2015高考数学人教A版本（5-1平面向量的概念与线性运算）一轮复习学案 12页

‎【走向高考】2015届高考数学一轮总复习 5-1平面向量的概念与线性运算课后强化作业 新人教A版 基础巩固强化 一、选择题 ‎1．(文)(2014·南通中学月考)设P是△ABC所在平面内的一点，＋＝2，则(　　)‎ A.＋＝0　　 　　　 B.＋＝0‎ C.＋＝0 D.＋＋＝0‎ ‎[答案]　B ‎[解析]　如图，根据向量加法的几何意义，＋＝2⇔P是AC的中点，故＋＝0.‎ ‎(理)已知△ABC中，点D在BC边上，且＝2，＝r＋s，则r＋s的值是(　　)‎ A. B. C．－3 D．0‎ ‎[答案]　D ‎[解析]　＝－，＝－.‎ ‎∴＝－－＝－－.‎ ‎∴＝－，‎ ‎∴＝－.‎ 又＝r＋s，∴r＝，s＝－，‎ ‎∴r＋s＝0.‎ ‎2．(2012·四川理，7)设a、b都是非零向量，下列四个条件中，使＝成立的充分条件是(　　)‎ A．a＝－b B．a∥b C．a＝2b D．a∥b且|a|＝|b|‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　本小题考查共线向量、单位向量、向量的模等基本概念．‎ 因表示与a同向的单位向量，表示与b同向的单位向量，要使＝成立，则必须a与b同向共线，所以由a＝2b可得出＝.‎ ‎[点评]　a＝－b时，a与b方向相反；a∥b时，a与b方向相同或相反．因此A、B、D都不能推出＝.‎ ‎3．(2013·长春调研)已知向量a＝(2,1)，b＝(x，－2)，若a∥b，则a＋b等于(　　)‎ A．(－2，－1) B．(2,1)‎ C．(3，－1) D．(－3,1)‎ ‎[答案]　A ‎[解析]　由a∥b可得2×(－2)－1×x＝0，故x＝－4，所以a＋b＝(－2，－1)，故选A.‎ ‎4．(2013·辽宁五校联考)设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，2＝16，|＋|＝|－|，则||＝(　　)‎ A．2　　　　B．‎4　‎　　　C．6　　　　D．8‎ ‎[答案]　A ‎[解析]　由|＋|＝|－|两边平方得2＋2＋2·＝2＋2－2·，即·＝0，‎ 所以⊥，∴AM为Rt△ABC斜边BC上的中线，又由2＝16得||＝4，所以||＝2.‎ ‎5．设＝e1，＝e2，若e1与e2不共线，且点P在线段AB上，|AP||PB|＝4，如图所示，则＝(　　)‎ A.e1－e2‎ B.e1＋e2‎ C.e1＋e2‎ D.e1－e2‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　＝4，∴＝＋＝5，‎ ＝＋＝－ ‎＝－(－)＝＋＝e1＋e2.‎ ‎6．(2013·湖南衡阳八中月考)向量a＝(1,2)，b＝(1,1)，且a与a＋λb的夹角为锐角，则λ满足(　　)‎ A．λ<－ B．λ>－ C．λ>－且λ≠0 D．λ<－且λ≠－5‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　当λ＝0时，a与a＋λb平行，其夹角为0°，∴λ≠0，由a与a＋λb的夹角为锐角，可得a·(a＋λb)＝(1,2)·(1＋λ，2＋λ)＝3λ＋5>0，解得λ>－，综上可得λ的取值范围为λ>－且λ≠0，故应选C.‎ 二、填空题 ‎7．(文)已知向量a＝(，1)，b＝(0，－1)，c＝(k，)，若a－2b与c共线，则k＝________.‎ ‎[答案]　1‎ ‎[解析]　a－2b＝(，1)－2(0，－1)＝(，3) ，因为a－2b与c平行，所以×－3k＝0，‎ 所以k＝1.‎ ‎(理)已知点A(2,3)，C(0,1)，且＝－2，则点B的坐标为________．‎ ‎[答案]　(－2，－1)‎ ‎[解析]　设点B的坐标为(x，y)，则有＝(x－2，y－3)，＝(－x,1－y)，因为＝－2，‎ 所以解得x＝－2，y＝－1.‎ ‎8．(2013·新课标Ⅱ)已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则·＝________.‎ ‎[答案]　2‎ ‎[解析]　∵正方形ABCD中，AB⊥AD，∴·＝0，‎ ‎∵E为CD的中点，∴＝＋，＝－，‎ ‎∴·＝(＋)·(－)‎ ‎＝－||2＋||2＝－×22＋22＝2.‎ ‎9．(文)在△ABC中，AB＝‎2AC＝2，·＝－1，若＝x1＋x2(O是△ABC的外心)，则x1＋x2的值为________．‎ ‎[答案]　 ‎[解析]　O为△ABC的外心，＝x1＋x2，·＝x1·＋x2·，由向量数量积的几何意义，·＝||2＝2，∴4x1－x2＝2，①‎ 又·＝x1·＋x2·，∴－x1＋x2＝，②‎ 联立①②，解得x1＝，x2＝，∴x1＋x2＝.‎ ‎(理)(2013·保定调研)已知两点A(1,0)，B(1,1)，O为坐标原点，点C在第二象限，且∠AOC＝135°，设＝－＋λ(λ∈R)，则λ的值为________．