高考文科函数与导数解答题题型归纳 14页

函数与导数 题型一、导函数与原函数图象之间的关系 例题 1、如果函数 y＝f(x)的图象如右图，那么导函数 y＝f′(x)的图象可能是 （ ） 例题 2、设 f′(x)是函数 f(x)的导函数，y＝f′(x)的图象如图所示，则 y＝f(x)的图象最有可能是 （ ） 题型二、利用导数求解函数的单调性问题 例题 3、(08 全国高考)已知函数 f(x)＝x3＋ax2＋x＋1，a∈R．(Ⅰ)讨论函数 f(x)的单调区间； (Ⅱ)设函数 f(x)在区间(－ 2 3，－ 1 3)内是减函数，求 a 的取值范围． 解：(Ⅰ)f′(x)=3x2+2ax+1，判别式△=4(a2-3)， (ⅰ)若 或 ，则在 上 f′(x)＞0，f(x)是增函数； 在 内 f′(x)＜0，f(x)是减函数； 在 上 f′(x)＞0，f(x)是增函数。 (ⅱ)若 ，则对所有 x∈R 都有 f′(x)＞0，故此时 f(x)在 R 上是增函数； (ⅲ)若 ，则 ，且对所有的 都有 f′(x)＞0，故当 时，f(x)在 R 上是增函数。 (Ⅱ)由(Ⅰ)知，只有当 或 时，f(x)在 内是减函数， 因此 ，①且 ，② 当 时，由①②解得 a≥2，因此 a 的取值范围是[2，+∞)。 例题 4、（08 年四川）设 和 是函数 的两个极值点. ⑴求 和 的值 7 4a≥ 1x = 2x = 5 3( ) 1f x x ax bx= + + + a b ⑵求 的单调区间. 解：（Ⅰ）f′(x)=5x4+3ax2+b， 由假设知 f′(1)=5+3a+b=0，f′(2)=24×5+22×3a+b=0，解得 ； （Ⅱ）由（Ⅰ）知 ， 当 时，f′(x)＞0，当 x∈(-2，-1)∪(1，2)时，f′(x)＜0， 因此 f(x)的单调增区间是 ，f(x)的单调减区间是(-2，-1)，(1，2)。 例题 5、（2009 安徽卷文）（本小题满分 14 分） 已知函数 ，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （Ⅰ）讨论 的单调性； （Ⅱ）设 a=3，求 在区间 上值域。期中 e=2.71828…是自然对数的底数。 ②已知某可导函数在某区间上的单调区间，求参数的取值范围 例题 6、（2010 江西卷文）设函数 ． （1）若 的两个极值点为 ， ，且 ，求实数 的值； 2 2 22 3 n 2, 5l e e  − − −   ( )f x 2( ) 1 ln , 0f x x a x ax = − + − > ( )f x ( )f x 2[1, ]e ( ) ( )3 26 3 2 2f x x a x ax= + + + ( )f x 1x 2x 1 2 1x x = a （2）是否存在实数 ，使得 是 上的单调函数？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由 分 析 ： （ 1） 先 求 原 函 数 的 导 函 数 ， 根 据 导 函 数 在 极 值 点 处 的 值 为 零 建 立 等 式 关 系 ， 求 出 参 数 a 即 可 ； （ 2） 根 据 二 次 函 数 的 判 别 式 进 行 判 定 能 否 使 导 函 数 恒 大 于 零 ， 如 果 能 就 存 在 ， 否 则 就 不 存 在 ． 例题 7、（2009 浙江文）（本题满分 15 分）已知函数 ． （I）若函数 的图象过原点，且在原点处的切线斜率是 ，求 的值； ， 或 （II）若函数 在区间 上不单调，求 的取值范围 例题 8、（2009 重庆卷文）（本小题满分 12 分） 已知 为偶函数，曲线 过点 ， ． （Ⅰ）求曲线 有斜率为 0 的切线，求实数 的取值范围； （Ⅱ）若当 时函数 取得极值，确定 的单调区间． 3 2( ) (1 ) ( 2)f x x a x a a x b= + − − + + ( , )a b∈ R ( )f x 3− ,a b 0=b 3−=a 1=a ( )f x ( 1,1)− a 15 −<<− a 2( )f x x bx c= + + ( )y f x= (2,5) ( ) ( ) ( )g x x a f x= + ( )y g x= a ( ), 3 3,a  ∈ −∞ − ∪ +∞  1x = − ( )y g x= ( )y g x= a ( )f x ( ),−∞ +∞ a 题型三、求函数的极值、最值问题 例题 9、（2009 北京文）设函数 . （Ⅰ）若曲线 在点 处与直线 相切，求 的值； a=4, b=24 （Ⅱ）求函数 的单调区间与极值点. 是 的极大值点， 是 的极小值点. 