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- 2021-05-14 发布
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绝密★启用前
2017年普通高等学校招生全国统一考试(III卷)
文科数学
(适用地区:云南、广西、贵州、四川)
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A={1,2,3,4},B={2,4,6,8},则A∩B中元素的个数为
A.1 B.2 C.3 D.4
2.复平面内表示复数z=i(﹣2+i)的点位于
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位:万人)的数据,绘制了下面的折线图.
根据该折线图,下列结论错误的是
A.月接待游客量逐月增加
B.年接待游客量逐年增加
C.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月
D.各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月,波动性更小,变化比较平稳
4.已知 ,则=
A.﹣ B.﹣ C. D.
5.设x,y满足约束条件则z=x﹣y的取值范围是
A.[﹣3,0] B.[﹣3,2] C.[0,2] D.[0,3]
6.函数f(x)=sin(x+)+cos(x﹣)的最大值为
A. B.1 C. D.
7.函数y=1+x+的部分图象大致为
A. B.
C. D.
8.执行如图的程序框图,为使输出S的值小于91,则输入的正整数N的最小值为
A.5 B.4 C.3 D.2
9.已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为
A.π B. C. D.
10.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,E为棱CD的中点,则
A.A1E⊥DC1 B.A1E⊥BD C.A1E⊥BC1 D.A1E⊥AC
11.已知椭圆C:=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1,A2,且以线段A1A2为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab=0相切,则C的离心率为
A. B. C. D.
12.已知函数f(x)=x2﹣2x+a(ex﹣1+e﹣x+1)有唯一零点,则a=
A.﹣ B. C. D.1
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.已知向量=(﹣2,3),=(3,m),且,则m= .
14.双曲线(a>0)的一条渐近线方程为y=x,则a= .
15.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知C=60°,b=
,c=3,则A= .
16.设函数f(x)=,则满足f(x)+f(x﹣)>1的x的取值范围是 .
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。
(一)必考题:共60分。
17.(12分)设数列满足.
(1)求的通项公式;
(2)求数列的前n项和.
18.(12分)某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间[20,25),需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:
最高气温
[10,15)
[15,20)
[20,25)
[25,30)
[30,35)
[35,40)
天数
2
16
36
25
7
4
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.
(1)求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率;
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:元),当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时,写出Y的所有可能值,并估计Y大于零的概率.
19.(12分)如图四面体ABCD中,△ABC是正三角形,AD=CD.
(1)证明:AC⊥BD;
(2)已知△ACD是直角三角形,AB=BD,若E为棱BD上与D不重合的点,且AE⊥EC,求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比.
20.(12分)在直角坐标系xOy中,曲线y=x2+mx﹣2与x轴交于A、B两点,点C的坐标为(0,1),当m变化时,解答下列问题:
(1)能否出现AC⊥BC的情况?说明理由;
(2)证明过A、B、C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.
21.(12分)已知函数
(1)讨论的单调性;
(2)当时,证明.
(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。
22.[选修44:坐标系与参数方程](10分)
在直角坐标系xOy中,直线l1的参数方程为,(t为参数),直线l2的参数方程为,(m为参数).设l1与l2的交点为P,当k变化时,P的轨迹为曲线C.
(1)写出C的普通方程;
(2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,设,M为l3与C的交点,求M的极径.
23.[选修45:不等式选讲](10分)
已知函数.
(1)求不等式的解集;
(2)若不等式的解集非空,求m的取值范围.
绝密★启用前
2017年普通高等学校招生全国统一考试(III卷)
文科数学
(适用地区:云南、广西、贵州、四川)
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A={1,2,3,4},B={2,4,6,8},则A∩B中元素的个数为
A.1 B.2 C.3 D.4
【解答】解:∵集合A={1,2,3,4},B={2,4,6,8},
∴A∩B={2,4},
∴A∩B中元素的个数为2.
故选:B.
2.(5分)(2017•新课标Ⅲ)复平面内表示复数z=i(﹣2+i)的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【解答】解:z=i(﹣2+i)=﹣2i﹣1对应的点(﹣1,﹣2)位于第三象限.
