2014年版高考数学理42抛物线二轮考点专练 7页

考点42 抛物线 一、选择题 ‎1. （2013·四川高考文科·Ｔ5）抛物线的焦点到直线的距离是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【解题指南】本题考查的是抛物线的基本几何性质,在求解时首先求得抛物线的焦点坐标,然后利用点到直线的距离公式进行求解即可.‎ ‎【解析】选D，抛物线的焦点到直线的距离，根据点到直线的距离公式可得，故选D.‎ ‎2.（2013·北京高考理科·Ｔ7）直线l过抛物线C:x2=4y的焦点且与y轴垂直，则l与C所围成的图形的面积等于（ ）‎ A. B.2 C. D.‎ ‎【解题指南】把所求面积转化为一个矩形面积减去一个积分值。‎ ‎【解析】选C。的方程是，所以求面积相当于一个矩形面积减去一个积分值： .‎ ‎3.（2013·新课标全国Ⅱ高考文科·Ｔ10）设抛物线的焦点为，直线过且与交于，两点。若，则的方程为（ ）‎ A.或 B.或 C.或 D.或 ‎【解题指南】设出A、B点的坐标，利用抛物线的定义表示出，再利用，确立的方程.‎ ‎【解析】选C. 抛物线y2=4x的焦点坐标为（1，0），准线方程为x=-1，设A（x1，y1），B（x2，y2），则因为|AF|=3|BF|，所以x1+1=3（x2+1），所以x1=3x2+2，因为|y1|=3|y2|，x1=9x2，‎ 所以x1=3，x2=，当x1=3时，，所以此时，若，则,此时,此时直线方程为。若，则,此时,此时直线方程为.‎ ‎4.(2013·新课标全国Ⅱ高考理科·T11)设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点M在C上,|MF|=5,若以MF为直径的圆过点(0,2),则C的方程为　(　　)‎ A.y2=4x或y2=8x B.y2=2x或y2=8x C.y2=4x或y2=16x D.y2=2x或y2=16x ‎【解题指南】结合已知条件,设出圆心坐标,然后借助抛物线的定义,确定抛物线的方程.‎ ‎【解析】选C.由题意知:F,准线方程为,则由抛物线的定义知,xM=,设以MF为直径的圆的圆心为,所以圆的方程为又因为过点(0,2),所以yM=4,又因为点M在C上,所以16=2p,解得p=2或p=8,所以抛物线C的方程为y2=4x或y2=16x,故选C.‎ ‎5. （2013·大纲版全国卷高考文科·Ｔ12）与（2013·大纲版全国卷高考理科·Ｔ11）相同 已知抛物线，两点，‎ 若，则（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【解题指南】先求出抛物线的焦点，列出过焦点的直线方程，与抛物线联立，化简成关于的一元二次方程，利用根与系数关系代入求解.‎ ‎【解析】选D.由题意知直线的方程为，将其代入到得，‎ ‎，设，，‎ 则，①‎ 又，②‎ ‎③‎ 因为,所以，‎ 即.④‎ 由①②③④得，.‎ 二、 填空题 ‎6.（2013·北京高考文科·Ｔ9）若抛物线y2=2px的焦点坐标为（1,0）则p=____;准线方程为_____‎ ‎【解题指南】利用抛物线的标准方程求解。‎ ‎【解析】。‎ ‎【答案】2，‎ ‎7.(2013·浙江高考理科·T15)设F为抛物线C:y2=4x的焦点,过点P(-1,0)的直线l交抛物线C于A,B两点,点Q为线段AB的中点,若|FQ|=2,则直线l的斜率等于　　　　.‎ ‎【解题指南】由抛物线方程可知F的坐标,再利用待定系数法表示A,B两点的坐标,根据|FQ|=2求解.‎ ‎【解析】设直线l:y=k(x+1),由消去y得,k2x2+(2k2-4)x+k2=0,‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2),则,x1·x2=1,设AB的中点Q(x0,y0),‎ 则,,因为|FQ|=2,F(1,0),‎ 所以,所以k2=1,k=±1.‎ ‎【答案】±1.‎ 三、解答题 ‎8.(2013·福建高考理科·T18)如图,在正方形OABC中,O为坐标原点,点A的坐标为,点C的坐标为,分别将线段OA和AB十等分,分点分别记为A1,A2,…,A9和B1,B2,…,B9,连接OBi,过Ai作x轴的垂线与OBi交于点 ‎(1)求证:点都在同一条抛物线上,并求抛物线E的方程.