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2015 年高考模拟试卷(2)
南通市数学学科基地命题
第Ⅰ卷(必做题,共 160 分)
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分 .
1 . 已 知 集 合 , , 且 , 则 实 数 的 值
为 .
2.设 ,其中 是虚数单位,则 .
3 . 已 知 函 数 是 奇 函 数 , 当 时 , , 且
,
则 .
4.右图是某算法流程图,则程序运行后输出的结果是 .
5.设点 , , , 是球 表面上的四个点, , , 两两互相垂
直,且 ,则球的表面积为 .
6.已知 , ,若向区域 上随
机投掷一点 ,则点 落入区域 的概率为 .
7.将参加夏令营的 名学生编号为: ,采用系统抽样的方法抽取一个容量
为 的样本,且随机抽得的号码为 ,这 名学生分住在三个营区,从 到 在第一
营区,从 到 在第二营区,从 到 在第三营区,则第三个营区被抽中的人数
为 .
8. 中,“角 成等差数列”是“ ”成立的的 条
件.
(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”之一)
9.已知双曲线 ,以右顶点为圆心,实半轴长为半径的圆被双曲线的一
条
渐近线分为弧长为 的两部分,则双曲线的离心率为 .
10.已知 ,则 .
11.已知正数 依次成等比数列,且公比 .将此数列删去一个数后得到的数列(按
{1, 1}A k= − {2,3}B = {2}A B = k
2(1 2 ) ( , R)i a bi a b+ = + ∈ i ab =
( )y f x= 0x < 2( ) ( R)f x x ax a= + ∈
(2) 6f =
a =
P A B C O PA PB PC
1PA PB PC cm= = = 2cm
{( , ) | 6, 0, 0}x y x y x yΩ = + < > > {( , ) | 4, 0, 2 0}A x y x y x y= < > − > Ω
P P A
500 001,002, ,500
50 003 500 001 200
201 355 356 500
ABC∆ , ,A B C sin ( 3cos sin )cosC A A B= +
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
− = > >
1: 2
4 4 2cos sin , (0, )3 2
πα α α− = ∈ 2cos(2 )3
πα + =
1 2 3 4, , ,a a a a 1q ≠
0, 1s n← ←
第 4 题图
原来的顺序)是等差数列,则公比 的取值集合是 .
12 . 如 图 , 梯 形 中 , , ,
,
若 ,则 .
13.设 的内角 所对的边 成等比数列,则
的取值范围是 .
14.设函数 满足 ,且当 时,
.若在区间 内,存在 个不同的实数
,使得 ,则实数 的取值范围为 .
二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题纸指定区域内作答,解答时应写出文字
说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分 14 分)
在 中, , .
(1)求 的值;
(2)若 ,求 的面积.
q
ABCD / /AB CD 6AB =
2AD DC= =
12AC BD⋅ = − AD BC⋅ =
ABC∆ , ,A B C , ,a b c
sin
sin
B
A
( )f x ( ) (3 )f x f x= [1,3)x∈
( ) lnf x x= [1,9) 3
1 2 3, ,x x x
31 2
1 2 3
( )( ) ( ) f xf x f x tx x x
= = =
t
ABC∆ 2C A
π− = 3sin 3A =
sinC
6BC = ABC∆
D
A B
C
第 12 题
图
16.(本小题满分 14 分)
如图,在斜三棱柱 中,侧面 是边长为 的菱形, .在面
中, , , 为 的中点,过 三点的平面交 于点 .
(1)求证: 为 中点;
(2)求证:平面 平面 .
17.(本小题满分 14 分)
某商场为促销要准备一些正三棱锥形状的装饰品,用半径为 的圆形包装纸包装.要求如
下:正三棱锥的底面中心与包装纸的圆心重合,包装纸不能裁剪,沿底边向上翻折,其边缘
恰好达到三棱锥的顶点,如图所示.设正三棱锥的底面边长为 ,体积为 .
(1)求 关于 的函数关系式;
(2)在所有能用这种包装纸包装的正三棱锥装饰品中, 的最大值是多少?并求此时 的
值.
1 1 1ABC A B C− 1 1A ACC 2 1 60A AC∠ = ABC
2 3AB = 4BC = M BC 1 1, ,A B M AC N
N AC
1 1A B MN ⊥ 1 1A ACC
10cm
cmx 3cmV
V x
V x
(第 17 题图)
图
B C
A1
B1 C1
M
NA
第 16 题
图
18.(本小题满分 16 分)
已知椭圆 的离心率为 ,并且椭圆经过点 ,过原点 的直线
与椭圆 交于 两点,椭圆上一点 满足 .
