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- 2021-05-14 发布
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巧用累加式和累乘式解数列高考题
湖北省广水市一中 刘才华 432700
数列中有两个常见的重要恒等式,累加式: 和累乘式:.运用它们可以求数列通项和证明数列与不等式的综合题.本文就这两个恒等式在解高考题中的应用举几例,算作是抛砖引玉.
一、累加式:+
1.1 求数列通项
例1 (2003年高考全国卷文科第22题) 已知数列满足, (≥).
(1)求;
(2)求证:.
解(1)∵,,
∴,.
(2) ∵,
∴(≥).
∴
==
=.
1.2 证明数列不等式
例2 (2005年高考湖北卷理科第22题(Ⅰ)) 已知不等式 ,其中为大于2的整数,表示不超过的最大整数.设数列
各项为正,且满足,≤,
证明: .
证明 ∵≤,又,
∴≥,即≥.
设=,则,∴≥(≥).
∴
≥ .
又,且(≥3);
∴,即.
∴.
即(≥3).
二、累乘式:
2.1 求数列通项
例3 (2000年高考全国卷理科第15题)是首项为1的正项数列,且 (),则它的通项公式为________.
解 ∵,
∴.
∵,∴.
∴,即.
∴,即(≥2).
∴==(≥2).
又也满足上式,∴的通项公式为.
2.2 证明数列不等式
例4 (2005年高考辽宁理科卷19题(I))已知函数 设数列满足,,数列满足 .
证明: ≤.
证明 ∵,又,
∴,∴.
即.
∴.
又,∴.
∴.
又∵,=,∴≥.
∴≤.
∴≤(≥).
∴
≤
. 又∴;
∴≤,即≤.
例5 (2005高考重庆卷第22题) 数列满足,且(≥1).
(Ⅰ) 用数学归纳法证明:≥(≥);
(Ⅱ) 已知不等式对成立,证明:(≥1),其中无理数
证明 (Ⅰ)(略)
(Ⅱ) ∵由(Ⅰ)≥(≥),且,
∴,
∴.
∴.
由不等式对成立,
∴.
∴,即 ,
∴,则(≥2),
∴,
∴
(≥).
又=1, ∴(≥1).