‎ ‎[答案]　 ‎[解析]　由∠AOC＝135°知，点C在射线y＝－x(x<0)上，设点C的坐标为(a，－a)，a<0，则有(a，－a)＝(－1＋λ，λ)，得a＝－1＋λ，－a＝λ，消掉a得λ＝.‎ ‎10．(2013·广东中山一模)在平行四边形ABCD中，E，F分别是CD和BC的中点，若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝________.‎ ‎[答案]　 ‎[解析]　‎ 如图，设＝a，＝b，‎ 则＝＋＝a＋b，‎ ＝＋＝a＋b，‎ ＝＋＝a＋b，‎ ‎∴＋＝(a＋b)＝，‎ 即＝＋.‎ ‎∴λ＝μ＝，λ＋μ＝.‎ 能力拓展提升 一、选择题 ‎11．(2013·哈尔滨四校统考)在△ABC中，N是AC边一点，且＝，P是BN上的一点，若＝m＋，则实数m的值为(　　)‎ A.　　　　B.　　　　C．1　　　　D．3‎ ‎[答案]　B ‎[解析]　‎ 如图，因为＝，所以＝，＝m＋＝m＋，因为B、P、N三点共线，所以m＋＝1，‎ 所以m＝，选B.‎ ‎12．(文)(2013·山西大学附中)已知△ABC是边长为2的等边三角形，设点P，Q满足＝λ，＝(1－λ)，λ∈R，若·＝－，则λ＝(　　)‎ A. B. C. D. ‎[答案]　D ‎[解析]　·＝(＋)(＋)＝·＋·＋·＋· ‎＝·－λ·－(1－λ)·＋λ(1－λ)· ‎＝2(－λ2＋λ＋1)－4λ－4(1－λ)‎ ‎＝－2λ2＋2λ－2＝－，∴λ＝.‎ ‎(理)(2012·宁夏银川一中二模)已知向量＝(2，x－1)，＝(1，－y)(xy>0)，且∥，则＋的最小值等于(　　)‎ A．2　　　　B．‎4　‎　　　C．8　　　　D．16‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　因为∥，所以2(－y)－(x－1)＝0，即x＋2y＝1，所以(＋)＝(＋)(x＋2y)＝4＋＋≥4＋2＝8(当且仅当x＝，y＝时等号成立)．故选C.‎ ‎13．(文)在△ABC中，已知D是AB边上一点，若＝2，＝＋λ，则λ＝(　　)‎ A. B. C．－ D．－ ‎[答案]　A ‎[解析]　由于＝2，得＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，结合＝＋λ，知λ＝.‎ ‎(理)(2013·保定模拟)如图所示，已知点G是△ABC的重心，过G作直线与AB，AC两边分别交于M，N两点，且＝x，＝y，则的值为(　　)‎ A．3　　 　B.　　 　C．2　　 　D. ‎[分析]　由M、N、G三点共线知，存在实数λ、μ使＝λ＋μ，结合条件＝x，‎ ＝y，可将用，表示，又G为△ABC的重心，用，表示的表示式唯一，可求得x，y的关系式．‎ ‎[答案]　B ‎[解析]　法1：由点G是△ABC的重心，知＋＋＝0，得－＋(－)＋(－)＝0，则＝(＋)．又M、N、G三点共线(A不在直线MN上)，于是存在λ，μ∈R，使得＝λ＋μ(且λ＋μ＝1)，则＝λx＋μy＝(＋)，‎ 所以 于是得＋＝3，所以＝＝.‎ 法2：特殊化法，利用等边三角形，过重心作平行于底边BC的直线，易得＝.‎ 二、填空题 ‎14．(2012·吉林省延吉市质检)已知：||＝1，||＝，·＝0，点C在∠AOB内，且∠AOC＝30°，设＝m＋n(m，n∈R＋)，则＝________.‎ ‎[答案]　3‎ ‎[解析]　如图，设m＝，n＝，则＝＋，‎ ‎∵∠AOC＝30°，∴||·cos30°＝||＝m||＝m，‎ ‎||·sin30°＝||＝n||＝n，‎ 两式相除得：＝＝＝，∴＝3.‎ ‎15．(2013·浙江余姚中学)在△ABC所在的平面内有一点P，满足＋＋＝，则△PBC与△ABC的面积之比是________．‎ ‎[答案]　 ‎[解析]　＋＋＝ ‎⇒＋＋－＝0⇒＋＋＝0‎ ‎⇒2＝，‎ 所以P是AC的三等分点，所以△PBC与△ABC的面积之比是.‎ 三、解答题 ‎16．(文)已知a＝(2x－y＋1，x＋y－2)，b＝(2，－2)，‎ ‎(1)当x、y为何值时，a与b共线？‎ ‎(2)是否存在实数x、y，使得a⊥b，且|a|＝|b|？若存在，求出xy的值；若不存在，说明理由．‎ ‎[解析]　(1)∵a与b共线，‎ ‎∴存在非零实数λ使得a＝λb，‎ ‎∴⇒ ‎(2)由a⊥b⇒(2x－y＋1)×2＋(x＋y－2)×(－2)＝0⇒x－2y＋3＝0.①‎ 由|a|＝|b|⇒(2x－y＋1)2＋(x＋y－2)2＝8.②‎ 由①②解得或 ‎∴xy＝－1或xy＝.‎ ‎(理)已知点O(0,0)、A(1,2)、B(4,5)，向量＝＋t.‎ ‎(1)t为何值时，点P在x轴上？‎ ‎(2)t为何值时，点P在第二象限？‎ ‎(3)四边形ABPO能否为平行四边形？若能，求出t的值；若不能，说明理由．‎ ‎(4)求点P的轨迹方程．‎ ‎[解析]　∵＝＋t＝(1,2)＋t(3,3)‎ ‎＝(1＋3t,2＋3t)，∴P(1＋3t,2＋3t)．‎ ‎(1)∵P在x轴上，∴2＋3t＝0即t＝－.‎ ‎(2)由题意得∴－