(1)求椭圆 的方程;
(2)证明: 为定值;
(3)是否存在定圆,使得直线 绕原点 转动时, 恒与该定圆相切,若存在,求出该定
圆的方程,若不存在,说明理由.
19.(本小题满分 16 分)
已知数列 是等差数列, 是等比数列,且满足 , .
(1)若 , .
①当 时,求数列 和 的通项公式;
②若数列 是唯一的,求 的值;
(2)若 , , 均为正整数,且成等比数列,求数列 的公差 的最大
值.
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b
+ = > > 2
2 (1,1) O l
C A B、 M MA MB=
C
2 2 2
1 1 2
OA OB OM
+ +
l O AM
{ }na { }nb 1 2 3 9a a a+ + = 1 2 3 27b b b =
4 3a b= 4 3b b m− =
18m = { }na { }nb
{ }nb m
1 1a b+ 2 2a b+ 3 3a b+ { }na d
第 18 题图
xO
y
A
B
20.(本小题满分 16 分)
设函数 有且仅有两个极值点 .
(1)求实数 的取值范围;
(2)是否存在实数 满足 ?如存在,求 的极大值;如不存在,请说明理
由.
第Ⅱ卷(附加题,共 40 分)
21.[选做题]本题包括 A、B、C、D 四小题,每小题 10 分;请选定其中两题,并在相应的答题
区域
内作答.
A.(选修4-1:几何证明选讲)
如图,AD 是∠BAC 的平分线,圆 O 过点 A 且与边 BC 相切于点 D,与边 AB、AC 分别交于点
E、F,求证:EF∥BC.
2( ) ( )xf x ax e a= + ∈R 1 2 1 2, ( )x x x x<
a
a
2
3
1 1( )f x e x= ( )f x
A
B D C
E FO·
B.(选修4-2:矩阵与变换)
已知 ,求矩阵 .
C.(选修4-4:坐标系与参数方程)
在极坐标系中,圆 是以点 为圆心, 为半径的圆.
(1)求圆 的极坐标方程;
(2)求圆 被直线 所截得的弦长.
D.(选修4-5:不等式选讲)
设正数 满足 ,求 的最小值.
【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分.
22.(本小题满分 10 分)
直三棱柱 中,已知 , , , . 是 的中点.
(1)求直线 与平面 所成角的正弦值;
1 0 4 3
1 2 4 1
− = − B
B
C (2, )6C
π−
2
C
C
5: 12l
πθ = −
, ,a b c 1a b c+ + =
1 1 1
3 2 3 2 3 2a b c
+ ++ + +
1 1 1ABC A B C− AB AC⊥ 2AB = 4AC = 1 3AA = D BC
1DB 1 1AC D
(2)求二面角 的大小的余弦值.
23.(本小题满分 10 分)
设 且 ,集合 的所有 个元素的子集记为 .
(1)求集合 中所有元素之和 ;
(2)记 为 中最小元素与最大元素之和,求 的值.
2015 年高考模拟试卷(2) 参考答案
南通市数学学科基地命题
第Ⅰ卷(必做题,共 160 分)
一、填空题
1. ; 2. ; 3. ; 4. ; 5. ; 6. ; 7. ; 8.充分不必要;【解析】
1 1 1B A D C− −
*n N∈ 4n ≥ { }1,2,3, ,M n= 3 31 2, , ,
nCA A A
31 2, , ,
nCA A A S
im iA 3( 1,2, , )ni C=
3
2015
1
3
2015
C
i
i
m
C
=
∑
3 12− 5 27 3π
2
9 14
1A
1B
1C
D
A C
B
条 件 “ 角 成 等 差 数 列 ” ; 结 论 “ ”
或
或 .所以条件是结论的充分不必要条件.
9. ; 10. ;
11. ;【解析】若删去 ,则 成等差数列, ,
即 , (舍去)或 或 (舍去);若删去 ,则
成等差数列, ,即 , (舍去)或 或
(舍去) 或 .
12. ;【解析】 , ,
,
, , , , .
13. ;【解析】由条件得 ,不妨设 ,则 ,即
;同理得当 时, .而 , 的取值范围是
.
