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  • 2021-05-14 发布

高考数学试题分类汇编圆锥曲线与方程

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专题十七 圆锥曲线与方程 ‎1.(15北京理科)已知双曲线的一条渐近线为,则 .‎ ‎【答案】‎ 考点:双曲线的几何性质 ‎2.(15北京理科)已知椭圆:的离心率为,点和点都在椭圆上,直线交轴于点.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆的方程,并求点的坐标(用,表示);‎ ‎(Ⅱ)设为原点,点与点关于轴对称,直线交轴于点.问:轴上是否存在点,使得?若存在,求点的坐标;若不存在,说明理由.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析:椭圆:的离心率为,点在椭圆上,利用条件列方程组,解出待定系数,写出椭圆方程;由点和点,写出PA直线方程,令求出x值,写出直线与x轴交点坐标;由点,写出直线的方程,令求出x值,写出点N的坐标,设,求出和,利用二者相等,求出,则存在点使得.‎ 试题解析:(Ⅰ)由于椭圆:过点且离心率为, ‎ ‎,,椭圆的方程为.‎ ‎,直线的方程为:,令,;‎ 考点:1.求椭圆方程;2.求直线方程及与坐标轴的交点;3.存在性问题.‎ ‎3.(15北京文科)已知是双曲线()的一个焦点,则 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析:由题意知,,所以.‎ 考点:双曲线的焦点.‎ ‎4.(15北京文科)已知椭圆,过点且不过点的直线与椭圆交于,两点,直线与直线交于点.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆的离心率;‎ ‎(Ⅱ)若垂直于轴,求直线的斜率;‎ ‎(Ⅲ)试判断直线与直线的位置关系,并说明理由.‎ ‎【答案】(1);(2)1;(3)直线BM与直线DE平行.‎ ‎【解析】‎ 试题分析:本题主要考查椭圆的标准方程及其几何性质、直线的斜率、两直线的位置关系等基础知识,考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问,先将椭圆方程化为标准方程,得到a,b,c的值,再利用计算离心率;第二问,由直线AB的特殊位置,设出A,B点坐标,设出直线AE的方程,由于直线AE与x=3相交于M点,所以得到M点坐标,利用点B、点M的坐标,求直线BM的斜率;第三问,分直线AB的斜率存在和不存在两种情况进行讨论,第一种情况,直接分析即可得出结论,第二种情况,先设出直线AB和直线AE的方程,将椭圆方程与直线AB的方程联立,消参,得到和,代入到中,只需计算出等于0即可证明,即两直线平行.‎ 试题解析:(Ⅰ)椭圆C的标准方程为.‎ 所以,,.‎ 所以椭圆C的离心率.‎ ‎(Ⅱ)因为AB过点且垂直于x轴,所以可设,.‎ 直线AE的方程为.‎ 令,得.‎ 所以直线BM的斜率.‎ ‎(Ⅲ)直线BM与直线DE平行.证明如下:‎ 当直线AB的斜率不存在时,由(Ⅱ)可知.‎ 又因为直线DE的斜率,所以.‎ 当直线AB的斜率存在时,设其方程为.‎ 设,,则直线AE的方程为.‎ 令,得点.‎ 由,得.‎ 所以,.‎ 考点:椭圆的标准方程及其几何性质、直线的斜率、两直线的位置关系.‎ ‎5.(15年广东理科)已知双曲线:的离心率,且其右焦点,则双曲线的方程为 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】因为所求双曲线的右焦点为且离心率为,所以,,‎ 所以所求双曲线方程为,故选.‎ ‎【考点定位】本题考查双曲线的标准方程及其简单基本性质,属于容易题.‎ ‎6.(15年广东理科)已知过原点的动直线与圆相交于不同的两点,.‎ ‎(1)求圆的圆心坐标;‎ ‎(2)求线段的中点的轨迹的方程;‎ ‎(3)是否存在实数,使得直线与曲线只有一个交点:若存在,求出的取值范围;若不存在,说明理由.‎ ‎【答案】(1);(2);(3).‎ ‎【解析】(1)由得,‎ ‎∴ 圆的圆心坐标为;‎ ‎(2)设,则 ‎∵ 点为弦中点即,‎ ‎∴ 即,‎ ‎∴ 线段的中点的轨迹的方程为;‎ ‎(3)由(2)知点的轨迹是以为圆心为半径的部分圆弧(如下图所示,不包括两端点),且,,又直线:过定点,‎ L D x y O C E F 当直线与圆相切时,由得,又,结合上图可知当时,直线:与曲线只有一个交点.