2017年度上海市高考数学模拟试卷2 6页

‎ 2013学年上海市高考数学模拟试卷1‎ 考生注意： ‎ ‎1.答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、考试号填写清楚，并在规定的区域贴上条形码.‎ ‎2.本试卷共有23道题，满分150分，考试时间120分钟.‎ 一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.‎ ‎1.若，且为纯虚数，则实数 ‎ ‎2.已知为第三象限的角，,则 ‎ ‎3.若展开式的常数项为60，则常数的值为 ‎ 4. 不等式对任意恒成立,则实数的最大值为 ‎ ‎5.若数列的前项和，则此数列的通项公式为 ‎ ‎6.若正四棱柱的底面边长为1，与底面成60°角，则 到底面的距离为 ‎ 7. 设分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，若，则点的坐标是 ‎ ‎2‎ ‎-2‎ ‎8.直线与曲线有四个交点，则的取值范围是 ‎ ‎9.函数的图 像如右图所示，则 ‎ 　　 ‎ ‎10.已知函数是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数都有 ‎ ，则的值是 ‎ n=1‎ n=2‎ n=3‎ n=4‎ ‎11.已知平面直角坐标系内的两个向量，，且平面内的任一向量都可以唯一表示成，则的取值范围是 ‎ 12. 给个则上而下相连的正方形着黑色或白 色.当时，在所有不同的着色方案中，‎ 黑色正方形互不相邻的着色方案如下图所 示：由此推断，当时，黑色正方形互 不相邻着色方案共有 种，至少有两个 黑色正方形相邻着色方案共有 种.（结果用数值表示）‎ ‎13.在直角三角形中，点是斜边的中点，点为线段的中点，‎ 则= ‎ ‎14.若点在椭圆外，过点作该椭圆的两条切线的切点分别为，则切点弦所在直线的方程为．那么对于双曲线，类似地，可以得到一个正确的命题为 　　　　　　　 ‎ 二.选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.‎ ‎15.已知是所在平面内一点，为边中点，且，那么 ‎ A． B． C． D．‎ ‎16.对于函数①，②，③，判断如下三个命题的真假：‎ 命题甲：是偶函数；‎ 命题乙：在上是减函数，在上是增函数；‎ 命题丙：在上是增函数．‎ 能使命题甲、乙、丙均为真的所有函数的序号是 ‎ A．①③ B．①② C．③ D．②‎ ‎17.已知椭圆（>>0）与双曲线 有公共的焦点，的一条渐近线与以 的长轴为直径的圆相交于两点，若 恰好将线段三等分，则 ‎ ‎ A. B.‎13 C. D.2‎ ‎18.如图，动点在正方体的对角线上．过点作垂直于平面的直线，与正方体表面相交于．设，，则函数的图象大致是 ‎ A B C D M N P A1‎ B1‎ C1‎ D1‎ y x A．‎ O y x B．‎ O y x C．‎ O y x D．‎ O 三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.‎ ‎19.(本题满分12分）本题共2小题，第（Ⅰ）小题6分，第（Ⅱ）小题6分.‎ ‎ 已知锐角中的三个内角分别为．‎ ‎（I）设，求证是等腰三角形；‎ ‎（II）设向量, ,且∥,若，求 的值．‎ ‎20.(本题满分14分）本题共3小题，第（Ⅰ）小题4分，第（Ⅱ）小题4分，第（III）小题6分。‎ 如图，在中，，斜边．‎ 可以通过以直线为轴旋转 得到，且二面角是直二面角．动点的 斜边上。‎ ‎（I）求证：平面平面；‎ ‎（II）当为的中点时，求异面直线与所成角的大小；‎ ‎（III）求与平面所成角的最大值。‎ ‎21.(本题满分14分）本题共3小题，第（Ⅰ）小题5分，第（Ⅱ）小题4分，第（III）小题5分。‎ 设某旅游景点每天的固定成本为500元，门票每张为30元，变动成本与购票进入旅游景点的人数的算术平方根成正比。