故选:C.
3.某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位:万人)的数据,绘制了下面的折线图.
根据该折线图,下列结论错误的是
A.月接待游客量逐月增加
B.年接待游客量逐年增加
C.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月
D.各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月,波动性更小,变化比较平稳
【解答】解:由已有中2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位:万人)的数据可得:
月接待游客量逐月有增有减,故A错误;
年接待游客量逐年增加,故B正确;
各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月,故C正确;
各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月,波动性更小,变化比较平稳,故D正确;
故选:A
4.已知sinα﹣cosα=,则sin2α=
A.﹣ B.﹣ C. D.
【解答】解:∵sinα﹣cosα=,
∴(sinα﹣cosα)2=1﹣2sinαcosα=1﹣sin2α=,
∴sin2α=﹣,
故选:A.
5.设x,y满足约束条件则z=x﹣y的取值范围是
A.[﹣3,0] B.[﹣3,2] C.[0,2] D.[0,3]
【解答】解:x,y满足约束条件的可行域如图:
目标函数z=x﹣y,经过可行域的A,B时,目标函数取得最值,
由解得A(0,3),
由解得B(2,0),
目标函数的最大值为:2,最小值为:﹣3,
目标函数的取值范围:[﹣3,2].
故选:B.
6.函数f(x)=sin(x+)+cos(x﹣)的最大值为
A. B.1 C. D.
【解答】解:函数f(x)=sin(x+)+cos(x﹣)=sin(x+)+cos(﹣x+)=sin(x+)+sin(x+)
=sin(x+).
故选:A.
7.函数y=1+x+的部分图象大致为
A. B.
C. D.
【解答】解:函数y=1+x+,可知:f(x)=x+是奇函数,所以函数的图象关于原点对称,
则函数y=1+x+的图象关于(0,1)对称,
当x→0+,f(x)>0,排除A、C,点x=π时,y=1+π,排除B.
故选:D.
8.执行如图的程序框图,为使输出S的值小于91,则输入的正整数N的最小值为
A.5 B.4 C.3 D.2
【解答】解:由题可知初始值t=1,M=100,S=0,
要使输出S的值小于91,应满足“t≤N”,
则进入循环体,从而S=100,M=﹣10,t=2,
要使输出S的值小于91,应接着满足“t≤N”,
则进入循环体,从而S=90,M=1,t=3,
要使输出S的值小于91,应接着满足“t≤N”,
则进入循环体,从而S=91,M=﹣0.1,t=4,
要使输出S的值小于91,应不满足“t≤N”,跳出循环体,
此时N的最小值为3,
故选:C.
9.已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为
A.π B. C. D.
【解答】解:∵圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,
∴该圆柱底面圆周半径r==,
∴该圆柱的体积:V=Sh==.
故选:B.
10.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,E为棱CD的中点,则
A.A1E⊥DC1 B.A1E⊥BD C.A1E⊥BC1 D.A1E⊥AC
【解答】解:以D为原点,DA为x轴,DC为y轴,DD1为z轴,建立空间直角坐标系,
设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为2,
则A1(2,0,2),E(0,1,0),B(2,2,0),D(0,0,0),C1(0,2,2),A(2,0,0),C(0,2,0),
=(﹣2,1,﹣2),=(0,2,2),=(﹣2,﹣2,0),
=(﹣2,0,2),=(﹣2,2,0),
∵•=﹣2,=2,=0,=6,
∴A1E⊥BC1.
故选:C.
11.已知椭圆C:=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1,A2,且以线段A1A2为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab=0相切,则C的离心率为
A. B. C. D.
【解答】解:以线段A1A2为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab=0相切,
∴原点到直线的距离=a,化为:a2=3b2.
∴椭圆C的离心率e===.
故选:A.