‎ ‎【考点定位】本题考查圆的标准方程、轨迹方程、直线斜率等知识与数形结合思想等应用,属于中高档题.‎ ‎6.(15年广东文科)已知椭圆()的左焦点为,则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析:由题意得:,因为,所以,故选C.‎ 考点:椭圆的简单几何性质.‎ ‎7.(15年安徽理科)设椭圆E的方程为,点O为坐标原点,点A的坐标为,点B的坐标为,点M在线段AB上,满足,直线OM的斜率为.‎ ‎(I)求E的离心率e;‎ ‎(II)设点C的坐标为,N为线段AC的中点,点N关于直线AB的对称点的纵坐标为,求E的方程.‎ ‎8.(15年安徽文科)下列双曲线中,渐近线方程为的是( )‎ (A) ‎ (B)‎ ‎(C) (D)‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析:由双曲线的渐进线的公式可行选项A的渐进线方程为,故选A.‎ 考点:渐近线方程.‎ ‎9.(15年安徽文科)设椭圆E的方程为点O为坐标原点,点A的坐标为,点B的坐标为(0,b),点M在线段AB上,满足直线OM的斜率为。[学优高考网]‎ ‎(1)求E的离心率e;‎ ‎(2)设点C的坐标为(0,-b),N为线段AC的中点,证明:MNAB。‎ ‎【答案】(1) (2)详见解析.‎ ‎∴=‎ ‎(Ⅱ)由题意可知N点的坐标为()‎ ‎∴ ‎ ‎∴‎ ‎∴MN⊥AB 考点:1椭圆的离心率;2.直线与椭圆的位置关系.‎ ‎10.(15年福建理科)若双曲线 的左、右焦点分别为,点在双曲线上,且,则 等于( )‎ A.11    B.‎9 C.5    D.3‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析:由双曲线定义得,即,解得,故选B.‎ 考点:双曲线的标准方程和定义.‎ ‎11.(15年福建理科)已知椭圆E:过点,且离心率为.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆E的方程; ‎ ‎(Ⅱ)设直线交椭圆E于A,B两点,判断点G与以线段AB为直径的圆的位置关系,并说明理由.‎ ‎【答案】(Ⅰ);(Ⅱ) G在以AB为直径的圆外.‎ 在圆上.‎ 试题解析:解法一:(Ⅰ)由已知得 解得 所以椭圆E的方程为.‎ 故 所以,故G在以AB为直径的圆外.‎ 解法二:(Ⅰ)同解法一.‎ ‎(Ⅱ)设点,则 由所以 从而 ‎ ‎ 所以不共线,所以为锐角.‎ 故点G在以AB为直径的圆外.‎ 考点:1、椭圆的标准方程;2、直线和椭圆的位置关系;3、点和圆的位置关系.‎ ‎12.(15年福建文科)已知椭圆的右焦点为.短轴的一个端点为,直线交椭圆于两点.若,点到直线的距离不小于,则椭圆的离心率的取值范围是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A 考点:1、椭圆的定义和简单几何性质;2、点到直线距离公式.‎ ‎13.(15年福建文科)已知点为抛物线的焦点,点在抛物线上,且 ‎.‎ ‎(Ⅰ)求抛物线的方程;‎ ‎(Ⅱ)已知点,延长交抛物线于点,证明:以点为圆心且与直线相切的圆,必与直线相切.‎ ‎【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)详见解析.‎ ‎【解析】‎ 试题分析:(Ⅰ)利用抛物线定义,将抛物线上的点到焦点距离和到准线距离相互转化.本题由可得,可求的值,进而确定抛物线方程;(Ⅱ)欲证明以点为圆心且与直线相切的圆,必与直线相切.可证明点到直线和直线的距离相等(此时需确定两条直线方程);也可以证明,可转化为证明两条直线的斜率互为相反数.‎ 试题解析:解法一:(I)由抛物线的定义得.‎ 因为,即,解得,所以抛物线的方程为.‎ ‎(II)因为点在抛物线上,‎ 所以,由抛物线的对称性,不妨设.‎ 由,可得直线的方程为.‎ 由,得,‎ 解得或,从而.‎ 又,‎ 所以,,‎ 所以,从而,这表明点到直线,的距离相等,‎ 故以为圆心且与直线相切的圆必与直线相切.‎ 解法二:(I)同解法一.‎ ‎(II)设以点为圆心且与直线相切的圆的半径为.‎ 因为点在抛物线上,‎ 所以,由抛物线的对称性,不妨设.‎ 由,可得直线的方程为.‎ 由,得,‎ 解得或,从而.‎ 又,故直线的方程为,‎ 从而.‎ 又直线的方程为,‎ 所以点到直线的距离.‎ 这表明以点为圆心且与直线相切的圆必与直线相切.‎ 考点:1、抛物线标准方程;2、直线和圆的位置关系.‎ ‎14.(15年新课标1理科)一个圆经过椭圆的三个顶点,且圆心在x轴上,则该圆的标准方程为 。