解：（Ⅰ）求导函数，可得 f′（x）=3x2﹣3a ∵曲线 y=f（x）在点（2，f（x））处在直线 y=8 相切 ∴ ，∴ ∴a=4，b=24． （Ⅱ）f′（x）=3（x2﹣4）=3（x+2）（x﹣2） 令 f′（x）＞0，可得 x＜﹣2 或 x＞2； 令 f′（x）＜0，可得﹣2＜x＜2 ∴函数的单调增区间为（﹣∞，﹣2），（2，+∞），单调减区间为（﹣2，2） ∴x=﹣2 是函数 f（x）的极大值点，x=2 是函数 f（x）的极小值点． 例题 10、（2010 年全国）已知函数 （Ⅰ）设 ，求 的单调区间； 3( ) 3 ( 0)f x x ax b a= − + ≠ ( )y f x= (2, ( ))f x 8y = ,a b ( )f x x a= − ( )f x x a= ( )f x 3 2( ) 3 3 1f x x ax x= − + + 2a = ( )f x （Ⅱ）设 在区间（2,3）中至少有一个极值点，求 的取值范围. 1) f'(x)=3x^2-6ax+3=3(x^2-4x+1)=0, x=2+√5, 2-√5 x>=2+√5 or x<=2-√5, f'(x)>=0,f(x)单调增 2-√5==0--> a>=1 or a<=-1 因为两根的积为 1，因此都需为正根，且一个大于 1，另一个小于 1. 两根和=2a>0--> a>0, 因此 a>1 即(2,3)中只有一根, f'(2)f'(3)<0 (5-4a)(10-6a)<0---> 5/4 ( )g x 1m < ( ) 0g x′ = 1 2 1 1(2 1 ), (2 1 ),3 3x m x m= − − = + − ( ), ( )g x g x′ x 1( , )x−∞ 1x 1 2( , )x x 2x 2( )x + ∞ ( )g x′ ( )g x ( ,1)∈ −∞m ( )g x 1 (2 1 )3 = − −x m ( )g x 1 (2 1 )3 = + −x m ( )g x ( )f x a 例题 12、已知 在 与 时，都取得极值 （1）求 a，b 的值 （2）若对 都有 恒成立，求 c 的取值范围 例题 13、设函数 ，其中常数 a>1 (Ⅰ)讨论 f(x)的单调性; 在 是减函数 (Ⅱ)若当 x≥0 时，f(x)>0 恒成立，求 a 的取值范围。w.w.w（1，6） 解：(I)f′(x)=x2-2(1+a)x+4a=(x-2)(x-2a)， 由 a＞1 知，当 x＜2 时，f′(x)＞0，故 f(x）在区间（-∞，2）是增函数； 当 2＜x＜2a 时，f′(x)＜0，故 f(x)在区间(2，2a)是减函数； 当 x＞2a 时，f′(x)＞0，故 f(x)在区间(2a，+∞)是增函数， 综上，当 a＞1 时，f(x)在区间（-∞，2）和(2a，+∞)是增函数，在区间(2，2a)是减函数． (Ⅱ)由(I)知，当 x≥0 时，f(x)在 x=2a 或 x=0 处取得最小值， f(2a)= (2a)3-(1+a)(2a)2+4a·2a+24a ， ， 由假设知 ，即 ， 解得 1＜a＜6， 故 a 的取值范围是(1，6)． 变式：设 （1） 求函数 的单调区间 （2） 若在区间 上存在实数 ，使得 成立，求实数 的取值范围。 题型五、方程的根及函数的零点问题 ① 方程的根 )2,2( a 3 2( )f x x ax bx c= + + + 1x = 2 3x = − [ 1,2]x∈ − 1( )f x c < 3 21( ) (1 ) 4 243f x x a x ax a= − + + + 3 21( ) 2 52f x x x x= − − + ( )f x [ 1,2]− x ( ) 0f x m− < m 例题 14、 (2009 江西文)设函数 ． （1）对于任意实数 ， 恒成立，求 的最大值； （2）若方程 有且仅有一个实根，求 的取值范围． 像如 或 . 下。解： (1)∵f'(x)=3x^2-9x+6=3(x-3/2)^2-3/4 又∵f'(x)≥m 恒成立，那么只需满足 f'(x)的最小值恒大于等于 m 即可 ∴f'(x)min=-3/4 ∴m 的最大值为-3/4 (2)∵f'(x)=3x^2-9x+6=3(x-1)(x-2) 令 f'(x)=0....=>x=1 或 2 ∴x∈(-∞，1]∪[2，+∞)时，f'(x)≥0...即 f(x)为增 x∈(1，2)时，f(x)为减函数 又∵f(x)=0 有且仅有一个实根，说明与 x 轴只有 1 个交点 那么就需要满足： f(1)>0....=>2.5-a>0....=>a<2.5 f(2)>0....=>2-a>0.....=>a<2 ∴a<2 f(1)<0....=>a>2.5 f(2)<0....