12.已知函数f(x)=x2﹣2x+a(ex﹣1+e﹣x+1)有唯一零点,则a=
A.﹣ B. C. D.1
【解答】解:因为f(x)=x2﹣2x+a(ex﹣1+e﹣x+1)=﹣1+(x﹣1)2+a(ex﹣1+)=0,
所以函数f(x)有唯一零点等价于方程1﹣(x﹣1)2=a(ex﹣1+)有唯一解,
等价于函数y=1﹣(x﹣1)2的图象与y=a(ex﹣1+)的图象只有一个交点.
①当a=0时,f(x)=x2﹣2x≥﹣1,此时有两个零点,矛盾;
②当a<0时,由于y=1﹣(x﹣1)2在(﹣∞,1)上递增、在(1,+∞)上递减,
且y=a(ex﹣1+)在(﹣∞,1)上递增、在(1,+∞)上递减,
所以函数y=1﹣(x﹣1)2的图象的最高点为A(1,1),y=a(ex﹣1+)的图象的最高点为B(1,2a),
由于2a<0<1,此时函数y=1﹣(x﹣1)2的图象与y=a(ex﹣1+)的图象有两个交点,矛盾;
③当a>0时,由于y=1﹣(x﹣1)2在(﹣∞,1)上递增、在(1,+∞)上递减,
且y=a(ex﹣1+)在(﹣∞,1)上递减、在(1,+∞)上递增,
所以函数y=1﹣(x﹣1)2的图象的最高点为A(1,1),y=a(ex﹣1+)的图象的最低点为B(1,2a),
由题可知点A与点B重合时满足条件,即2a=1,即a=,符合条件;
综上所述,a=,
故选:C.
二、填空题
13.已知向量=(﹣2,3),=(3,m),且,则m=2 .
【解答】解:∵向量=(﹣2,3),=(3,m),且,
∴=﹣6+3m=0,
解得m=2.
故答案为:2.
14.(5分)(2017•新课标Ⅲ)双曲线(a>0)的一条渐近线方程为y=x,则a=5 .
【解答】解:双曲线(a>0)的一条渐近线方程为y=x,
可得,解得a=5.
故答案为:5.
15.(5分)(2017•新课标Ⅲ)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知C=60°,b=,c=3,则A=75°.
【解答】解:根据正弦定理可得=,C=60°,b=,c=3,
∴sinB==,
∵b<c,
∴B=45°,
∴A=180°﹣B﹣C=180°﹣45°﹣60°=75°,
故答案为:75°.
16.(5分)(2017•新课标Ⅲ)设函数f(x)=,则满足f(x)+f(x﹣)>1的x的取值范围是x>﹣.
【解答】解:若x≤0,则x﹣≤﹣,
则f(x)+f(x﹣)>1等价为x+1+x﹣+1>1,即2x>﹣,则x>,
此时<x≤0,
当x>0时,f(x)=2x>1,x﹣>﹣,
当x﹣>0即x>时,满足f(x)+f(x﹣)>1恒成立,
当0≥x﹣>﹣,即≥x>0时,f(x﹣)=x﹣+1=x+,
此时f(x)+f(x﹣)>1恒成立,
综上x>,
故答案为:x>
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。
(一)必考题:共60分。
17.(12分)设数列{an}满足a1+3a2+…+(2n﹣1)an=2n.
(1)求{an}的通项公式;
(2)求数列{}的前n项和.
【解答】解:(1)数列{an}满足a1+3a2+…+(2n﹣1)an=2n.
n≥2时,a1+3a2+…+(2n﹣3)an﹣1=2(n﹣1).
∴(2n﹣1)an=2.∴an=.
当n=1时,a1=2,上式也成立.
∴an=.
(2)==﹣.
∴数列{}的前n项和=++…+=1﹣=.
18.(12分)某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间[20,25),需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:
最高气温
[10,15)
[15,20)
[20,25)
[25,30)
[30,35)
[35,40)
天数
2
16
36
25
7
4
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.
(1)求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率;
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:元),当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时,写出Y的所有可能值,并估计Y大于零的概率.
