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  • 2021-05-14 发布

高考全国卷I数学试题及答案

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绝密★启用前 2017 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 本试卷 5 页,23 小题,满分 150 分。考试用时 120 分钟。 注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用 2B 铅笔将 试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。 2.作答选择题时,选出每小题答案后,用 2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑; 如需要改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应 位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按 以上要求作答无效。 4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的。 1.已知集合 A={x|x<1},B={x|3 1x  },则 A. { | 0}A B x x  B. A B  R C. { | 1}A B x x  D. A B   2.如图,正方形 ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方 形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是 A. 1 4 B. π 8 C. 1 2 D. π 4 3.设有下面四个命题 1p :若复数 z 满足 1 z R ,则 z R ; 2p :若复数 z 满足 2z R ,则 z R ; 3p :若复数 1 2,z z 满足 1 2z z R ,则 1 2z z ; 4p :若复数 z R ,则 z R . 其中的真命题为 A. 1 3,p p B. 1 4,p p C. 2 3,p p D. 2 4,p p 4.记 nS 为等差数列{ }na 的前 n 项和.若 4 5 24a a  , 6 48S  ,则{ }na 的公差为 A.1 B.2 C.4 D.8 5.函数 ( )f x 在 ( , )  单调递减,且为奇函数.若 ( 11)f   ,则满足 21 ( ) 1xf    的 x 的取值范 围是 A.[ 2,2] B.[ 1,1] C.[0,4] D.[1,3] 6. 6 2 1(1 )(1 )xx   展开式中 2x 的系数为 A.15 B.20 C.30 D.35 7.某多面体的三视图如图所示,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长 为 2,俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形,这些梯形的面积之和为 A.10 B.12 C.14 D.16 8.右面程序框图是为了求出满足 3n−2n>1000 的最小偶数 n,那么在 和 两个空白框中,可以分别填入 A.A>1 000 和 n=n+1 B.A>1 000 和 n=n+2 C.A 1 000 和 n=n+1 D.A 1 000 和 n=n+2 9.已知曲线 C1:y=cos x,C2:y=sin (2x+ 2π 3 ),则下面结论正确的是 A.把 C1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移 π 6 个单位长度,得 到曲线 C2 B.把 C1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移 π 12 个单位长度, 得到曲线 C2 C.把 C1 上各点的横坐标缩短到原来的 1 2 倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移 π 6 个单位长度,得 到曲线 C2 D.把 C1 上各点的横坐标缩短到原来的 1 2 倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移 π 12 个单位长度, 得到曲线 C2 10.已知 F 为抛物线 C:y2=4x 的焦点,过 F 作两条互相垂直的直线 l1,l2,直线 l1 与 C 交于 A、B 两点, 直线 l2 与 C 交于 D、E 两点,则|AB|+|DE|的最小值为 A.16 B.14 C.12 D.10 11.设 xyz 为正数,且 2 3 5x y z  ,则 A.2x<3y<5z B.5z<2x<3y C.3y<5z<2x D.3y<2x<5z 12.几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件。为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解 数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案:已知数列 1,1,2,1,2, 4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,其中第一项是 20,接下来的两项是 20,21,再接下来的三项是 20,21,22,依此类推。求满足如下条件的最小整数 N:N>100 且该数列的前 N 项和为 2 的整数幂。那么该 款软件的激活码是 A.440 B.330 C.220 D.110 二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 13.已知向量 a,b 的夹角为 60°,|a|=2,|b|=1,则| a +2 b |= . 