一天购票人数为25时，该旅游景点收支平衡；一天购票人数超过100时，该旅游景点须另交保险费200元。设每天的购票人数为，盈利额为。‎ ‎（Ⅰ）求与之间的函数关系； ‎ ‎（Ⅱ）试用程序框图描述算法（要求：输入购票人数，输出盈利额）；‎ ‎（Ⅲ）该旅游景点希望在人数达到20人时即不出现亏损，若用提高门票价格的措施，则每张门票至少要多少元（取整数）？ 注：可选用数据：.‎ ‎22.(本题满分16分）本题共3小题，第（Ⅰ）小题5分，第（Ⅱ）小题5分，第（Ⅲ）小题6分. ‎ 已知抛物线的准线为,焦点为.的圆心在轴的正半轴上,且与轴相切．过原点作倾斜角为的直线,交于点,交于另一点,且 ‎.‎ O l x y A B F ‎·‎ M ‎（Ⅰ）求和抛物线的方程；‎ ‎（Ⅱ）若为抛物线上的动点,求的最小值；‎ ‎（Ⅲ）过上的动点向作切线,切点为,求证:直线恒 过一个定点,并求该定点的坐标.‎ ‎23.(本题满分18分）本题共3小题，第（Ⅰ）小题4分，第（Ⅱ）小题6分，第（Ⅲ）小题8分.‎ 已知数列满足前项和为,.‎ ‎（Ⅰ）若数列满足,试求数列前项和；‎ ‎（Ⅱ）若数列满足,试判断是否为等比数列,并说明理由；‎ ‎（Ⅲ）当时,问是否存在,使得,若存在,求出所有的的值；若不存在，请说明理由.‎ 一、填空题 ‎1. 2. 3. 4 ‎ ‎4. 2 5. 6. ‎ ‎7. 8. (1, 9. ‎ ‎10. 0 11. 12. 21 43 ‎ ‎13. 10 14. 切点弦所在直线的方程为 19. ‎(本题满分14分）‎ ‎（I）根据题意，当购票人数不多于100时，可设与之间的函数关系为 ‎ . （2分） ‎ ‎∵人数为25时，该旅游景点收支平衡，‎ ‎∴，解得 （3分） ‎ ‎∴（5分）‎ ‎（II）（4分）‎ ‎（III）设每张门票价格提高为元，根据题意，得 ‎ （2分）‎ ‎∴。（3分）‎ 从而，每张门票最少要37元。（5分）‎ ‎ 2013学年上海高考数学模拟试卷答题卡A 19. ‎ (本题满分14分）‎ ‎（I）由题意，，，‎ 是二面角是直二面角，‎ 又二面角是直二面角，‎ ‎，（2分）‎ 又，‎ 平面，‎ 又平面，‎ 平面平面．（4分）‎ ‎（II）作，垂足为，连结（如图），则，‎ 是异面直线与所成的角．（1分）‎ 在中，，，‎ ‎．又．（2分）‎ 在中，．（3分）‎ 异面直线与所成角的大小为．（4分）‎ ‎（III）由（I）知，平面，是与平面所成的角，且．当最小时，最大，（3分）‎ 这时，，垂足为，，，与平面所成角的最大值为．（6分）‎ 二、选择题 ‎15. A B C D 16. A B C D 17. A B C D 18. A B C D ‎ ‎23.(本题满分18分）‎ ‎（I）据题意得,所以成等差数列,故（4分）‎ ‎（II）当时,数,数列成等比数列；当时,数列不为等比数列（2分）‎ 理由如下:因为,‎ 所以,故当时,数列是首项为1,公比为等比数列；‎ 当时,数列不成等比数列（6分）‎ ‎（III）当时,,（2分）‎ 因为=() （3分）‎ ‎，，设，‎ 则，，且，‎ 在递增，且，（7分）‎ 仅存在惟一的使得成立（8分）‎ ‎22.(本题满分16分）‎ ‎（I）因为,即,所以抛物线C的方程为 ‎（2分）‎ 设的半径为,则,所以的方程为 ‎[来（（（5分）5 源:学科网]‎ ‎（II）设,则=‎ ‎（2分）‎ 所以当时, 有最小值为2（5分）‎ ‎（III）以点Q这圆心,QS为半径作,则线段ST即为与的公共弦 设点,则,所以的方程为 从而直线QS的方程为(*)（3分）‎ ‎ 因为一定是方程(*)的解,所以直线QS恒过一个定点,且该定点坐标为 （6分）‎ 19. ‎(本题满分12分）‎ ‎（I）因为,，（2分） ， （4分） 所以，即，故△ABC为等腰三角形．（6分） ‎ ‎（II）∵ ∥, ∴，∴，即, 为锐角，∴，∴，∴． （2分） ‎ ‎∴,∴． ‎ 又，且为锐角，∴， （4分） ‎ ‎∴（6分）‎