为：.‎ 将代入整理化简，得.…6分 依题意，直线与椭圆必相交于两点，设，，‎ 则，. ……………………7分 又，，‎ 所以 ………………………8分 ‎ .…….………………13分 综上得为常数2. .…….………………14分 ‎20、（Ⅰ）解：由题意可知，，， ‎ 解得. …………4分 所以椭圆的方程为. …………5分 ‎（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知,，.设，依题意，‎ 于是直线的方程为，令，则.‎ 即. …………7分 又直线的方程为，令，则，‎ 即. …………9分 所以 ，………11分 又在上，所以,即，代入上式，‎ 得,所以为定值. …………13分 ‎21、（Ⅰ）解：由已知得 ‎ 解得 , . ………………4分 ‎ 故所求椭圆方程为. ………………5分 ‎（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，当直线斜率存在时，设直线的方程为 ：.‎ ‎ 由 得 . ………………7分 由于，设，则有 ‎ ，，‎ ‎ ‎ ‎. ………………9分 ‎ 同理. ………………11分 ‎ 所以. ………………12分 ‎ 当直线斜率不存在时，此时，.………13分 ‎ 综上，为定值. ………………14分 ‎22、解：（Ⅰ）因为 是椭圆的右顶点，所以 . 又 ，所以 . ‎ 所以 . 所以 椭圆的方程为. ……………3分 ‎ （Ⅱ）当直线的斜率为0时，，为椭圆的短轴，则.‎ ‎ 所以 . ………………………………………5分 ‎ 当直线的斜率不为0时，设直线的方程为，，‎ ‎ 则直线DE的方程为. ………………………………………6分 ‎ 由 得. 即.‎ ‎ 所以 所以 ………………………………8分 所以 .即 . ‎ 类似可求. 所以 ‎ ………………11分 ‎ 设则，. ‎ 令，则.‎ 所以 是一个增函数.所以 .‎ 综上，的取值范围是. ………………………………………13分 ‎23、（Ⅰ）解：由题意知：. 根据椭圆的定义得：，即.…3分 ‎ 所以 .所以 椭圆的标准方程为. …………………4分 ‎（Ⅱ）证明：当直线的斜率为0时，.‎ ‎ 则 .…………6分 当直线的斜率不为0时，设直线的方程为：，.‎ ‎ 由可得：. 显然.‎ ‎ ……………………………………9分 ‎ 因为 ，，‎ ‎ 所以 ‎ ‎ ‎ ‎ . 即 . …………………13分 ‎24、（Ⅰ）解： 由 ， 得 ． ① ………………2分 ‎ 由椭圆经过点，得． ② ………………3分 联立① ②，解得 ，． …………4分 ‎ 所以椭圆的方程是 ． …………5分 ‎ ‎（Ⅱ）解：易知直线的斜率存在，设其方程为．‎ 将直线的方程与椭圆的方程联立，消去得 ．‎ ‎ ………………7分 令，得．‎ 设，，则，． ……………9分 ‎ 所以 ． ………………10分 因为 ，‎ 设 ，‎ 则 ． ……………13分 当且仅当，即时等号成立，此时△面积取得最大值．‎ ‎ ………………14分 ‎25、（Ⅰ）解：由已知，‎ 所以.‎ 所以. ‎ 所以：，即. ‎ 因为椭圆过点，‎ 得，. ‎ 所以椭圆的方程为. ‎ ‎（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知椭圆的焦点坐标为，.‎ 根据题意， 可设直线的方程为，‎ 由于直线与直线互相垂直，则直线的方程为.‎ 设，.‎ 由方程组消得 ‎ ‎. ‎ 则 . ‎ 所以=. ‎ 同理可得. ‎ 所以.‎ ‎26、解：(I)因为椭圆的四个顶点恰好是一边长为2，‎ 一内角为 的菱形的四个顶点,‎ 所以,椭圆的方程为 ………………4分 ‎ ‎(II)设则 当直线的斜率为时，的垂直平分线就是轴，‎ 轴与直线的交点为,‎ 又因为，所以，‎ 所以是等边三角形,所以直线的方程为 ………………6分 当直线的斜率存在且不为时，设的方程为 所以，化简得 所以 ，则 ………………8分 设的垂直平分线为，它与直线的交点记为 所以，解得,‎ 则 ………………10分 因为为等边三角形， 所以应有 代入得到，解得（舍），……………13分 此时直线的方程为 综上，直线的方程为或 ………………14分 ‎27、（Ⅰ）解：依题意，是线段的中点，‎ 因为，，‎ ‎ 所以 点的坐标为． ………………2分 由点在椭圆上， ‎ 所以 ， ………………4分 解得 ． ………………6分 ‎（Ⅱ）解：设，则 ，且． ① ………………7分 因为 是线段的中点，‎ 所以 ． ………………8分 因为 ，‎ 所以 ． ② ………………9分 由 ①，② 消去，整理得 ． ………………11分 所以 ， ………………13分 当且仅当 时，上式等号成立． ‎ 所以 的取值范围是． ………………14分 ‎28、（Ⅰ）解：依题意，直线的斜率存在，设其方程为． ………………1分 将其代入，整理得 ． ………………3分 设，，所以 ． ………………4分 故点的横坐标为．‎ 依题意，得， ………………6分 解得 ． ………………7分 ‎（Ⅱ）解：假设存在直线，使得 ，显然直线不能与轴垂直．‎ 由（Ⅰ）可得 ． ………………8分 因为 ，‎ 所以 ， ‎ 解得 ， 即 ． ………………10分 因为 △∽△，‎ 所以 ． ………………11分 所以 ， ………………12分 整理得 ． ………………13分 因为此方程无解，‎ 所以不存在直线，使得 ． ………………14分