14.设 x,y 满足约束条件 2 1 2 1 0 x y x y x y          ,则 3 2z x y  的最小值为 . 15.已知双曲线 C: 2 2 2 2 1x y a b   (a>0,b>0)的右顶点为 A,以 A 为圆心,b 为半径做圆 A,圆 A 与双曲线 C 的一条渐近线交于 M、N 两点。若∠MAN=60°,则 C 的离心率为________。 16.如图,圆形纸片的圆心为 O,半径为 5 cm,该纸片上的等边三角形 ABC 的中心为 O。D、E、F 为圆 O 上的点,△DBC,△ECA,△FAB 分别是以 BC,CA,AB 为底边的等腰三角形。沿虚线剪开后,分别以 BC,CA,AB 为折痕折起△DBC,△ECA,△FAB,使得 D、E、F 重合,得到三棱锥。当△ABC 的边长变 化时,所得三棱锥体积(单位:cm3)的最大值为_______。 三、解答题:共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题,每个试题考 生都必须作答。第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答。 (一)必考题:共 60 分。 17.(12 分)△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知△ABC 的面积为 2 3sin a A (1)求 sinBsinC; (2)若 6cosBcosC=1,a=3,求△ABC 的周长. 18.(12 分) 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,AB//CD,且 90BAP CDP     . (1)证明:平面 PAB⊥平面 PAD; (2)若 PA=PD=AB=DC, 90APD   ,求二面角 A-PB-C 的余弦值. 19.(12 分) 为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取 16 个零件,并测量 其尺寸(单位:cm).根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分 布 2( , )N   . (1)假设生产状态正常,记 X 表示一天内抽取的 16 个零件中其尺寸在 ( 3 , 3 )     之外的零件 数,求 ( 1)P X  及 X 的数学期望; (2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在 ( 3 , 3 )     之外的零件,就认为这条生产线在这一 天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查. (ⅰ)试说明上述监控生产过程方法的合理性; (ⅱ)下面是检验员在一天内抽取的 16 个零件的尺寸: 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95 经计算得 16 1 1 9.9716 i i x x    , 16 16 2 2 2 2 1 1 1 1( ) ( 16 ) 0.21216 16i i i i s x x x x         ,其中 ix 为抽取 的第 i 个零件的尺寸, 1,2, ,16i   . 用样本平均数 x 作为  的估计值 ˆ ,用样本标准差 s 作为 的估计值 ˆ ,利用估计值判断是否需对 当天的生产过程进行检查?剔除 ˆ ˆ ˆ ˆ( 3 , 3 )     之外的数据,用剩下的数据估计  和 (精确到 0.01). 附:若随机变量 Z 服从正态分布 2( , )N   ,则 ( 3 3 ) 0.997 4P Z        , 160.997 4 0.959 2 , 0.008 0.09 . 20.(12 分) 已知椭圆 C: 2 2 2 2 =1x y a b  (a>b>0),四点 P1(1,1),P2(0,1),P3(–1, 3 2 ),P4(1, 3 2 )中恰有 三点在椭圆 C 上. (1)求 C 的方程; (2)设直线 l 不经过 P2 点且与 C 相交于 A,B 两点。若直线 P2A 与直线 P2B 的斜率的和为–1,证明:l 过定点. 21.(12 分) 已知函数 )f x ( ae2x+(a﹣2) ex﹣x. (1)讨论 ( )f x 的单调性; (2)若 ( )f x 有两个零点,求 a 的取值范围. (二)选考题:共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。 22.[选修 4―4:坐标系与参数方程](10 分) 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为 3cos , sin , x y      (θ为参数),直线 l 的参数方程为 4 , 1 , x a t ty t      ( 为参数). (1)若 a=−1,求 C 与 l 的交点坐标; (2)若 C 上的点到 l 的距离的最大值为 17 ,求 a. 23.[选修 4—5:不等式选讲](10 分) 已知函数 f(x)=–x2+ax+4,g(x)=│x+1│+│x–1│. (1)当 a=1 时,求不等式 f(x)≥g(x)的解集; (2)若不等式 f(x)≥g(x)的解集包含[–1,1],求 a 的取值范围. 2017 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学参考答案 一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的。 1. A 2.B 3.B 4.C 5.D 6.C 7.B 8.D 9.D 10.A 11.D 12.A 二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 13. 2 3 14.-5 15. 2 3 3 16. 