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  • 2021-05-14 发布

三角函数与解三角形中的高考热点问题

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热点探究课(二) 三角函数与解三角形中的高考热点问题 ‎[命题解读] 从近五年浙江卷高考试题来看,解答题第1题(全国卷T17)交替考查三角函数、解三角形与数列,本专题的热点题型有:一是三角函数的图象与性质;二是解三角形;三是三角恒等变换与解三角形的综合问题,中档难度,在解题过程中应挖掘题目的隐含条件,注意公式的内在联系,灵活地正用、逆用、变形应用公式,并注重转化思想与数形结合思想的应用.‎ 热点1 三角函数的图象与性质(答题模板)‎ 要进行五点法作图、图象变换,研究三角函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性,求三角函数的单调区间、最值等,都应先进行三角恒等变换,将其化为一个角的一种三角函数,求解这类问题,要灵活利用两角和(差)公式、倍角公式、辅助角公式以及同角关系进行三角恒等变换.‎ ‎ (本小题满分14分)已知函数f(x)=2sin·cos-sin(x+π).‎ ‎(1)求f(x)的最小正周期;‎ ‎(2)若将f(x)的图象向右平移个单位长度,得到函数g(x)的图象,求函数g(x)在区间[0,π]上的最大值和最小值. 【导学号:51062131】‎ ‎[思路点拨] (1)先逆用倍角公式,再利用诱导公式、辅助角公式将f(x)化为正弦型函数,然后求其周期.‎ ‎(2)先利用平移变换求出g(x)的解析式,再求其在给定区间上的最值.‎ ‎[规范解答] (1)f(x)=2sin·cos-sin(x+π)3分 ‎=cos x+sin x=2sin,5分 于是T==2π.6分 ‎(2)由已知得g(x)=f=2sin.8分 ‎∵x∈[0,π],∴x+∈,‎ ‎∴sin∈,10分 ‎∴g(x)=2sin∈[-1,2].13分 故函数g(x)在区间[0,π]上的最大值为2,最小值为-1.14分 ‎[答题模板] 解决三角函数图象与性质的综合问题的一般步骤为:‎ 第一步(化简):将f(x)化为asin x+bcos x的形式.‎ 第二步(用辅助角公式):构造f(x)=·.‎ 第三步(求性质):利用f(x)=sin(x+φ)研究三角函数的性质.‎ 第四步(反思):反思回顾,查看关键点、易错点和答题规范.‎ ‎[温馨提示] 1.在第(1)问的解法中,使用辅助角公式asin α+bcos α= sin (α+φ),在历年高考中使用频率是相当高的,几乎年年使用到、考查到,应特别加以关注. ‎ ‎2.求g(x)的最值一定要重视定义域,可以结合三角函数图象进行求解.‎ ‎[对点训练1] (2017·石家庄模拟)已知函数f(x)=Asin ωx+Bcos ωx(A,B,ω是常数,ω>0)的最小正周期为2,并且当x=时,f(x)max=2.‎ ‎(1)求f(x)的解析式;‎ ‎(2)在闭区间上是否存在f(x)的对称轴?如果存在,求出其对称轴方程;如果不存在,请说明理由.‎ ‎[解] (1)因为f(x)=sin(ωx+φ),由它的最小正周期为2,知=2,ω=π.2分 又因为当x=时,f(x)max=2,知π+φ=2kπ+(k∈Z),φ=2kπ+(k∈Z),4分 所以f(x)=2sin=2sin(k∈Z).‎ 故f(x)的解析式为f(x)=2sin.6分 ‎(2)当垂直于x轴的直线过正弦曲线的最高点或最低点时,该直线就是正弦曲线的对称轴,令πx+=kπ+(k∈Z),解得x=k+(k∈Z).9分 由≤k+≤,解得≤k≤,11分 又k∈Z,知k=5,13分 由此可知在闭区间上存在f(x)的对称轴,其方程为x=.14分 热点2 解三角形 从近几年全国卷来看,高考命题强化了解三角形的考查力度,着重考查正弦定理、余弦定理的综合应用,求解的关键是实施边角互化,同时结合三角恒等变换进行化简与求值.‎ ‎ △ABC中,D是BC上的点,AD平分∠BAC,△ABD面积是△ADC面积的2倍.‎ ‎(1)求;‎ ‎(2)若AD=1,DC=,求BD和AC的长.‎ ‎[解] (1)S△ABD=AB·ADsin∠BAD,‎ S△ADC=AC·ADsin∠CAD.2分 因为S△ABD=2S△ADC,∠BAD=∠CAD,所以AB=2AC.‎ 由正弦定理,得==.6分 ‎(2)因为S△ABD∶S△ADC=BD∶DC,所以BD=.8分 在△ABD和△ADC中,由余弦定理,知 AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos∠ADB,‎ AC2=AD2+DC2-2AD·DCcos∠ADC.12分 故AB2+2AC2=3AD2+BD2+2DC2=6.‎ 由(1),知AB=2AC,所以AC=1.14分 ‎[规律方法] 解三角形问题要关注正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理、三角形面积公式,要适时、适度进行“角化边”或“边化角”,要抓住能用某个定理的信息.一般地,如果式子中含有角的余弦或边的二次式,要考虑用余弦定理;如果式子中含有角的正弦或边的一次式,则考虑用正弦定理;以上特征都不明显时,则两个定理都有可能用到.‎ ‎[对点训练2] 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知asin 2B=bsin A.‎ ‎(1)求B;‎ ‎(2)若cos A=,求sin C的值.‎ ‎[解] (1)在△ABC中,由=,‎ 可得asin B=bsin A.2分 又由asin 2B=bsin A,得 ‎2asin Bcos B=bsin A=asin B,‎ 所以cos B=,得B=.6分 ‎(2)由cos A=,可得sin A=,则 sin C=sin[π-(A+B)]=sin(A+B)=sin ‎=sin A+cos A=.14分 热点3 三角恒等变换与解三角形的综合问题 以三角形为载体,三角恒等变换与解三角形交汇命题,是近几年高考试题的一大亮点,主要考查和、差、倍角公式以及正、余弦定理的综合应用,求解的关键是根据题目提供的信息,恰当地实施边角互化.‎ ‎ (2017·浙江高考冲刺卷(二))在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且sin A-cos A=-,cos B=.‎ ‎(1)求角C;‎ ‎(2)若△ABC的面积为2,求a的值. 【导学号:51062132】‎ ‎[解] (1)∵sin A-cos A=-,‎ ‎∴1-2sin Acos A=,2分 ‎∴2sin Acos A=,∴A为锐角.‎ ‎∴sin A+cos A==.3分 由得 ‎∵cos B=,∴B为锐角,∴sin B==.‎ 则cos C=-cos(A+B)=-cos Acos B+sin Asin B=-,‎ 而0