高考数学必考点解题方法秘籍二次绝对值不等式理 6页

‎2014高考理科数学必考点解题方法秘籍：二次函数绝对值不等式 二次函数是最简单的非线性函数之一，而且有着丰富的内容，它对近代数仍至现代数学影响深远，这部分内容为历年来高考数学考试的一项重点考查内容，经久不衰，以它为核心内容的高考试题，形式上也年年有变化，此类试题常常有绝对值，充分运用绝对值不等式及二次函数、二次方程、二次不等式的联系，往往采用直接法，利用绝对值不等式的性质进行适当放缩，常用数形结合，分类讨论等数学思想，以下举例说明。‎ ‎　　1．设 ，当 时，总有 ，求证当 时， . ‎ ‎　　证明：由于 是二次函数， 在 上最大值只能是 ，或 ，故只要证明 ；当 时，有 ，由题意有 . ‎ ‎   由           得 　‎ ‎　　. ‎ ‎.‎ ‎　　. ‎ ‎　　 当 时， ‎ ‎. ‎ ‎　　因此当 时， . ‎ ‎　　点评：从函数性质的角度分析，要证 时， ，只要证当 时， ‎ 的最大值 满足 . 而 又是二次函数，不论 、 、 怎么取值 在 上的最大值只能是 ，或 ，因而只要证明 ， ，这里需要特别指出的是要将 与 建立联系，将二次函数中的系数 用 、 、 表示：‎ ‎　　，然后用含有绝对值不等式的性质，进行适当放缩。‎ ‎　　2．已知 是实数，函数 ，当 时， ，‎ ‎　　（1）证明： ；‎ ‎　　（2）证明：当 时， ；‎ ‎　　（3）设 ，当 时， 的最大值为2，求 . （1996年全国高考题）‎ ‎　　证明：（1）依题设得 ，而   所以 . ‎ ‎　　　　　（2）证法：当 时， 在 上是增函数。‎ 则 时，有 ，又 , ‎ ‎　　 ， ，因此得 　. ‎ ‎　　当 时， 在 上是减函数，则当 时， . 又 , ‎ ‎　　 ， ，因此得 . ‎ ‎　　当 时， , ‎ ‎　　 ‎ ‎　　 ‎ ‎　　综上可知，当 时，都有 . ‎ ‎　　（3）依题意 ，故 在 上是增函数，又 在 上的最大值为2，故 ； ， . ‎ ‎　　     。 ‎ ‎　　当 时， ，即函数 在区间 的内点 上取得最小值为 ，所以， 是二次函数且它的图像是对称轴 是直线 ，由此得 ，即 . ‎ ‎  　　    ，故 . ‎ ‎　　点评：本题运用了赋值法，函数的单调性、二次函数的最小值，含有绝对值不等式的性质等，问题（1）的设置意在降低难度，容易上手，抓住这2分，问题（3）的意义是证明问题（2）中的结论不能改进，从而是精确的，这样（2）、（3）合在一起构成问题的完整解答。本题的设计背景是：对于二次函数 和一次函数 ，给定条件“当 时， ”，则有结论“当 时， ”. 更一般地，对于多项式函数 和 ，给定件“当 时， ”，则有结论“当 时， ”.‎ ‎3、已知二次函数f(x)=ax2+bx+c和一次函数g(x)=－bx，其中a、b、c满足a>b>c,a+b+c=0,(a,b,c∈R)‎ ‎(1)求证两函数的图象交于不同的两点A、B；‎ ‎(2)求线段AB在x轴上的射影A1B1的长的取值范围 ‎(1)证明由消去y得ax2+2bx+c=0‎ Δ=4b2－‎4ac=4(－a－c)2－‎4ac=4(a2+ac+c2)=4［(a+c2］‎ ‎∵a+b+c=0,a>b>c,∴a>0,c<0‎ ‎∴c2>0,∴Δ>0,即两函数的图象交于不同的两点 ‎(2)解设方程ax2+bx+c=0的两根为x1和x2,则x1+x2=－,x1x2=‎ ‎|A1B1|2=(x1－x2)2=(x1+x2)2－4x1x2‎ ‎　‎ ‎∵a>b>c,a+b+c=0,a>0,c<0‎ ‎∴a>－a－c>c,解得∈(－2,－)‎ ‎∵的对称轴方程是 ‎∈(－2,－)时，为减函数 ‎∴|A1B1|2∈(3,12),故|A1B1|∈()‎ ‎4、二次函数f(x)的二次项系数为正，且对任意实数x恒有f(2+x)=f(2－x),若f(1－2x2)0)，方程ƒ(x)－x=0的两个根x1，x2满足00,又a＞0,因此ƒ(x) ＞0,即ƒ(x)-x＞0.至此,证得x<ƒ(x) ‎ 根据韦达定理,有  x1x2=    ∵ 0＜x1＜x2<，c=ax1x2ƒ(0)，所以当x∈(0,x1)时ƒ(x)<ƒ(x1)=x1， ‎ 即x<ƒ(x)0） ‎ 函数ƒ(x)的图象的对称轴为直线x=－ ,且是唯一的一条对称轴，因此，依题意，得x0=－，因为x1,x2是二次方程ax2+（b－1）x+c=0的根，根据违达定理得，x1+x2=－，∵x2－<0， ‎ ‎∴x0=－=（x1+x2－）<,即x0=。‎ ‎7、二次函数的图像过原点，且，，求的范围。‎ 分析：设，则 也可以用待定系数法，设