14 . .【 解 析 】 , , 当 时 , ,
,在直角坐标系内作出函数 的图象,而 表示的是该图象上的点与原点
的连线的斜率.图象上的点 与与原点的连线的斜率为 ;当过原点的直线与曲线
相切时,斜率为 (利用导数解决). 由图可知,满足题意得实数 的
, ,A B C ⇔ 3B
π= sin ( 3cos sin )cosC A A B= + ⇔
sin( ) 3cos cos sin cosA B A B A B+ = + ⇔ cos sin 3cos cosA B A B= ⇔ cos 0A =
sin 3cosB B= ⇔ 2A
π=
3B
π=
2 3
3
15 2
6
+−
1 5 1 5,2 2
− + + 2a 1 3 4, ,a a a 3 1 42a a a∴ = +
2 3
1 1 12a q a a q= + 1q∴ =
1 5
2q
+= 1 5
2q
−=
3a 1 2 4, ,a a a
2 1 42a a a∴ = + 3
1 1 12a q a a q= + 1q∴ =
1 5
2q
− += 1 5
2q
− −=
∴
1 5
2q
+= 1 5
2
− +
0 0AD DC CB BA+ + + =
∴ AD BC AB CD− = +
2 2
( ) ( ) ( ) ( )AD DC BC CD AD BC CD AD BC CD AD BC CD AB CD CD∴ + ⋅ + = ⋅ + ⋅ − − = ⋅ + ⋅ + −
12AC BD⋅ = −
/ /AB CD 6AB = 2AD DC= = 0AD BC∴ ⋅ =
5 1 5 1( , )2 2
− +
2b ac= a b c≤ ≤
2bc a ba
= < +
2
2 1 0b b
a a
− − <
a b c≥ ≥
5 1 12
b
a
− < ≤ sin
sin
B b
A a
=
∴
sin
sin
B
A
5 1 5 1( , )2 2
− +
ln3 1( , )9 3e ( ) (3 )f x f x=
( ) ( )3
xf x f∴ = [3,9)x∈ [1,3)3
x ∈
( ) ln 3
xf x∴ = ( )f x
( )f x
x
(9,ln3)
ln3
9
( ) ln , [3,9)3
xf x x= ∈ 1
3e ∴ t
取值范围为 .
二、解答题
15.(1)因为在 中, ,所以 为锐角,且 .
所以 ;
(2)由正弦定理得 ,所以 .
因为在 中, ,所以 为钝角,且 .
因为在 中, ,
所以 .
所以 的面积为 .
16. (1)由题意,平面 平面 ,平面 与平面 交于直线 ,
与平面 交于直线 ,所以 .
因为 ,所以 ,所以 .
因为 为 的中点,所以 ,所以 为 中点.
(2)因为四边形 是边长为 的菱形, .
在三角形 中, , ,由余弦定理得 ,
故 ,从而可得 ,即 .
在三角形 中, , , ,
则 ,从而可得 ,即 .
又 ,则 .
因为 , 面 , 面 ,
ln3 1( , )9 3e
ABC∆ 2C A
π− =
A
2 23 6cos 1 sin 1 ( )3 3A A= − = − =
6sin sin( ) cos2 3C A A
π= + = =
sin sin
BC AB
A C
=
66sin 3 2 3sin 3
3
BC CAB A
×
= = =
ABC∆ 2C A
π− =
C
2 26 3cos 1 sin 1 ( )3 3C C= − − = − − = −
ABC∆ ( )B A Cπ= − +
3 3 6 6 1sin sin( ) sin cos cos sin ( )3 3 3 3 3B A C A C A C= + = + = × − + × =
ABC∆
1 1 1sin 2 3 6 22 2 3ABCS AB BC B∆ = × × = × × × =
/ /ABC 1 1 1A B C 1 1A B M ABC MN
1 1 1A B C 1 1A B 1 1/ /MN A B
1 1/ /AB A B / /MN AB
CN CM
AN BM
=
M AB
1CN
AN
=
N AC
1 1A ACC 2 1 60A AC∠ =
1A AN 1AN = 1 2A A = 1 3A N =
2 2 2
1 1A A AN A N= + 1 90A NA∠ =
1A N AC⊥
ABC 2 3AB = 2AC = 4BC =
2 2 2BC AB AC= + 90BAC∠ = AB AC⊥
/ /MN AB AC MN⊥
1MN A N N= MN ⊂ 1 1A B MN 1A N ⊂ 1 1A B MN
所以 平面 .