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设圆心为(,0),则半径为,则,解得,故圆的方程为.‎ ‎15.(15年新课标2理科)过三点A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的圆交于y轴于M、N两点,则=‎ ‎(A)2 (B)8 (C)4 (D)10‎ ‎【答案】C ‎16.(15年新课标2理科)已知A,B为双曲线E的左,右顶点,点M在E上,∆ABM为等腰三角形,且顶角为120°,则E的离心率为 ‎(A)√5 (B)2 (C)√3 (D)√2‎ ‎【答案】D ‎17.(15年新课标2理科)已知椭圆C:,直线l不过原点O且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB的中点为M。‎ ‎(1)证明:直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值;‎ ‎(2)若l过点,延长线段OM与C交于点P,四边形OAPB能否为平行四边形?若能,求此时l的斜率;若不能,说明理由。‎ ‎18.(15年新课标2文科)已知双曲线过点,且渐近线方程为,则该双曲线的标准方程为 .‎ ‎【答案】‎ 考点:双曲线几何性质 ‎19.(15年陕西理科)若抛物线的准线经过双曲线的一个焦点,则p= .‎ ‎【答案】‎ 考点:1、抛物线的简单几何性质;2、双曲线的简单几何性质.‎ ‎20.(15年陕西理科)如图,一横截面为等腰梯形的水渠,因泥沙沉积,导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线表 示),则原始的最大流量与当前最大流量的比值为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析:建立空间直角坐标系,如图所示:‎ 原始的最大流量是,设抛物线的方程为(),因为该抛物线过点,所以,解得,所以,即,所以当前最大流量是,故原始的最大流量与当前最大流量的比值是,所以答案应填:.‎ 考点:1、定积分;2、抛物线的方程;3、定积分的几何意义.‎ ‎21.(15年陕西理科)已知椭圆()的半焦距为,原点到经过两点 ‎,的直线的距离为.‎ ‎(I)求椭圆的离心率;‎ ‎(II)如图,是圆的一条直径,若椭圆经过,两点,求椭圆的方 程.‎ ‎【答案】(I);(II).‎ ‎【解析】‎ 试题分析:(I)先写过点,的直线方程,再计算原点到该直线的距离,进而可得椭圆的离心率;(II)先由(I)知椭圆的方程,设的方程,联立,消去,可得和的值,进而可得,再利用可得的值,进而可得椭圆的方程.‎ 试题解析:(I)过点(c,0),(0,b)的直线方程为,‎ 则原点O到直线的距离,‎ 由,得,解得离心率.‎ ‎(II)解法一:由(I)知,椭圆E的方程为. (1)‎ 依题意,圆心M(-2,1)是线段AB的中点,且.‎ 易知,AB不与x轴垂直,设其直线方程为,代入(1)得 设则 由,得解得.‎ 从而.‎ 于是.‎ 由,得,解得.‎ 故椭圆E的方程为.‎ 解法二:由(I)知,椭圆E的方程为. (2)‎ 依题意,点A,B关于圆心M(-2,1)对称,且.‎ 设则,,‎ 两式相减并结合得.‎ 易知,AB不与x轴垂直,则,所以AB的斜率 因此AB直线方程为,代入(2)得 所以,.‎ 于是.‎ 由,得,解得.‎ 故椭圆E的方程为.‎ 考点:1、直线方程;2、点到直线的距离公式;3、椭圆的简单几何性质;4、椭圆的方程;5、圆的方程;6、直线与圆的位置关系;7、直线与圆锥曲线的位置.‎ ‎22.(15年陕西文科)已知抛物线的准线经过点,则抛物线焦点坐标为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析:由抛物线得准线,因为准线经过点,所以,‎ 所以抛物线焦点坐标为,故答案选 考点:抛物线方程.‎ ‎23.(15年陕西文科)如图,椭圆经过点,且离心率为.‎ ‎(I)求椭圆的方程;‎ ‎(II)经过点,且斜率为的直线与椭圆交于不同两点(均异于点),证明:直线与的斜率之和为2.‎ ‎【答案】(I) ; (II)证明略,详见解析.‎ ‎【解析】‎ 试题分析:(I)由题意知,由,解得,继而得椭圆的方程为;‎ ‎(II) 设,由题设知,直线的方程为,代入 ‎,化简得,则,‎ 由已知, 从而直线与的斜率之和 化简得.‎ 试题解析:(I)由题意知,‎ 综合,解得,‎ 所以,椭圆的方程为.‎ ‎(II)由题设知,直线的方程为,代入,得 ‎ ,‎ 由已知,设,‎ 则,‎ 从而直线与的斜率之和 ‎ ‎ ‎ .