=>a>2 ∴a>2.5 例题 15、（2006 四川）已知函数 ，其中 是的导函数 （Ⅰ）对满足 的一切 的值，都有 ，求实数 的取值范围； （Ⅱ）设 ，当实数 在什么范围内变化时，函数 的图像与直线 只有一个公共点 解：（Ⅰ）由题意， ，令 ，-1≤a≤1， 对-1≤a≤1，恒有 g(x)＜0，即 ，∴ ，解得 ； 故 时，对满足-1≤a≤1 的一切 a 的值，都有 g(x)＜0； （Ⅱ） ， ①当 m=0 时， 的图象与直线 y=3 只有一个公共点； ②当 m≠0 时，列表： ∴ ，又∵f(x)的值域是 R，且在 上单调递增， ∴当 x＞|m|时函数 y=f(x)的图象与直线 y=3 只有一个公共点； 当 x＜|m|时，恒有 ，由题意得 ，即 ， 3 4 − 2a < 5 2a > 3 29( ) 62f x x x x a= − + − x ( )f x m′ ≥ m ( ) 0f x = a ( ) ( ) ( )3 '3 1, 5f x x ax g x f x ax= + − = − − ( )'f x 1 1a− ≤ ≤ a ( ) 0g x < x 2a m= − m ( )y f x= 3y = 解得 ；综上，m 的取值范围是 。 例题 16、（2008 四川卷）（本小题满分 14 分） 已知 是函数 的一个极值点。 （Ⅰ）求 ； （Ⅱ）求函数 的单调区间； （Ⅲ）若直线 与函数 的图象有 3 个交点，求 的取值范围 解：（Ⅰ） ， ， x=3 是函数 的一个极值点，∴ ，∴a=16； （Ⅱ）由（Ⅰ）知 ，x∈（-1，+∞）， ，令 f′(x)=0，得 x=1，x=3，f′(x)和 f(x)随 x 的 变化情况如下： ∴f(x)的增区间是（-1，1），（3，+∞）；减区间是（1，3）。 （Ⅲ）由（Ⅱ）知，f(x)在（-1，1）上单调递增，在（3，+∞）上单调递增，在（1，3）上单调递减，　　∴ ， ，　又 时，f(x)→-∞；x→+∞时，f(x)→+∞； 可据此画出函数 y=f(x)的草图（图略）， 由图可知，当直线 y=b 与函数 y=f(x)的图像有 3 个交点时，b 的取值范围为 ． 例题 17、已知 ，问是否存在实数 使得 的图像与 有且只有三 个交点?若存在求出 ，若不存在说明理由? 解析：（1） 当 t+1<4，即 t<3 时，f（x）在[t，t+1]上单调递增， 当 ，即 时，h（t）=f（4）=16 当 t>4 时，f（x）在[t，t+1]上单调递减， 3x = ( ) ( ) 2ln 1 10f x a x x x= + + − a ( )f x y b= ( )y f x= b ( ) ( )2 8 , 6lnf x x x g x x m= − + = + m ( )y f x= ( )y g x= m 综上，h（t）= （2）函数 y=f（x）的图像与 y=g（x）的图像有且只有三个不同的交点， 即函数 的图像与 x 的正半轴且只有三个不同的交点 ∴ 当 x∈（0，1）时， 是增函数； 当 x=1 或 x=3 时， 是减函数； 当 x∈（3，+∞）时， 是增函数； 当 x=1 或 x=3 时， ∴ ∵当 x 充分接近 0 时， ，当 x 充分大时， 要使函数 的图像与 x 的正半轴有三个不同的交点.必须且只需 ∴ 即当 70，求证：x>ln(1+x) 例题 20、已知函数 ， （1）求函数 的单调递增区间； （2）若不等式 在区间（0,+ 上恒成立，求 的取值范围； （3）求证： 解：（1）∵ （x＞0），∴ ，令 g'（x）＞0，得 0＜x＜e， 故函数 的单调递增区间为（0，e）． （2）由 ，则问题转化为 k 大于等于 h（x）的最大值． 又 ，令 ． 当 x 在区间（0，+∞）内变化时，h'（x）、h（x）变化情况如下表： 由表知当 时，函数 h（x）有最大值，且最大值为 ，因此 k≥ ． （3）由 ≥ ，∴ ＜ （x≥2）， ∴ ＜ ． 又∵ ＜ =1﹣ + + +…+ =1﹣ ＜1， ∴ ＜ ． kxxf =)( x xxg ln)( = x xxg ln)( = )()( xgxf ≥ )∞ k en n 2 1ln 3 3ln 2 2ln 444 <+++  例题 21、（2010 辽宁文数）（21）（本小题满分 12 分） 已知函数 . （Ⅰ）讨论函数 的单调性； （Ⅱ）设 ，证明：对任意 ， 例题 22、（2009 辽宁卷文）（本小题满分 12 分） 设 ，且曲线 y＝f（x）在 x＝1 处的切线与 x 轴平行。 （1）求 a 的值，并讨论 f（x）的单调性；a=-1 （2）证明：当 2( ) ( 1)xf x e ax x= + + [0, ] f(cos ) f(sin ) 22 πθ θ θ∈ − <时， 2( ) ( 1)ln 1f x a x ax= + + + ( )f x 2a ≤ − 1 2, (0, )x x ∈ +∞ 1 2 1 2| ( ) ( ) | 4 | |f x f x x x− ≥ −