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- 2021-05-14 发布
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绝密★启用前
2017 年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
本试卷 5 页,23 小题,满分 150 分。考试用时 120 分钟。
注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用 2B 铅笔将
试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2.作答选择题时,选出每小题答案后,用 2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;
如需要改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应
位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按
以上要求作答无效。
4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目
要求的。
1.已知集合 A={x|x<1},B={x|3 1x },则
A. { | 0}A B x x B. A B R C. { | 1}A B x x D. A B
2.如图,正方形 ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方
形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是
A. 1
4
B. π
8
C. 1
2
D. π
4
3.设有下面四个命题
1p :若复数 z 满足 1
z
R ,则 z R ; 2p :若复数 z 满足 2z R ,则 z R ;
3p :若复数 1 2,z z 满足 1 2z z R ,则 1 2z z ; 4p :若复数 z R ,则 z R .
其中的真命题为
A. 1 3,p p B. 1 4,p p C. 2 3,p p D. 2 4,p p
4.记 nS 为等差数列{ }na 的前 n 项和.若 4 5 24a a , 6 48S ,则{ }na 的公差为
A.1 B.2 C.4 D.8
5.函数 ( )f x 在 ( , ) 单调递减,且为奇函数.若 ( 11)f ,则满足 21 ( ) 1xf 的 x 的取值范
围是
A.[ 2,2] B.[ 1,1] C.[0,4] D.[1,3]
6. 6
2
1(1 )(1 )xx
展开式中 2x 的系数为
A.15 B.20 C.30 D.35
7.某多面体的三视图如图所示,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长
为 2,俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形,这些梯形的面积之和为
A.10 B.12 C.14 D.16
8.右面程序框图是为了求出满足 3n−2n>1000 的最小偶数 n,那么在 和 两个空白框中,可以分别填入
A.A>1 000 和 n=n+1 B.A>1 000 和 n=n+2 C.A 1 000 和 n=n+1 D.A 1 000 和 n=n+2
9.已知曲线 C1:y=cos x,C2:y=sin (2x+ 2π
3
),则下面结论正确的是
A.把 C1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移 π
6
个单位长度,得
到曲线 C2
B.把 C1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移 π
12
个单位长度,
得到曲线 C2
C.把 C1 上各点的横坐标缩短到原来的 1
2
倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移 π
6
个单位长度,得
到曲线 C2
D.把 C1 上各点的横坐标缩短到原来的 1
2
倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移 π
12
个单位长度,
得到曲线 C2
10.已知 F 为抛物线 C:y2=4x 的焦点,过 F 作两条互相垂直的直线 l1,l2,直线 l1 与 C 交于 A、B 两点,
直线 l2 与 C 交于 D、E 两点,则|AB|+|DE|的最小值为
A.16 B.14 C.12 D.10
11.设 xyz 为正数,且 2 3 5x y z ,则
A.2x<3y<5z B.5z<2x<3y C.3y<5z<2x D.3y<2x<5z
12.几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件。为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解
数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案:已知数列 1,1,2,1,2,
4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,其中第一项是 20,接下来的两项是 20,21,再接下来的三项是
20,21,22,依此类推。求满足如下条件的最小整数 N:N>100 且该数列的前 N 项和为 2 的整数幂。那么该
款软件的激活码是
A.440 B.330 C.220 D.110
二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。
13.已知向量 a,b 的夹角为 60°,|a|=2,|b|=1,则| a +2 b |= .
14.设 x,y 满足约束条件
2 1
2 1
0
x y
x y
x y
,则 3 2z x y 的最小值为 .
15.已知双曲线 C:
2 2
2 2 1x y
a b
(a>0,b>0)的右顶点为 A,以 A 为圆心,b 为半径做圆 A,圆 A 与双曲线
C 的一条渐近线交于 M、N 两点。若∠MAN=60°,则 C 的离心率为________。
16.如图,圆形纸片的圆心为 O,半径为 5 cm,该纸片上的等边三角形 ABC 的中心为 O。D、E、F 为圆 O
上的点,△DBC,△ECA,△FAB 分别是以 BC,CA,AB 为底边的等腰三角形。沿虚线剪开后,分别以
BC,CA,AB 为折痕折起△DBC,△ECA,△FAB,使得 D、E、F 重合,得到三棱锥。当△ABC 的边长变
化时,所得三棱锥体积(单位:cm3)的最大值为_______。
三、解答题:共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题,每个试题考
生都必须作答。第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答。
(一)必考题:共 60 分。
17.(12 分)△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知△ABC 的面积为
2
3sin
a
A
(1)求 sinBsinC;
(2)若 6cosBcosC=1,a=3,求△ABC 的周长.