‎ ‎(2)过点C作直线l与抛物线E交于不同的两点M,N,若△OCM与△OCN的面积之比为4∶1,求直线l的方程.‎ ‎【解析】(1)依题意,过Ai(i∈N*,1≤i≤9)且与x轴垂直的直线方程为x=i,‎ 因为Bi(10,i),所以直线OBi的方程为y=x,‎ 设Pi坐标为(x,y),由得:y=x2,即x2=10y,‎ 所以Pi(i∈N*,1≤i≤9)都在同一条抛物线上,且抛物线E的方程为x2=10y.‎ ‎(2)依题意:直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=kx+10,‎ 由得x2-10kx-100=0.‎ 此时Δ=100k2+400>0,直线l与抛物线E恒有两个不同的交点M,N,‎ 设:M(x1,y1),N(x2,y2),则 因为S△OCM=4S△OCN,所以,又因为x1·x2<0,所以x1=-4x2,‎ 分别代入①②,解得.‎ 直线l的方程为,即3x-2y+20=0或3x+2y-20=0.‎ ‎9.(2013·福建高考文科·T20)如图,抛物线E:y2=4x的焦点为F,准线l与x轴的交点为A.点C在抛物线E上,以C为圆心, 为半径作圆,设圆C与准线l交于不同的两点M,N.‎ ‎(1)若点C的纵坐标为2,求.‎ ‎(2)若,求圆C的半径.‎ ‎【解题指南】垂径定理求圆的弦长MN,第(2)问,先设C的坐标,写出圆方程,联立方程,然后结合已知条件列式求解.‎ ‎【解析】(1)抛物线y2=4x的准线l的方程为x=-1,‎ 由点C的纵坐标为2,得点C的坐标为(1,2),‎ 所以点C到准线l的距离d=2,又|CO|=.‎ 所以.‎ ‎(2)设,则圆C的方程为,‎ 即x2-x+y2-2y0y=0.‎ 由x=-1,得y2-2y0y+1+=0,‎ 设M(-1,y1),N(-1,y2),则:‎ 由|AF|2=|AM|·|AN|,得|y1y2|=4,‎ 所以+1=4,解得y0=±,此时Δ>0,‎ 所以圆心C的坐标为或,‎ 从而|CO|2=,|CO|=,即圆C的半径为.‎ ‎10. （2013·陕西高考理科·Ｔ20）已知动圆过定点A(4,0), 且在y轴上截得的弦MN的长为8. ‎ ‎ (1) 求动圆圆心的轨迹C的方程; ‎ ‎ (2) 已知点B(－1,0), 设不垂直于x轴的直线与轨迹C交于不同的两点P, Q, 若x轴是的角平分线, 证明直线过定点. ‎ ‎【解题指南】由弦长的一半，半径和弦心距构成直角三角形列出方程，化简后得出轨迹C 的方程;直线过定点可抓住该题的关键x轴是的角平分线，即解之.‎ ‎【解析】(1) A(4,0),设圆心，设圆心C(x,y),线段MN的中点为E,由几何图像知 ‎(2) 设直线l的方程为y=kx+b,联立.‎ 设，‎ 则 若x轴是的角平分线，则 ‎ =即k=-b,‎ 故直线l的方程为y=k(x-1), 直线l过定点（1,0）.‎ ‎11. （2013·湖南高考理科·Ｔ21）过抛物线的焦点F作斜率分别为的两条不同的直线，且，相交于点A，B，相交于点C，D.以AB，CD为直径的圆M，圆N（M，N为圆心）的公共弦所在的直线记为.‎ ‎（1）若，证明；；‎ ‎（2）若点M到直线的距离的最小值为，求抛物线E的方程.‎ ‎【解题指南】(1)先写出过抛物线焦点的直线方程,然后和抛物线方程联立消去y得到关于x的一元二次方程,利用根与系数的关系以及向量的坐标运算可得到结果.‎ ‎(2)利用抛物线的焦点弦长公式求出|AB|,此即圆M的直径,进而可求出圆M的方程,同理可求出圆N的方程,再把两圆的方程相减即得两圆公共弦所在直线方程,于是代入条件即可求解.‎ ‎【解析】（1）由题意，抛物线E的焦点为，直线的方程为.‎ 由，得，设A,B两点坐标分别为，，‎ 则是上述方程的两个实数根，从而，‎ ‎，所以点M的坐标为，，同理可得点N的坐标为， ，于是 ‎，由题设，，，‎ 所以，故.‎ ‎（2）由抛物线的定义得，，‎ 所以，从而圆M的半径，故圆M的方程为，‎ 化简得 同理可得圆N的方程为.于是圆M,圆N的公共弦所在直线l的方程为，又，，则的方程为，因为，所以点M到直线l的距离 ‎，故当时，取最小值，由题设，，解得，故所求抛物线E的方程为.‎