【解答】解:(1)由前三年六月份各天的最高气温数据,
得到最高气温位于区间[20,25)和最高气温低于20的天数为2+16+36=54,
根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.
如果最高气温不低于25,需求量为500瓶,
如果最高气温位于区间[20,25),需求量为300瓶,
如果最高气温低于20,需求量为200瓶,
∴六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率p==.
(2)当温度大于等于25°C时,需求量为500,
Y=450×2=900元,
当温度在[20,25)°C时,需求量为300,
Y=300×2﹣(450﹣300)×2=300元,
当温度低于20°C时,需求量为200,
Y=400﹣(450﹣200)×2=﹣100元,
当温度大于等于20时,Y>0,
由前三年六月份各天的最高气温数据,得当温度大于等于20°C的天数有:
90﹣(2+16)=72,
∴估计Y大于零的概率P=.
19.(12分)如图四面体ABCD中,△ABC是正三角形,AD=CD.
(1)证明:AC⊥BD;
(2)已知△ACD是直角三角形,AB=BD,若E为棱BD上与D不重合的点,且AE⊥EC,求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比.
【解答】证明:(1)取AC中点O,连结DO、BO,
∵△ABC是正三角形,AD=CD,
∴DO⊥AC,BO⊥AC,
∵DO∩BO=O,∴AC⊥平面BDO,
∵BD⊂平面BDO,∴AC⊥BD.
解:(2)设AD=CD=,则AC=AB=BC=BD=2,AO=CO=DO=1,
∴BO==,∴BO2+DO2=BD2,∴BO⊥DO,
以O为原点,OA为x轴,OB为y轴,OD为z轴,建立空间直角坐标系,
则C(﹣1,0,0),D(0,0,1),B(0,,0),A(1,0,0),
设E(a,b,c),,(0≤λ≤1),则(a,b,c﹣1)=λ(0,,﹣1),解得E(0,,1﹣λ),
∴=(1,),=(﹣1,),
∵AE⊥EC,∴=﹣1+3λ2+(1﹣λ)2=0,
由λ∈[0,1],解得,∴DE=BE,
∵四面体ABCE与四面体ACDE的高都是点A到平面BCD的高h,
∵DE=BE,∴S△DCE=S△BCE,
∴四面体ABCE与四面体ACDE的体积比为1.
20.(12分)在直角坐标系xOy中,曲线y=x2+mx﹣2与x轴交于A、B两点,点C的坐标为(0,1),当m变化时,解答下列问题:
(1)能否出现AC⊥BC的情况?说明理由;
(2)证明过A、B、C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.
【解答】解:(1)曲线y=x2+mx﹣2与x轴交于A、B两点,
可设A(x1,0),B(x2,0),
由韦达定理可得x1x2=﹣2,
若AC⊥BC,则kAC•kBC=﹣1,
即有•=﹣1,
即为x1x2=﹣1这与x1x2=﹣2矛盾,
故不出现AC⊥BC的情况;
(2)证明:设过A、B、C三点的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2﹣4F>0),
由题意可得y=0时,x2+Dx+F=0与x2+mx﹣2=0等价,
可得D=m,F=﹣2,
圆的方程即为x2+y2+mx+Ey﹣2=0,
由圆过C(0,1),可得0+1+0+E﹣2=0,可得E=1,
则圆的方程即为x2+y2+mx+y﹣2=0,
再令x=0,可得y2+y﹣2=0,
解得y=1或﹣2.
即有圆与y轴的交点为(0,1),(0,﹣2),
则过A、B、C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值3.
21.(12分)已知函数f(x)=lnx+ax2+(2a+1)x.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)当a<0时,证明f(x)≤﹣﹣2.
【解答】(1)解:因为f(x)=lnx+ax2+(2a+1)x,
求导f′(x)=+2ax+(2a+1)==,(x>0),
①当a=0时,f′(x)=+1>0恒成立,此时y=f(x)在(0,+∞)上单调递增;
②当a>0,由于x>0,所以(2ax+1)(x+1)>0恒成立,此时y=f(x)在(0,+∞)上单调递增;
③当a<0时,令f′(x)=0,解得:x=﹣.