‎ 考点:1.椭圆的标准方程;2.圆锥曲线的定值问题.‎ ‎24.(15年天津理科)已知双曲线 的一条渐近线过点 ,且双曲线的一个焦点在抛物线 的准线上,则双曲线的方程为 ‎(A) (B)(C)(D)‎ ‎【答案】D 考点:1.双曲线的标准方程及几何性质;2.抛物线的标准方程及几何性质.‎ ‎25.(15年天津理科)已知椭圆的左焦点为,离心率为,点M在椭圆上且位于第一象限,直线FM被圆截得的线段的长为c,.‎ ‎(I)求直线FM的斜率;‎ ‎(II)求椭圆的方程;‎ ‎(III)设动点P在椭圆上,若直线FP的斜率大于,求直线OP(O为原点)的斜率的取值范围.‎ ‎【答案】(I) ; (II) ;(III) .‎ ‎【解析】‎ 试题分析:(I) 由椭圆知识先求出的关系,设直线直线的方程为,求出圆心到直线的距离,由勾股定理可求斜率的值; (II)由(I)设椭圆方程为,直线与椭圆方程联立,求出点的坐标,由可求出,从而可求椭圆方程.(III)设出直线:,与椭圆方程联立,求得,求出的范围,即可求直线的斜率的取值范围.‎ 试题解析:(I) 由已知有,又由,可得,,‎ 设直线的斜率为,则直线的方程为,由已知有 ‎,解得.‎ ‎(II)由(I)得椭圆方程为,直线的方程为,两个方程联立,消去,整理得 ‎,解得或,因为点在第一象限,可得的坐标为,由,解得,所以椭圆方程为 ‎(III)设点的坐标为,直线的斜率为,得,即,与椭圆方程联立,消去,整理得,又由已知,得,解得 或,‎ 设直线的斜率为,得,即,与椭圆方程联立,整理可得.‎ ①当时,有,因此,于是,得 ②当时,有,因此,于是,得 综上,直线的斜率的取值范围是 考点:1.椭圆的标准方程和几何性质;2.直线和圆的位置关系;3.一元二次不等式.‎ ‎26.(15年天津文科)已知双曲线的一个焦点为,且双曲线的渐近线与圆相切,则双曲线的方程为( )‎ ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎【答案】D 考点:圆与双曲线的性质.‎ ‎27.(15年湖南理科)‎ ‎28.(15年山东理科)平面直角坐标系中,双曲线的渐近线与抛物线交于点,若的垂心为的焦点,则的离心率为 .‎ 解析:的渐近线为,则 的焦点,则,即 ‎29.(15年山东理科)平面直角坐标系中,已知椭圆的离心率为,左、右焦点分别是,以为圆心,以3为半径的圆与以为圆心,以1为半径的圆相交,交点在椭圆C上.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆C的方程;‎ ‎(Ⅱ)设椭圆,P为椭圆C上的任意一点,过点P的直线交椭圆E于A,B两点,射线PO交椭圆E于点Q.‎ ‎(ⅰ)求的值;(ⅱ)求面积最大值.‎ 解析:(Ⅰ)由椭圆的离心率为可知,而则,左、右焦点分别是,‎ 圆:圆:由两圆相交可得,即,交点,在椭圆C上,则,‎ 整理得,解得(舍去)‎ 故椭圆C的方程为.‎ ‎(Ⅱ)(ⅰ)椭圆E的方程为,‎ 设点,满足,射线,‎ 代入可得点,于是.‎ ‎(ⅱ)点到直线距离等于原点O到直线距离的3倍:‎ ‎,得,整理得 ‎,当且仅当等号成立.‎ 而直线与椭圆C:有交点P,则 有解,即有解,‎ 其判别式,即,则上述不成立,等号不成立,‎ 设,则在为增函数,‎ 于是当时,故面积最大值为12.‎ ‎30.(15年江苏) 在平面直角坐标系中,为双曲线右支上的一个动点。若点到直线的距离大于c恒成立,则是实数c的最大值为 [来源:学#科#网Z#X#X#K]‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析:设,因为直线平行于渐近线,所以c的最大值为直线与渐近线之间距离,为 考点:双曲线渐近线,恒成立转化 ‎31.(15年江苏)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆的离心率为,且右焦点F到左 准线l的距离为3.‎ ‎ (1)求椭圆的标准方程;‎ ‎ (2)过F的直线与椭圆交于A,B两点,线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P,C,若PC=2AB,求直线AB的方程.‎ ‎【答案】(1)(2)或.‎ ‎(2)当轴时,,又,不合题意.‎ 当与轴不垂直时,设直线的方程为,,,‎ 将的方程代入椭圆方程,得,‎ 则,的坐标为,且 ‎.‎ 若,则线段的垂直平分线为轴,与左准线平行,不合题意.‎ 从而,故直线的方程为,‎ 则点的坐标为,从而.‎ 因为,所以,解得.‎ 此时直线方程为或.‎ 考点:椭圆方程,直线与椭圆位置关系