又 平面 ,所以平面 平面 .
17.正三棱锥展开如图所示.当按照底边包装时体积最大.
设正三棱锥侧面的高为 ,高为 .
由题意得 ,解得 .
则 ,
.
所以,正三棱锥体积 .
设 ,
求导得 ,令 ,得 ,
当 时, , 函数 在 上单调递增,
当 时, , 函数 在 上单调递减,
所以,当 时, 取得极大值也是最大值.
此时 ,所以 .
答:当底面边长为 时,正三棱锥的最大体积为 .
18.(1)由题设: 解得 ,
椭圆 的方程为
(2)①直线 的斜率不存在或为 0 时, ;
AC ⊥ 1 1A B MN
AC ⊂ 1 1A ACC 1 1A B MN ⊥ 1 1A ACC
0h h
0
3 106 x h+ = 0
310 6h x= −
2 2
2 2
0
3 10 3(10 ) 10012 6 12 3
x xh h x x= − = − − = −
(0,10 3)x∈
2 21 1 3 10 3 3 10 3100 1003 3 4 3 12 3V Sh x x x x= = × × − = −
4 4 5
2 10 3 100 10(100 )48 3 48 48 3
x x xy V x= = − = −
3 4100 50
12 48 3
x xy′ = −
0y′ = 8 3x =
(0,8 3)x∈ 0y′ > ∴ y (0,8 3)
(8 3,10 3)x∈ 0y′ < ∴ y (8 3,10 3)
8 3cmx = y
15360y = 3
max 32 15cmV =
8 3cm 332 15cm
2
2
2 2
21 ,2
1 1 1,
b
a
a b
− =
+ =
2 2 33, 2a b= =
∴ C
2 22 1;3 3
x y+ =
l 2 2 2 2 2
1 1 2 2 2 2 4 23 3OA OB OM a b
+ + = + = + =
D''
D'
O
C
A B
D
②直线 的斜率存在且不为 0 时,设直线 的方程为 ,
则 , 直线 的方程为 ,
由 得 , ,
同理 ,
,
为定值;
(3)由(2)得:
①直线 的斜率不存在或为 0 时, ;
②直线 的斜率存在且不为 0 时,
原点 到直线 的距离 ,
直线 与圆 相切,
即存在定圆 ,使得直线 绕原点 转动时, 恒与该定圆相切.
19.(1)①由数列 是等差数列及 ,得 ,
由数列 是等比数列及 ,得 .
设数列 的公差为 ,数列 的公比为 ,
若 ,则有 ,解得 或 .
l l ( 0)y kx k= ≠
MA MB= ∴ OM
1y xk
= −
2 22 3
y kx
x y
=
+ = 2 2(1 2 ) 3k x+ =
2 2
2
3
1 2A Bx x k
∴ = = +
2
2
2
3
2M
kx k
∴ = +
2 2 2
1 1 2
OA OB OM
∴ + + = 2
2 2
2 2 2 2
1 1 2
3 3 1 3(1 ) (1 ) (1 )1 2 1 2 2
kk kk k k k
+ +
+ ⋅ + ⋅ + ⋅+ + +
2 2
2 2
2(1 2 ) 2( 2)
3(1 ) 3(1 )
k k
k k
+ += ++ +
2=
2 2 2
1 1 2 2OA OB OM
∴ + + =
l 2 2 2 2
1 1 1 1 1 2 13 3OA OM a b
+ = + = + =
l
2 2
22 2 2 2
2
2 2 2
1 1 1 1 1 2 2 13 1 3 3(1 ) 3(1 )(1 ) (1 )1 2 2
k k
kOA OM k kk k k k
+ ++ = + = + =+ ++ ⋅ + ⋅+ +
∴ O AM
2 2
2 2
1 11 1
OA OMd
OA OM
OA OM
⋅= = =
+ +
∴ AM 2 2 1x y+ =
2 2 1x y+ = l O AM
{ }na 1 2 3 9a a a+ + = 2 3a =
{ }nb 1 2 3 27b b b = 2 3b =
{ }na d { }nb q
18m = 2
3 2 3 ,
3 3 18
d q
q q
+ =
− =
3,
3
d
q
=
=
9 ,2
2
d
q
= −
= −
所以, 和 的通项公式为 或
② 由题设 ,得 ,即 (*).