315cm 三、解答题:共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题,每个试题考 生都必须作答。第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答。 (一)必考题:共 60 分。 17.(12 分)△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知△ABC 的面积为 2 3sin a A (1)求 sinBsinC; (2)若 6cosBcosC=1,a=3,求△ABC 的周长. 解:(1) 由题意可得 21 sin2 3sinABC aS bc A A   , 化简可得 2 22 3 sina bc A , 根据正弦定理化简可得: 2 2 22sin 3sin sinCsin sin sinC 3A B A B   。 (2) 由   2sin sinC 1 23 cos cos sin sinC cos cos1 2 3cos cos 6 B A A B B B C A B C               , 因此可得 3B C  , 将之代入 2sin sinC 3B  中可得: 23 1sin sin sin cos sin 03 2 2C C C C C       , 化简可得 3tan ,3 6 6C C B     , 利用正弦定理可得 3 1sin 3sin 23 2 ab BA     , 同理可得 3c  , 故而三角形的周长为3 2 3 。 18.(12 分) 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,AB//CD,且 90BAP CDP     . (1)证明:平面 PAB⊥平面 PAD; (2)若 PA=PD=AB=DC, 90APD   ,求二面角 A-PB-C 的余弦值. (1)证明: / / ,AB CD CD PD AB PD   , 又 ,AB PA PA PD P    ,PA、PD 都在平面 PAD 内, 故而可得 AB PAD 。 又 AB 在平面 PAB 内,故而平面 PAB⊥平面 PAD。 (2)解: 不妨设 2PA PD AB CD a    , 以 AD 中点 O 为原点,OA 为 x 轴,OP 为 z 轴建立平面直角坐标系。 故而可得各点坐标:        0,0, 2 , 2 ,0,0 , 2 ,2 ,0 , 2 ,2 ,0P a A a B a a C a a , 因此可得      2 ,0, 2 , 2 ,2 , 2 , 2 ,2 , 2PA a a PB a a a PC a a a         , 假设平面 PAB 的法向量  1 , ,1n x y ,平面 PBC 的法向量  2 , ,1n m n , 故而可得 1 1 2 2 0 1 2 2 2 0 0 n PA ax a x n PB ax ay a y                   ,即  1 1,0,1n  , 同理可得 2 2 2 2 2 0 0 22 2 2 0 2 n PC am an a m n PB am an a n                     ,即 2 20, ,12n        。 因此法向量的夹角余弦值: 1 2 1 3cos , 332 2 n n      。 很明显,这是一个钝角,故而可得余弦为 3 3  。 19.(12 分) 为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取 16 个零件,并测量 其尺寸(单位:cm).根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分 布 2( , )N   . (1)假设生产状态正常,记 X 表示一天内抽取的 16 个零件中其尺寸在 ( 3 , 3 )     之外的零件 数,求 ( 1)P X  及 X 的数学期望; (2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在 ( 3 , 3 )     之外的零件,就认为这条生产线在这一 天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查. (ⅰ)试说明上述监控生产过程方法的合理性; (ⅱ)下面是检验员在一天内抽取的 16 个零件的尺寸: 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95 经计算得 16 1 1 9.9716 i i x x    , 16 16 2 2 2 2 1 1 1 1( ) ( 16 ) 0.21216 16i i i i s x x x x         ,其中 ix 为抽取 的第 i 个零件的尺寸, 1,2, ,16i   . 用样本平均数 x 作为  的估计值 ˆ ,用样本标准差 s 作为 的估计值 ˆ ,利用估计值判断是否需对 当天的生产过程进行检查?剔除 ˆ ˆ ˆ ˆ( 3 , 3 )     之外的数据,用剩下的数据估计  和 (精确到 0.01). 附:若随机变量 Z 服从正态分布 2( , )N   ,则 ( 3 3 ) 0.997 4P Z        , 160.997 4 0.959 2 , 0.008 0.09 . 解:(1)     161 1 0 1 0.9974 1 0.9592 0.0408P X P X         由题意可得,X 满足二项分布  ~ 16,0.0016X B , 因此可得  16,0.0016 16 0.0016 0.0256EX    (2) ○1 由(1)可得  1 0.0408 5%P X    ,属于小概率事件, 故而如果出现 ( 3 , 3 )     的零件,需要进行检查。 ○2 由题意可得      9.97, 0.212 3 9.334, 3 10.606            , 故而在 9.334,10.606 范围外存在 9.22 这一个数据,因此需要进行检查。 此时: 9.97 16 9.22 10.0215x     ,  15 1 1 0.0915 i x x     。 