18.(12 分)
如图,在四棱锥 P-ABCD 中,AB//CD,且 90BAP CDP .
(1)证明:平面 PAB⊥平面 PAD;
(2)若 PA=PD=AB=DC, 90APD ,求二面角 A-PB-C 的余弦值.
19.(12 分)
为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取 16 个零件,并测量
其尺寸(单位:cm).根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分
布 2( , )N .
(1)假设生产状态正常,记 X 表示一天内抽取的 16 个零件中其尺寸在 ( 3 , 3 ) 之外的零件
数,求 ( 1)P X 及 X 的数学期望;
(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在 ( 3 , 3 ) 之外的零件,就认为这条生产线在这一
天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.
(ⅰ)试说明上述监控生产过程方法的合理性;
(ⅱ)下面是检验员在一天内抽取的 16 个零件的尺寸:
9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04
10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95
经计算得
16
1
1 9.9716 i
i
x x
,
16 16
2 2 2 2
1 1
1 1( ) ( 16 ) 0.21216 16i i
i i
s x x x x
,其中 ix 为抽取
的第 i 个零件的尺寸, 1,2, ,16i .
用样本平均数 x 作为 的估计值 ˆ ,用样本标准差 s 作为 的估计值 ˆ ,利用估计值判断是否需对
当天的生产过程进行检查?剔除 ˆ ˆ ˆ ˆ( 3 , 3 ) 之外的数据,用剩下的数据估计 和 (精确到 0.01).
附:若随机变量 Z 服从正态分布 2( , )N ,则 ( 3 3 ) 0.997 4P Z ,
160.997 4 0.959 2 , 0.008 0.09 .
20.(12 分)
已知椭圆 C:
2 2
2 2 =1x y
a b
(a>b>0),四点 P1(1,1),P2(0,1),P3(–1, 3
2
),P4(1, 3
2
)中恰有
三点在椭圆 C 上.
(1)求 C 的方程;
(2)设直线 l 不经过 P2 点且与 C 相交于 A,B 两点。若直线 P2A 与直线 P2B 的斜率的和为–1,证明:l
过定点.
21.(12 分)
已知函数 )f x ( ae2x+(a﹣2) ex﹣x.
(1)讨论 ( )f x 的单调性;
(2)若 ( )f x 有两个零点,求 a 的取值范围.
(二)选考题:共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。
22.[选修 4―4:坐标系与参数方程](10 分)
在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为 3cos ,
sin ,
x
y
(θ为参数),直线 l 的参数方程为
4 ,
1 ,
x a t ty t
( 为参数).
(1)若 a=−1,求 C 与 l 的交点坐标;
(2)若 C 上的点到 l 的距离的最大值为 17 ,求 a.
23.[选修 4—5:不等式选讲](10 分)
已知函数 f(x)=–x2+ax+4,g(x)=│x+1│+│x–1│.
(1)当 a=1 时,求不等式 f(x)≥g(x)的解集;
(2)若不等式 f(x)≥g(x)的解集包含[–1,1],求 a 的取值范围.
2017 年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学参考答案
一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目
要求的。
1. A 2.B 3.B 4.C 5.D 6.C
7.B 8.D 9.D 10.A 11.D 12.A
二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。
13. 2 3 14.-5 15. 2 3
3
16. 315cm
三、解答题:共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题,每个试题考
生都必须作答。第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答。
(一)必考题:共 60 分。
17.(12 分)△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知△ABC 的面积为
2
3sin
a
A
(1)求 sinBsinC;
(2)若 6cosBcosC=1,a=3,求△ABC 的周长.
解:(1)
由题意可得
21 sin2 3sinABC
aS bc A A ,
化简可得 2 22 3 sina bc A ,
根据正弦定理化简可得: 2 2 22sin 3sin sinCsin sin sinC 3A B A B 。
(2)
由
2sin sinC 1 23 cos cos sin sinC cos cos1 2 3cos cos 6
B
A A B B B C A
B C
,
因此可得
3B C ,
将之代入 2sin sinC 3B 中可得: 23 1sin sin sin cos sin 03 2 2C C C C C
,
化简可得 3tan ,3 6 6C C B ,
利用正弦定理可得 3 1sin 3sin 23
2
ab BA
,
同理可得 3c ,
故而三角形的周长为3 2 3 。
18.(12 分)
如图,在四棱锥 P-ABCD 中,AB//CD,且 90BAP CDP .