因为数列 是唯一的,所以
若 ,则 ,检验知,当 时, 或 (舍去),满足题意;
若 ,则 ,解得 ,代入(*)式,解得 ,
又 ,所以 是唯一的等比数列,符合题意.
所以, 或 .
(2)依题意, ,
设 公比为 ,则有 , (**)
记 , ,则 .
将(**)中的 消去,整理得 ,
的大根为
而 ,所以 的可能取值为:
.
所以,当 时, 的最大值为 .
20.(1) .
显然 , 是直线 与曲线 两交点的横坐标.
由 ,得 .列表:
{ }na { }nb 1
3 3,
3
n
n
n
a n
b −
= − = 2
9 12,2
3( 2)
n
n
n
a n
b −
= − +
= −
4 3b b m− = 23 3q q m− = 23 3 0q q m− − =
{ }nb
0q = 0m = 0m = 1q = 0
0q ≠ 2( 3) 12 0m− + =
3
4m = − 1
2q =
2 3b = { }nb
0m =
3
4
−
1 1 3 336 ( )( )a b a b= + +
{ }nb q
336 (3 )(3 3 )d d qq
= − + + +
33m d q
= − +
3 3n d q= + + 36mn =
q 2 ( ) 3( ) 36 0d m n d m n+ − + + − =
d
2 2( ) 12( ) 144 ( 6) 36
2 2
n m m n m n n m m n− + − − + + − + + − −=
,m n N ∗∈ ( , )m n
(1,36),(2,18),(3,12),(4,9),(6,6),(9,4),(12,3),(18,2),(36,1)
1, 36m n= = d
35 5 37
2
+
( ) 2 xf x ax e′ = +
0a ≠ 1 2,x x
1
2y a
= − ( ) x
xy g x e
= =
1( ) 0x
xg x e
−′ = =
1x =
x ( ,1)−∞ 1 (1, )+∞
( )g x′ + 0 −
↗
↘
此外注意到:
当 时, ;
当 及 时, 的取值范围分别为 和 .
于是题设等价于 < ,故实数 的取值范围为 .
(2)存在实数 满足题设.证明如下:
由(1)知, , ,
故 ,故 .
记 ,则 ,
于是, 在 上单调递减.
又 ,故 有唯一的零点 .
从而,满足 的 .所以, .
此时 , ,
又 , , ,而 ,
故当 时, .
第Ⅱ卷(附加题,共 40 分)
21.A. 如图,连结 .
因为 与圆相切,
所以 .
因为 与 为弧 所对的圆周角,
所以 .
又因为 是 的平分线,
( )g x max
1( )g x e
=
0x < ( ) 0g x <
[0,1]x∈ (1, )x∈ +∞ ( )g x
1[0, ]e
1(0, )e
1 10 2a e
< − < ⇒ 2
ea < −
a ( , )2
e−∞ −
a
1 20 1x x< < < 1
1 1( ) 2 0xf x ax e′ = + =
1 1 1
2
2 1 3
1 1 1( ) + 2
x x xxf x = ax e e e e x= − =
1
1
2
3
1
1 02
x
xe e ex
− − =
2
31( ) (0 1)2
x
xeR x e e xx
= − − < < 2
( 1) 1( ) 02
x
xe xR x ex
−′ = − <
( )R x (0,1)
2( ) 03R = ( )R x
2
3x =
2
3
1 1( )f x e x= 1
2
3x =
1 2
3
1
3
2 4
xea ex
= − = −
2
233( ) 4
xf x e x e= − +
2
33( ) 2
xf x e x e′ = − +
(0) 0f ′ > (1) 0f ′ < (2) 0f ′ > 1
2 (0,1)3x = ∈
2
33
4a e= −
2
3
1
2( ) ( ) 3f x f x e= =极大
DF
BC
CDF DAF∠ = ∠
EFD∠ EAD∠ DE
EFD EAD∠ = ∠
AD BAC∠
A
B D C
E FO·
所以 .
从而 .
于是 .
B.设 则 ,
故
C.(1)圆 是将圆 绕极点按顺时针方向旋转 而得到的圆,所以圆 的极坐标方
程是 .
(2)将 代入圆 的极坐标方程 ,得 ,
所以,圆 被直线 所截得的弦长为 .
D. 因为 均为正数,且 ,
所以 .
于是由均值不等式可知
,
当且仅当 时,上式等号成立.
从而 .
故 的最小值为 .此时 .