20.(12 分) 已知椭圆 C: 2 2 2 2 =1x y a b  (a>b>0),四点 P1(1,1),P2(0,1),P3(–1, 3 2 ),P4(1, 3 2 )中恰有 三点在椭圆 C 上. (1)求 C 的方程; (2)设直线 l 不经过 P2 点且与 C 相交于 A,B 两点。若直线 P2A 与直线 P2B 的斜率的和为–1,证明:l 过定点. 解:(1) 根据椭圆对称性可得,P1(1,1)P4(1, 3 2 )不可能同时在椭圆上, P3(–1, 3 2 ),P4(1, 3 2 )一定同时在椭圆上, 因此可得椭圆经过 P2(0,1),P3(–1, 3 2 ),P4(1, 3 2 ), 代入椭圆方程可得: 2 1 31, 1 24b aa      , 故而可得椭圆的标准方程为: 2 2 14 x y  。 (2)由题意可得直线 P2A 与直线 P2B 的斜率一定存在, 不妨设直线 P2A 为: 1y kx  ,P2B 为:  1 1y k x   . 联立  2 22 2 1 4 1 8 0 14 y kx k x kxx y         , 假设  1 1,A x y ,  2 2,B x y 此时可得:         22 2 22 2 8 1 1 4 18 1 4, , ,4 1 4 1 4 1 1 4 1 1 k kk kA Bk k k k                    , 此时可求得直线的斜率为:         2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 4 1 1 4 4 14 1 1 8 1 8 4 14 1 1 AB k k kky yk kx x k kk           , 化简可得  2 1 1 2ABk k    ,此时满足 1 2k   。 ○1 当 1 2k   时,AB 两点重合,不合题意。 ○2 当 1 2k   时,直线方程为:   2 2 2 2 1 8 1 4 4 1 4 11 2 k ky x k kk         , 即     2 2 4 4 1 1 2 k k x y k       ,当 2x  时, 1y   ,因此直线恒过定点 2, 1 。 21.(12 分) 已知函数 )f x ( ae2x+(a﹣2) ex﹣x. (1)讨论 ( )f x 的单调性; (2)若 ( )f x 有两个零点,求 a 的取值范围. 解: (1)对函数进行求导可得       2' 2 2 1 1 1x x x xf x ae a e ae e       。 ○1 当 0a  时,     ' 1 1 0x xf x ae e    恒成立,故而函数恒递减 ○2 当 0a  时,      1' 1 1 0 lnx xf x ae e x a       ,故而可得函数在 1,ln a     上单调递减, 在 1ln ,a     上单调递增。 (2)函数有两个零点,故而可得 0a  ,此时函数有极小值 1 1ln ln 1f aa a        , 要使得函数有两个零点,亦即极小值小于 0, 故而可得  1ln 1 0 0a aa     ,令   1g ln 1a a a    , 对函数进行求导即可得到   2 1g' 0aa a   ,故而函数恒递增, 又  g 1 0 ,   1g ln 1 0 1a a aa        , 因此可得函数有两个零点的范围为  0,1a  。 (二)选考题:共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。 22.[选修 4―4:坐标系与参数方程](10 分) 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为 3cos , sin , x y      (θ为参数),直线 l 的参数方程为 4 , 1 , x a t ty t      ( 为参数). (1)若 a=−1,求 C 与 l 的交点坐标; (2)若 C 上的点到 l 的距离的最大值为 17 ,求 a. 解: 将曲线 C 的参数方程化为直角方程为 2 2 19 x y  ,直线化为直角方程为 1 114 4y x a    (1)当 1a  时,代入可得直线为 1 3 4 4y x   ,联立曲线方程可得: 2 2 1 3 4 4 9 9 y x x y        , 解得 21 25 24 25 x y      或 3 0 x y    ,故而交点为 21 24,25 25     或 3,0 (2)点 3cos , sin , x y      到直线 1 114 4y x a    的距离为 3cos 4sin 4 17 17 ad      , 即: 3cos 4sin 4 17a     , 化简可得    17 4 3cos 4sin 17 4a a         , 根据辅助角公式可得  13 5sin 21a a       , 又  5 5sin 5     ,解得 8a   或者 16a  。 23.[选修 4—5:不等式选讲](10 分) 已知函数 f(x)=–x2+ax+4,g(x)=│x+1│+│x–1│. (1)当 a=1 时,求不等式 f(x)≥g(x)的解集; (2)若不等式 f(x)≥g(x)的解集包含[–1,1],求 a 的取值范围. 解: 将函数   1 1g x x x    化简可得   2 1 2 1 1 2 1 x x g x x x x         (1) 当 1a  时,作出函数图像可得    f x g x 的范围在 F 和 G 点中间, 联立 2 2 4 y x y x x       可得点 17 1, 17 12G       ,因此可得解集为 17 11, 2      。 (2) 即    f x g x 在 1,1 内恒成立,故而可得 2 24 2 2x ax x ax       恒成立, 根据图像可得:函数 y ax 必须在 1 2,l l 之间,故而可得 1 1a   。