(1)证明:平面 PAB⊥平面 PAD;
(2)若 PA=PD=AB=DC, 90APD ,求二面角 A-PB-C 的余弦值.
(1)证明:
/ / ,AB CD CD PD AB PD ,
又 ,AB PA PA PD P ,PA、PD 都在平面 PAD 内,
故而可得 AB PAD 。
又 AB 在平面 PAB 内,故而平面 PAB⊥平面 PAD。
(2)解:
不妨设 2PA PD AB CD a ,
以 AD 中点 O 为原点,OA 为 x 轴,OP 为 z 轴建立平面直角坐标系。
故而可得各点坐标: 0,0, 2 , 2 ,0,0 , 2 ,2 ,0 , 2 ,2 ,0P a A a B a a C a a ,
因此可得 2 ,0, 2 , 2 ,2 , 2 , 2 ,2 , 2PA a a PB a a a PC a a a ,
假设平面 PAB 的法向量 1 , ,1n x y ,平面 PBC 的法向量 2 , ,1n m n ,
故而可得 1
1
2 2 0 1
2 2 2 0 0
n PA ax a x
n PB ax ay a y
,即 1 1,0,1n ,
同理可得
2
2
2 2 2 0 0
22 2 2 0 2
n PC am an a m
n PB am an a n
,即 2
20, ,12n
。
因此法向量的夹角余弦值: 1 2
1 3cos , 332 2
n n
。
很明显,这是一个钝角,故而可得余弦为 3
3
。
19.(12 分)
为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取 16 个零件,并测量
其尺寸(单位:cm).根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分
布 2( , )N .
(1)假设生产状态正常,记 X 表示一天内抽取的 16 个零件中其尺寸在 ( 3 , 3 ) 之外的零件
数,求 ( 1)P X 及 X 的数学期望;
(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在 ( 3 , 3 ) 之外的零件,就认为这条生产线在这一
天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.
(ⅰ)试说明上述监控生产过程方法的合理性;
(ⅱ)下面是检验员在一天内抽取的 16 个零件的尺寸:
9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04
10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95
经计算得
16
1
1 9.9716 i
i
x x
,
16 16
2 2 2 2
1 1
1 1( ) ( 16 ) 0.21216 16i i
i i
s x x x x
,其中 ix 为抽取
的第 i 个零件的尺寸, 1,2, ,16i .
用样本平均数 x 作为 的估计值 ˆ ,用样本标准差 s 作为 的估计值 ˆ ,利用估计值判断是否需对
当天的生产过程进行检查?剔除 ˆ ˆ ˆ ˆ( 3 , 3 ) 之外的数据,用剩下的数据估计 和 (精确到 0.01).
附:若随机变量 Z 服从正态分布 2( , )N ,则 ( 3 3 ) 0.997 4P Z ,
160.997 4 0.959 2 , 0.008 0.09 .
解:(1) 161 1 0 1 0.9974 1 0.9592 0.0408P X P X
由题意可得,X 满足二项分布 ~ 16,0.0016X B ,
因此可得 16,0.0016 16 0.0016 0.0256EX
(2)
○1 由(1)可得 1 0.0408 5%P X ,属于小概率事件,
故而如果出现 ( 3 , 3 ) 的零件,需要进行检查。
○2 由题意可得 9.97, 0.212 3 9.334, 3 10.606 ,
故而在 9.334,10.606 范围外存在 9.22 这一个数据,因此需要进行检查。
此时: 9.97 16 9.22 10.0215x ,
15
1
1 0.0915 i
x x
。
20.(12 分)
已知椭圆 C:
2 2
2 2 =1x y
a b
(a>b>0),四点 P1(1,1),P2(0,1),P3(–1, 3
2
),P4(1, 3
2
)中恰有
三点在椭圆 C 上.
(1)求 C 的方程;
(2)设直线 l 不经过 P2 点且与 C 相交于 A,B 两点。若直线 P2A 与直线 P2B 的斜率的和为–1,证明:l
过定点.
