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- 2021-05-14 发布
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抛物线焦点弦的一组性质与高考题
过抛物线焦点的直线被抛物线所截得的线段叫抛物线的焦点弦.与此相关的问题在普通高中教科书(实验修订本·必修)第二册(上)(以下简称教科书)中较为频繁,高考中也经常考查,经归纳总结得:
性质X
Y
过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于A(x1,y1)、 B(x2,y2)两点,O为坐标原点,过点A作直线AA1垂直于准线L于点A1,过点B作直线BB1垂直于准线L于点B1,则
1. x1·x2=;
2. y1·y2= - p2;(教科书P119习题8.5第7题)
3. kOA·kOB= - 4;
4. 焦点弦:|AB|=x1+x2+p;(教科书P118例3)
5. 最短焦点弦:特别地,当AB垂直于x轴时,|AB|=2p,
即为通径;(教科书P121)
6. ;
7. 以弦AB为直径的圆与准线L相切于线段A1B1的中点M,即∠AMB=90°;
8. 以线段A1B1为直径的圆与直线AB相切于焦点F,即 ∠A1FB1=90°; (教科书P133复习参考题八(B组)第2题)
9. 设直线OA交准线L于点C,则BC∥x轴;(教科书P123习题8.6第6题)
10. 设直线AB的倾斜角为α,则SΔAOB = ;
11. 当AB垂直于x轴时,过抛物线上任一点P作PQ垂直于x轴于点Q,则 |PQ|2=|OQ|·|AB|; (教科书P133复习参考题八(A组)第15题)
与上述性质类似或相关的高考题
1. (1995年全国高考试题)直线L过抛物线y2=a(x+1)(a>0)的焦点,并且与x轴垂直,若L被抛物线截得的线段长为4,则a=——————;
略解:由性质4知 a=4.
2. (2000年全国高考试题)过抛物线y=ax2(a>0)的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点,若线段PF与FQ的长分别是p、q,则等于( )
A.2a B. C. 4a D.
略解:由性质5知,选(C).
3. (2001年全国高考试题)设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,经过点F的直线交抛物线于A、B两点,点C在抛物线的准线上,且BC∥x轴. 证明直线AC经过原点O.
注:本题是性质8的逆命题.
解题思路:本题的解法很多,采用坐标方法进行代数推理,可以证明直线OA与直线OC的斜率相等,证明|AO|+|OC|=|AC|,证明直线OC与直线BF的交点A在抛物线上,证明直线AC的方程形如y=φ(p)x,等等.每种证明又有不同的表述形式,甚至可以用极坐标法或参数方程法,采用平面几何方法进行推理,主要是运用抛物线的几何性质,可以有同一法、对顶角法、面积法等等.选用什么样的解题途径,体现出考生的知识基础、思维水平和表现技巧.
证法1 如上图所示, 因为抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F(,0),所以经过点F的直线AB的方程可设为 x=my+,代入抛物线方程得 y2-2pmy-p2=0,
若记A(x1,y1)、B(x2,y2),则y1,y2是该方程的两个根,所以 y1y2=-p2 .
因为BC∥x轴,且点C在准线x=-上,所以点C的坐标为(-,y2 ),
故直线CO的斜率为 .
即k也是直线OA的斜率,所以直线AC经过原点O.
证法2 设A(x1,y1),B(x2,y2),因为BC∥x轴,所以C(-,y2 ).
因为A、B在抛物线上,所以 y12=2px1 ,y22=2px2 .
又因为直线AB过焦点F,所以 kAF=kBF ,
即 , 所以
即 y1y2(y2-y1)=p2(y1-y2) .因为y1≠y2,所以 y1y2=-p2 .
因为 kOC=
所以直线AC经过原点O.
证法3 同证法1 得 y1y2=-p2.
因为A(,y1),C(-,y2),即C(-,),
所以直线AC方程为 , 化简得 y=.
显然,原点O(0,0)适合此方程,所以原点O在直线AC上.
1. (1987年广东省高考题)直线L过抛物线y2=2px(p>0) 的焦点,且与这抛物线相交于A(x1,y1)和B(x2,y2)两点,
① 求证:4x1x2=p2;
② 求证:对于这抛物线的任何给定的一条弦CD,直线L不是CD的垂直平分线..
① 证明:抛物线y2=2px的焦点为F (,0),
若过点F的直线L⊥x轴,则直线L的方程为x=, x1=x2=,4x1x2=p2.
若过点F的直线不垂直于x轴,则可设L的方程为y=k(x-),代入抛物线方程y2=2px得 x2-p(1+)x+ =0 ,
由韦达定理得 x1x2= , 即4xx=p2.
② 证法(一) 分两种情况讨论:
(ⅰ)当直线L⊥x轴时,由于C和D在抛物线y2=2px上,所以直线CD与x轴既不平行也不重合,从而CD的垂直平分线不垂直于x轴,所以L不是CD的垂直平分线.
(ⅱ)当直线L不垂直于x轴时,L的方程为y=k(x-)(k≠0),
如果L与CD不垂直,则L不是CD的垂直平分线.
如果直线L⊥CD,依题意可知C(,c)、D( ,d),且有c≠d,这时有k= ,
因为k≠0,所以c+d≠0 .
又线段CD的中点坐标为(),
由于
这是因为c+d≠0, , 所以CD的中点不在直线L上,
从而直线L不是CD的垂直平分线.
证法(二) 反证法
设C、D的坐标分别为(x3,y3),(x4,y4),则有y3≠y4,若L是CD的垂直平分线,则L与CD的方程分别为 ,
CD的中点为Q , y3+y4=k(x3+x4-p),
由于C(x3,y3),D(x4,y4)的坐标是方程组 y2=2px
的解,则方程y2+2pky-2pq=0的判别式大于0,即
Δ=4p2k2+8pq>0 ——①
又由于y3+y4=-2pk ,
从而x3+x4=(-ky3+q)+(-ky4+q)=2q+2pk2 ,
由 y3+y4=k(x3+x4-p)得 –2pk=k(2q+2pk2-p), q= -p( +k2),
所以 4p2k2+8pq=4p2k2-8p2( +k2)=-4p2(1+k2)<0, 与①式矛盾,
所以直线L不是CD的垂直平分线.