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  • 2021-05-14 发布

巧用累加式和累乘式解数列高考题

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巧用累加式和累乘式解数列高考题 湖北省广水市一中 刘才华 432700‎ 数列中有两个常见的重要恒等式,累加式: 和累乘式:.运用它们可以求数列通项和证明数列与不等式的综合题.本文就这两个恒等式在解高考题中的应用举几例,算作是抛砖引玉.‎ 一、累加式:+‎ ‎1.1 求数列通项 例1 (2003年高考全国卷文科第22题) 已知数列满足, (≥).‎ ‎(1)求;‎ ‎(2)求证:.‎ 解(1)∵,,‎ ‎∴,.‎ ‎(2) ∵,‎ ‎∴(≥).‎ ‎∴‎ ‎ ==‎ ‎=.‎ 1.2 证明数列不等式 例2 (2005年高考湖北卷理科第22题(Ⅰ)) 已知不等式 ,其中为大于2的整数,表示不超过的最大整数.设数列 各项为正,且满足,≤,‎ 证明: .‎ 证明 ∵≤,又,‎ ‎∴≥,即≥.‎ 设=,则,∴≥(≥).‎ ‎∴‎ ‎≥ .‎ 又,且(≥3); ‎ ‎∴,即.‎ ‎∴.‎ 即(≥3).‎ 二、累乘式:‎ ‎2.1 求数列通项 例3 (2000年高考全国卷理科第15题)是首项为1的正项数列,且 (),则它的通项公式为________.‎ 解 ∵,‎ ‎∴.‎ ‎∵,∴.‎ ‎∴,即.‎ ‎∴,即(≥2).‎ ‎∴==(≥2).‎ 又也满足上式,∴的通项公式为.‎ 2.2 ‎ 证明数列不等式 例4 (2005年高考辽宁理科卷19题(I))已知函数 设数列满足,,数列满足 .‎ 证明: ≤. ‎ 证明 ∵,又,‎ ‎∴,∴.‎ 即.‎ ‎∴.‎ 又,∴.‎ ‎∴.‎ 又∵,=,∴≥.‎ ‎∴≤.‎ ‎∴≤(≥).‎ ‎∴‎ ‎≤‎ ‎. 又∴;‎ ‎∴≤,即≤.‎ 例5 (2005高考重庆卷第22题) 数列满足,且(≥1).‎ ‎(Ⅰ) 用数学归纳法证明:≥(≥);‎ ‎(Ⅱ) 已知不等式对成立,证明:(≥1),其中无理数 证明 (Ⅰ)(略)‎ ‎(Ⅱ) ∵由(Ⅰ)≥(≥),且,‎ ‎∴,‎ ‎∴.‎ ‎∴.‎ 由不等式对成立,‎ ‎∴.‎ ‎∴,即 ,‎ ‎∴,则(≥2),‎ ‎∴,‎ ‎∴‎ ‎(≥).‎ ‎ 又=1, ∴(≥1).‎