解:(1)
根据椭圆对称性可得,P1(1,1)P4(1, 3
2
)不可能同时在椭圆上,
P3(–1, 3
2
),P4(1, 3
2
)一定同时在椭圆上,
因此可得椭圆经过 P2(0,1),P3(–1, 3
2
),P4(1, 3
2
),
代入椭圆方程可得: 2
1 31, 1 24b aa
,
故而可得椭圆的标准方程为:
2
2 14
x y 。
(2)由题意可得直线 P2A 与直线 P2B 的斜率一定存在,
不妨设直线 P2A 为: 1y kx ,P2B 为: 1 1y k x .
联立 2 22
2
1
4 1 8 0
14
y kx
k x kxx y
,
假设 1 1,A x y , 2 2,B x y 此时可得:
22
2 22 2
8 1 1 4 18 1 4, , ,4 1 4 1 4 1 1 4 1 1
k kk kA Bk k k k
,
此时可求得直线的斜率为:
2 2
2 2
2 1
2 1
2 2
1 4 1 1 4
4 14 1 1
8 1 8
4 14 1 1
AB
k k
kky yk kx x k
kk
,
化简可得
2
1
1 2ABk
k
,此时满足 1
2k 。
○1 当 1
2k 时,AB 两点重合,不合题意。
○2 当 1
2k 时,直线方程为:
2
2 2 2
1 8 1 4
4 1 4 11 2
k ky x k kk
,
即
2
2
4 4 1
1 2
k k x
y
k
,当 2x 时, 1y ,因此直线恒过定点 2, 1 。
21.(12 分)
已知函数 )f x ( ae2x+(a﹣2) ex﹣x.
(1)讨论 ( )f x 的单调性;
(2)若 ( )f x 有两个零点,求 a 的取值范围.
解:
(1)对函数进行求导可得 2' 2 2 1 1 1x x x xf x ae a e ae e 。
○1 当 0a 时, ' 1 1 0x xf x ae e 恒成立,故而函数恒递减
○2 当 0a 时, 1' 1 1 0 lnx xf x ae e x a
,故而可得函数在 1,ln a
上单调递减,
在 1ln ,a
上单调递增。
(2)函数有两个零点,故而可得 0a ,此时函数有极小值 1 1ln ln 1f aa a
,
要使得函数有两个零点,亦即极小值小于 0,
故而可得 1ln 1 0 0a aa
,令 1g ln 1a a a
,
对函数进行求导即可得到 2
1g' 0aa a
,故而函数恒递增,
又 g 1 0 , 1g ln 1 0 1a a aa
,
因此可得函数有两个零点的范围为 0,1a 。
(二)选考题:共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。
22.[选修 4―4:坐标系与参数方程](10 分)
在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为 3cos ,
sin ,
x
y
(θ为参数),直线 l 的参数方程为
4 ,
1 ,
x a t ty t
( 为参数).
(1)若 a=−1,求 C 与 l 的交点坐标;
(2)若 C 上的点到 l 的距离的最大值为 17 ,求 a.
解:
将曲线 C 的参数方程化为直角方程为
2
2 19
x y ,直线化为直角方程为 1 114 4y x a
(1)当 1a 时,代入可得直线为 1 3
4 4y x ,联立曲线方程可得:
2 2
1 3
4 4
9 9
y x
x y
,
解得
21
25
24
25
x
y
或 3
0
x
y
,故而交点为 21 24,25 25
或 3,0
(2)点 3cos ,
sin ,
x
y
到直线 1 114 4y x a 的距离为 3cos 4sin 4 17
17
ad ,
即: 3cos 4sin 4 17a ,
化简可得 17 4 3cos 4sin 17 4a a ,
根据辅助角公式可得 13 5sin 21a a ,
又 5 5sin 5 ,解得 8a 或者 16a 。
23.[选修 4—5:不等式选讲](10 分)
已知函数 f(x)=–x2+ax+4,g(x)=│x+1│+│x–1│.
(1)当 a=1 时,求不等式 f(x)≥g(x)的解集;
(2)若不等式 f(x)≥g(x)的解集包含[–1,1],求 a 的取值范围.
解:
将函数 1 1g x x x 化简可得
2 1
2 1 1
2 1
x x
g x x
x x
(1) 当 1a 时,作出函数图像可得 f x g x 的范围在 F 和 G 点中间,
联立 2
2
4
y x
y x x
可得点 17 1, 17 12G
,因此可得解集为 17 11, 2
。
(2) 即 f x g x 在 1,1 内恒成立,故而可得 2 24 2 2x ax x ax 恒成立,
根据图像可得:函数 y ax 必须在 1 2,l l 之间,故而可得 1 1a 。