22. 在直三棱柱 中, ,
分别以 、 、 所在的直线为 轴、 轴、 轴,建立空间直角坐标系,
则 ,
是 的中点, ,
EAD DAF∠ = ∠
CDF EFD∠ = ∠
/ /EF BC
,a b
c d
= B 1 0
1 2 2 2
a b
a c b d
= + + B
4, 4,
3, 3, 4 3 .2 4, 4, 4 2
2 1, 2.
a a
b b
a c c
b d d
= − = −
= = − = + = = −
+ = − = −
解得 故B
C 4cosρ θ= 6
π
C
4cos( )6
πρ θ= +
5
12
πθ = −
C 4cos( )6
πρ θ= + 2 2ρ =
C
5: 12l
πθ = −
2 2
, ,a b c 1a b c+ + =
(3 2) (3 2) (3 2) 9a b c+ + + + + =
( )[ ]1 1 1 (3 2) (3 2) (3 2)3 2 3 2 3 2 a b ca b c
+ + + + + + ++ + +
33 13 3 (3 2)(3 2)(3 2) 9(3 2)(3 2)(3 2) a b ca b c
≥ ⋅ + + + =+ + +
1
3a b c= = =
1 1 1 13 2 3 2 3 2a b c
+ + ≥+ + +
1 1 1
3 2 3 2 3 2a b c
+ ++ + + 1
1
3a b c= = =
1 1 1ABC A B C− AB AC⊥
∴ AB AC 1AA x y z
1 1 1(0,0,0), (2,0,0), (0,4,0), (0,0,3), (2,0,3), (0,4,3)A B C A B C
D BC ∴ (1,2,0)D
(1) ,
设平面 的法向量 ,则 ,
即 ,取 ,
平面 的法向量 ,
而 ,
,
直线 与平面 所成角的正弦值为 ;
(2) ,
设平面 的法向量 ,则 ,
即 ,取 ,
平面 的法向量 ,
,
二面角 的大小的余弦值 .
23.(1)因为含元素 的子集有 个,同理含 的子集也各有 个,于是所求元
素之和为 ;
(2)集合 的所有 个元素的子集中:
以 为最小元素的子集有 个,以 为最大元素的子集有 个;
1 1 1(0,4,0), (1,2, 3)AC A D= = −
1 1AC D 1 1 1 1( , , )n x y z=
1 1 1
1 1
0
0
n AC
n A D
⋅ =
⋅ =
1
1 1 1
4 0
2 3 0
y
x y z
=
+ − =
1
1
1
3
0
1
x
y
z
=
=
=
∴ 1 1AC D 1 (3,0,1)n =
1 (1, 2,3)DB = −
1 1
1 1
1 1
3 35cos , 35
n DBn DB
n DB
⋅∴ < >= =
⋅
∴ 1DB 1 1AC D
3 35
35
1 1 (2,0,0)A B =
1 (1, 2,3)DB = −
1 1B A D 2 2 2 2( , , )n x y z=
2 1 1
2 1
0
0
n A B
n DB
⋅ =
⋅ =
2
2 2 2
2 0
2 3 0
x
x y z
=
− + =
2
2
2
0
3
2
x
y
z
=
=
=
∴ 1 1B A D 2 (0,3,2)n =
1 2
1 2
1 2
130cos , 65
n nn n
n n
⋅∴ < >= =
⋅
∴ 1 1 1B A D C− −
130
65
1 2
1nC − 2,3,4, ,n
2
1nC −
2 2 2
1
1(1 2 3 ) ( 2 )( 1)4nn C n n n−+ + + + × = − −
{ }1,2,3, ,M n= 3
1 2
1nC − n 2
1nC −
以 为最小元素的子集有 个,以 为最大元素的子集有 个;
以 为最小元素的子集有 个,以 为最大元素的子集有 个.
,
. .
2 2
2nC − 1n − 2
2nC −
2n − 2
2C 3 2
2C
3
1
nC
i
i
m
=
∴∑
31 2 nCm m m= + + +
2 2 2
1 2 2( 1)( )n nn C C C− −= + + + +
2 2 2 3
1 2 3 3( 1)( )n nn C C C C− −= + + + + +
2 2 2 3
1 2 4 4( 1)( )n nn C C C C− −= + + + + +
3( 1) nn C= = +
3
1
3 1
nC
i
i
n
m
nC
=∴ = +
∑
3
2015
1
3
2015
2015 1 2016
C
i
i
m
C
=∴ = + =
∑