因为当x∈(0,﹣)f′(x)>0、当x∈(﹣,+∞)f′(x)<0,
所以y=f(x)在(0,﹣)上单调递增、在(﹣,+∞)上单调递减.
综上可知:当a≥0时f(x)在(0,+∞)上单调递增,
当a<0时,f(x)在(0,﹣)上单调递增、在(﹣,+∞)上单调递减;
(2)证明:由(1)可知:当a<0时f(x)在(0,﹣)上单调递增、在(﹣,+∞)上单调递减,
所以当x=﹣时函数y=f(x)取最大值f(x)max=f(﹣)=﹣1﹣ln2﹣+ln(﹣).
从而要证f(x)≤﹣﹣2,即证f(﹣)≤﹣﹣2,
即证﹣1﹣ln2﹣+ln(﹣)≤﹣﹣2,即证﹣(﹣)+ln(﹣)≤﹣1+ln2.
令t=﹣,则t>0,问题转化为证明:﹣t+lnt≤﹣1+ln2.…(*)
令g(t)=﹣t+lnt,则g′(t)=﹣+,
令g′(t)=0可知t=2,则当0<t<2时g′(t)>0,当t>2时g′(t)<0,
所以y=g(t)在(0,2)上单调递增、在(2,+∞)上单调递减,
即g(t)≤g(2)=﹣×2+ln2=﹣1+ln2,即(*)式成立,
所以当a<0时,f(x)≤﹣﹣2成立.
(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。
22.[选修44:坐标系与参数方程](10分)
在直角坐标系xOy中,直线l1的参数方程为,(t为参数),直线l2的参数方程为,(m为参数).设l1与l2的交点为P,当k变化时,P的轨迹为曲线C.
(1)写出C的普通方程;
(2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,设l3:ρ(cosθ+sinθ)﹣=0,M为l3与C的交点,求M的极径.
【解答】解:(1)∵直线l1的参数方程为,(t为参数),
∴消掉参数t得:直线l1的普通方程为:y=k(x﹣2)①;
又直线l2的参数方程为,(m为参数),
同理可得,直线l2的普通方程为:x=﹣2+ky②;
联立①②,消去k得:x2﹣y2=4,即C的普通方程为x2﹣y2=4;
(2)∵l3的极坐标方程为ρ(cosθ+sinθ)﹣=0,
∴其普通方程为:x+y﹣=0,
联立得:,
∴ρ2=x2+y2=+=5.
∴l3与C的交点M的极径为ρ=.
23.[选修45:不等式选讲](10分)
已知函数f(x)=|x+1|﹣|x﹣2|.
(1)求不等式f(x)≥1的解集;
(2)若不等式f(x)≥x2﹣x+m的解集非空,求m的取值范围.
【解答】解:(1)∵f(x)=|x+1|﹣|x﹣2|=,f(x)≥1,
∴当﹣1≤x≤2时,2x﹣1≥1,解得1≤x≤2;
当x>2时,3≥1恒成立,故x>2;
综上,不等式f(x)≥1的解集为{x|x≥1}.
(2)原式等价于存在x∈R使得f(x)﹣x2+x≥m成立,
即m≤[f(x)﹣x2+x]max,设g(x)=f(x)﹣x2+x.
由(1)知,g(x)=,
当x≤﹣1时,g(x)=﹣x2+x﹣3,其开口向下,对称轴方程为x=>﹣1,
∴g(x)≤g(﹣1)=﹣1﹣1﹣3=﹣5;
当﹣1<x<2时,g(x)=﹣x2+3x﹣1,其开口向下,对称轴方程为x=∈(﹣1,2),
∴g(x)≤g()=﹣+﹣1=;
当x≥2时,g(x)=﹣x2+x+3,其开口向下,对称轴方程为x=<2,
∴g(x)≤g(2)=﹣4+2=3=1;
综上,g(x)max=,
∴m的取值范围为(﹣∞,].